锐角三角函数教案设计.pdf

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1、标准文档 实用文案 锐角三角函数 一知识框架 二、 知识概念 1、正弦，余弦，正切的概念 如图，在ABCRt中， （1）sinA， （2）cosA， （3）tanA 。 2、 2. 坡度（坡比）的概念及表示形式 如图所示，我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比），坡度常 用字母 i 表示 c a c b b a a sina cosa tana 30 1 2 3 2 3 3 45 2 2 2 2 1 60 3 2 1 2 3 标准文档 实用文案 斜坡的坡度i阳坡角的正切值有如下关系： l h itan， 即坡度是坡角的正切值 1正切与梯子的倾斜程度的关系：Atan的值越大，

2、梯子越陡 注意：梯子的倾斜程度与梯子和地面的夹角的大小有关，夹角越大说明梯子越倾斜 2正弦、余弦与梯子的倾斜程度的关系：Asin的值越大， 梯子越陡；Acos的值越小， 梯子越陡 3. 解直角三角形： 锐角A的正弦，余弦和正切都是A的三角函数，直角三角形中，除直角外，共5 个 元素： 3 条边和 2 个角除直角外只要知道其中2 个元素（至少有1 个是边），就可利用以 上关系求出另外3 个元素 4. 仰角，俯角 当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角，如图所示，为仰角， 俯角：当从高处观测低处的目标时， 仰角： 视线与水平线所成的锐角，如图所示，为俯角， 例题： 题型一：三角函数的定义

3、 例 1、 （2015?崇左）如图，在RtABC 中， C=90 ，AB=13 ，BC=12，则下列三角函数表 示正确的是（A） AsinA=BcosA=CtanA=DtanB= 例 2、 （2015?庆阳）在 ABC 中，若角 A，B 满足 |cosA|+（1tanB）2=0，则 C 的大 小是（D） A45 B60 C75 D105 例 3、 （2015?牡丹江） 在ABC 中， AB=12， AC=13 ， cosB=， 则 BC 边长为（D） 标准文档 实用文案 A7 B8 C8 或 17 D7 或 17 【解答】 解： cosB=， B=45 ， 当 ABC 为钝角三角形时，如图1，

4、 AB=12， B=45 ， AD=BD=12 ， AC=13 ， 由勾股定理得CD=5， BC=BD CD=125=7； 当 ABC 为锐角三角形时，如图2， BC=BD+CD=12+5=17 ， 故选 D 题型分析：（1）对于利用三角函数求线段长度的问题，一般要把这条线段放在一个直角三角 形中来解决，因此必须先构造出以该条线段为边的直角三角形。 （2）在构造直角三角形时，要善于联系已知，使题目中已知的条件能尽量转化到同一直 角三角形中。 并且尽量构造出含特殊角的直角三角形。另外还需注意基本的几何模型，补全 基本的几何模型，也是我们作辅助线的一个常用策略。 （3）对于一个直角三角形，如果知道

5、除直角的另外两个元素(至少含一边 )，则可以求出 其他三个元素。 题型二：坡度的实际应用 例 1、 （2014?德州）如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12 米，斜面坡度为1： 2，则斜坡AB 的长为（B） A4米B6米C12米D24 米 例 2、 （2015?巴彦淖尔）如图，一渔船由西往东航行，在A 点测得海岛C 位于北偏东60 的 方向，前进40 海里到达B 点，此时，测得海岛C 位于北偏东30 的方向，则海里C 到航线 AB 的距离 CD 是（C） 标准文档 实用文案 A20 海里B40 海里C20海里D40海里 【解答】 解：根据题意可知CAD=30 ， CBD=60 ， C

6、BD= CAD+ ACB ， CAD=30 =ACB ， AB=BC=40 海里， 在 RtCBD 中， BDC=90 ， DBC=60 ，sinDBC=， sin60 =， CD=40 sin60 =40=20（海里） 故选： C 题型三：利用三角函数求高 例 1、如图，小山岗的斜坡AC的坡度是 4 3 tan，在与山脚C距离m200的点D处测得 山顶A的仰角为 o 6.26，求小山岗的高AB（结果取整数；参考数据： o 6.26sin 50.06.26tan,89.06.26cos,45.0 o ) 分 析 ： 设 小 山 岗 的 高AB为)(mx 则 BC AB tan 4 3 ， 又

7、在ABDRt中 ， ,6 .26tan BD ABo 而BCBD200，所以可得关于x的方程，解之即可求得.AB 解：设小山岗的高AB为),(mx在ABCRt中， 标准文档 实用文案 . 3 4 , 4 3 tanxBC BC x BC AB . 3 4 200xBCDCBD. 在ABDRt中， ,6 .26tantan BD AB ADB 而 tan26.6 =0.50 50.0 3 4 200x x ，解得.300x 答：小山岗的高AB为.300m 点拨：在直角三角形中根据已知的边、角求未知的边、角时，一般要借助锐角三角函数，本 题中正确理解坡度，仰角的概念是关键 课堂小测 1 （ 201

8、5?余姚市模拟）如图，ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则cosABC 等于 （） ABCD 2（2015?大庆模拟）如图， 延长 RTABC 斜边 AB 到点 D， 使 BD=AB ， 连接 CD， 若 tanBCD= ，则 tanA= （） AB1 CD 【解答】 解：过 B 作 BEAC 交 CD 于 E AC BC， BEBC， CBE=90 BEAC AB=BD ， AC=2BE 标准文档 实用文案 又 tanBCD=，设 BE=x，则 AC=2x ， tanA=， 故选 A 3、 （ 2015?滨海县一模）如图，在平面直角坐标系中，P 是 1 的边 OA 上一点，点P的坐标 为

9、（ 3，4） ，则 sin 1 的值为（C） ABCD 4 （ 2015?贵港一模）若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形最小角 的正切值为（C） ABCD 5 （2015?荆门） 如图， 在ABC 中，BAC=90，AB=AC ，点 D 为边 AC 的中点， DEBC 于点 E，连接 BD ，则 tanDBC 的值为（） AB 1 C2D 【考点】 解直角三角形；等腰直角三角形菁优网版权所有 【分析】 利用等腰直角三角形的判定与性质推知BC=AC，DE=EC=DC，然后通过解 直角 DBE 来求 tanDBC 的值 【解答】 解：在 ABC 中， BAC=90 ，AB=AC

10、 ， 标准文档 实用文案 ABC= C=45 ，BC=AC 又点 D 为边 AC 的中点， AD=DC=AC DEBC 于点 E， CDE= C=45 ， DE=EC=DC=AC tanDBC= 故选： A 【点评】 本题考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的性质通过解直角三角形，可 求出相关的边长或角的度数或三角函数值 6.（2014?衡阳）如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10 米，坝高12 米，斜 坡 AB 的坡度 i=1：1.5，则坝底AD 的长度为（D） A26 米B28 米 C30 米 D46 米 7 （ 2015?衡阳）如图，为了测得电视塔的高度AB，在 D 处

11、用高为1 米的测角仪CD，测得 电视塔顶端A 的仰角为30 ，再向电视塔方向前进100 米达到 F 处，又测得电视塔顶端A 的仰角为60 ，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（） A50B51 C50+1 D 101 【考点】 解直角三角形的应用-仰角俯角问题菁优网版权所有 【专题】 压轴题 【分析】 设 AG=x ，分别在RtAEG 和 Rt ACG 中，表示出CG 和 GE 的长度，然后根据 DF=100m，求出 x 的值，继而可求出电视塔的高度AH 标准文档 实用文案 【解答】 解：设 AG=x ， 在 RtAEG 中， tanAEG=， EG=x， 在 RtACG 中， tanACG

12、=， CG=x， xx=100， 解得： x=50 则 AB=50+1（米） 故选 C 【点评】 本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数 求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法 8 （ 2016?宝山区一模）计算： 【考点】 特殊角的三角函数值 【分析】 将特殊角的三角函数值代入求解 【解答】 解：原式 = = =+ =+ 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值 9 （ 2016?重庆模拟）如图，在锐角三角形ABC 中， AB=10 ，AC=2，sinB= （1）求 tanC； （2）求线段B

13、C 的长 标准文档 实用文案 【考点】 解直角三角形；勾股定理 【分析】 （1） 过点 A 作 ADBC 于 D， 根据已知条件可得出AD ， 再利用勾股定理得出CD， 进而得出tanC； （2）在 RtABD 中，利用勾股定理求出BD=8 ，结合 CD 的长度，即可得出BC 的长 【解答】 解： （1）如图，过点A 作 AD BC 于 D， 在 RtABD 中， AB=10 ， sinB=， =， AD=6 ， 在 RtACD 中，由勾股定理得CD 2=AC2AD2， CD 2=（2 ） 262=16， CD=4 ， tanC=； （2）在 RtABD 中， AB=10 ，AD=6 ， 由勾

14、股定理得BD=8 ， 由（ 1）得 CD=4 ， BC=BD+CD=12 【点评】 本题考查了解直角三角形以及勾股定理，要熟练掌握好边角之间的关系 课后小测 1 （ 2014?杭州模拟）如图，将宽为1cm 的纸条沿BC 折叠，使 CAB=45，则折叠后重叠 部分的面积为（） Acm 2 Bcm 2 Ccm 2 Dcm 2 【解答】 解：如图，由题可知ABC 是一个顶角为45 的等腰三角形， 即 A=45 ，AC=AB 作 CDAB ，垂足为D， 则 CD=1 sinA=， 标准文档 实用文案 =AB ， S ABC= ABCD=， 折叠后重叠部分的面积为cm2 故选 D 2 （ 2016?徐汇

15、区一模）计算：4sin45 2tan30 cos30 + 【解答】 解：原式 =42+ =21+2 =2+1 3 （ 2016?奉贤区一模）计算：sin45 +cos 230 +2sin60 【考点】 特殊角的三角函数值 【分析】 先把各特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可 【解答】 解：原式 =?+（） 2 +2 =+ =1+ 【点评】 本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关 键 4.（2015?湖北）如图，AD 是ABC 的中线， tanB=，cosC=，AC=求： （1）BC 的长； （2）sin ADC 的值 【考点】 解直

16、角三角形菁优网版权所有 标准文档 实用文案 【分析】（1）过点 A 作 AE BC 于点 E，根据 cosC=，求出 C=45 ，求出 AE=CE=1 ， 根据 tanB=，求出 BE 的长即可； （2）根据 AD 是ABC 的中线，求出BD 的长，得到DE 的长，得到答案 【解答】 解：过点 A 作 AEBC 于点 E， cosC=， C=45 ， 在 RtACE 中， CE=AC?cosC=1， AE=CE=1 ， 在 RtABE 中， tanB=，即=， BE=3AE=3 ， BC=BE+CE=4 ； （2） AD 是 ABC 的中线， CD=BC=2 ， DE=CD CE=1， AEB

17、C，DE=AE ， ADC=45 ， sinADC= 【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键， 注意锐角三角函数的概念的正确应用 5. （中考题）如图，在ABC 中， BAC=60， ABC=90，直线 l1l2l3，l1与 l2之间 距离是 1，l2与 l3之间距离是2，且 l1，l2，l3分别经过点A，B， C，则边 AC 的长为 【考点】相似三角形的判定与性质；平行线之间的距离；勾股定理菁优网版权所有 【专题】压轴题 标准文档 实用文案 【分析】 过点 B 作 EFl2，交 l1于 E， 交 l3于 F，在 RtABC 中运用三角函数可得=， 易

18、证 AEB BFC ，运用相似三角形的性质可求出FC，然后在 RtBFC 中运用勾股定理 可求出 BC，再在 Rt ABC 中运用三角函数就可求出AC 的值 【解答】 解：如图，过点B 作 EFl2，交 l1于 E，交 l3于 F，如图 BAC=60 ， ABC=90 ， tanBAC= 直线 l1l2l3， EFl1，EFl3， AEB= BFC=90 ABC=90 ， EAB=90 ABE= FBC， BFC AEB ， = EB=1， FC= 在 RtBFC 中， BC= 在 RtABC 中， sinBAC=， AC= 故答案为 解题方法 （1）求三角函数时先确定合适的直角三角形，然后再

19、根据三角函数求对应边的比。 （2） 数形结合思想。 已知锐角的一个三角函数值求其它三角函数值，一般要画出图形， 设未知数， 再根据定义求解。当已知中没有直角三角形时，一般通过做辅助线将斜三角形转 化为直角三角形，再求三角函数。 （3）用三角函数解题时，若题中没有直角三角形，则要先构造直角三角形。 （4）比较同名三角函数值的大小时，可以利用三角函数的增减性来比较。（当A为锐 角时，Atan随A的增大而增大，Asin随A的增大而增大，Acos随A的增大而减小。 ） 总结： 战术指导 标准文档 实用文案 1 （ 2015?日照）如图，在直角BAD 中，延长斜边BD 到点 C，使 DC=BD ，连接

20、AC， 若 tanB=，则 tan CAD 的值（） ABCD 【考点】 解直角三角形 【分析】 延长 AD ，过点 C 作 CEAD ，垂足为 E，由 tanB=，即=，设 AD=5x ，则 AB=3x ， 然后可证明 CDE BDA ， 然后相似三角形的对应边成比例可得：， 进而可得 CE=x，DE=，从而可求tanCAD= 【解答】 解：如图，延长AD ，过点 C 作 CEAD ，垂足为E， tanB=，即=， 设 AD=5x ，则 AB=3x ， CDE= BDA ， CED=BAD ， CDE BDA ， ， CE=x，DE=， AE=， tanCAD= 故选 D 【点评】本题考查了

21、锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质， 是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将CAD 放在直角三角形中 标准文档 实用文案 2 （2015?济宁）如图，斜面AC 的坡度（ CD 与 AD 的比）为 1：2，AC=3米，坡顶有旗 杆 BC，旗杆顶端B 点与 A 点有一条彩带相连若 AB=10 米，则旗杆 BC 的高度为 （） A5 米 B6 米C8 米D （ 3+）米 【考点】 解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【分析】 设 CD=x ，则 AD=2x ，根据勾股定理求出AC 的长，从而求出CD、AC 的长，然 后根据勾股定理求出BD 的长，即可求出BC

22、 的长 【解答】 解：设 CD=x ，则 AD=2x ， 由勾股定理可得，AC=x， AC=3米， x=3， x=3 米， CD=3 米， AD=2 3=6 米， 在 RtABD 中， BD=8 米， BC=8 3=5 米 故选 A 【点评】 本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，找到合适的直角三角形，熟练 运用勾股定理是解题的关键 3 （2014?安顺） 如图， 在 RtABC 中，C=90 ，A=30 ，E 为 AB 上一点且AE：EB=4： 1，EFAC 于 F，连接 FB，则 tanCFB 的值等于（） AB C D 【考点】 锐角三角函数的定义 【分析】 tanCFB 的值就是直

23、角BCF 中，BC 与 CF 的比值，设BC=x ，则 BC 与 CF 就可 以用 x 表示出来就可以求解 【解答】 解：根据题意：在RtABC 中， C=90 ， A=30 ， EFAC， EFBC， 标准文档 实用文案 AE：EB=4：1， =5， =， 设 AB=2x ，则 BC=x， AC=x 在 RtCFB 中有 CF=x， BC=x 则 tanCFB= 故选： C 【点评】 本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻边 比斜边；正切等于对边比邻边 4 （ 2014?深圳）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30 ，小明在坡比为5：12 的山坡上走 1300 米

24、，此时小明看山顶的角度为60 ，求山高（） A600250米B600250 米C350+350米 D 500米 【考点】 解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【专题】 几何图形问题 【分析】 构造两个直角三角形ABE 与BDF ，分别求解可得DF 与 EB 的值，再利用图形 关系，进而可求出答案 【解答】 解： BE：AE=5 ：12， =13， BE：AE：AB=5 ：12：13， AB=1300 米， AE=1200 米， BE=500 米， 设 EC=x 米， DBF=60 ， DF=x 米 又 DAC=30 ， AC=CD 即： 1200+x=（500+

25、x） ， 解得 x=600250 DF=x=600750， 标准文档 实用文案 CD=DF+CF=600250（米） 答：山高 CD 为（ 600250）米 故选： B 【点评】 本题考查俯角、 仰角的定义，要求学生能借助坡比、仰角构造直角三角形并结合图 形利用三角函数解直角三角形 5 （ 2014?绵阳）如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东 30 方向，距离灯塔80 海里的 A 处， 它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45 方向上的B 处，这时，海轮所 在的 B 处与灯塔 P 的距离为（） A40海里B40海里C 80 海里D40海里 【考点】 解直角三角形的应用-方向角问题

26、 【专题】 几何图形问题 【分析】 过点 P 作垂直于AB 的辅助线 PC，利三角函数解三角形，即可得出答案 【解答】 解：过点 P 作 PCAB 于点 C， 由题意可得出：A=30 ， B=45 ，AP=80 海里， 故 CP=AP=40（海里）， 则 PB=40（海里） 故选： A 标准文档 实用文案 【点评】 此题主要考查了方向角问题以及锐角三角函数关系等知识，得出各角度数是解题关 键 6 （2013?德阳）如图，热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋高楼顶部B 的仰角为30 ， 看这栋高楼底部C 的俯角为60 ，热气球A 与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC 的高 度为（） ABC

27、 D 【考点】 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【分析】 过 A 作 AD BC，垂足为 D，在直角 ABD 与直角 ACD 中，根据三角函数的定 义求得 BD 和 CD，再根据BC=BD+CD即可求解 【解答】 解：过 A 作 AD BC，垂足为D 在 RtABD 中， BAD=30 ，AD=120m ， BD=AD?tan30 =120=40m， 在 RtACD 中， CAD=60 ，AD=120m ， CD=AD?tan60 =120=120m， BC=BD+CD=40+120=160m 故选 D 【点评】 本题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，难度适中 对于一般三角形 的计算

28、，常用的方法是利用作高线转化为直角三角形的计算 7 （ 2013?聊城）河堤横断面如图所示，堤高BC=6 米，迎水坡AB 的坡比为1：，则 AB 的长为（） 标准文档 实用文案 A12 米B4米C5米D 6米 【考点】 解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【分析】 根据迎水坡AB 的坡比为1：，可得=1：，即可求得AC 的长度，然后根 据勾股定理求得AB 的长度 【解答】 解： RtABC 中， BC=6 米，=1：， AC=BC =6， AB=12 故选 A 【点评】 此题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形解直角三角形并且熟练运用勾 股定理是解答本题的关键 如图，已知l1l2l3，相邻

29、两条平行直线间的距离相等，若等腰直角ABC 的三个顶点分 别在这三条平行直线上，则sin 的值是（D） ABCD 【考点】 全等三角形的判定与性质；平行线之间的距离；等腰直角三角形；锐角三角函数的 定义 菁优网版权所有 【专题】 压轴题 【分析】 过点 A 作 AD l1于 D，过点 B 作 BEl1于 E，根据同角的余角相等求出 CAD= BCE，然后利用 “ 角角边 ” 证明 ACD 和 CBE 全等，根据全等三角形对应边相 等可得 CD=BE ，然后利用勾股定理列式求出AC，再根据等腰直角三角形斜边等于直角边 的倍求出 AB，然后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解 【解答】 解

30、：如图，过点A 作 AD l1于 D，过点 B 作 BE l1于 E，设 l1，l2，l3间的距离 为 1， CAD+ ACD=90 ， BCE+ ACD=90 ， CAD= BCE， 在等腰直角 ABC 中， AC=BC ， 在 ACD 和 CBE 中， 标准文档 实用文案 ， ACD CBE（AAS ） ， CD=BE=1 ， 在 RtACD 中， AC=， 在等腰直角 ABC 中， AB=AC=， sin = 故选： D 【点评】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定 义，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键 重点回顾： 1.三角函数正弦、余弦、正切 2.特殊的三角函数值 3.坡度 4.解直角三角形 注意事项 （1）三角函数的本质是直角三角形的两边之比，它是一个比值，三角函数的大小与三 角形的大小无关，只与角的大小有关。三角函数值是一个比值，比值没有单位。 （2）运用三角函数概念及其关系式时，计算易错，名称易混淆。 （3） 没有明确三角函数所描述的直角边、斜边是对直角三角形而言，或者认定RtABC 中的 C=90o的，从而错误地求出锐角的三角函数值。