高二数学空间向量与立体几何测试的题目.pdf

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1、实用标准文案 精彩文档 高二数学空间向量与立体几何测试题 第卷（选择题，共50 分） 一、选择题： （本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1在下列命题中：若a、b 共线，则 a、b 所在的直线平行；若a、b 所在的直线是异面 直线，则a、b一定不共面；若 a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面； 已知三向量 a、b、c，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为pxaybzc其中正 确命题的个数为（） A0 B.1 C. 2 D. 3 2在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，向量 1 D A、 1 D C、

2、11C A是（） A有相同起点的向量B等长向量 C共面向量D不共面向量 3若向量且向量和垂直向量Rbanbam,(,、则)0（） Anm/Bnm Cnmnm也不垂直于不平行于 ,D 以上三种情况都可能 4已知 a（2，1，3） ，b（ 1，4，2） ，c（7，5，） ，若 a、b、c 三向量共面， 则实数等于 （） A. 62 7 B. 63 7 C. 64 7 D. 65 7 5直三棱柱 ABC A1B1C1中，若CAa，CBb， 1 CCc， 则 1 A B（） A.a bc B. abc C. abc D. abc 6已知a+b+c0，|a| 2，|b| 3，|c| 19，则向量a与b之

3、间的夹角ba,为（） A30B45C 60D以上都不对 7若a、b均为非零向量， 则|a bab是a与b共线的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 8已知 ABC的三个顶点为 A（3，3，2） ，B（4，3，7） ，C（0，5，1） ，则 BC边上的 中线长为（） A2 B3 C 4 D5 9已知的数量积等于与则bakjibkjia35,2,23（） A15 B5 C 3 D1 实用标准文案 精彩文档 E M G D C BA 10已知(1,2,3)OA，(2,1,2)OB，(1 ,1,2)OP，点 Q在直线 OP上运动，则当QA QB 取得

4、最小值时，点Q的坐标为（） A 1 3 1 (, ) 2 4 3 B 1 2 3 (, ) 2 3 4 C 4 4 8 (,) 3 3 3 D 4 4 7 (,) 3 3 3 第卷（非选择题，共100 分） 二、填空题（本大题共6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 11 若 A(m 1， n1,3) ， B(2m , n, m 2n) ， C(m 3, n3,9) 三点共线，则 m +n= 1212、若向量1, ,2 ,2,1,2ab，,a b夹角的余弦值为 8 9 ， 则等于_. 13在空间四边形 ABCD 中， AC和 BD为对角线， G为ABC的重心， E是 BD上一点， BE 3E

5、D ， 以AB，AC，AD为基底，则GE 14 已 知 a,b,c是 空 间两 两 垂 直 且 长度 相 等 的 基 底 ， m=a+b,n=b-c, 则 m,n 的 夹 角 为。 15. 在三角形 ABC 中， A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1),若向量 n与平面 ABC 垂直， 且| m |=21, 则 n 的坐标为。 16. 已 知 向 量 a=( +1,0,2) ，b=(6,2-1,2),若 a|b, 则与的 值 分 别 是 . 三、解答题 （本大题共 5小题, 满分70分） 17(12 分) 已知空间四边形ABCD 的对边 AB与 CD ，AD与 BC都互相

6、垂直， 用向量证明： AC与 BD也互相垂直 B A D C 实用标准文案 精彩文档 18 （14 分） ）如图，在棱长为2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中， E是 DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系 （1）写出 A、B1、E、D1的坐标； （2）求 AB1与 D1E所成的角的余弦值 19 （14 分）如图，已知矩形 ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD ，E、F分别是AB、 PC的中点 （1）求证： EF 平面 PAD ； （2）求证： EF CD ； （3）若PDA 45 ，求 EF与平面 ABCD 所成的角的大小 实用标准文案 精彩文档 20 （15 分）在正方体 11

7、11 DCBAABCD中，如图、分别是 1 BB ，的中点， （1）求证：FD1平面 ADE ； 2）cos 1 ,CBEF z y x F E D1 C1 B1 A1 D C B A 21 （15 分）如图，在四棱锥ABCDP中，底面 ABCD 是正方形，侧棱PD底面 ABCD ， DCPD，E是 PC的中点，作PBEF交 PB于点 F. （1）证明PA平面EDB； （2）证明PB平面 EFD ； （3）求二面角D-PB-C的大小 实用标准文案 精彩文档 x y z A B C D P F E 空间向量与立体几何 (1) 参考答案 一、选择题（本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分

8、） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案A C B D D C A B A C 二、填空题（本大题共4 小题，每小题 6 分，共 24 分） 110 122 13ADACAB 4 3 3 1 12 1 14 60 15。 （2，-4，-1 ） ， （-2 ，4，1） 16。 1 1 5 2 ，. 三、解答题（本大题共5 题，共 76 分） 17证明：0,CDABCDAB . 又CACBAB， 0)(CDCACB 即CDCACDCB. 0,BCADBCAD. 又CACDAD，0)(BCCACD即BCCABCCD. 由+得：0BCCACDCA即0BDCA.BDAC. 18 解：(1)

9、 A(2, 2, 0)，B1(2, 0, 2)，E(0, 1, 0)，D1(0, 2, 2) (2) AB1 (0, - 2, 2) ， ED1 (0, 1, 2) | AB1 | 22 ，| ED1 | 5 ， AB1 ED1 0242, cos AB1 ，ED1 AB1 ED1 | AB1 | | ED1 | 2 225 10 10 AB1与 ED1所 成的角的余弦值为 10 10 19证：如图，建立空间直角坐标系Axyz，设 AB 2a， BC2b，PA2c，则：A(0, 0, 0) ，B(2a, 0, 0)，C(2a, 2b, 0) ， D(0, 2 b, 0) ，P(0, 0, 2

10、c) E 为 AB 的中点，F 为 PC 的中点 E( a, 0, 0)，F ( a, b, c) (1) EF(0, b, c)， AP(0, 0, 2c)， AD(0, 2 b, 0) EF1 2 ( APAD) EF与AP、AD共面 又 E平面 PAD EF 平面 PAD (2) CD( - 2a, 0, 0) CD EF( - 2a, 0, 0) (0, b, c) 0 CD EF (3) 若PDA 45 ，则有 2b2c，即 bc， EF (0, b, b) ， AP (0, 0, 2 b) cos EF，AP 2b 2 2b 2b 2 2 EF， AP 45 实用标准文案 精彩文档

11、 AP 平面 AC ， AP 是平面 AC的法向量 EF与平面 AC所成的角为： 90 EF，AP 45 20解：建立如图所示的直角坐标系， （1）不妨设正方体的棱长为1， 则 D （0，0，0） ，A（1，0，0） ， 1 D （0，0，1） ， E（1，1， 2 1 ） ，F（0， 2 1 ，0） ， 则FD1（0， 2 1 ，1） ，AD（1，0，0） ， AE （0，1， 2 1 ） ，则DAFD10， AEFD10，DAFD1，AEFD1. FD1平面 ADE. （） 1 B （1，1，1） ，C（0，1，0） ，故 1 CB （1，0，1） ， EF （ 1， 2 1 ， 2 1

12、） ， 1 CBEF10 2 1 2 3 ， 2 3 4 1 4 1 1EF ，2 1 CB， 则 cos 2 3 2 2 3 2 3 , 1 1 1 CBEF CBEF CBEF . 150, 1 CBEF. 21解：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点 . 设.DCa (1) 证明：连结 AC ，AC交 BD于 G.连结 EG. 依题意得( ,0,0),(0,0,),(0,) 2 2 a a A aPaE 底面 ABCD 是正方形，G是此正方形的中心， 故点 G的坐标为(,0) 2 2 a a 且 ( ,0,),(,0,). 22 aa PAaaEG 2PAEG. 这表明EGPA. 而

13、EG平面 EDB且PA平面 EDB ，PA平面 EDB 。 (2) 证明：依题意得( , ,0),( , ,)B a aPBa aa 。又(0,), 2 2 a a DE故0 22 0 22 aa DEPB PBDE, 由已知EFPB，且,EFDEE所以PB平面 EFD. (3) 解：设点 F的坐标为 000 (,),xyzPFPB 则 000 (,)( , ,)xy zaa aa 从而 000 ,(1) .xa ya za 所以 000 11 (,)(,() ,() ). 2222 aa FExyzaaa 由条件EFPB知，0PBPE即 22211 ()()0, 22 aaa 解得 1 3

14、。 点 F 的坐标为 2 (,), 3 33 aaa 且 2 (,),(,). 3 66333 a aaaaa FEFD 0 3 2 33 222 aaa FDPB, 即PBFD，故EFD是二面角CPBD的平面角 . 69189 2222 aaaa FDPE 且a aaa FDa aaa PE 3 6 9 4 99 , 6 6 36369 222222 z y x F E D1 C1 B1 A1 D C B A G A B C D P y x z E F 实用标准文案 精彩文档 2 .1 6 cos. 2|66 . 63 a FE FD EFD FEFD aa 3 EFD , 所以，二面角 C

15、PC D的大小为. 3 江苏省海安高级中学期末复习测试 空间向量与立体几何 (2) 姓名班级 第卷（选择题，共50 分） 一、选择题： （本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1已知 A、B、C三点不共线，对平面ABC 外的任一点 O ，下列条件中能确定点M与点 A、B、 C一定共面的是（） AOCOBOAOMBOCOBOAOM2 C OCOBOAOM 3 1 2 1 D OCOBOAOM 3 1 3 1 3 1 2 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 点(,)Pxyz， 那 么 下 列 说 法 正 确 的 是 （

16、） A点p关于 x轴对称的坐标是 1 ,pxy z B点p关于yoz平面对称的坐标是 2 ,pxyz C点p关于y轴对称点的坐标是 3 ,pxy z D点p关于原点对称点的坐标是 4 ,pxyz 3已知向量 a（1，1，0） ，b（ 1，0，2） ，且kab 与 2 ab 互相垂直，则k的值是 （） A.1 B. 5 1 C. 5 3 D. 5 7 实用标准文案 精彩文档 4已知空间四边形ABCD ，M 、G分别是 BC 、CD的中点，连结 AM 、AG 、MG ，则AB+ 1 () 2 BDBC 等于（） A.AG B. CG C. BC D. 2 1 BC 5在棱长为 1 的正方体 ABC

17、D A1B1C1D1中，M和 N分别为 A1B1和 BB1的中点，那么直线AM与 CN所成角的余弦值是 （） A 5 2 B 5 2 C 5 3 D 10 10 6已知向量(0,2,1)a，( 1,1, 2)b，则a与b的夹角为 （） A. 0 B. 45 C. 90 D. 180 7已知点1,3, 4p，且该点在三个坐标平面yoz平面， zox平面，xoy平 面上的射影的坐标依次为 111 ,x y z， 222 ,xyz和 333 ,xy z，则 （） A 222 123 0xyz B. 222 231 0xyz C. 222 312 0xyz D.以上结论都不对 8、 已知 点 A(4,

18、1,3),B(2,-5,1),C为 线段 AB 上 一点 ，且3| |ACAB, 则 点 的 坐 标 是 ( ) A. 71 5 (,) 22 2 B. 3 (, 3,2) 8 C. 107 (, 1,) 33 D. 57 3 (,) 22 2 9、设 A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足0,0, 0ADACADABACAB 则BCD是 （）A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定 10、已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是 AB 、AD的中点， GC 平面 ABCD ，且 GC 2， 则点B到平面EFG的距离为 （） A. 10 10 B. 11 112

19、C. 5 3 D.1 第卷（非选择题，共100 分） 二、填空题（本大题共6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 实用标准文案 精彩文档 F E D1 C 1 B1 A1 D C B A z y x S BC D A 11、若(1 ,1,0),( 1,0,2),abab则同方向的单位向量是 _. 12已知 S是ABC所在平面外一点， D是 SC的中点， 若BDxAByACzAS，则 xyz 13、已知2,4,2, ,26axbyaab，若且，则xy的值为。 14、 已知向量 a 和 c 不共线， 向量 b0， 且()()ab cbc a， dac， 则,d b 15 已 知 三 角 形 的

20、顶 点 是(1, 1,1)A，(2,1, 1)B，( 1, 1, 2)C， 这 个 三 角 形 的 面 积 是。 16 （如图）一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的 三条棱长都等于 1，且它们彼此的夹角都是60 ，那么以这个顶点 为端点的晶体的对角线的长为。 三、解答题 （用向量方法求解下列各题, 共 70 分） 17、在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，E、F 分别为 DD1和 BB1的中点 （1）证明： AEC1F是平行四边形； （2）求 AE和 AF之间的夹角的余弦； （3）求四边形 AEC1F 的面积 18如图，四边形 ABCD 是直角梯形， ABC

21、BAD 90， SA 平面 ABCD ， SAAB BC 1，AD 1 2 实用标准文案 精彩文档 （1）求 SC与平面 ASD所成的角余弦； （2）求平面 SAB和平面 SCD 所成角的余弦 19、如图，在底面是菱形的四棱锥PABC 中， ABC=60 0，PA=AC= a，PB=PD= a 2 , 点 E 在 PD上，且 PE:ED=2:1. （I ）证明 PA 平面 ABCD ； （II ）求以 AC为棱， EAC与 DAC 为面的二面角的大小； （）在棱 PC上是否存在一点F，使 BF/ 平面 AEC ？证明你的结论 . D P B A C E 实用标准文案 精彩文档 E z yx C

22、1 B1 A1 D G C BA 20如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB 90侧棱 AA12， D 、E分别是 CC1与 A1B的中点，点 E在平面 ABD上的射影是 ABD 的重心 G （1）求 A1B与平面 ABD所成角的大小 （2）求 A1到平面 ABD的距离 21.P 是平面 ABCD 外的点，四边形 ABCD 是平行四边形，2, 1, 4 ,AB4, 2,0 ,AD 1,2,1AP. （1）求证： PA平面 ABCD. （2）对于向量 111222 (,),(,)ax y zbxyz，定义一种 运算： ()abc 123231312132213321

23、 x y zx y zx y zx y zx y zx y z ， 试计算 ()ABADAP的绝对值 ; 说明 其与几何体P-ABCD的体积关系，并由此猜想向量这种运算()ABADAP的绝对值的几何意 义（几何体 P-ABCD 叫四棱锥，锥体体积公式：V=1 3 底面积高）. 实用标准文案 精彩文档 空间向量与立体几何 (2) 参考答案 一、选择题（本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案D D D A B C A C C B 二、填空题（本大题共4 小题，每小题 6 分，共 24 分） 11 （0， 1 5 ， 2 5 ） 12

24、0 13 1,-3 1490 15。 1101 | | sin 22 ABC SABACA 16。6 1 AC 三、解答题（本大题共6 题，共 76 分） 17 （1）略（2） 1 5 （3） 26 2 sa 18 （1） 6 3 （2） 6 3 19 （）证明因为底面 ABCD 是菱形， ABC=60 ， 所以 AB=AD=AC= a， 在PAB中， 由 PA 2+AB2 =2a 2=PB2 知 PA AB. 同理， PA AD ，所以 PA 平面 ABCD. （）解作 EG/PA 交 AD于 G ， 由 PA 平面 ABCD. 知 EG 平面 ABCD. 作 GH AC于 H，连结 EH

25、， 则 EH AC ，EHG 即为二面角的平面角 . 又 PE : ED=2 : 1，所以. 3 3 60sin, 3 2 , 3 1 aAGGHaAGaEG 从而, 3 3 tan GH EG .30 （）解法一以 A为坐标原点，直线AD 、AP分别为 y 轴、z 轴，过 A点垂直平面 PAD 的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系如图. 由题设条件，相关各点的坐标分别为 ).0 , 2 1 , 2 3 (),0, 2 1 , 2 3 (),0 ,0 ,0(aaCaaBA ). 3 1 , 3 2 ,0(), 0,0(),0,0(aaEaPaD 所以).0, 2 1 , 2 3 (), 3 1

26、 , 3 2 ,0(aaACaaAE )., 2 1 , 2 3 (),0,0(aaaPCaAP )., 2 1 , 2 3 (aaaBP 设点 F是棱 PC上的点，, 10), 2 1 , 2 3 (其中aaaPCPF则 ), 2 1 , 2 3 (), 2 1 , 2 3 (aaaaaaPFBPBF 实用标准文案 精彩文档 ).1(),1 ( 2 1 ),1( 2 3 (aaa令AEACBF 21 得 . 3 1 1 , 3 4 1 ,1 . 3 1 )1( , 3 2 2 1 )1 ( 2 1 , 2 3 ) 1( 2 3 2 21 1 2 21 1 即 aa aaa aa 解得. 2

27、3 , 2 1 , 2 1 21 即 2 1 时，. 2 3 2 1 AEACBF 亦即， F 是 PC的中点时， BF 、 AC 、 AE 共面. 又 BF平面 AEC ，所以当 F 是棱 PC的中点时， BF/ 平面 AEC. 20(14 分) 解： （1）连结 BG ，则 BG是 BE在面 ABD的射影，即 A1BG是 A1B与平面 ABD所 成的角 . 如图所示建立坐标系，坐标原点为O ，设 CA=2 a， 则 A（2a，0，0） ，B（0，2a，0） ，D （0，0，1） A1（2a，0，2） E（a，a，1） G （ 3 1 , 3 2 , 3 2aa ）. ) 1 ,2,0(),

28、 3 2 , 3 , 3 (aBD aa GE， 0 3 2 3 22 aBDGE，解得 a=1. ), 3 1 , 3 4 , 3 2 (),2,2,2( 1 BGBA 3 7 21 3 1 32 3/14 | cos 1 1 1 BGBA BGBA BGA . A1B与平面 ABD 所成角是 3 7 arccos. （2）由（1）有 A（2，0，0） ，A1（2，0，2） ，E（1，1，1） ，D（0，0，1） 0)0, 1, 1()2,0 ,0(001, 1() 1 , 1 , 1( 1 EDAAEDAE，）， ED平面 AA1E，又 ED 平面 AED. 平面 AED 平面 AA1E，

29、又面 AED 面 AA1E=AE ， 点 A在平面 AED 的射影 K在 AE上. 设AEAK，则)2,( 11 AKAAKA 由0 1 AEKA，即02，解得 3 2 . ) 3 4 , 3 2 , 3 2 ( 1K A, 即 6 3 2 9 16 9 4 9 4 1K A 即点 A1到平面 AED的距离为6 3 2 . 21. 解： （1）(2, 1, 4) ( 1,2, 1)2( 2)40AP AB APABAPAB即 实用标准文案 精彩文档 ( 1,2,1) (4,2,0)4400AP AD APADPAAD ADABCD 即 面 （2） 3 48, 105 ABADAPAB AD又cos V 1 sin16 3 ABADAB ADAP 猜测：ABADAP 在几何上可表示以AB,AD,AP 为棱的平等六面体的体积（或以 AB,AD,AP为棱的四棱柱的体积）