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1、标准实用 文案大全 “点差法”公式在抛物线中点弦问题中的妙用 圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它 的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、 中点坐标公式及参数法求解。 若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式 作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法 为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就抛物线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗 浅的探讨，以飨读者。 定理在抛物线)0(2 2 mmxy中，若直线l与抛物
2、线相交于M 、N两点，点),(00yxP是弦 MN的 中点，弦MN所在的直线l的斜率为 MN k，则mykMN 0 . 证明：设M 、N两点的坐标分别为),( 11 yx、),( 22 yx，则有 )2(.2 )1(,2 2 2 2 1 2 1 mxy mxy )2()1(，得).(221 2 2 2 1 xxmyy .2)( 12 12 12 myy xx yy 又 012 12 12 2,yyy xx yy kMN. mykMN 0 . 注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在. 同理可证， 在抛物线)0(2 2 mmyx中，若直线l与抛物线相交于
3、M 、N两点， 点),( 00 yxP是 弦 MN 的中点，弦MN所在的直线l的斜率为 MN k，则mx kMN 0 1 . 注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（ 2）直线的斜率存在，且 不等于零 . 例 1抛物线xy4 2 的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（） A. 1 2 xy B. )1(2 2 xy C. 2 12 xy D. 12 2 xy 解：2m，焦点)0, 1(在x轴上 . 设弦的中点M的坐标为),(yx. 由mykMN 得：2 1 y x y ， 整理得：) 1(2 2 xy. 标准实用 文案大全 所求的轨迹方程为) 1(2 2 xy. 故选 B.
4、例 2抛物线 2 2xy上一组斜率为2 的平行弦中点的轨迹方程是（） A. 2 1 x（y 2 1 ） B. 2 1 y（x 2 1 ） C. xy2（x1） D. 12xy 解：由 2 2xy得yx 2 12 ， 4 1 m，焦点在y轴上 . 设平行弦的中点M的坐标为),(yx. 由mx kMN 1 得： 4 1 2 1 x， 2 1 x. 在 2 2xy中，当 2 1 x时， 2 1 y. 点 M的轨迹方程为 2 1 x（y 2 1 ）. 故答案选A. 例 3 （03 上海）直线1xy被抛物线xy4 2 截得的线段的中点坐标是_. 解：2m， 焦点)0 , 1(在x轴上 . 设弦 MN 的
5、中点 P的坐标为),(yx， 弦 MN 所在的直线l的斜率为 MN k， 则.1 MN k由mykMN 0 得：2 0y， .12 0 x从而3 0 x. 所求的中点坐标是)2,3(. 例 4 抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，它和直线1xy相交，所得的弦的中点在5 22 yx 上，求抛物线的方程. 解：设抛物线的方程为)0(2 2 mmxy，直线与抛物线的两个交点为M 、N，弦 MN的中点P的坐 标为),( 00 yx. 由mykMN 0 得：my0， .11 00 myx 又点), 1(mmP在圆5 22 yx上， .5)1( 22 mm 解之得：,2m或.1m 标准实用 文案大全 由 .
6、2 , 1 2 mxy xy 得：.01) 1(2 2 xmx 直线与抛物线有两个不同的交点， 4) 1(4 2 m0. m 2，或 m 0. . 1m 故所求的抛物线方程为.2 2 xy 例 5已知抛物线xy12 2 上永远有关于直线mxyl4:对称的相异两点，求实数m的取值范 围. 解：设抛物线上A、B两点关于直线l对称，且弦AB的中点为),( 00 yxP. 根据题意，点P在直线l上，lAB， 4 1 AB k. 又xy12 2 ，mxy2 2 ，6m. 由mykAB 0 ，得：6 4 1 0 y，240y. 又由mxy 00 4，得： 4 24 0 m x. 点),( 00 yxP在抛
7、物线的开口内， 2 )24() 4 24 (12 m . 解之得：m216. 故实数m的取值范围)216,(. 例 6. （ 05 全国文22）设),(),( 2211 yxByxA两点在抛物线 2 2xy上，l是 AB的垂直平分线 . （）当且仅当 21 xx取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论. （）当3, 1 21 xx时，求直线l的方程 . 解： （）yx 2 12 ，) 8 1 ,0(, 4 1 Fp. 设线段 AB的中点为),( 00 yxP，直线l的斜率为k，则 021 2xxx. 若直线l的斜率不存在，当且仅当0 21 xx时， AB的垂直平分线l为y轴，经过抛物线
8、的焦点F. 若直线l的斜率存在，则其方程为 00) (yxxky， k kAB 1 . 标准实用 文案大全 由px kAB 0 1 得： 4 1 0 kx， k x 4 1 0 . 若直线l经过焦点F，则得： 000 4 1 8 1 yykx， 4 1 0 y，与0 0 y相矛盾 . 当直线l的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F. 综上所述，当且仅当0 21 xx 时，直线l经过抛物线的焦点F. （）当3, 1 21 xx时，.10 2 , 1 2 ),18, 3(),2, 1( 21 0 21 0 yy y xx xBA 由px kAB 0 1 得： 4 1 k. 所求的直线l的方程为1
9、0)1( 4 1 xy，即.0414yx 例 7 已知直线02yx与抛物线xy4 2 交于 A、 B两点，那么线段AB的中点坐标是_. 解：xy4 2 ，mxy2 2 ，2m. 直线的斜率为1. 由mykMN 0 得：2 0 y. 代入02 00yx求得40x. 线段 AB的中点坐标是)2,4(. 例8直线2kxy与抛物线xy8 2 交于不同的两点P、 Q，若PQ 中点的横坐标是2，则 | PQ=_. 解：xy8 2 ，mxy2 2 ，4m. 在2kxy中， 2 0 x 时， 22 0 ky ，若 PQ中点的纵坐标是 22 0 ky . 由mykAB 0 得：4)22( kk，即02 2 kk
10、. 解之得：2k或1k. 由 .8 , 2 2 xy kxy 得：04)2(4 22 xkxk. 直线与抛物线交于不同的两点， .016)2(16 ,0 22 2 kk k 标准实用 文案大全 解之得：k1且0k. 2k. 由 .8 ,22 2 xy xy 得：04164 2 xx. 即014 2 xx. 设),(),( 2211 yxQyxP，则1,4 2121 xxxx. 152)416(54)()1(| 21 2 21 2 xxxxkPQ. 例 9已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线14:xyl被抛物线 C所截得 的弦 AB的中点 M的纵坐标为2，则抛物线C的方程为 _.
11、 解：xy8 2 ，mxy2 2 ，4m. 由mykAB 0 得：4 AB k. AB所在的直线方程为)4(41xy，即0154yx. 例 10设 1 P 2 P为抛物线yx 2 的弦， 如果这条弦的垂直平分线l的方程为3xy，求弦 1 P 2 P 所在的直线方程. 解：设抛物线的方程为mxy2 2 （m 0）. 在14xy中，斜率为4，2y时， 4 3 x. 弦 AB的中点 M的坐标为)2, 4 3 (. 由mykAB 0 得：m)2(4，8m. 所求的抛物线的方程为xy16 2 . 例 11 过点)1 ,4(Q作抛物线xy8 2 的弦 AB ， 若弦 AB恰被 Q平分，则 AB所在的直线方
12、程为_. 解：yx 2 ，myx2 2 ， 2 1 m. 弦 1 P 2 P所在直线的斜率为1. 设弦 1 P 2 P的中点坐标为 ),( 00 yx. 由mx k PP 0 21 1 得： 2 1 0 x. 弦 1 P 2 P的中点也在直线3xy上， 2 5 3 2 1 0 y. 弦1 P 2 P的中点坐标为 ) 2 5 , 2 1 (. 弦 1 P 2 P所在的直线方程为) 2 1 (1 2 5 xy，即02yx. 例 12 已知抛物线 2 2xy上有不同的两点A、 B关于直线mxyl :对称，求实数m的取值范围 . 解：设弦AB的中点为),( 00 yxP. 标准实用 文案大全 根据题意
13、，lAB，1 AB k. 又yx 2 12 ，myx2 2 ， 4 1 m. 由mx kAB 0 1 ，得： 4 1 1 0 x， 4 1 0 x. 又由mxy 00 ，得：my 4 1 0 . 点),( 00 yxP在抛物线的开口内， 2 ) 4 1 () 4 1 ( 2 1 m. 解之得：m 8 3 . 故实数m的取值范围), 8 3 (. 例 13 （ 05 全国理21）设),(),( 2211 yxByxA两点在抛物线 2 2xy上，l是 AB的垂直平分线 . （）当且仅当 21 xx取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论. （）当直线l的斜率为2 时，求l在 y 轴上的截距
14、的取值范围. 解： （）yx 2 12 ，) 8 1 ,0(, 4 1 Fpm. 设线段 AB的中点为),( 00 yxP，直线l的斜率为k，则 021 2xxx. 若直线l的斜率不存在，当且仅当0 21 xx 时， AB的垂直平分线l为y轴，经过抛物线的焦点F. 若直线l的斜率存在，则其方程为 00) (yxxky， k kAB 1 . 由mx kAB 0 1 得： 4 1 0 kx， k x 4 1 0 . 若直线l经过焦点F，则得： 000 4 1 8 1 yykx， 4 1 0 y，与0 0 y相矛盾 . 当直线l的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F. 综上所述，当且仅当0 21
15、xx 时，直线l经过抛物线的焦点F. （）当2k时，由（）知， 8 1 0 x，直线l的方程为 4 1 2 0 yxy， 它在 y 轴上的截距 4 1 0 yb， 4 1 0 by. 直线 AB的方程为 00) ( 2 1 yxxy，即 16 5 2 1 bxy. 标准实用 文案大全 代入 2 2xy并整理得：0 8 5 24 2 bxx. 直线 AB与抛物线有两个不同交点， ) 8 5 2(161b0，即932b0. b 32 9 . 故l在 y 轴上的截距的取值范围是), 32 9 (. 例 14(08 陕西文理20) 已知抛物线 2 2xyC：，直线2kxy交 C于 A、B两点， M是线
16、段 AB 的中点，过M作 x 轴的垂线交C于点 N. （）证明：抛物线C在点 N处的切线与AB平行； （）是否存在实数k使0NBNA，若存在，求k的值；若不存在，请说明理由. 证明： （） 4 1 , 2 1 2 pmyx，设点 M的坐标为),( 00 yx. 当0k时，点 M在 y 轴上，点N与原点 O重合，抛物线C在点 N处的切线 为 x 轴，与 AB平行 . 当0k时，由px kAB 0 1 得： 4 0 k x. 8 2 2 2 0 k xyN. 得点 N的坐标为) 8 , 4 ( 2 kk . 设抛物线C在点 N处的切线方程为) 4 ( 8 2 k xm k y，即 8 ) 4 (
17、2 kk xmy. 代入 2 2xy，得： 8 ) 4 (2 2 2 kk xmx， 整理得：0 84 2 2 2 kkm mxx. 0)(2) 84 (8 222 2 2 kmkkmm kkm m， km，即抛物线C在点 N处的切线的斜率等于直线AB的斜率 . 故抛物线C在点 N处的切线与AB平行 . （）解：若0NBNA，则NBNA，即90ANB. |2|2|2|MNBMAMAB. 标准实用 文案大全 4 8 2 2 00 k kxy， 8 16 84 8 | 222 0 kkk yyMN N . 由 .2 , 2 2 xy kxy 得022 2 kxx. 设),(),( 2211 yxByxA，则 1, 2 2121 xx k xx. )16)(1( 2 1 )4 4 )(1(4)(1(| 22 2 2 21 2 21 2 kk k kxxxxkAB. 8 16 2)16)(1( 2 1 2 22 k kk. 即 4 )16( )16)(1( 22 22 k kk. 化简，得： 4 16 1 2 2k k，即4 2 k. 2k. 故存在实数2k，使0NBNA.