随机事件地概率的知识点地总结.pdf

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1、实用标准文案 精彩文档 随机事件的概率 一、事件 1在条件 S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件 2在条件 S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件 3在条件 S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件 二、概率和频率 1用概率度量随机事件发生的可能性大小能为我们决策提供关键性依据 2在相同条件 S下重复 n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA为事件 A 出现的频数，称事件A 出现的比例 fn(A) nA n 为事件 A 出现的频率 3对于给定的随机事件A，由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着试验次数的

2、增加稳定于概率P(A)， 因此可以用频率 fn(A)来估计概率 P(A) 三、事件的关系与运算 文字表示符号表示 包含关系 如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时 称事件 B 包含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B) B? A(或 A? B) 相等关系 若 B? A，且 A? B，那么称事件 A 与事件 B 相等 AB 并事件 (和 事件) 若某事件发生当且仅当事件A 发生或事件 B 发生，则称此事件为事件A 与事件 B 的并事 件(或和事件 ) AB(或 AB) 交事件 (积 事件) 若某事件发生当且仅当事件A 发生且事件 B 发生，则称此事件为事件A 与事件 B 的交事 件(或

3、积事件 ) AB(或 AB) 互斥事件 若 AB 为不可能事件，则事件A 与事件 B 互斥 AB? 对立事件 若 AB 为不可能事件， AB 为必然事件， 那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件 实用标准文案 精彩文档 四、概率的几个基本性质 1概率的取值范围： 0P(A)1. 2必然事件的概率 P(E)1. 3不可能事件的概率P(F)0. 4概率的加法公式： 如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(AB)P(A)P(B) 5对立事件的概率： 若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则AB 为必然事件 P(AB)1，P(A)1P(B) 1.掷一枚均匀的硬币两次， 事件 M： 一次正面朝上，一次

4、反面朝上；事件 N： 至少一次正面朝上 则 下列结果正确的是 () AP(M)1 3 P(N) 1 2 BP(M) 1 2 P(N)1 2 CP(M) 1 3 P(N)3 4 DP(M)1 2 P(N) 3 4 解析：选 D由条件知事件 M 包含：(正、反)、(反、正)事件 N 包含：(正、正)、(正、反)、(反、 正) 故 P(M) 1 2，P(N) 3 4. 2(2012 )从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取3 个球，那么互斥而不对立的事件是() A至少有一个红球与都是红球 B至少有一个红球与都是白球 C至少有一个红球与至少有一个白球 D恰有一个红球与恰有二个红球 解析：选 DA

5、 中的两个事件不互斥， B 中两事件互斥且对立， C 中的两个事件不互斥， D 中的 两个互斥而不对立 实用标准文案 精彩文档 3在 n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率为 m n ，当 n 很大时， P(A)与 m n 的关系是 () AP(A) m n BP(A)m n CP(A) m n DP(A) m n 解析： 选 A事件 A 发生的概率近似等于该频率的稳定值 4 2012 年伦敦奥运会中国与韩国选手进行女子重剑决赛中国选手获胜的概率为0.41.战平的 概率为 0.27，那么中国选手不输的概率为_ 解析： 中国选手不输的概率为0.410.270.68. 答案： 0.68 5从1

6、,2,3,4,5 中随机选取一个数为a，从1,2,3 中随机选取一个数为b，则 ab 的概率为 _ 解析： (文)取出的两个数用数对表示，则数对(a，b)共有 15 种，即： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)， (2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)其中 ab 的情形有 (1,2)， (1,3)，(2,3)，共 3 种， 故所求概率 P 3 15 1 5. (理)从1,2,3,4,5 中任取一数 a，从1,2,3 中任取一数 b，共有 5315 种取法，满足 ab 的有 (1,2)，(1,

7、3)，(2,3)共 3 种，故所求概率P 3 15 1 5. 答案： 1 5 1.互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求 二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件 2从集合角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合交集为空集；事 件 A 的对立事件 B 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集 典型例题 例 1(2012 陕西高考 )假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们 的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100 个进行测试，结

8、果统计如下： 实用标准文案 精彩文档 (1)估计甲品牌产品寿命小于200 小时的概率； (2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200 小时，试估计该产品是甲品牌的概率 自主解答 (1)甲品牌产品寿命小于200 小时的频率为 520 100 1 4，用频率估计概率，所以，甲品 牌产品寿命小于 200 小时的概率为 1 4. (2)根据抽样结果，寿命大于200 小时的产品有 7570145个，其中甲品牌产品是75 个，所以 在样本中，寿命大于 200 小时的产品是甲品牌的频率为 75 145 15 29，用频率估计概率， 所以已使用了 200 小时的该产品是甲品牌的概率为 15 29. 1概率是

9、一个常数，它是频率的科学抽象，将事件发生的频率近似地作为它的概率是求一事件 概率的基本方法 2概率公式 P m n (n 次试验中，事件A 出现 m次) 1(2012 泰安月考 )在一次摸彩票中奖活动中，一等奖奖金为10 000元，某人摸中一等奖的概率 是 0.001，这是指 () A这个人抽 1 000次，必有 1 次中一等奖 B这人个每抽一次，就得奖金10 0000.00110 元 C这个人抽一次，抽中一等奖的可能性是0.001 D以上说法都不正确 解析： 选 C摸一次彩票相当于做一次试验，某人摸中一等奖的概率是0.001，只能说明这个人 抽一次，抽中一等奖的可能性是0.001，而不能说这

10、个人抽1 000 次，必有 1 次中一等奖，也不能说 这个人每抽一次，就得奖金10 0000.00110 元，因此选 C. 实用标准文案 精彩文档 互斥事件的概 率 例 2(2012 湖南高考 )某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集 了在该超市购物的100 位顾客的相关数据，如下表所示： 一次购物量1 至 4 件5 至 8 件9 至 12 件13 至 16件17 件及以上 顾客数 (人)x 3025y 10 结算时间 (分钟/人) 11.522.53 已知这 100 位顾客中一次购物量超过8 件的顾客占 55%. (1)确定 x，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间

11、的平均值； (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2 分钟的概率 (将频率视为概率 ) 自主解答 (1)由已知得 25y1055，x3045，所以 x15，y20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可 视为总体的一个容量为100 的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估 计，其估计值为 1151.5302252.520310 100 1.9(分钟) (2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2 分钟”， A1，A2，A3分别表示事件“该 顾客一次购物的结算时间为1 分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为1

12、.5 分钟”，“该顾客一次购 物的结算时间为 2 分钟”将频率视为概率得P(A1) 15 100 3 20，P(A2) 30 100 3 10，P(A3) 25 100 1 4. 因为 AA1A2A3， 且 A1， A2， A3是互斥事件，所以 P(A)P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3) 3 20 3 10 1 4 7 10. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2 分钟的概率为 7 10. 2(2012 郑州模拟 )抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现 2 点，已知 P(A) 1 2，P(B) 1 6，则出现奇数点或 2 点的概率为 _ 解析： 因

13、为事件 A 与事件 B 是互斥事件，所以P(AB)P(A)P(B)1 2 1 6 2 3. 实用标准文案 精彩文档 答案： 2 3 对立事件的概 率 例 3一盒中装有大小和质地均相同的12个小球，其中 5 个红球， 4 个黑球， 2 个白球， 1 个 绿球从中随机取出1 个球，求： (1)取出的小球是红球或黑球的概率； (2)取出的小球是红球或黑球或白球的概率 自主解答 记事件 A任取 1 球为红球 ，事件 B任取 1 球为黑球 ，事件 C 任取 1 球为 白球，事件 D任取 1 球为绿球 ，P(A) 5 12，P(B) 4 12 1 3，P(C) 2 12 1 6，P(D) 1 12. (1

14、)取出的小球是红球或黑球的概率为P1P(AB)P(A)P(B) 5 12 1 3 9 12 3 4. (2)法一：取出的小球是红球或黑球或白球的概率为P2P(ABC)P(A)P(B)P(C) 5 12 1 3 1 6 11 12. 法二：“取出的小球是红球或黑球或白球”与“取出的小球为绿球”互为对立事件，故所求概率 为 P21P(D)1 1 12 11 12. 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法： (1)直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概 率加法公式计算； (2)间接求解法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)1P( A )求解，即正难则

15、反的 数学思想，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求解法就显得较简便 3(2012 长春模拟 )黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示： 血型A B AB O 该血型的人所占比 /% 2829835 已知同种血型的人可以输血， O 型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB 型血 的人，其他不同血型的人不能互相输血小明是B 型血，若小明因病需要输血，问： 实用标准文案 精彩文档 (1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？ (2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？ 解：(1)对任一人，其血型为A，B，AB，O 型血的事件分别记为A，B，C，D，它们是 互斥的由已知，有

16、P(A)0.28，P(B)0.29，P(C)0.08，P(D)0.35. 因为 B，O 型血可以输给 B 型血的人，故“可以输给 B 型血的人”为事件BD.根据互斥事 件的加法公式，有P(BD)P(B)P(D)0.290.350.64. (2)法一：由于 A，AB 型血不能输给 B 型血的人，故“不能输给 B 型血的人”为事件AC， 且 P(AC)P(A)P(C)0.280.080.36. 法二：因为事件“其血可以输给B 型血的人”与事件“其血不能输给B 型血的人”是对立事件， 故由对立事件的概率公式，有P( BD )1P(BD)10.640.36. 答：任找一人，其血可以输给小明的概率为0.

17、64，其血不能输给小明的概率为0.36. 练习 1从 1,2,3， 9 这 9 个数中任取两数，其中： 恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇 数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数 上述事件中，是对立事件的是() AB CD 解析： 选 C中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从19 中任取两数共 有三个事件：“两个奇数”、“一奇一偶”、“两个偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是 偶数”是对立事件 2(2013 温州模拟 )甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年 卡送给同一人的概率是 () A

18、.1 2 B.1 3 C.1 4 D.1 5 解析： 选 A送卡方法有： (甲送给丙、乙送给丁 )、(甲送给丁，乙送给丙 )、(甲、乙都送给丙 )、 (甲、乙都送给丁 )共四种情况，其中甲、乙将贺年片送给同一人的情况有两种，所以概率为 1 2. 实用标准文案 精彩文档 3从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A 抽到一等品 ，事件 B 抽到二等品 ，事件 C 抽到三等品 ，且已知 P(A)0.65，P(B)0.2，P(C)0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为 () A0.7 B0.65 C0.35 D0.3 解析：选 C事件“抽到的不是一等品”与事件A 是对立事件，由于 P(A)0.65，所

19、以由对立事 件的概率公式得“抽到的不是一等品”的概率为P1P(A)10.650.35. 4(2012 大同一模 )在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数 字外完全相同现从中随机取出2 个小球，则取出的小球标注的数字之和为3 或 6 的概率是 () A. 3 10 B. 1 5 C. 1 10 D. 1 12 解析：选 A从五个小球中任取两个共有10种，而 123,246,156，取出的小球标注 的数字之和为 3 或 6 的只有 3 种情况，故取出的小球标注的数字之和为3 或 6 的概率为 3 10. 5口袋中有 100 个大小相同的红球、白球、黑球，其中红

20、球45 个，从口袋中摸出一个球，摸出 白球的概率为 0.23，则摸出黑球的概率为 () A0.45 B0.67 C0.64 D0.32 解析： 选 D摸出红球的概率为0.45，摸出白球的概率为0.23，故摸出黑球的概率P10.45 0.230.32. 6(2012 安徽六校联考 )连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量 a(m，n)与向量 b (1,0)的夹角记为 ，则 0， 4 的概率为 () A. 5 18 B. 5 12 C.1 2 D. 7 12 解析： 选 Bcosa，b m m 2n2， 0， 4 ， 2 2 m m 2n21，nm， 又满足 nm的骰子的点数有 (2,1)，

21、(3,1)，(3,2)， (6,3)，(6,4)，(6,5)，共 15 个 实用标准文案 精彩文档 故所求概率为 P15 36 5 12. 7(2012 北京西城二模 )已知向量 a(x，1)，b(3，y)，其中 x 随机选自集合 1,1,3，y 随 机选自集合 1,3 ，那么 ab的概率是 _ 解析： 从集合 1,1,3中取一个数为 x 有 3 种取法，同理 y 有 2 种取法，满足 ab 的有一种取 法(x1，y3)，故所求的概率 P 1 32 1 6. 答案： 1 6 8 (2013 宁波模拟 )已知盒子中有散落的黑白棋子若干粒， 已知从中取出 2 粒都是黑子的概率是 1 7， 从中取出

22、 2 粒都是白子的概率是 12 35，现从中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率是 _ 解析： 从中取出 2 粒棋子，“都是黑棋子”记为事件A，“都是白棋子”记为事件B，则 A、B 为互斥事件所求概率为P(AB)P(A)P(B) 1 7 12 35 17 35. 答案：17 35 9.某学校成立了数学、英语、音乐3 个课外兴趣小组， 3个小组分别有39、 32、33 个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示现随机选 取一名成员，他至少参加2 个小组的概率是 _，他至多参加 2 个小组的概 率为_ 解析： 随机选一名成员，恰好参加2 个组的概率 P(A) 11 60 7 60 10 6

23、0 7 15，恰好参加 3 个组的概 率 P(B) 8 60 2 15，则他至少参加 2 个组的概率为 P(A)P(B) 7 15 2 15 3 5，至多参加 2 个组的概率为 1P(B)1 2 15 13 15. 答案：3 5 13 15 10某战士射击一次，问： (1)若中靶的概率为 0.95，则不中靶的概率为多少？ (2)若命中 10 环的概率是 0.27，命中 9 环的概率为 0.21，命中 8 环的概率为 0.24，则至少命中 8 环的概率为多少？不够9 环的概率为多少？ 解：(1)记中靶为事件 A，不中靶为事件A ，根据对立事件的概率性质，有 实用标准文案 精彩文档 P( A )1

24、P(A)10.950.05. 故不中靶的概率为0.05. (2)记命中 10 环为事件 B，命中 9 环为事件 C，命中 8 环为事件 D，至少 8 环为事件 E，不够 9 环为事件 F. 由 B、C、D 互斥， EBCD，F BC ， 根据概率的基本性质，有 P(E)P(BCD)P(B)P(C)P(D) 0.270.210.240.72； P(F)P( BC )1P(BC)1(0.270.21)0.52. 所以至少 8 环的概率为 0.72，不够 9 环的概率为 0.52. 11(2012 新课标全国卷 )某花店每天以每枝5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售如果

25、当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理 (1)若花店一天购进 17 枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元 )关于当天需求量 n(单位：枝， nN) 的函数解析式； (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量 (单位：枝 )，整理得下表： 日需求量 n 14151617181920 频数10201616151310 假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花，求这 100 天的日利润 (单位：元 )的平均数； 若花店一天购进17 枝玫瑰花，以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求 当天的利润不少于75 元的概率 解：(1)当日需求量 n17 时，利润 y85. 当日需求量

26、 n1”， 又|ab|2 包含 2 个基本事件，所以 P(B) 2 9，所以 P(A)1 2 9 7 9. 22011年深圳大运会的一组志愿者全部通晓中文，并且每个志愿者还都通晓英语、日语和韩语 中的一种 (但无人通晓两种外语 )已知从中任抽一人，其通晓中文和英语的概率为 1 2，通晓中文和日 语的概率为 3 10.若通晓中文和韩语的人数不超过 3 人则这组志愿者的人数为_ 解析： 设通晓中文和英语的人数为x，通晓中文和日语的人数为y，通晓中文和韩语的人数为z， 且 x，y，zN *，则 x xyz 1 2， y xyz 3 10， 0z3， 解得 x5， y3， z2， 所以这组志愿者的人数

27、为53210. 3.(2012 琼海模拟 )某观赏鱼池塘中养殖大量的红鲫鱼与金鱼，为了估计池中 两种鱼数量情况，养殖人员从池中捕出红鲫鱼和金鱼各1 000条，并给每条鱼作 上不影响其存活的记号，然后放回池内，经过一段时间后，再从池中随机捕出1 000条鱼，分别记录 下其中有记号的鱼数目，再放回池中，这样的记录作了10 次，将记录数据制成如图所示的茎叶图 (1)根据茎叶图分别计算有记号的两种鱼的平均数，并估计池塘中两种鱼的数量 (2)随机从池塘中逐条有放回地捕出3 条鱼，求恰好是 1 条金鱼 2 条红鲫鱼的概率 解：(1)由茎叶图可求得有记号的红鲫鱼数目的平均数为20(条)；有记号的金鱼数目的平

28、均数为 20(条) 由于有记号的两种鱼数目的平均数均为20(条)， 故可认为池中两种鱼的数目相同， 设池中两种鱼的总数目为x 条，则有 40 1 000 2 000 x ， 实用标准文案 精彩文档 解得 x50 000， 因此可估计池中的红鲫鱼与金鱼的数量均为25 000条 (2)由于是用随机逐条有放回地捕出3 条鱼，每一条鱼被捕到的概率相同，用x 表示捕到的是红 鲫鱼，y 表示捕到的是金鱼，基本事件总数有8 种(x，x，x)，(x，x，y)，(x，y，x)，(y，x，x)，(x，y， y)，(y，x，y)，(y，y，x)，(y，y，y)，恰好是 1 条金鱼， 2 条红鲫鱼的基本事件有3 个，

29、 故所求概率为 P3 8. 补充练习： 1掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数a，设事件 A“a 为 3”，B“a 为 4”，C“a 为奇数”，则下列结论正确的是() AA 与 B 为互斥事件BA 与 B 为对立事件 CA 与 C 为对立事件DA 与 C 为互斥事件 解析：选 A依题意，事件 A 与 B 不可能同时发生，故A 与 B 是互斥事件，但 A 与 B 不是对立 事件，显然， A 与 C 既不是对立事件也不是互斥事件 2(2012 泰州模拟 )从数字 1,2,3,4,5 中随机抽取 3 个数字 (允许重复 )组成一个三位数，其各位数 字之和等于 9 的概率为 () A. 13 125

30、B. 16 125 C. 18 125 D. 19 125 解析： 选 D基本事件总数为555125，而各位数字之和等于9 分三类： (1)三个数字都不 相同，可取 1,3,5 或 2,3,4 共组成 12 个三位数； (2)三个数字有两个相同，可取2,2,5 或 4,4,1 共组成 6 个三位数； (3)三个数字都相同，有333，即 1个三位数 所求概率为 1261 125 19 125. 3由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下： 排队人数012345 人以上 概率 0.10.160.30.30.10.04 求：(1)至多 2 人排队的概率； (2)至少 2 人排队的概率 解：记“没有人排队”为事件A，“1 人排队”为事件B，“2 人排队”为事件C，A、B、C 彼 实用标准文案 精彩文档 此互斥 (1)记“至多 2 人排队”为事件E，则 P(E)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.3 0.56. (2)记“至少 2 人排队”为事件D.“少于 2 人排队”为事件 AB，那么事件 D 与事件 AB 是对 立事件，则 P(D)1P(AB)1P(A)P(B)1(0.10.16)0.74.