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1、实用标准 精彩文档 专题验收评估 ( 二 ) 三角函数、解三角形、平面向量 【说明】本试卷分第卷( 选择题 ) 和第卷 ( 非选择题 ) 两部分， 满分 150 分，考试时 间 120 分钟请将第卷的答案填入答题栏内，第卷可在各题后直接作答. 题号一二 三 总分17 18 19 20 21 22 得分 第卷 一、选择题 ( 本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1(2014 山西模拟 ) 向量 (ab) 与a垂直，且 |b| 2|a| ，则a与b的夹角为 ( ) A60B120 C45D90 2(2014 广州综合测试) 对于任意
2、向量a，b，c，下列命题中正确的是( ) A|ab| |a|b| B|ab| |a| |b| C(ab)ca(bc) Daa|a| 2 3已知向量a(1 ，3) ，b(3，m) 若向量a，b的夹角为 6 ，则实数m( ) A23 B. 3 C0 D3 4(2014 北京东城综合练习) 已知 sin 3 4，且 在第二象限，那么2在 ( ) A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限 5 (2014 承德二模 ) 已知a，b是两个不共线的向量，ABab，ACab(， R) ，那么A，B，C三点共线的充要条件是( ) A2 B1 C 1 D1 6ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若
3、 (ab) (sin Bsin A) (3 ac)sin C，则角B的大小为 ( ) 实用标准 精彩文档 A. 6 B. 3 C. 5 6 D. 2 3 7已知函数yAsin(x) k(A0， 0)的最大值为4，最小值为0，最小正 周期为 2 ，直线x 3 是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( ) Ay4sin4x 6 By2sin2x 3 2 Cy2sin4x 3 2 Dy2sin4x 6 2 8在ABC中， ACAB |AB| 1， BCBA |BA| 2，则AB边的长度为 ( ) A1 B3 C5 D9 9(2014 辽宁高考 ) 将函数y3sin2x 3 的图象向右平
4、移 2 个单位长度，所得图 象对应的函数 ( ) A在区间 12， 7 12 上单调递减 B在区间 12， 7 12 上单调递增 C在区间 6 ， 3 上单调递减 D在区间 6 ， 3 上单调递增 10(2014 天津高考 ) 已知函数f(x) 3sin x cos x(0) ，xR. 在曲线y f(x) 与直线y1的交点中，若相邻交点距离的最小值为 3 ， 则f(x) 的最小正周期为( ) A. 2 B. 2 3 CD2 11(2014 开封模拟 ) 已知函数f(x) sin 2xcos cos 2xsin (xR) ，其中 为实数，且f(x) f 2 9 对任意实数R恒成立，记pf 2 3
5、 ，qf 5 6 ，rf 7 6 ，则 p，q，r的大小关系是 ( ) ArpqBqrp CpqrDqpr 实用标准 精彩文档 12. 已知函数f(x) cos xsin x，给出下列命题： 若f(x1) f(x2) ，则x1x2； f(x) 的最小正周期是2； f(x) 的区间 4 ， 4 上是增函数； f(x) 的图象关于直线x 3 4 对称； 当x 6 ， 3 时，f(x) 的值域为 3 4 ， 1 2 . 其中真命题是( ) AB CD 答题栏 123456789101112 第卷 二、填空题 ( 本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分) 13已知为第二象限角，则cos 1tan
6、 2 sin 1 1 tan 2 _ . 14(2014 云南模拟 ) 已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，若cos B 4 5， a10，ABC的面积为42，则b a sin A 的值等于 _ . 15已知P是边长为2 的正三角形ABC的边BC上的动点，则AP( )ABAC _. 16(2014 皖南八校二模 ) 已知函数f(x) sin2x 6 ，其中x 6 ，a. 当a 3 时，f(x) 的值域是 _ ；若f(x)的值域是 1 2，1 ，则a的取值范围是 _ . 三、解答题 ( 本大题共6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(2014 北京
7、高考 )( 本小题满分10 分 )如图，在ABC中，B 3 ，AB8，点D在BC边上，且CD2，cosADC 1 7. 实用标准 精彩文档 (1) 求 sin BAD； (2) 求BD，AC的长 18(本小题满分12 分) 已知函数f(x) cos 2x2 3sin xcos xsin 2x. (1) 求f(x) 的最小正周期和值域； (2) 在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f A 2 2 且a 2 bc，试判断 ABC的形状 19.(2014 辽宁五校联考)( 本小题满分12 分) 设函数f(x) sin xsinx 2 ， xR. (1) 若 1 2，求 f(x) 的最
8、大值及相应x的集合； (2) 若x 8 是f(x) 的一个零点，且010，求的值和f(x) 的最小正周期 20 (2014 肇 庆 二 模 )( 本 小 题 满 分12分 ) 已 知 函 数f(x) Msin( x 实用标准 精彩文档 )M0，0，| 2 的部分图象如图所示 (1) 求函数f(x)的解析式； (2) 在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 (2ac) cos Bbcos C，求 f A 2 的取值范围 . 21(2014 广州模拟 ) ( 本小题满分12 分) 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b， c向量m(cos(AB) ，sin(AB) ，n(cos B
9、， sin B), 且m n 3 5. (1) 求 sin A的值； (2) 若a42，b5，求角B的大小及向量BA在BC方向上的投影 ( 本小题满分12 分) 已知函数f(x) sin x(0) 在区间0， 3 上单调递增，在区 间 3 ， 2 3 上单调递减，如图，四边形OACB中，a，b，c为ABC的内角A，B，C的对边， 且满足 sin Bsin C sin A 4 3 cos B cos C cos A . (1) 证明bc2a； (2) 若bc，设AOB(0 ) ，OA2OB2，求四边形OACB面积的最大值 实用标准 精彩文档 答案 1选 B (ab)a0，所以aba 2，cos
10、a，b ab |a| |b| 1 2，所以夹角 为 120 . 2选 D 注意到ab |a| |b|cos a，b|a| |b| ，因此选项A不正确；注意到 |ab| |a| |b| ，因此选项B不正确；注意到向量a，c未必共线，因此选项C不正确 3选 B 根据平面向量的夹角公式可得 133m 29m 2 3 2 ，即 33m39m 2， 两边平方并化简得63m 18，解得m3，经检验符合题意 4选 C sin 3 4，且 在第二象限， cos 7 4 ，sin 22sin cos 37 8 0， cos 21 2sin 2 1 2 9 16 1 8 0， 2在第三象限 5选 D A，B，C三
11、点共线， 存在常数t，使ABtAC (tR) ， 所以abt(ab) tat b， 所以 t， 1t ， 则1. 6选 C 由正弦定理知(ab)(ba) (3ac)c， 即a 2 c 2b2 3ac,2accos B3ac，cos B 3 2 . 又 0B，因此B 5 6 . 7选 D 由函数yAsin(x) k的最大值为4，最小值为0，可知k2，A 2. 由函数的最小正周期为 2 ，可知 2 2 ，可得4. 由直线x 3 是其图象的一条对称轴， 可知4 3 k 2 ，k Z，从而k 5 6 ，k Z，故满足题意的是y 2sin4x 6 2. 实用标准 精彩文档 8选B AB |AB| 表示在
12、AB方向上的单位向量设ABC各边分别为a，b，c，则 ACAB |AB| bcos A1，同理， BCBA |BA| acos B2. 由余弦定理可得 bb 2 c 2 a 2 2bc 1， aa 2c2 b 2 2ac 2， 解方程组得c3 或c0( 舍) 9 选B将y 3sin2x 3 的 图 象 向 右 平 移 2 个 单 位 长 度 后 得 到y 3sin2 x 2 3 ，即y 3sin2x 2 3 的图象， 令 2 2k 2x 2 3 2 2k，k Z，化简可得x 12 k， 7 12 k ，kZ，即函数y3sin2x 2 3 的单调递增区间 为 12 k， 7 12 k，kZ， 令
13、k0，可得y3sin2x2 3 在区间 12， 7 12 上单调递增，故B正确，画出函数y 3 sin2x 2 3 的简图，可知函数f(x) 在区间 6 ， 3 上不具有单调性，故C，D错误 10选 C 由题意得函数f(x) 2sinx 6 (0) ，又曲线yf(x) 与直线y1 相邻交点距离的最小值是 3 ，由正弦函数的图象知，x 6 6 和x 6 5 6 对应的x 的值相差 3 ，即 2 3 3 ，解得2，所以f(x) 的最小正周期是T2 . 11选 C f(x)sin 2xcos cos 2xsin sin(2x) ， f(x) 的最小正周期T . f(x) f 2 9 ，f 2 9 是
14、最大值 f(x) sin2x 18 ， 实用标准 精彩文档 psin 25 18 sin 7 18 ，qsin 31 18 sin 5 18 ， rsin 7 18 ， pqr. 12选 B 依题意得f(x) 1 2sin 2 x. 对于，注意到当x1，x22时，f(x1) f(x2) ，但x1x2，因此不正确； 对于，函数f(x) 的最小正周期是 2 2 ，因此不正确； 对于，结合图象可知，函数f(x)在区间 4 ， 4 上是增函数，因此正确； 对于，注意到f 3 4 1 2sin 3 2 1 2，因此 f(x) 的图象关于直线x 3 4 对称， 正确； 对于，当x 6 ， 3 时， 2x
15、3 ，2 3 ，sin 2x 3 2 ，1 ，此时函数f(x) 的值域是 3 4 ， 1 2 ，因此正确综上所述正确 13 解 析 ： 原 式 cos sin 2 cos 2 cos 2 sin sin 2 cos 2 sin 2 cos |cos | sin |sin | ，因为是第二象限角， 所以 sin 0，cos 0，所以 cos |cos | sin |sin | 110，即原式等于0. 答案： 0 14解析：依题可得sin B 3 5， 又SABC 1 2acsin B42，则c14. 故ba 2 c 22accos B62， 所以b a sin A b b sin B 162.
16、答案： 162 15解析：如图，ABACAD2AO，ABC为正三角形， 四边形ABDC为菱形，BCAO， AP在向量AD上的投影为AO， 实用标准 精彩文档 又|AO| 3， AP() ABAC |AO| |AD| 6. 答案： 6 16解析：若 6 x 3 ，则 3 2x 2 3 ， 6 2x 6 5 6 ，此时 1 2 sin2x 6 1，即f(x) 的值域是1 2，1 . 若 6 xa，则 3 2x2a， 6 2x 6 2a 6 . 因为当2x 6 6 或 2x 6 7 6 时， sin2x 6 1 2，所以要使 f(x) 的值域是 1 2，1 ，则 2 2a 6 7 6 ， 即 3 2
17、a，所以 6 a 2 ，即a的取值范围是 6 ， 2 . 答案： 1 2，1 6 ， 2 17解： (1) 在ADC中，因为cosADC1 7， 所以 sin ADC 43 7 . 所以 sin BADsin( ADCB) sin ADCcosBcosADCsin B 43 7 1 2 1 7 3 2 33 14 . (2) 在ABD中，由正弦定理得 BD ABsin BAD sin ADB 83 3 14 43 7 3. 在ABC中，由余弦定理得 AC 2 AB 2BC22AB BC cosB 8 2522 851 249. 所以AC7. 18解： (1)f(x) cos 2x2 3sin
18、xcos xsin 2x 3sin 2xcos 2x2sin2x 6 ， 所以T，f(x) 2,2 实用标准 精彩文档 (2) 因为f A 2 2sinA 6 2， 所以 sinA 6 1. 因为 0A，所以A 6 2 ，所以A 3 . 由a 2 b 2c22bccos A及a 2 bc，得 (bc) 20， 所以bc，所以BC 3 . 所以ABC为等边三角形 19解：由已知：f(x) sin xcos x2sinx 4 . (1) 若 1 2，则 f(x) 2sin 1 2x 4 ， 又xR，则2sin 1 2x 4 2， f(x)max2，此时 1 2x 4 2k 2 ，kZ， 即x x
19、x 4k 3 2 ，kZ. (2) x 8 是函数f(x) 的一个零点， 2sin 8 4 0， 8 4 k，kZ， 又 010，2，f(x) 2sin2x 4 ，此时其最小正周期为. 20解： (1) 由图象知M1，f(x)的最小正周期 T4 5 12 6 ，故2. 将点 6 ，1 代入f(x) 的解析式得 sin 3 1， 又| 2 ，故 6 ，所以f(x) sin2x 6 . (2) 由(2ac)cos Bbcos C得(2sin A sin C)cos Bsin Bcos C， 所以 2sin A cos Bsin(BC) sin A. 因为 sin A0，所以 cos B 1 2，则
20、 B 3 ，AC 2 3 ， 又f A 2 sinA 6 ，0A 2 3 ， 实用标准 精彩文档 6 A 6 5 6 ，所以 1 2 f A 2 1. 21解： (1) 由m n 3 5， 得 cos(AB)cos Bsin(AB)sin B 3 5， 所以 cos A 3 5. 因为 0A， 所以 sin A1cos 2A 1 3 5 24 5. (2) 由正弦定理，得 a sin A b sin B ， 则 sin B bsin A a 5 4 5 42 2 2 ， 因为ab，所以AB，则B 4 ，由余弦定理得 ()42 252c22 5c 3 5 ，解得c1， 故向量BA在BC方向上的投
21、影为 |BA|cos Bccos B 1 2 2 2 2 . 22解： (1) 证明：由题意知 2 4 3 ，得 3 2. sin B sin C sin A 2cos Bcos C cos A ， sin Bcos Asin Ccos A 2sin Acos Bsin Acos Csin A， sin Bcos AcosBsin Asin Ccos Acos Csin A2sin A， sin (AB) sin (AC) 2sin A， sin Csin B2sin A， bc2a. (2) bc2a，bc，abc， ABC为等边三角形 S四边形 OACBSOABSABC 1 2OA OBsin 3 4 AB 2 实用标准 精彩文档 sin 3 4 (OA 2 OB 2 2OA OBcos ) sin 3cos 5 3 4 2sin 3 53 4 . (0 ， )， 3 3 ，2 3 ， 当且仅当 3 2 ，即 5 6 时取最大值，S四边形OACB的最大值为 53 4 2.