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1、实用文档 标准文案 平面向量常见题型与解题指导 一、考点回顾 1、本章框图 2、高考要求 1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。2、掌握向量的加法和减法的运算法则 及运算律。 3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。4、了解平面向量基 本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了 解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。6、掌握线段的定比分点 和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。8、 通过解三角
2、形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。 3、热点分析 对本章内容的考查主要分以下三类： 1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、 判断多边形形状等问题. 2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主. 3.向量在空间中的应用（在B 类教材中） .在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究 三维空间几何图形的性质. 在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此， 掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题
3、，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。对 于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行 考查。本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化 运算，重视应用。考查的重点是基础知识和基本技能。 4、复习建议 由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的 概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类 是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。 在解
4、决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种 运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。二是向量的坐 标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思 想在解决数学问题上的作用。 在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是 重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力。 实用文档 标准文案 二、常见题型分类 题型一：向量的有关概念与运算 此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟
5、练掌握向量的坐标运 算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件. 例1： 已知a 是以点A(3, 1)为起点，且与向量b = ( 3,4) 平行的单位向量，则向量a 的终点坐标 是. 思路分析：与a 平行的单位向量e= |a a 方法一：设向量a 的终点坐标是 (x,y),则 a =(x-3,y+1)，则题意可知 5 5 18 5 5 12 1 01334 22 9 y x 1 y x 13 )()( 或 解得 ）（）（yx yx，故填( 5 12 ,- 5 1 )或( 5 18 ,- 5 9 ) 方法二与向量 b = (-3,4)平行的单位向量是 5 1 (-3,4)，故可得 a (-
6、5 3 , 5 4 )，从而向量a 的终点坐标是 (x,y)= a(3,1),便可得结果 . 点评： 向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向 量、同向向量、反向向量、单位向量等概念. 例 2：已知 | a |=1,| b |=1，a 与 b 的夹角为60 , x =2ab，y=3ba,则 x 与 y的夹角的余弦是多少？ 思路分析： 要计算 x 与 y 的夹角 ，需求出 |x|,|y|,xy的值 .计算时要注意计算的准确性. 解：由已知 |a|=|b|=1，a 与 b 的夹角 为 60,得 ab=|a|b|cos = 2 1 . 要计算 x 与 y
7、 的夹角 ，需求出 |x|，|y|，x y的值 . |x|2=x2=(2ab)2=4a24ab+b 2=44 2 1 +1=3， |y| 2=y2 =(3ba) 2=9b26ba+a2=96 2 1 +1=7. xy=(2a b)(3ba)=6ab2a 2 3b2+ab =7ab2a 23b2 =7 2 1 23= 2 3 ， 又 xy=|x|y|cos ，即 2 3 =37cos ， cos = 14 21 点评： 本题利用模的性质|a|2=a 2，在计算 x,y 的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如 图所示，设AB=b, AC=a, AD=2a, BAC=60.由向量减法的几
8、何意义，得BD=ADAB=2ab.由余弦 定理易得 |BD|=3，即 |x|=3，同理可得 |y|=7. 题型二：向量共线与垂直条件的考查 实用文档 标准文案 例 1平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3, 1)，B( 1, 3)， 若点 C 满足OCOAOB，其 中，R 且+=1，求点 C 的轨迹方程。. 解： （法一）设C(x,y)，则OC=(x,y)，由OC=(x,y)= (3,1)+ (-1,3)=(3 - , +3 ) 3 3 y x , （可从中解出 、 ）又 + 1消去 、得 x+2y-5=0 （法二）利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知：A，B，
9、C 三点共线，故点C 的 轨迹方程即为直线AB 的方程 x2y 5=0， 例 2已知平面向量a(3， 1)，b( 2 1 , 2 3 ).(1) 若存在实数k 和 t，便得 xa(t 2 3)b, y katb， 且 xy，试求函数的关系式kf(t)；(2) 根据 (1)的结论，确定kf(t)的单调区间 . 思路分析： 欲求函数关系式k=f(t) ，只需找到k 与 t 之间的等量关系，k 与 t 之间的等量关系怎么得到？ 求函数单调区间有哪些方法？（导数法、定义法）导数法是求单调区间的简捷有效的方法？ 解： （1）法一：由题意知x ( 2 332 2 t , 2 2323 2 t ), y (
10、 2 1 t3k， 2 3 tk)，又 xy 故 x y 2 332 2 t （ 2 1 t3k） 2 2323 2 t ( 2 3 tk)0. 整理得： t33t 4k0，即 k 4 1 t 3 4 3 t. 法二： a(3， 1)，b( 2 1 , 2 3 ), . a2，b1 且 ab xy， x y0，即 ka 2t(t23) b 20， t3 3t 4k0,即 k 4 1 t 3 4 3 t (2) 由(1)知： kf(t) 4 1 t 3 4 3 t k f(t) 4 3 t 3 4 3 , 令 k 0 得 1t1；令 k 0 得 t 1或 t1. 故 kf(t) 的单调递减区间是
11、(1, 1 )，单调递增区间是（，1）和（ 1，） . 点评：第（1）问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两 个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积 公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）.第（ 2）问中求函数的极值运用的 是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用. 例 3： 已知平面向量a(3， 1)，b( 2 1 ， 2 3 )，若存在不为零的实数k 和角 ，使向量ca(sin 3)b, d ka (sin)b,且cd，试求实数k 的取值范围 . 实用文档 标准
12、文案 解：由条件可得：k 4 1 ( sin 2 3 ) 2 16 9 ,而 1sin1, 当 sin 1 时， k 取最大值1；sin 1 时， k 取最小值 2 1 . 又 k0 k 的取值范围为 1 ,0)(0,1 2 . 点拨与提示： 将例题中的t 略加改动， 旧题新掘， 出现了意想不到的效果，很好地考查了向量与三角函数、 不等式综合运用能力. 例 4：已知向量) 1 ,2(),2, 1(ba，若正数k 和 t 使得向量 b t akybtax 1 ) 1( 2 与垂直，求k 的最小值 . 解：0) 1 ()1(0 2 b t akbtayxyx即 0)1( 11 2 2 2 2 ba
13、tkba t b t t ak ) 1 ,2(),2, 1 (ba， |a|=3，|b|=3 ba22， 代入上式3k32 11 2 t t t t 当且仅当t= t 1 ，即 t=1 时，取“”号，即k 的最小值是2. 题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查 向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查. 例 7设函数 f (x) a b，其中向量a(2cosx , 1), b (cosx,3sin2x), xR.（1）若 f(x)13且 x 3 ， 3 ，求 x； （2）若函数 y2sin2x 的图象按向量c(m , n) (m 2 )平移后得到
14、函数yf(x)的图象， 求实数 m、 n 的值 . 思路分析 ：本题主要考查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能， 解：(1)依题设， f(x)（ 2cosx，1） (cosx,3sin2x)2cos2x 3sin2x12sin(2x 6 ) 由 12sin(2x 6 )=13，得 sin(2x 6 ) 2 3 . 3 x 3 , 2 2x 6 6 5 , 2x 6 = 3 , 即 x 4 . （2）函数 y2sin2x 的图象按向量c（ m , n）平移后得到函数y2sin2(xm)+n 的图象，即函数yf(x) 的图象 . 由(1)得 f (x)1) 12 (2s
15、in2xm 2 ，m 12 ，n1. 实用文档 标准文案 点评：把函数的图像按向量平移，可以看成是C 上任一点按向量平移，由这些点平移后的对应点所组成的 图象是 C，明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系，也就找到了此问题的解题途径.一般地，函 数 yf (x)的图象按向量a (h , k)平移后的函数解析式为y kf（x h） 、 例 8：已知 a=（cos ，sin ）,b=（cos ,sin ）(0 )， （1）求证：a+b 与 a-b 互相垂直；（2）若 ka+b 与 a-kb 的模大小相等(kR 且 k0)，求 解： （ 1）证法一： a=（cos ，sin ）,b=（cos
16、,sin ） a+b（ cos +cos ，sin + sin ）, a-b（ cos -cos ，sin - sin ） (a+b) (a-b)=（cos +cos ，sin + sin ） （cos -cos ，sin - sin ） =cos 2 -cos2 +sin2 - sin2 =0 (a+b) (a-b) 证法二： a=（cos ，sin ）,b=（cos ,sin ）|a|1，|b|1 (a+b) (a-b)= a2-b2=|a|2-|b|2=0 (a+b) (a-b) 证法三： a=（cos ，sin ）,b=（cos ,sin ） |a| 1，|b|1, 记OAa，OBb，
17、则 |OA| |OB|=1, 又 ， O、A、 B 三点不共线 . 由向量加、 减法的几何意义，可知以 OA、OB 为邻边的平行四边形OACB 是菱形， 其中OC a+b，BA a-b，由菱形对角线互相垂直，知(a+b)(a-b) （2）解：由已知得|ka+b|与|a-kb|, 又 |ka+b|2(kcos +cos )2+(ksin +sin )2=k2+1+2kcos( ), |ka+b| 2 (cos -kcos )2+(sin -ksin )2=k2 +1-2kcos( ), 2kcos( )= -2kcos( ) 又 k0cos( )0 0 0 , = 2 注：本题是以平面向量的知识
18、为平台，考查了三角函数的有关运算，同时也体现了向量垂直问题的多种证 明方法，常用的方法有三种，一是根据数量积的定义证明，二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用向量 运算的几何意义来证明. 题型四：向量运算的几何意义与解析几何 由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽 带， 文科应重视由向量运算的几何意义求圆的方程和椭圆方程。 例 9：设 G、H 分别为非等边三角形ABC 的重心与外心，A(0，2)， B（0， 2）且ABGM(R).（） 求点 C(x，y)的轨迹 E 的方程；（）过点 (2， 0)作直线 L 与曲线 E 交于点 M、N 两点
19、，设ONOMOP， 是否存在这样的直线L，使四边形OMPN 是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由. 实用文档 标准文案 思路分析 ： （1）通过向量的共线关系得到坐标的等量关系.（2）根据矩形应该具备的充要条件，得到向量垂直 关系，结合韦达定理，求得k 的值 . 解： （）由已知得(,) 3 3 xy G, 又GHAB，(,0) 3 x H CH=HA 222 ()()4 33 xx xy即 22 1(2 3) 124 xy x （2）设 l 方程为 y=k(x-2)，代入曲线E 得（3k2+1）x2-12k2x+12(k2-1)=0 设 N (x1，y1)，M ( x2， y
20、2)，则 x1 +x2= 2 2 12 31 k k ，x1x2= 2 2 12(1) 31 k k OPONOM，四边形 OMPN 是平行四边形. 若四边形 OMPN 是矩形，则ONOM x1x2+y1y2=0 222 2 222 12(1)12(1)24 (4)0 313131 kkk k kkk 得k=3 直线 l 为： y= 3(2)yx 点评 ：这是一道平面几何、解析几何、向量三者之间巧妙结合的问题. 例 10：已知椭圆方程1 4 2 2 y x ，过 B（ 1，0）的直线l 交随圆于C、D 两点，交直线x 4 于 E 点， B、 E 分CD的比分 1、2求证： 1 20 解： 设
21、l 的方程为y k( x1) ，代入椭圆方程整理得 （4k 21）x28k2x4(k2 1) 0. 设 C（x1, y2）,D( x2, y2) ，则 x1x2 14 44 , 14 8 2 2 212 2 k k xx k k . 由BDCB 1 得), 1(),1( 2211 yxyx 所以 1 1 ),1(1 2 1 1211 x x xx. 同理，记EEDCEyE 2 ), 4( 得 4 4 ),4(4 2 1 2221 x x xx 4 4 1 1 2 1 2 1 21 x x x x )4)(1( 8)(52 22 2121 xx xxxx 其中 ,08 14 8 5 14 44
22、28)( 52 2 2 2 2 2121 k k k k xxxx 021. 例 11： 给定抛物线C:y 24x， F 是 C的焦点，过点 F 的直线 l 与 C相交于 A、 B两点 . 设 l 的斜率为 1， 求OA与OB 夹角的余弦。 解：C的焦点为F（1，0）, 直线 l 的斜率为 1，所以 l 的方程为yx1, 将 yx1 代入方程y 2 =4x，并整理得x 26x10 实用文档 标准文案 设 A（x1, y1） ,B( x2, y2), 则有 x1x26, x1x21， 从而OAOBx1x2y1y2 2x1x2( x1+x2)+1 3 OAOB 2 1 2 1 yx 2 2 2 2
23、 yx41, cosOBOA, OBOA OBOA 41 413 例 12已知点G 是 ABC 的重心， A(0, 1)，B(0, 1) ，在 x 轴上有一点M，满足 |MA|=|MC|，GMAB (R)求点C 的轨迹方程； 若斜率为k 的直线 l 与点 C 的轨迹交于不同两点P，Q，且满足 |AP|=|AQ|，试求 k 的取值范围 分析 本题依托向量给出等量关系，既考查向量的模、共线等基础知识，又考查动点的轨迹，直线与椭 圆的位置关系.通过向量和解析几何间的联系，陈题新组，考查基础知识和基本方法.按照求轨迹方程的方法步 骤，把向量问题坐标化，几何问题代数化. 解：设 C(x, y)，则 G(
24、 x 3 , y 3 )GMAB(R)， GM/AB, 又 M 是 x 轴上一点，则M( x 3 , 0)又 |MA|=|MC|， 2222 xx ()(01)(x)y 33 ，整理得 2 2x y1(x0) 3 ，即为曲线C 的方程 当 k=0 时， l 和椭圆 C 有不同两交点P， Q，根据椭圆对称性有|AP|=|AQ| 当 k 0时，可设l 的方程为y=kxm， 联立方程组 2 2 1 3 ykxm x y 消去 y，整理行 (13k 2 )x 26kmx3(m21)=0（ *） 直线 l 和椭圆 C 交于不同两点， =(6km)24(13k2)( m 21)0，即 13k2m20 (1
25、) 设 P(x1, y1)， Q(x2, y2)，则 x1, x2是方程（ *）的两相异实根，x1x2= 2 6km 13k 则 PQ 的中点 N(x0, y0)的坐标是 x0= 12 xx 2 = 2 3km 13k ，y0= k x0 m= 2 m 13k ， 即 N( 2 3km 13k , 2 m 13k )， 又|AP|=|AQ|，ANPQ， kkAN=k 2 2 m 1 13k 3km 13k =1， m= 2 13k 2 . 将 m= 2 13k 2 代入(1)式,得 13k2( 2 13k 2 ) 20（k0） ， 实用文档 标准文案 即 k 21，k(1, 0)(0, 1) 综合得， k 的取值范围是 (1, 1) 对题目的要求：有较大的难度，有特别的解题思路、演变角度，要有一定的梯度.