解直角三角形题型-带解析汇报.pdf

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1、标准文档 实用文案 1、（2017?河南）如图所示，我国两艘海监船A，B 在南海海域巡航，某一时刻， 两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C，此时， B船在 A 船的正南 方向 5 海里处， A 船测得渔船 C在其南偏东 45 方向， B 船测得渔船 C在其南偏 东 53 方向，已知 A 船的航速为 30 海里/小时，B船的航速为 25 海里/小时，问 C 船至少要等待多长时间才能得到救援？ （参考数据：sin53 ， cos53， tan53 ，1.41） 【分析】 如图作 CE AB于 E 设 AE=EC=x ， 则 BE=x 5， 在 RtBCE中， 根据 tan53 = ，可得

2、=，求出 x，再求出 BC 、AC，分别求出 A、B 两船到 C的时间， 即可解决问题 【解答】 解：如图作 CE AB于 E 在 RtACE中， A=45 ， AE=EC ，设 AE=EC=x ，则 BE=x 5， 在 RtBCE中， tan53=， =， 解得 x=20， AE=EC=20 ， AC=20=28.2， BC=25， A船到 C的时间=0.94小时， B船到 C的时间 =1小时， C船至少要等待 0.94 小时才能得到救援 标准文档 实用文案 2、（2016?河南）如图，小东在教学楼距地面9 米高的窗口 C处，测得正前方旗 杆顶部 A 点的仰角为 37 ，旗杆底部 B 点的俯

3、角为 45 ，升旗时，国旗上端悬挂 在距地面 2.25 米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45 秒结束时到达 旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin37 0.60， cos370.80，tan37 0.75） 【分析】 通过解直角 BCD和直角 ACD分别求得 BD、CD以及 AD 的长度，则 易得AB 的长 度， 则根 据题 意 得到 整 个过程中旗子上升高度，由 “ 速 度= ” 进行解答即可 【解答】 解：在 RtBCD中，BD=9米， BCD=45 ，则 BD=CD=9 米 在 RtACD中，CD=9米， ACD=37 ，则 AD=CD?tan37 9

4、0.75=6.75（米） 所以， AB=AD +BD=15.75米， 整个过程中旗子上升高度是：15.752.25=13.5（米） ， 因为耗时 45s， 所以上升速度 v=0.3（米/秒） 答：国旗应以 0.3 米/秒的速度匀速上升 3、（2015?河南）如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度， 他们在斜坡上 D 处测得大树顶端 B的仰角是 30 ，朝大树方向下坡走 6 米到达坡 底 A 处，在 A 处测得大树顶端B 的仰角是 48 ，若坡角 FAE=30 ，求大树的高 度（结果保留整数， 参考数据： sin48 0.74，cos48 0.67，tan48 1.11， 1.7

5、3） 【解答】 解：如图，过点D 作 DGBC于 G， DHCE于 H， 标准文档 实用文案 则四边形 DHCG为矩形 故 DG=CH ，CG=DH ，DGHC ， DAH= FAE=30 ， 在直角三角形 AHD中， DAH=30 ，AD=6， DH=3，AH=3， CG=3 ， 设 BC为 x， 在直角三角形 ABC中，AC=， DG=3+，BG=x 3， 在直角三角形 BDG中， BG=DG?tan30 ， x3=（3+） 解得： x13， 大树的高度为： 13米 4、（2014?河南）在中俄 “ 海上联合 2014” 反潜演习中，我军舰A 测得潜艇 C的 俯角为 30 ， 位于军舰 A

6、正上方 1000米的反潜直升机 B测得潜艇 C的俯角为 68 ， 试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度 （结果保留整数，参考数据： sin68 0.9，cos680.4，tan68 2.5，1.7） 【解答】解： 过点 C作 CD AB， 交 BA的延长线于点 D， 则 AD即为潜艇 C的下潜深度， 根据题意得： ACD=30 ，BCD=68 ， 设 AD=x，则 BD=BA +AD=1000+x， 在 RtACD中，CD=， 在 RtBCD中，BD=CD?tan68 ， 1000+x=x?tan68 解得： x=308 米， 潜艇 C离开海平面的下潜深度为308 米 标准文档 实用文

7、案 5、（2013?河南）我国南水北调中线工程的起点是丹江水库，按照工程计划，需 对原水库大坝进行混凝土加高，使坝高由原来的162 米增加到 176.6米，以抬高 蓄水位如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE ，背 水坡坡角 BAE=68 ，新坝体的高为DE，背水坡坡角 DCE=60 求工程完工后 背水坡坡底端水平方向增加的宽度AC（结果精确到 0.1 米参考数据： sin68 0.93，cos680.37，tan68 2.50，） 【解答】 解：在 RtBAE中， BE=162米， BAE=68 ， AE=64.8（米） ， 在 RtDCE中， DE=176.6米， DC

8、E=60 ， CE=102.08（米） ， 则 AC=CE AE=102.08 64.8=37.3（米） 答：工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度AC约为 37.3 米 6、（2017?郑州二模）如图，高铁列车座位后面的小桌板收起时可以近似地看作 与地面垂直，展开小桌板后，桌面会保持水平，其中图1、图 2 分别是小桌板收 起时和展开时的实物，图3 中的实线是小桌板展开后的示意图，其中OB表示小 桌板桌面的宽度， BC表示小桌板的支架，连接OA，此时 OA=75厘米， AOB= ACB=37 ，且支架长 BC与桌面宽 OB的长度之和等于 OA的长度，求点 B到 AC 的距离 （参考数 据 s

9、in37 0.6， cos37 0.8 ， tan37 0.75） 标准文档 实用文案 【解答】 解：延长 OB交 AC于点 D， 由题可知： BD CA ， 设 BC=xcm ，则 BO=OA BC= （75x）cm， 在 RtCBD中， BD=BC?sin ACB=x?sin37=0.6x， DO=OB +BD=75x+0.6x=（750.4x）cm， 在 RtAOD中， DO=AO?cos AOD=75?cos37 =60cm， 750.4x=60， 解得： x=37.5， BD=0.6x=22.5cm ， 答：点 B到 AC的距离为 22.5cm 7、太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之

10、一，老张准备把自家屋顶改建成光伏 瓦面，改建前屋顶截面ABC如图 2 所示， BC=10米， ABC= ACB=36 ，改建 后顶点 D 在 BA的延长线上， 且BDC=90 ，求改建后南屋面边沿增加部分AD的 长 （结果精确到 0.1 米） （参考数据： sin18 0.31，cos18 0.95tan18 0.32，sin36 0.59cos36 0.81，tan36 0.73） 【解答】 解： BDC=90 ，BC=10 ，sinB=， CD=BC?sinB=10 0.59=5.9， 在 RtBCD中， BCD=90 B=90 36 =54 ， ACD= BCD ACB=54 36 =1

11、8 ， 在 RtACD中，tanACD=， AD=CD?tan ACD=5.9 0.32=1.8881.9（米） ， 则改建后南屋面边沿增加部分AD的长约为 1.9 米 标准文档 实用文案 8、 （2017 郑州外国语三模）如图，在航线 l 的两侧分别有观测点A 和 B，点 A 到航 线 l 的距离为 2km，点 B 位于点 A 北偏东 60 方向且与 A 相距 10km 处现有一 艘轮船从位于点 B南偏西 76 方向的 C处，正沿该航线自西向东航行， 5min 后该 轮船行至点 A 的正北方向的 D 处 （1）求观测点 B到航线 l 的距离； （2）求该轮船航行的速度 （结果精确到 0.1k

12、m/h） （参考数据：1.73，sin76 0.97，cos76 0.24，tan764.01） 【解答】 解： （1）设 AB与 l 交于点 O 在 RtAOD中， OAD=60 ，AD=2（km） ， OA=4（km） AB=10 （km） ， OB=AB OA=6（km） 在 RtBOE中， OBE= OAD=60 ， BE=OB?cos60 =3 （km） 答：观测点 B到航线 l 的距离为 3km （2）在 RtAOD中，OD=AD?tan60 =2（km） ， 在 RtBOE中，OE=BE?tan60 =3 （km） ， DE=OD +OE=5（km） 在 RtCBE中， CBE=

13、76 ，BE=3 （km） ， CE=BE?tan CBE=3tan76 CD=CE DE=3tan76 53.38（km） 5（min）=， 标准文档 实用文案 v=12CD=12 3.3840.6（km/h） 答：该轮船航行的速度约为40.6km/h 9、(2017 郑州八中三模）如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸 上的凉亭间的距离， 如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸上 的凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A 处测得湖心岛上的迎宾槐C 处位于北 偏东 65 方向，然后，他从凉亭A 处沿湖岸向正东方向走了100 米到 B处，测得 湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东

14、45 方向（点 A、B、C在同一水平面上）请 你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C 处与湖岸上的凉亭A 处之 间的距离（结果精确到1 米） （参考数据：sin25 0.4226，cos25 0.9063，tan250.4663，sin65 0.9063， cos650.4226，tan65 2.1445） 【解答】 解：如图，作 CD AB交 AB的 延长线于点 D， 则BCD=45 ，ACD=65 在 RtACD和 RtBCD中， 设 AC=x ，则 AD=xsin65， BD=CD=xcos65 ， 100+xcos65=xsin65 ， x=207 米 湖心岛上的迎宾槐C处与凉

15、亭 A 处之间距离约为 207 米 10、（2017?安阳一模）某校兴趣小组想测量一座大楼AB 的高度如图，大楼前 有一段斜坡 BC ，已知 BC的长为 12 米，它的坡度 i=1：在离 C点 40 米的 D 处，用测角仪测得大楼顶端A 的仰角为 37 ，测角仪 DE的高为 1.5 米，求大楼 AB的高度约为多少米？（结果精确到0.1 米） （参考数据： sin37 0.60，cos37 0.80，tan370.75，1.73 ） 标准文档 实用文案 【解答】 解：延长 AB交直线 DC于点 F，过点 E作 EHAF，垂足为点 H 在 RtBCF中，=i=1：， 设 BF=k ，则 CF=，B

16、C=2k 又BC=12 ， k=6， BF=6 ，CF= DF=DC +CF ， DF=40 +6 在 RtAEH中，tanAEH=， AH=tan37 （40+6）37.785（米） ， BH=BF FH， BH=6 1.5=4.5 AB=AH HB， AB=37.785 4.533.3 答：大楼 AB的高度约为 33.3 米 11、（2017?开封二模） 放风筝是大家喜爱的一种运动星期天的上午小明在金明广 场上放风筝，如图，他在A 处不小心让风筝挂在了一棵树梢上，风筝固定在了D 处，此时风筝 AD与水平线的夹角为30 ，为了便于观察， 小明迅速向前边移动， 收线到达了离 A 处 10 米的

17、 B处，此时风筝线 BD与水平线的夹角为50 ，已知点 A，B，C在同一条水平直线上，小明搬了一把梯子来取风筝，梯子能达到的最大 高度为 20 米，请问小明能把风筝捡回来吗？（最后结果精确到1 米） （风筝线 AD，BD均为线段，1.732，sin50 0.766，cos500.643，tan50 1.192） 标准文档 实用文案 【解答】 解：作 DHBC于 H，设 DH=x米 ACD=90 ， 在直角 ADH中， DAH=30 ，AD=2DH=2x ，AH=DH tan30 =x， 在直角 BDH中， DBH=50 ， BH=， BD=DH?sin50=sin50 x， AHBH=AB=1

18、0米， x=10， x=， 小明此时所收回的风筝的长度为： AD BD=2x sin50 x=（ 2 sin50 ） = （ 2 0.766 ） 8 米 答：小明此时所收回的风筝线的长度约是8 米 12、（2017?许昌二模） 某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽 度，在河的北岸边点A 处，测得河的南岸边点B在其南偏东 45 方向，然后向北 走 20 米到达 C点，测得点 B 在点 C的南偏东 33 方向，求出这段河的宽度（结 果精确到 1 米，参考数据 sin33 0.54，cos330.84，tan330.65，1.41） 标准文档 实用文案 【解答】 解：如图，记河南岸为B

19、E ，延长 CA交 BE于点 D，则 CDBE 由题意知， DAB=45 ，DCB=33 ， 设 AD=x米，则 BD=x米，CD= （20+x）米， 在 RtCDB中，=tanDCB ， 0.65， 解得 x37 答：这段河的宽约为37 米 13、 （2017 平顶山二模）如图，在坡角为30 的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立 着一大型广告牌，当阳光与水平线成45 角时，测得铁塔AB 落在斜坡上的影子 BD的长为 6 米，落在广告牌上的影子CD的长为 4 米，求铁塔 AB的高（AB，CD 均与水平面垂直，结果保留根号） 【解答】 解：过点 C作 CE AB于 E，过点 B 作 BFCD于 F

20、， 在 RtBFD中， DBF=30 ，sinDBF=，cosDBF=， BD=6 ， DF=3 ，BF=3， 标准文档 实用文案 ABCD ，CE AB，BF CD， 四边形 BFCE 为矩形， BF=CE=3 ，CF=BE=CD DF=1 ， 在 RtACE中， ACE=45 ， AE=CE=3 ， AB=3+1 答：铁塔 AB的高为（ 3+1）m 14、（2017?信阳二模）如图， AC是某市环城路的一段， AE、BF 、CD都是南北方 向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A、B、C经测量东方家具城D 位于 点 A 的北偏东 45 方向，点 B的北偏东 30 方向上， AB=2km，

21、DAC=15 ，求 C、 D之间的距离（结果保留根号） 【解答】 解：由题意可得 EAD=45 ，FBD=30 ， 又 DAC=15 ， EAC=60 ， AE BF， FBC= EAB=60 ， DBC=30 ， BDA= DBC DAB=30 15 =15 ， BDA= DAB， AB=DB=2km ， ADB=15 ， DBC= ADB +DAC=15 +15 =30 ； 过 B作 BO DC，交其延长线于点O， 标准文档 实用文案 在 RtDBO中，BD=2，DBO=60 ， DO=2sin60 =，BO=2cos60=1 在 RtCBO中， CBO=30 ，CO=BOtan30 =，

22、 CD=DO CO=（km） 即 C，D之间的距离km 15、 （2017 南阳二模）如图，某同学自某观景平台AB上的 A 处看到有一个 11 阶的 楼梯，他测得最上面楼梯角C 的俯角为 40 ，最下面楼梯角D 的俯角为 45 ，若 每个台阶的高为 0.15m，宽为 0.30m，且楼梯的最底端与观景台的底端B位于同 一水平线上。试求观景平台的高AB（同学身高忽略不计） （结果精确到0.1m， 参考数据： sin40 0.64，cos40 0.77，tan400.84，） 【解答】 解：如图， 设 AB=x， 标准文档 实用文案 由题意知 ACF=40 ，DAB= ADB=45 ， 则 AB=A

23、D=x ， 作 CE BD于点 E，作 CF AB于点 F， BF=CE=11 0. 15=1.65m，DE=0.30 11=3.30m， AF=AB BF=x 1.65， 在 RtACF中，由 tanACF=可得84.0 30.3 65.1 x x ， 解得： x27.6（m） ， 答：观景平台的高AB约为 27.6m 16、一处中学在教学楼前新建了一座雕塑（如图）为了测量雕塑的高度，小 王在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为 30 ，底部 B 点的 俯角为 45 ，小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A 点的俯角为 60 （如图 ） 若已知 CD为 10 米，请求出雕塑A

24、B的高度 （结果精确到 0.1 米，参考数 据=1.73） 【解答】 解：过点 C作 CE AB于 E ADC=90 60 =30 ，ACD=90 30 =60 ， CAD=90 CD=10 ， AC= CD=5 在 RtACE中， AEC=90 ，ACE=30 ， AE= AC= ， CE=AC?cos ACE=5?cos30= 在 RtBCE中， 标准文档 实用文案 BCE=45 ， BE=CE=， AB=AE +BE= （+）6.8（米） 所以，雕塑 AB的高度约为 6.8 米 17、据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一上周末，小明和三位同 学用所学过的知识在一条笔直的道路上检测

25、车速如图，观测点 C到公路的距离 CD为 100 米，检测路段的起点 A 位于点 C的南偏西 60 方向上，终点 B位于点 C 的南偏西 45 方向上某时段，一辆轿车由西向东匀速行驶，测得此车由A 处行 驶到 B处的时间为 4 秒问此车是否超过了该路段16 米/秒的限制速度？ （参考 数据：1.4，1.7） 【解答】 解：在 RtBCD中， BDC=90 ，BCD=45 ，CD=100米， BD=CD=100 米 在 RtACD中， ADC=90 ，ACD=60 ，CD=100米， AD=CD?tan ACD=100（米） AB=AD BD=10010070（米） 标准文档 实用文案 此车的速

26、度为（米/秒） 17.516， 此车超过了该路段16 米/秒的限制速度 18、如图，某校数学兴趣小组在楼AB的顶部 A 处测得该楼正前方旗杆CD的顶 端 C的俯角为 42 ，在楼 AB的底部 B处测得旗杆 CD的顶端 C的仰角为 31 ，已 知旗杆 CD的高度为 12m， 根据测得的数据，计算楼 AB的高度 （结果保留整数） 参考数据： tan420.90，tan48 1.11，tan310.60 【解答】 解：如图，过点 C作 CE AB于点 E 依题意得： ACE=42 ，CBD=31 ，CD=12m 可得四边形 CDBE是矩形 BE=DC ，CE=DB 在直角 CBD中，tanCBD=，

27、 CE=DB= 在直角 ACE中，tanACE= AE=CE?tan42 AE=?tan42 =18（米） AB=AE +BE=30 （米） 答：楼 AB的高度约为 30 米 19、如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东 64 方向，距离灯塔120 海里的 A 处， 它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东 45 方向上的 B处，求 BP和 BA的长（结果取整数） 标准文档 实用文案 参考数据： sin64 0.90，cos64 0.44，tan642.05，取 1.414 【解答】 解：如图作 PC AB于 C 由题意 A=64 ，B=45 ，PA=120 ， 在 RtAPC中，sin

28、A=，cosA=， PC=PA?sinA=120?sin64 ， AC=PA?cosA=120?cos64 ， 在 RtPCB中， B=45 ， PC=BC ， PB=153 AB=AC +BC=120?cos64 +120?sin64 1200.90+1200.44 161 答：BP的长为 153 海里和 BA的长为 161 海里 20、如图，港口 B位于港口 A 的南偏东 37 方向，灯塔 C恰好在 AB的中点处一 艘海轮位于港口A 的正南方向，港口B 的正西方向的 D 处，它沿正北方向航行 5km 到达 E处， 测得灯塔 C在北偏东 45 方向上，这时，E处距离港口 A 有多远？ （参考

29、数据： sin37 0.60，cos37 0.80，tan370.75） 标准文档 实用文案 【解答】 解：如图作 CHAD于 H设 CH=xkm ， 在 RtACH中， A=37 ，tan37 =， AH=， 在 RtCEH中， CEH=45 ， CH=EH=x ， CH AD，BDAD， CH BD， =， AC=CB ， AH=HD ， =x+5， x=15， AE=AH +HE=+1535km， E处距离港口 A 有 35km 21、（2017?黄冈）在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌ABCD （如图所示），已知标语牌的高 AB=5m，在地面的点 E处，测得标语牌点A

30、的仰 角为 30 ，在地面的点 F处，测得标语牌点A 的仰角为 75 ，且点 E，F，B，C在 同一直线上， 求点 E与点 F之间的距离 （计算结果精确到0.1 米，参考数据： 1.41，1.73） 标准文档 实用文案 【解答】 解：如图作 FHAE于 H由题意可知 HAF= HFA=45 ， AH=HF ，设 AH=HF=x ，则 EF=2x ，EH=x， 在 RtAEB中， E=30 ，AB=5米， AE=2AB=10 米， x+x=10， x=55， EF=2x=10107.3 米， 答：E与点 F之间的距离为 7.3 米 22、A，B两地被大山阻隔， 若要从 A 地到 B地，只能沿着如

31、图所示的公路先从A 地到 C地，再由 C地到 B 地现计划开凿隧道A，B 两地直线贯通，经测量得： CAB=30 ，CBA=45 ，AC=20km ，求隧道开通后与隧道开通前相比，从A 地到 B地的路程将缩短多少？ （结果精确到 0.1km， 参考数据：1.414，1.732） 【解答】 解：过点 C作 CD AB与 D， AC=20km ，CAB=30 ， CD= AC= 20=10km， AD=cos CAB?AC=cos 30 20=10km， CBA=45 ， BD=CD=10km ，BC=CD=1014.14km 标准文档 实用文案 AB=AD +BD=10+1027.32km 则

32、AC +BC AB20+14.1427.326.8km 答：从 A 地到 B 地的路程将缩短 6.8km 23、如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼 顶部 D 的仰角为 18 ，教学楼底部 B 的俯角为 20 ，量得实验楼与教学楼之间的 距离 AB=30m （1）求 BCD的度数 （2）求教学楼的高BD （结果精确到0.1m，参考数据： tan200.36，tan18 0.32） 【解答】 解： （1）过点 C作 CE BD，则有 DCE=18 ，BCE=20 ， BCD= DCE +BCE=18 +20 =38 ； （2）由题意得： CE=AB=30m ， 在 RtCBE中，BE=CE?tan20 10.80m， 在 RtCDE中，DE=CD?tan18 9.60m， 教学楼的高 BD=BE +DE=10.80 +9.6020.4m， 则教学楼的高约为20.4m 标准文档 实用文案