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1、实用文案 标准文档 三角形“四心”向量形式的充要条件应用 知识点总结 1O是 ABC 的重心 0OCOBOA ; 若 O是 ABC的重心，则 A BCA OBA OCBOCS 3 1 SSS 故 0OCOBOA ; 1 () 3 PGPAPBPCG为ABC的重心 . 2O是 ABC的垂心OAOCOCOBOBOA ; 若 O是 ABC ( 非直角三角形 ) 的垂心，则 CtanBtanAtanSSS AOBAOCBOC ： 故 0OCCtanOBBtanOAAtan 3O是 ABC 的外心 |OC|OB|OA| ( 或 222 O CO BO A ) 若 O是 ABC的外心则 C2sin:B2s
2、in:A2sinAOBsinAOCsinBOCsinSSS AOBAOCBOC ： 故 0OCC2sinOBB2sinOAA2sin 4O是内心 ABC的充要条件是 0) |CB| CB |CA| CA (OC) |BC| BC |BA| BA (OB) AC AC |AB| AB (OA 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记 CA,BC,AB 的单位向量为 321 e,e,e ，则刚才 O是 ABC 内心的充要条件可以写成 0)ee(OC)ee(O B)ee(O A 322131 ，O 是 ABC 内 心 的 充 要 条 件 也 可 以 是 0OCcOBbOAa 。 若 O 是 ABC 的
3、 内 心 ， 则 cbaSSS AOBAOCBOC ： 故 0OCCsinOBBsinOAAsin0OCcOBbOAa或 ; |0AB PCBC PACA PBP 是ABC的内心 ; 向量()(0) | ACAB ABAC 所在直线过ABC的内心 ( 是BAC的角平 分线所在直线 ) ； 范例 (一)将平面向量与三角形内心结合考查 例1 O 是 平 面 上 的 一 定 点 ， A,B,C是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点P 满 足 )( AC AC AB AB OAOP，, 0则 P点的轨迹一定通过ABC的（） （A）外心（ B）内心（ C）重心（ D）垂心 A C B 1
4、 e 2 e P 实用文案 标准文档 解析：因为 AB AB 是向量AB的单位向量设AB与 AC 方向上的单位向量分别为 21 ee 和，又 APOAOP，则原式可化为)( 21 eeAP，由菱形的基本性质知AP 平分 BAC，那么在 ABC中，AP平分BAC，则知选 B. ( 二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理” 例 2H是ABC所在平面内任一点，HAHCHCHBHBHA点 H是ABC的垂心 . 由ACHBACHBHAHCHBHCHBHBHA00)(, 同理ABHC，BCHA. 故 H是ABC的垂心 . （反之亦然（证略） 例 3.( 湖南)P 是ABC 所在平面上一点，若PAPC
5、PCPBPBPA，则 P是ABC 的（D ） A外心B内心C重心D 垂心 解析: 由0PCPBPBPAPCPBPBPA得. 即0,0)(CAPBPCPAPB即 则ABPCBCPACAPB,同理所以 P为ABC的垂心 . 故选 D. ( 三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理” 例 4G是ABC所在平面内一点，GCGBGA=0点 G是ABC的重 心. 证明作图如右，图中GEGCGB 连结 BE和 CE ， 则 CE=GB ， BE=GC BGCE 为平行四边形D是 BC的中点，AD为 BC边上的中线 . 将GEGCGB代入GCGBGA=0， 得EGGA=0GDGEGA2，故 G是ABC 的
6、重心 . （反之亦然（证略） 例 5P是ABC所在平面内任一点 . G是ABC的重心)( 3 1 PCPBPAPG. 证明CGPCBGPBAGPAPG)()(3PCPBPACGBGAGPG G是ABC 的重心GCGBGA=0CGBGAG=0，即PCPBPAPG3 由此可得)( 3 1 PCPBPAPG. （反之亦然（证略） 例 6 若O为ABC内一点，0OAOBOC，则O是ABC的（） A内心 B外心 C垂心 D重 心 实用文案 标准文档 A B(x1,0) C(x2,y2) y x H Q G D E F 解析：由0OAOBOC得 OBOCOA ，如图以OB 、OC为相邻两边构作平行四边形，
7、则 OBOCOD ，由平行四边形性质知 1 2 OEOD，2OAOE ，同理可证其它两边上的这个性 质，所以是重心，选D 。 ( 四) 将平面向量与三角形外心结合考查 例 7 若O为ABC内一点，OAOBOC，则O是ABC的（） A内心 B外心 C垂心 D重心 解析：由向量模的定义知O到ABC的三顶点距离相等。故O是ABC的外心，选 B。 ( 五) 将平面向量与三角形四心结合考查 例 8已知向量 1 OP， 2 OP， 3 OP满足条件 1 OP+ 2 OP+ 3 OP=0，| 1 OP|=| 2 OP|=| 3 OP|=1 ， 求证 P 1P2P3是正三角形 . （ 数学第一册（下） ，复习
8、参考题五 B组第 6 题） 证明由已知 1 OP+ 2 OP=- 3 OP，两边平方得 1 OP 2 OP= 2 1 ， 同理 2 OP 3 OP= 3 OP 1 OP= 2 1 ， | 21P P|=| 32P P|=| 13P P|=3，从而 P1P2P3是正三角形 . 反之，若点 O是正三角形 P1P2P3的中心，则显然有 1 OP+ 2 OP+ 3 OP=0且| 1 OP|=| 2 OP|=| 3 OP|. 即 O是ABC所在平面内一点， 1 OP+ 2 OP+ 3 OP=0 且| 1 OP|=| 2 OP|=| 3 OP|点 O是正 P1P2P3的中心 . 例 9在 ABC 中，已知
9、 Q 、G 、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q 、G 、H三点共 线，且 QG:GH=1:2 。 【证明】 ： 以 A为原点， AB所在的直线为 x 轴， 建立如图所示的直角坐标系。 设 A(0,0) 、 B （x1,0 ） 、 C(x2,y2) ，D、E、F分别为 AB 、BC 、AC的中点，则有： 112222 ,0)(,)(,) 22222 xxxyxy EF D（、 由题设可设 1 324 ,)(,) 2 x QyHxy（、, 122 (,) 33 xxy G 212 243 (,)(,) 222 xxy AHxyQFy， 212 (,)BCxxy 22124 221 4 2
10、 ()0 () AHBC AHBCxxxy y xxx y y 212 223 2212 3 2 ()()0 222 () 22 QFAC xxy QFACxyy xxxy y y 实用文案 标准文档 1212212 243 23() (,),) 22 xxxxxxy QHxyy 2 （ 22y 21122122212 3 212212212212 2() (,),) 32332 23()23()1 (,)(,) 632 1 = 3 xxxyxxyxxxy QGy xxxxxyxxxxxy QH 2 22 （ 62y 66y22y 即=3QHQG ，故 Q 、G 、H三点共线，且 QG ：GH
11、 =1：2 例 10若O、H 分别是 ABC的外心和垂心. 求证 OCOBOAOH. 证明若ABC的垂心为 H，外心为 O ，如图 . 连 BO并延长交外接圆于D，连结 AD ，CD . ABAD，BCCD. 又垂心为 H ，BCAH，ABCH， AH CD ，CH AD ， 四边形 AHCD 为平行四边形， OCDODCAH，故OCOBOAAHOAOH. 著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置关系： （1）三角形的外心、重心、垂心三点共线“欧拉线”； （2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距 离是重心到外心距离的2 倍。 “欧
12、拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题. 例 11设 O 、G 、H分别是锐角 ABC 的外心、重心、垂心 . 求证OHOG 3 1 证明按重心定理G是ABC 的重心)( 3 1 OCOBOAOG 按垂心定理OCOBOAOH由此可得OHOG 3 1 . 补充练习 1已知 A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形 ABC的重心，动点 P满足 OP= 3 1 ( 2 1 OA+OB 2 1 +2OC), 则点 P一定为三角形 ABC 的（ B ） A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点（非重心） C.重心 D.AB边的中点 1. B 取 AB 边的中点M，则OMOBOA2
13、，由OP= 3 1 ( 2 1 OA+ OB 2 1 +2OC) 可得 3MCOMOP23， MCMP 3 2 ，即点 P 为三角形中 AB边上的中线的一个三等分点，且 点 P不过重心，故选B. 实用文案 标准文档 2在同一个平面上有ABC及一点满足关系式： 2 O A 2 BC 2 OB 2 CA 2 OC 2 AB ，则为ABC的（D ） 外心内心 C 重心 D 垂心 2已知 ABC的三个顶点A、B、C 及平面内一点P 满足：0PAPBPC，则 P 为ABC的 （C ） 外心内心 C 重心 D 垂心 3已知 O是平面上一定点， A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足： )(ACAB
14、OAOP，则 P的轨迹一定通过 ABC的（C ） 外心内心 C 重心 D 垂心 4已知 ABC ，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足： 0PA PCPAPBPB PC，则 P点为三角形的（D ） 外心内心 C 重心 D 垂心 5已知ABC ，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：0a PAb PBcPC，则 P点为 三角形的（B ） 外心内心 C 重心 D 垂心 6在三角形ABC中，动点P 满足：CPABCBCA2 22 ，则 P 点轨迹一定通过 ABC的： （ B ） 外心内心 C 重心 D 垂心 7. 已知非零向量 AB 与AC 满足( AB |AB | + AC |AC | )
15、BC =0且 AB |AB | AC |AC | = 1 2 , 则ABC为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 解析：非零向量与满足( | ABAC ABAC ) =0，即角A 的平分线垂直于BC，AB =AC，又 cos A | | ABAC ABAC =1 2 ，A= 3 ，所以 ABC 为等边三角形，选 D 8.ABC的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H，)(OCOBOAmOH，则实数 m = 1 9. 点 O是ABC所在平面内的一点，满足OAOCOCOBOBOA，则点 O是ABC的（B ） （A）三个内角的角平分线的交点（B）
16、三条边的垂直平分线的交点 （C）三条中线的交点（D）三条高的交点 10. 如图 1， 已知点 G是ABC的重心， 过 G作直线与 AB ， AC两边分别交于 M ， N两点， 且 AMxAB ， ANyAC ，则 11 3 xy 。 实用文案 标准文档 证点 G是ABC的重心，知 GAGBGCO ， 得()()AGABAGACAGO ，有 1 () 3 AGABAC。又 M ，N，G三点共线（ A不在直线 MN 上） ， 于是存在,，使得(1)AGAMAN 且， 有 AGxAByAC = 1 () 3 ABAC， 得 1 1 3 xy ，于是得 11 3 xy 。 例讲三角形中与向量有关的问题
17、 教学目标： 1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法 2、向量的加法、数量积等性质 3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题 4、数形结合 教学重点：灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题 教学难点：针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题 教学过程： 1、课前练习 1.1 已知 O是ABC内的一点，若 222 OCOBOA，则 O是ABC 的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 1.2 在ABC 中， 有命题BCACAB； 0CABCAB； 若0ACABACAB， 则ABC为等腰三角形； 若0ACAB，则ABC为锐角三角形， 上述命题中正确的是
18、A、 B、 C、 D、 2、知识回顾 2.1 三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法 2.2 向量的有关性质 2.3 上述两者间的关联 3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题 例 1、已知 ABC 中，有0BC AC AC AB AB 和 2 1 AC AC AB AB , 试判断 ABC的形状。 练习 1、已知 ABC 中，aAB，bBC，B是ABC 中的最大角，若0ba，试判断 ABC 的形状。 4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题 例 2、已知 O是ABC所在平面内的一点，满足 222222 ABOCACOBBCOA，则 O是ABC 的 实用文案 标准
19、文档 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题 例 3、已知 P是ABC所在平面内的一动点，且点P满足 , 0, AC AC AB AB OAOP， 则动点 P一定过 ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 练 习 2 、 已 知O 为 平 面 内 一 点 ， A、 B、 C 平 面 上 不 共 线 的 三 点 ， 动 点P 满 足 ,0, 2 1 BCABOAOP，则动点 P 的轨迹一定通过 ABC 的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 例4 、已知O是ABC 所在平面内的 一点，动点P满足 ,0, coscosCAC AC BA
20、B AB OAOP，则动点 P一定过 ABC 的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 练 习3 、 已 知O是 ABC 所 在 平 面 内 的 一 点 ， 动 点P满 足 ,0, coscos 2 CAC AC BAB ABOCOB OP，则动点 P一定过 ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 例 5、 已 知 点G 是 的 重 心 ， 过 G 作 直 线 与 AB、 AC 分 别 相 交 于 M、 N 两 点 ， 且 ACyANABxAM,，求证：3 11 yx 6、小结 处理与三角形有关的向量问题时，要允分注意数形结合的运用，关注向量等式中的实数互化， 合理地将向量等式和图
21、形进行转化是处理这类问题的关键。 7、作业 1、已知 O是ABC 内的一点，若0OCOBOA，则 O是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 2、若 ABC的外接圆的圆心为O ，半径为 1，且0OCOBOA，则OBOA等于 A、 2 1 B、0 C、1 D、 2 1 3、 已 知 O 是 ABC 所 在 平面 上 的 一 点 ， A、 B、 C、 所 对 的 过 分 别 是 a、 b、 c 若 0OCcOBbOAa，则 O是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 4、 已知 P是ABC所在平面内与 A不重合的一点，满足APACAB3， 则 P是ABC的 实用文案 标准文档
22、A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 5、平面上的三个向量 OA、 OB 、 OC 满足0OCOBOA，1OCOBOA，求证： ABC为正三角形。 6、在 ABC 中，O为中线 AM上的一个动点，若AM 2，求 )(OCOBOA 三角形四心与向量的典型问题分析 向量是数形结合的载体， 有方向，大小，双重性，不能比较大小。 在高中数学“平面向量” （必 修 4 第二章）的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向 量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。 在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几 何关系用向量
23、表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转 化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系。 下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的解决了三角形四心所具备的一 些特定的性质。 既学习了三角形四心的一些特定性质，又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感。 一、 “重心”的向量风采 【命题 1】G是ABC所在平面上的一点， 若0GAGBGC，则G是ABC的重心如图 . A G C A B 【命题2】已知O是平面上一定点，ABC， ，是平面上不共线的三个点，动点P满足 ()OPOAABAC ，(0)，则P的轨迹一定通过ABC的重心 . 【解析】由题意
24、()APABAC ，当(0)，时，由于()ABAC 表示BC边上的中线所在 直线的向量，所以动点P的轨迹一定通过ABC的重心，如图 . 二、 “垂心”的向量风采 【命题 3】P是ABC所在平面上一点，若PAPCPCPBPBPA，则P是ABC的垂心 【解析】由 PA PBPB PC ，得()0PBPAPC，即0PB CA，所以 PBCA同理可证 图图 M P C B A O 实用文案 标准文档 PCAB， PABCP是ABC的垂心如图 . P A B C 【命题4】已知O是平面上一定点，ABC， ，是平面上不共线的三个点，动点P满足 co sco s ABAC OPOA ABBACC ，(0)，
25、则动点P的轨迹一定通过ABC的垂心 【解析】由题意 coscos ABAC AP ABBACC ，由于0 coscos ABAC BC ABBACC ， 即0 coscos AB BCAC BC BCCB ABBACC , 所以AP表示垂直于 BC的向量，即P点在过点A且 垂直于BC的直线上，所以动点P的轨迹一定通过ABC的垂心，如图 . 三、 “内心”的向量风采 【 命 题 5】已 知I为ABC所 在 平 面 上 的 一 点 ， 且ABc，ACb，BCa 若 0aI AbIBcI C ，则I是ABC的内心 【解析】IBIAAB， ICIAAC，则由题意得 ()0abc IAbABcAC， A
26、BAC bABcACACABABACACAB ABAC ， 图图 图图 H F E M A B C O P A B C O P b a c I AC B 实用文案 标准文档 O C A B bcABAC AI abc ABAC AB AB 与 AC AC 分别为AB和 AC 方向上的单位向量， AI与BAC平分线共线，即AI平分BAC 同理可证：BI平分ABC，CI平分ACB从而I是ABC的内心，如图 . 【命题6】已知O是平面上一定点，ABC， ，是平面上不共线的三个点，动点P满足 ABAC OPOA ABAC ，(0)，则动点P的轨迹一定通过ABC的内心 【解析】由题意得 ABAC AP
27、ABAC ，当(0)，时，AP表示BAC的平分线所在直线 方向的向量，故动点P的轨迹一定通过ABC的内心，如图 . 四、 “外心”的向量风采 【命题 7】已知O是ABC所在平面上一点，若 222 OAOBOC ，则O是ABC的外心 【解析】若 222 OAOBOC ，则 222 OAOBOC ，OAOBOC，则O是ABC的 外心，如图。 【命题7】已知O是平面上的一定点， ABC， ， 是平面上不共线的三个点，动点P满足 2 coscos OBOCABAC OP ABBACC ，(0)， 则动点P的轨迹一定通过ABC的外心。 【解析】由于 2 OBOC 过BC的中点， 当(0)，时， coscos ABAC ABBACC 表示垂直于 BC 的向量（注意：理由见二、4 条解释。 ） ， 所以P在BC垂直平分线上，动点P的轨迹一定通过ABC 的外心，如图。 图 M O B C A P 图