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1、实用标准文案 文档 三角函数解三角形题型归类 一知识归纳： （一）任意角、弧度制及任意角的三角函数 1角的概念 (1) 任意角：定义：角可以看成平面内绕着端点从一个位置旋转到另 一个位置所成的；分类：角按旋转方向分为、和 (2) 所 有 与 角 终 边 相 同 的 角 ， 连 同 角 在 内 ， 构 成 的 角 的 集 合 是 S (3) 象限角：使角的顶点与重合，角的始边与，那么，角 的终边在第几象限， 就说这个角是第几象限角； 如果角的终边在坐标轴上， 就认 为这个角不属于任何一个象限 2弧度制 (1) 定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，用符号rad 表 示，读作弧度
2、正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个负数，零角 的弧度数是 . (2) 角度制和弧度制的互化：180 rad,1 180 rad ，1 rad 180 . (3) 扇形的弧长公式： l | | r，扇形的面积公式： S1 2lr 1 2| | r 2. 3任意角的三角函数 （1）定义：设是一个任意角， 它的终边与单位圆交于点P( x，y) ，那么 sin ，cos ，tan （2）任意角 的终边与单位圆交于点P( x，y) 时，sin y，cos x，tan y x(x0) 4. 三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦 （二）公式概念 1三角函数诱导公式 k 2 ( k
3、Z)的本质 奇变偶不变 ( 对 k 而言，指 k 取奇数或偶数 )，符号看象限 ( 看原函数，同时把 看成是锐角 ) 2两角和与差的三角函数公式 实用标准文案 文档 (1)sin( ) sin cos cos sin ； (2)cos( ) cos cos ? sin sin ； (3)tan( ) tan tan 1? tan tan . 3二倍角公式 (1)sin 2 2sin cos ； (2)cos 2 cos 2sin22cos2112sin2，cos21cos 2 2 ， sin 21cos 2 ；(3)tan 2 2tan 1tan 2. （三）正、余弦定理及其变形： 1正弦定理
4、及其变形 在ABC 中， a sin A b sin B c sin C 2R( 其中 R是外接圆的半径 )； a2Rsin A，b2R sin B，c2R sin C； sin A a 2R ，sin B b 2R ，sin C c 2R . 2余弦定理及其变形 a 2 b 2 c 22bccos A； cos A b 2 c 2 a 2 2bc . b 2 ； cos B； c 2 . cos C . 3. 三角形面积公式 : SABC1 2ah 1 2absin C 1 2acsin B_ abc 4R 1 2(abc)r( R 是三角形外接圆半径， r 是三角形内切圆的半径 ) ，并可
5、由此计算R ，r. 实用标准文案 文档 2整体法：求 yAsin( x)( 0)的单调区间、周期、值域、对称轴 ( 中心)时，将x看作一个整体，利用正弦曲线的性质解决 3换元法：在求三角函数的值域时， 有时将 sin x( 或 cos x)看作一个整体， 换元后转化为二次函数来解决 4公式法： yAsin( x) 和 yAcos( x) 的最小正周期为 2 | | ， yAtan( x) 的最小正周期为 | | . (2016 年全国卷 1) 4. ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知5a，2c， 2 cos 3 A， 则b （ A）2（B ）3（C）2（D）3 6. 将函数2si
6、n(2) 6 yx的图象向右平移 1 4 个周期后，所得图象对应的函数为 （A）2sin(2) 4 yx （B ）2sin(2) 3 yx （C）2sin(2) 4 yx （D）2sin(2) 3 yx 14. 已知是第四象限角，且 3 sin() 45 ，则tan() 4 (2015 年全国卷 1) 8.函数( )cos()f xx的部分图像如图所示，则( )f x的单调递减区间为（） （A） 13 (,), 44 kkkZ 实用标准文案 文档 （B） 13 (2,2), 44 kkkZ （C） 13 (,), 44 kkkZ （D） 13 (2,2), 44 kkkZ 17. （ 本 小
7、题 满 分12分 ） 已 知, ,a b c分 别 是ABC内 角,A B C的 对 边 ， 2 sin2sinsinBAC. （I ）若ab，求cos;B （II ）若90B，且2,a求ABC的面积 . (2014 年全国卷 1) 2. 若0tan，则 A.0sin B. 0cos C. 02sin D. 02cos 7. 在函数|2|cosxy，|cos|xy，) 6 2cos( xy, ) 4 2tan( xy中，最 小正周期为的所有函数为 A. B. C. D. 16. 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为 测量观测点 . 从A点测得M点的仰角60MAN，C 点的仰角45C
8、AB以及75MAC；从C点测学科 网 得60MCA. 已 知 山 高100BCm， 则 山 高 MN_m. (2013 年全国卷 1) 9函数( )(1cos )sinf xxx在,的图像大致为（） 实用标准文案 文档 10已知锐角ABC的内角,A B C的对边分别为, ,a b c， 2 23coscos20AA，7a， 6c，则b （A）10（B）9（C）8（D）5 16设当x时，函数( )sin2cosf xxx取得最大值，则cos_. (2012 年全国卷 1) 9. 已知0，0，直线x= 4 和x= 5 4 是函数( )sin()f xx图像的两条相邻 的对称轴，则= （A） 4 （
9、 B） 3 （C） 2 （D）3 4 17. （本小题满分12 分）已知a，b，c分别为ABC三个内角A,B,C的对边， 3 sinsincaCcA. ( ) 求A； ( ) 若a=2，ABC的面积为3，求b，c. 三、题型归纳 题型一、三角函数定义的应用 1. 若点P在 10 3 角的终边上，且P的坐标为 ( 1，y) ，则y等于 ( ) A. 3 3 B. 3 3 C.3 D.3 变式 1已知角的终边经过点 (3， 1) ，则角的最小正值是 ( ) A. 2 3 B. 11 6 C. 5 6 D. 3 4 题型二、三角函数值的符号 2已知角的终边经过点(3， 1)，则角的最小正值是 ( )
10、 实用标准文案 文档 A. 2 3 B. 11 6 C. 5 6 D. 3 4 变式 2. 设是第二象限角，P(x,4) 为其终边上的一点，且cos 1 5x，则 tan ( ) A. 4 3 B. 3 4 C 3 4 D 4 3 题型三、同角三角函数关系式的应用 3. 已知 tan 2，则 sin 2sin cos 2cos 2等于 ( ) A 4 3 B. 5 4 C 3 4 D. 4 5 4. 已知 sin cos 1 8，且 5 4 3 2 ，则 cos sin 的值为 ( ) A 3 2 B. 3 2 C 3 4 D. 3 4 变式 3. 已知 sin cos 2，(0 ， ) ，则
11、 tan 等于 ( ) A 1 B 2 2 C. 2 2 D1 题型四诱导公式的应用 5(1) 已知 sin 3 1 2，则 cos 6 _. (2)sin(1 200 )cos 1 290 cos( 1 020 )sin(1 050 ) _ 变式 4. 已知角终边上一点p(-4,3)，则 cos()sin() 2 119 cos()sin() 22 的值为 题型五、三角函数的图形变换 6. （ 1）要得到函数ysin4x 3 的图象，只需将函数y sin 4x的图象 ( ) A向左平移 12个单位 B向右平移 12个单位 C向左平移 3 个单位D向右平移 3 个单位 （2）某同学用“五点法”
12、画函数f(x) Asin(x)0，|0，| 2 的部分图象如图所示，则y f x 6 取得最小值时x的集合为 ( ) A.x|xk 6 ，kZB.x|xk 3 ，kZ C.x|x2k 6 ，kZD.x|x2k 3 ，kZ 实用标准文案 文档 （3） 函数f(x) sin(x) 0，| 2 的最小正周期为，且其图象向右平移 12 个单位后得到的函数为奇函数，则函数f(x) 的图象 ( ) A.关于点 2 ，0 对称 B.关于直线x5 12 对称 C.关于点 5 12 ，0 对称 D.关于直线x 12对称 （4） 当x 4 时， 函数f(x) Asin(x)(A0) 取得最小值， 则函数yf 3
13、4 x 是( ) A.奇函数且图象关于点 2 ， 0 对称 B.偶函数且图象关于点 ( ， 0)对称 C.奇函数且图象关于直线x 2 对称 D.偶函数且图象关于点 2 ，0 对称 变式 6. 已知函数f(x) 2cos x(sin xcos x) (1) 求f 5 4 的值； (2) 求函数f(x) 的最小正周期及单调递增区间 题型七、最值与值域问题 8. 已知函数 2 ( )(sinxcosx)cos2f xx。 （1）求f(x)的最小正周期； （2）求f(x)在区间0, 2 上的最大值和最小值。 实用标准文案 文档 变式 7、 已知函数( )2sin()cos()sin(23 ) 33 f
14、 xxxx， 若将函数图像向左平移 4 个单位长度， 得到函数g(x)的图像，则g(x)在区间0, 2 上的最大值和最小值之和为。 题型八、三角函数的求值、求角问题 9. （ 1）已知 51 sin,0,tan 523 ，则tan(2)= 。 （2）已知锐角，满足 sin 5 5 ，cos 310 10 ，则等于 ( ) A. 3 4 B. 4 或 3 4 C. 4 D2k 4 (kZ) 变式 8. （1）已知 cos 4 10 10 ， 0， 2 ，则 sin2 3 _. (2) 已知 sin 5 5 ，sin() 10 10 ，均为锐角，则角等于 ( ) A. 5 12 B. 3 C. 4
15、 D. 6 ！ 题型九、三角恒等变换的应用 10. 已知函数f(x) sin(x) acos(x2)，其中aR， 2 ， 2 . (1) 当a2， 4 时，求f(x) 在区间 0 ， 上的最大值与最小值； (2) 若f 2 0，f() 1，求a，的值 实用标准文案 文档 变式 9. 函数f(x) sin(2x 4 ) 22sin 2x 的最小正周期是_ 题型十、利用正、余弦定理解三角形 11 . （1）设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c. 若a2,c23,cos A 3 2 , 且bc, 则b( ) A.3 B.22 C.2 D.3 （2）在ABC中，a3，b6，A 2 3 ，则B
16、_. （3）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A 4 ，b 2 a 21 2c 2. 求 tan C的值； 若ABC的面积为3，求b的值 实用标准文案 文档 （4）在ABC中，cos 2B 2 ac 2c (a，b，c分别为角A，B，C的对边 ) ，则ABC的形状为 ( ) A等边三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形 变式 10. （1）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a3bsin Aacos B. 求角B； 若b 2，ABC的面积为3，求a，c. （ 2）在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，若cacos
17、B(2ab)cos A，则ABC的形状为 ( ) A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形 题型十一、三角函数的综合应用 12. 已知向量m(3sin(2 x) ，cos x) ，向量nsin 3 2 x， cos( x)，f(x) m n. 求yf(x) 的单调递增区间和对称中心； 在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若有f(B) 1 2， b7，sin A sin C 133 14 ，求ABC的面积 实用标准文案 文档 变式 11. 设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C1 2c b. (1) 求角A的大小； (2) 若a3，求ABC的周长l的取值范围