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1、实用标准文案 文档 三角函数九种经典类型题 类型一同角三角函数关系式的应用 1、(1) 已知 tan 2，则 sin 2 sin cos 2cos 2_. (2) 已知 sin cos 1 8，且 5 4 3 2 ，则 cos sin 的值为 _ 答案(1) 4 5 (2) 3 2 解析(1) 由于 tan 2，则 sin 2sin cos 2cos 2 sin 2 sin cos 2cos 2 sin 2cos2 sin 2 cos 2 sin cos cos 22 sin 2 cos 21 tan 2 tan 2 tan 212 222 2 21 4 5. (2) 5 4 3 2 ， co
2、s 0，sin 0 且 cos sin ， cos sin 0. 又(cos sin ) 212sin cos 121 8 3 4， cos sin 3 2 . 思维升华(1) 利用 sin 2 cos 21 可以实现角 的正弦、余弦的互化， 利用 sin cos tan 可以实现角的弦切互化(2) 应用公式时注意方程思想的应用：对于sin cos ， sin cos ，sin cos 这三个式子，利用(sin cos ) 212sin cos ， 可以知一求二 (3) 注意公式逆用及变形应用：1sin 2cos2 ，sin 2 1 cos 2，cos2 1sin 2. 2、已知 sin co
3、s 2，(0 ， ) ，则 tan _. 答案1 解析由 sin cos 2， sin 2cos21， 消去 sin 得： 2cos 2 2 2cos 10， 即(2cos 1) 20， 实用标准文案 文档 cos 2 2 . 又(0 ， ) ， 3 4 ， tan tan 3 4 1. 类型二诱导公式的应用 1、已知 sin 12 1 3，则 cos 7 12 的值为 _ 解析(1)cos 7 12 cos 12 2 sin 12 1 3. 思维升华(1) 诱导公式用法的一般思路 化大角为小角 角中含有加减 2 的整数倍时，用公式去掉 2 的整数倍 (2) 常见的互余和互补的角 常见的互余的
4、角： 3 与 6 ； 3 与 6 ； 4 与 4 等 常见的互补的角： 3 与 2 3 ； 4 与 3 4 等 2、已知 sin 3 1 2，则 cos 6 _. 解析 3 6 2 ， cos 6 cos 2 3 sin 3 1 2. 变式：已知sin 3 1 2，则 )2 6 cos(_. 类型三三角函数的单调性 1、(1) 函数f(x) tan 2x 3 的单调递增区间是_ 实用标准文案 文档 (2) 已知 0，函数f(x) sinx 4 在 2 ， 上单调递减，则的取值范围是 _ 答案(1) k 2 12， k 2 5 12 (k Z) (2) 1 2， 5 4 解析(1) 由k 2 2
5、x 3 k 2 (kZ) 得， k 2 12 x k 2 5 12 (kZ)， 所以函数f(x) tan 2x 3 的单调递增区间为 k 2 12， k 2 5 12 (kZ) (2) 由 2 x，0 得， 2 4 x 4 4 ， 又ysin x在 2 ， 3 2 上递减， 所以 2 4 2 ， 4 3 2 ， 解得 1 2 5 4. 思维升华(1) 已知三角函数解析式求单调区间：求函数的单调区间应遵循简单化原则， 将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；求形如yAsin(x) 或 yAcos(x)( 其中0) 的单调区间时，要视“x”为一个整体， 通过解不等式 求解 但如果0，
6、那么一定先借助诱导公式将化为正数， 防止把单调性弄错(2) 已知 三角函数的单调区间求参数先求出整体函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解 2、(1) 函数f(x) sin 2x 3 的单调减区间为_ (2) 已知 0，函数f(x) cosx 4 在 2 ， 上单调递增，则的取值范围是 _ 答案(1)k 12， k 5 12 ， kZ(2) 3 2， 7 4 解析(1) 由已知函数为y sin2x 3 ， 实用标准文案 文档 欲求函数的单调减区间，只需求ysin2x 3 的单调增区间 由 2k 2 2x 3 2k 2 ，k Z， 得k 12 xk 5 12 ，kZ. 故所给函数的单调减区间为
7、k 12， k 5 12 (kZ) (2) 函数ycos x的单调递增区间为 2k， 2k ，kZ， 则 2 4 2k， 4 2k， kZ， 解得 4k5 2 2k 1 4， kZ， 又由 4k5 2 2k 1 4 0，kZ 且 2k 1 4 0， kZ， 得k1，所以 3 2， 7 4 . 类型四三角函数的周期性、对称性 1、(1) 已知函数f(x) sin(x) 0，| 2 的最小正周期是，若将f(x) 的图 象向右平移 3 个单位后得到的图象关于原点对称，则关于函数f(x) 的图象，下列叙述正确 的有 _( 填正确的序号 ) 关于直线x 12对称； 关于直线x 5 12 对称； 关于点
8、12，0 对称； 关于点 5 12 ，0 对称 (2) 已知函数y 2sin2x 3 的图象关于点P(x0,0) 对称，若x0 2 ，0 ，则x0 _. 解析(1) 由题意知 2 ，2； 又由f(x) 的图象向右平移 3 个单位后得到ysin2x 3 sin2x 2 3 ，此 时关于原点对称， 2 3 k，k Z， 2 3 k，kZ，又 | 2 ， 实用标准文案 文档 2 3 k 2 ， k 1， 3 ，f(x) sin2x 3 . 当x 12时， 2x 3 6 ，、错误；当x 5 12 时， 2x 3 2 ，正确，错误 (2) 由题意可知2x0 3 k，kZ，故x0k 2 6 ，kZ，又x0
9、 2 ，0 ，k0 时， x0 6 . 2、若函数ycosx 6 (N *) 图象的一个对称中心是 6 ，0 ，则的最小值为 _ 答案2 解析由题意知 6 6 k 2 (kZ) ?6k2(kZ) ，又N * ，min2. 思维升华(1) 对于函数yAsin(x) ，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对 称中心一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点 (x0,0) 是不是函数的对称轴或对称中 心时，可通过检验f(x0) 的值进行判断 (2) 求三角函数周期的方法： 利用周期函数的定义 利用公式：yAsin(x) 和yAcos(x) 的最小正周期为 2 | ，y tan(x ) 的最小正周期
10、为 | . 3、(1) 已知函数f(x) 2sin(x) ，对于任意x都有f 6 xf 6 x，则f 6 的 值为 _ (2) 已知函数f(x) sin xacos x的图象关于直线x 5 3 对称， 则实数a的值为 _ 答案(1)2或 2 (2) 3 3 解析(1) f 6 xf 6 x，x 6 是函数f(x) 2sin(x) 的一条对称轴f 6 2. (2) 由x5 3 是f(x) 图象的对称轴，可得f(0) f 10 3 ，解得a 3 3 . 类型五函数yAsin(x) 的图象及变换 实用标准文案 文档 1、(1) 把函数y sin(x 6 ) 图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 2(
11、纵坐标不变 ) ，再将图象 向右平移 3 个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为 (填正确的序号) x 2 ；x 4 ；x 8 ；x 4 . (2)设函数f(x) cos x(0) ，将yf(x) 的图象向右平移 3 个单位长度后，所得的图 象与原图象重合，则的最小值等于 解析(1) 将ysin(x 6 ) 图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 2( 纵坐标不变 ) ，得到函数 y sin(2x 6 ) ；再将图象向右平移 3 个单位长度，得到函数ysin2(x 3 ) 6 sin(2x 2 ) ，故x 2 是其图象的一条对称轴方程 (2) 由题意可知，nT 3 (nN *) ， n 2 3
12、 (nN * )， 6n (nN * ) ，当n1 时，取得最小值6. 类型六由图象确定yAsin( x ) 的解析式 1、(1) 已知函数yAsin(x) (A0，0，|cos() 因为 4 5 5 5 4 5， 所以 cos( ) 4 5. 于是 cos cos() cos()cos sin()sin 4 5 5 5 3 5 25 5 25 25 . (2) cos( 6 ) sin 4 5 3， 3 2 cos 3 2sin 4 5 3， 3( 1 2cos 3 2 sin ) 4 5 3， 3sin( 6 ) 4 5 3， sin( 6 ) 4 5， sin( 7 6 ) sin( 6
13、 ) 4 5. 2、 若 0 2 ， 2 0，cos 4 1 3，cos 4 2 3 3 ，则cos 2 . 答案 53 9 解析cos 2 cos 4 4 2 cos 4 cos 4 2 sin 4 sin 4 2 ， 0 2 ， 4 4 3 4 ， sin 4 22 3 . 又 2 0，则 4 4 2 2 ， sin 4 2 6 3 . 故 cos 2 1 3 3 3 22 3 6 3 53 9 . 3、(1) 已知 0 2 ，且cos 2 1 9，sin 2 2 3，则 cos( ) 的值为 实用标准文案 文档 (2) 已知在ABC中， sin(AB) 2 3，cos B 3 4，则 c
14、os A . 易错分析(1) 角 2 ， 2 的范围没有确定准确，导致开方时符号错误 (2) 对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B为钝角 解析(1) 0 2 ， 4 2 2 ， 4 2 ，cos 2 1sin 2 2 5 3 ， sin 2 1cos 2 2 45 9 ， cos 2 cos 2 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 1 9 5 3 45 9 2 3 75 27 ， cos() 2cos 2 2 12 495 729 1 239 729. (2) 在ABC中， cos B 3 4 ， 2 B， sin B1cos 2B 7 4 . 2 BAB， sin(A
15、B) 2 3， cos( AB) 1sin 2 AB 5 3 ， cos Acos(AB) B cos(AB)cos Bsin(AB)sin B 5 3 3 4 2 3 7 4 3527 12 . 类型九 三角函数的求角问题 1、(1) 已知锐角，满足 sin 5 5 ，cos 310 10 ，则_. (2) 已知方程x 2 3ax 3a 1 0(a 1) 的两根分别为tan 、 tan ，且、 2 ， 2 ，则_. 解析(1) 由 sin 5 5 ， cos 3 10 10 且，为锐角，可知 cos 2 5 5 ， sin 10 10 ， 故 cos() cos cos sin sin 25 5 3 10 10 5 5 10 10 2 2 ， 又 00，又 (0 ， ) 00， 02 2 ， tan(2) tan 2tan 1tan 2tan 3 4 1 7 1 3 4 1 7 1. tan 1 70， 2 ， 20， 2 3 4 . (2) 由已知可得tan Atan B3(tan Atan B1) ， tan(AB) tan Atan B 1 tan Atan B 3， 又 0AB，AB 2 3， C 3 .