锐角三角函数知识点总结材料与复习.pdf

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1、实用标准 文档 锐角三角函数知识点总结与复习 1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 222 cba 2、如下图，在RtABC中， C为直角， 则 A的锐角三角函数为( A可换成 B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正 弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正 切值。 5、0、30、45、 60、90特殊角的三角函数值(重要 ) 三角函数030456090 定义表达式取值范围关系 正弦 斜边 的对边A Asin c a Asin 1sin0A ( A为锐角 ) BAcossin BA

2、sincos 1cossin 22 AA 余弦 斜边 的邻边A Acos c b Acos 1cos0A ( A为锐角 ) 正切 的邻边 的对边 A tan A A b a Atan 0tan A ( A为锐角 ) BAcottan BAtancot A A cot 1 tan(倒数 ) 1cottanAA 余切 的对边 的邻边 A A Acot a b Acot 0cot A ( A为锐角 ) )90cot(tanAA )90tan(cotAA BAcottan BAtancot )90cos(sinAA )90sin(cosAA BAcossin BAsincos A90B 90 得 由B

3、A 对 边 邻 边 b 斜边 A C B a c A90B 90 得 由BA 直角三角形中 的边角关系 锐角三 角函数 解直角 三角形 实际问题 实用标准 文档 sin0 2 1 2 2 2 3 1 cos 1 2 3 2 2 2 1 0 tan0 3 3 1 3不存在 cot 不存在31 3 3 0 6、正弦、余弦的增减性： 当 090时， sin随的增大而增大， cos随的增大而减小。 7、 正切、余切的增减性：当 0 90时，tan随的增大而增大，cot 随的增大而减小。 一、知识性专题 专题 1：锐角三角函数的定义 例1 在Rt ABC中，ACB 90，BC 1，AB 2，则下列结论正

4、确的是 ( )Asin A 3 2 B tan A 1 2 C cosB 3 2 D tan B3 分析 sinA BC AB 1 2 ，tan A BC AC 3 3 ，cos B BC AB 1 2 故选 D. 例 2 在ABC中，C90， cosA 3 5 , 则 tan A等于；分析在 RtABC 中，设AC3k，AB5k，则BC4k，由定义可知tan A 44 33 BCk ACk 分析在 Rt ABC中，BC 2222 54ABAC3， sin A 3 5 BC AB 故填 3 5 例 3 （12哈尔滨）在 RtABC中，C=90 0， AC=4 ， AB=5 ，则 sinB 的值

5、是 ； 【解析】本题考查了锐角三角函数的意义解题思路：在直角三角形中，锐角的正弦等于 对边比邻边，故sinB= 5 4 . 例 4 （2012 内江）如图 4 所示，ABC的顶点是正方形网格的格点，则 sinA 的值为； 【解析】欲求sinA ，需先寻找 A所在的直角三角形，而图形中A所在的 ABC并不 是直角三角形，所以需要作高观察格点图形发现连接CD （如下图所示） ，恰好可证得CD AB，于是有sinA CD AC 2 10 5 5 C B A 图 4 D C B A 图 4 实用标准 文档 例 5 ( 2012宁波 ) ，RtABC,C=90 0,AB=6,cosB=2 3 , 则 B

6、C的长为 ； 【解析】 cosB=BC AB = 2 3 ，又 AB=6 BC=4 例 6（2012 贵州铜仁）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角的邻边与对边的比 叫做角的余切， 记作 ctan, 即 ctan= BC AC 的对边角 的邻边角 ，根据上述角的余切定义， 解下列问题：（1）ctan30 ? = ； （2）如图，已知tanA= 4 3 ，其中 A为锐角，试求ctanA 的值 【分析】（1）可先设最小边长为一个特殊数（这样做是为了计算方便），然后在计算出其它 边长，根据余切定义进而求出ctan30 ? 。 （2） 由 tanA= 4 3 ， 为了计算方便， 可以设 BC=3 A

7、C=4 根据余切定义就可以求出ctanA 的值【解析】（1）设 BC=1, =30 ? AB=2由勾股定理得：AC=3ctan30 ? = BC AC =3(2) tanA= 4 3 设 BC=3 AC=4 ctanA= BC AC = 3 4 例 7 （ 2012 山东滨州） 把 ABC三边的长度都扩大为原来的3 倍，则锐角 A的正弦函数 值（）A不变 B缩小为原来的 1 3 C扩大为原来的3 倍 D不能确定 【解析】 因为 ABC三边的长度都扩大为原来的3 倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐 角 A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变 【答案】选A 例 8（2012 湖南）观察下列

8、等式 sin30 = cos60= sin45 = cos=45=sin60 = cos30 = 根据上述规律，计算sin 2a+sin2（90 a） = 解析：根据可得出规律，即sin 2a+sin2（90 a）=1，继而可得出答案 答案：解：由题意得，sin 230+sin2（90 30） =1；sin245+sin2（90 45） =1； sin 260+sin2（90 60） =1；故可得 sin2a+sin2（90 a）=1故答案为： 1 点评：此题考查了互余两角的三角函数的关系，属于规律型题目，注意根据题意总结，另 外 sin 2a+sin2（90 a）=1 是个恒等式，同学们可以

9、记住并直接运用 例 9 (2012山东德州 ) 为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出 如下图形，其中ABBE，EFBE，AF交BE于D，C在BD上有四位同学分别测量 出以下四组数据：BC，ACB； CD，ACB，ADB；EF，DE，BD；DE，DC，BC能 根据所测数据，求出A，B间距离的有哪组 22 题图 实用标准 文档 【解析】对于，可由公式AB=BC tan ACB求出 A、B 两点间的距离；对于，可设AB 的长为 x，则 BC= x tanACB ，BD= x tanADB ，BD-BC=CD ，可解出AB 对于，易知 DEF DBA ，则 DEBD EFAB

10、，可求出AB的长；对于无法求得，故有、三组【点 评】此题考查解直角三角形和三角形相似的性质与判定在直角三角形中至少要有已知一 边和一角才能求出其他未知元素；判定两三角形相似的方法有：AA ，SAS ，SSS ，两直角三 角形相似的判定还有HL 例 10（2012 江苏泰州18）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D 都 在这些小正方形的顶点上，AB 、CD相交于点P，则 tan APD的值是 【解析】要求 tan APD的值，只要将APD放在直角三角形中，故过B作 CD的垂线，然 后利用勾股定理计算出线段的长度，最后利用正切的定义计算出结果即可 【答案】作BM CD ，DN

11、AB垂足分别为M 、N，则 BM=DM= 2 2 ，易得： DN= 10 10 ，设 PM=x ， 则 PD= 2 2 -x ，由 DNP BMP ，得： PNDN PMBM ，即 10 10 2 2 PN x ， PN= 5 5 x，由 DN 2 +PN 2 =PD 2 ， 得 ： 1 10 + 1 5 x 2=(2 2 -x) 2 ， 解 得 ： x1= 2 4 ， x2=2（ 舍 去 ） ， tan APD= 2 2 2 4 BM PM =2 例 11.（2011 江苏苏州）如图，在四边形ABCD 中， E、F 分別是 AB 、AD的中点，若EF=2， A B C D E F F 实用标

12、准 文档 BC=5 ，CD=3 ，则 tanC 等于 分析：根据三角形的中位线定理即可求得BD的长，然后根据勾股定理的逆定理即可证得 BCD是直角三角形，然后根据正切函数的定义即可求解 解答：解：连接BD E、F分別是 AB 、AD的中点 BD=2EF=4 BC=5，CD=3 BCD是直 角三角形tanC= 4 3 例 12（ 2011 山东日照）在RtABC中， C=90，把 A 的邻边与对边的比叫做A 的余切，记作cotA= a b 则下列关系式中不成立的是（） AtanA ? cotA=1 B sinA=tanA ? cosA C cosA=cotA ? sinA Dtan 2A+cot

13、2A=1 解答： 解：根据锐角三角函数的定义，得 A、tanA ? cotA= a b b a =1，关系式成立； B、sinA= c a ，tanA ? cosA= c a c b b a ，关系式成立； C、cosA= ，cotA ? sinA= c b a b c a ，关系式成立；D、tan 2A+cot2A=（ b a ） 2+（ a b ） 21， 关系式不成立 故选 D 点评：本题考查了同角三角函数的关系（1） 平方关系： sin 2A+cos2A=1 （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的 比，即 tanA= B A cos sin 或

14、 sinA=tanA ? cosA（ 3）正切之间的关系：tanA ? tanB=1 例 13 （2011? 贵港）如图所示， 在 ABC中，C=90 ，AD是 BC边上的中线， BD=4 ， AD=2， 则 tan CAD的值是 解 答 ： 解 ： AD 是BC 边 上 的 中 线 ， BD=4， CD=BD=4 ， 在Rt ACD 中 ， AC=2， tan CAD= =2故选 A 例 14（2011 烟台）如果ABC中， sinA=cosB= 2 2 ，则下列最确切的结论是（）A. ABC是直角三角形 B. ABC是等腰三角形C. ABC是等腰直角三角形D. ABC是锐 角三角形 实用标

15、准 文档 解： sinA=cosB= 2 2 ，A=B=45，ABC是等腰直角三角形故选C 例15 （ 2011 四 川 ） 如 图 所 示 ， 在 数 轴 上 点A所 表 示 的 数x的 范 围 是 （） A、 3 30sin60 2 sinxB 、 3 cos30 2 xcos45 C、 3 tan30 2 xtan45D 、 3 cot450 2 xcot3 解答： 故选D 同步练习1（2011 甘肃）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将ACB绕着点 A逆时针旋转得到AC B，则 tanB 的值为 解答 ：解：过C点作CDAB，垂足为D根据旋转性质可知，B=B在 RtBCD

16、中， tanB= CD：BD= 1 3 ， tanB=tanB= 1 3 2 （ 2011 甘肃兰州）点M（ sin60 ， cos60）关于x轴对称的点的坐标是 解： sin60 = 3 2 ，cos60= 1 2 ，点M（ 3 2 ， 1 2 ）点 P（m，n）关于x轴对 称点的坐标P（m，-n），M关于x轴的对称点的坐标是（ 3 2 ， 1 2 ）故选B 3（2011 广东）已知：45A90，则下列各式成立的是（） A、sinA=cosA B、sinAcosAC、sinAtanAD、sinAcosA 解答： 解： 45A90，根据sin45 =cos45， sinA 随角度的增大而增大，

17、cosA 随角度的增大而减小，当A45时，sinAcosA，故选： B 4、（2011? 宜昌）教学用直角三角板，边AC=30cm ， C=90， tan BAC= 3 3 ，则边BC 的长为cm 解：在直角三角形ABC中，根据三角函数定义可知：tan BAC=BC AC ，又 AC=30cm ，tan BAC= 3 3 ，则 BC=ACtan BAC=30 3 3 =103cm 故选 C 5、 （2011 福建莆田）如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使 点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tanAFE的值为 A B C C B 实用标准 文档 解答

18、： 解：四边形ABCD是矩形，A=B=D=90，CD=AB=4，AD=BC=5， 由题意得：EFC=B=90，CF=BC=5，AFE+DFC=90，DFC+FCD=90， DCF=AFE，在RtDCF中，CF=5，CD=4，DF=3， tanAFE=tanDCF= DF DC = 3 4 6、 （ 2012 连云港）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过 点 B的直线折叠，使点A落在 BC上的点 E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落 在 BC上的点 F处，这样就可以求出67.5 的角的正切值是 E CD AB F 【答案】设AB=x,则 BE=x,在直角三

19、角形ABE中，用勾股定理求出AE=EF=2x, 于是 BF= （2+1）x. 在直角三角形ABF中， tan FAB= (21)BFx ABx =2+1=tan67.5 . 选 B。 7、（2012 福州）如图15，已知 ABC ，AB=AC=1 ，A=36， ABC的平分线BD交 AC于点 D，则 AD的长是，cosA 的值是 .（结果保留根号） 解析：由已知条件，可知BDC 、 ADB是等腰三角形，且DA=DB=BC，可证 BDC ABC ， 则有 BCDC ACBC ，设 BC=x ，则 DC=1-x，因此 2 1 ,10 1 xx xx x 即，解方程得， 12 5151 , 22 x

20、x（不合题意，舍去），即AD= 51 2 ；又 cosA= 1151 2 4 5151 2 2 AB AD 答案： 5151 , 24 8、（2012 南京）如图，将45的 AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下 沿的端点重合，OA与尺下沿重合.OB 与尺上沿的交点B 在尺上的读书恰为2 厘米，若按相 同的方式将37的 AOC放置在该刻度尺上，则OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数为 厘米 . （结果精确到0.1 厘米，参考数据sin37 00.60,cos3700.80,tan370 0.75 ） CB A O 4 321 实用标准 文档 解析：由于 AOB=45 ，B点读书为2

21、 厘米，则直尺的宽为2 厘米，解直角三角形得点C的 读数为 2tan37 020.75 2.7 厘米 . 答案： 2.7 9、（ 2012湖南张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据 此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中 A=D=90 ，AB=BC=15 千米，CD=23千 米，请据此解答如下问题： （1） 求该岛的周长和面积（结果保留整数， 参考数据21.414 73.1345.26）（ 2） 求 ACD的余弦值 . 【解答】（ 1）结 AC ， AB=BC=15 千米， B=90， BAC= ACB=45 ， AC=152千米 . 又 D=90 ， AD= 2

22、222 )23()215(CDAC=123（千米） 周长 =AB+BC+CD+DA=30+32+123=30+4.242+20.784 55（千米） . 面积 =SABC+SADC= 2 1 15 15+ 2 1 12332= 2 225 +186157（平方千米） . （2）cosACD= 5 1 215 23 AC CD . 10、（ 2012 甘肃兰州）在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度。如图（1），虚线为 楼梯的倾斜度，斜度线与地面的夹角为倾角，一般情况下，倾角越小，楼梯的安全程度 越高；如图（ 2），设计者为了提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角 1减至2，这样楼梯 占用地板的长

23、度由d1增加到 d2，已知 d1=4 米， 1 40， 2 36，楼梯占用地板的 长度增加了多少米？ （计算结果精确到0.01 米。 参考数据：tan40 =0.839 ， tan36 =0.727 ） A C B D 实用标准 文档 解析： 根据在 Rt ACB中，AB=d1tan 1=4tan40 ，在 Rt ADB中，AB=d2tan 2=d2tan36 ， 即可得出d2的值，进而求出楼梯占用地板增加的长度 解：由题意可知可得，ACB= 1， ADB= 2在 RtACB中， AB=d1tan 1=4tan40 ， 在 RtADB中， AB=d2tan 2=d2tan36 ，得 4tan4

24、0 =d2tan36 ， d2= 4 tan40 tan36 4.616 ， d2-d1=4.616-4=0.6160.62 ，答：楼梯占用地板的长度增加了0.62 米 11、 （2012 贵州）为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修 隧道 AB ，如图，在山外一点C测得 BC距离为 200m， CAB=54 ， CBA=30 ，求隧道AB 的长 （参考数据：sin54 0.81 ，cos54 0.59 ，tan54 1.38 ，1.73 ，精确到 个位） 解析： 首先过点C作 CD AB于 D，然后在RtBCD中，利用三角函数的知识，求得BD，CD的长，继而在Rt

25、中，利用 CAB的正切求得AD的长，继而求得答案 答案： 解：过点C作 CD AB于 DBC=200m ， CBA=30 ， 在 RtBCD中， CD= BC=100m ，BD=BC ? cos30=200=100173（m ） ， CAB=54 ，在 RtACD中， AD=74（m ） ， AB=AD+BD=173+74=247 （m ） 答：隧道AB的长为 247m 12、 （2011 新疆建设兵团）如图，在ABC中，A90（ 1）用尺规作图的方法，作 出ABC绕点A逆时针旋转45后的图形AB1C1（保留作图痕迹）； （2）若AB3，BC5，求 tan AB1C1 第 22 题图 d2 实

26、用标准 文档 解答： 解：（ 1）作CAB的平分线，在平分线上截取AB1AB，作C1AAB1，在AC1上截 取AC1AC，如图所示即是所求（2）AB3，BC5，AC4，AB13，AC14，tan AB1C1 AC1 AB1 4 3 专题 2 特殊角的三角函数值 例 1（ 2012，湖北孝感）计算：cos 245 +tan30 sin60 =_ 【答案】 1 例 2（ 2012 陕西）计算： 0 2cos45 -3 8+ 1- 2= 【解析】原式 2 =2-32 2+1=-52+1 2 【答案】-5 2+1 例 3(2012 广安 ) 计算：) 3 2 ( 2 18 cos45 o+1 3； 解

27、析： 1 182 ()cos453 23 = 3 2221 2323 =21 例 4 计算 | 3| 2cos 45 (3 1) 0 解：原式 32 2 2 12 2 例 5 计算 1 2 9 ( 1) 2007cos 60 解：原式 1 2 3( 1) 1 2 312 例 6 计算 | 2 | (cos 60 tan 30 ) 0 8 解：原式2 1 十 22 32 1 例 7 计算 3 1 2 ( 3.14) 0|1 tan 60 | 1 32 . 解：原式 813 13 210. 例 8（ 2012 呼和浩特）计算： 11 |12 |2 sin45 【解析】三角函数、绝对值、乘方 实用标

28、准 文档 【答案】 11 |12 | 2 sin 45 11 (21) 22 2 1 221 2 3 2 例 9（2011 天水）计算：sin 230+tan 44tan46+sin 260= 分析： 根据特殊角的三角函数值计算tanA?tan（90A）=1 解答： 解：原式 = 1 4 +1+ 3 4 =2故答案为2 例 10 （2011? 莱芜）若 a=3tan60 ，则 1 96 ) 1 2 1( 2 a aa a = 。 3 3 解答：解：a=3tan60=33，原式 = 2 3-a 1-a 1 21 ）（ a a = 3 1 a = 3 3 3 1 333 1 故答案为： 3 3 练

29、习 1、（ 2011 浙江）计算：| 1| 1 8 2 （ 5） 0+4cos45. 【解】原式 =1 1 2 22 1+4 2 2 =2 练习 2、（ 2011 浙江衢州）（1）计算： | 2| （ 3） 0+2cos45； 解答： 解： （ 1）原式 = 2 212 2 ，=12； 练习 3、计算： 2011 0 82sin45 ； 原式 122212； 练习 3、观察下列各式：sin 59 sin 28 ； 0cos1(是锐角 ) ； tan 30 tan 60 tan 90 ； tan 44 1其中成立的有 ( ) A 1 个 B 2 个 C3 个 D4 个 练习 3、C 提示： si

30、n 59 sin 28成立， 0cos1(是锐角 )成立，tan 30 tan 60 3 3 3 tan 90 ， tan 44 tan 45 ，即 tan 44 1 练习 4、计算 2sin 30 tan 60 tan 45 练习 5、如图 28 146 所示，在ABC中，A30， tanB 1 3 ，BC10 ， 则AB的长为 实用标准 文档 练习 6、当xsin 60 时，代数式 2 24 2 xx x 2 2 2 44 xx xx 4 2 x x 的值是 练习 7、已知 cos 59 24 0.509 ，则 sin 30 36 练习8、若A，B互余，且tan Atan B 2，则tan

31、 2A tan 2B 练习 9、如图 28147 所示，在菱形ABCD中，AEBC于E，EC1，cosB 5 13 ，则这个菱形的面积是 . 10已知正方形ABCD的边长为1，若将线段BD绕着点B旋转后，点D 落在DC延长线上的点D处，则BAD的正弦值为 . 11如图 28148 所示，若将四根木条钉成的矩形木框变为平行四边形ABCD的形状，并使 其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角等 于 12在ABC中，B30， tan C 2，AB 2，则BC 13设为锐角，且x 23x2sin 0 的两根之差为5 则 14如图 28 149 所示，在ABC中，C90，点D在BC边上，B

32、D4，ADBC， cosADC 3 5 (1) 求DC的长； (2) 求 sinB的值 练习 4、 23 提示： 2sin 30 tan 60 tan 45 2 1 2 3 123. 练习 5、33 提示：过点C作CDAB，垂足为D， 在 RtBDC中，tan B 1 3 1 3 CD BD ， BD3CD，BC10 ，CD 2(3 CD) 2( 10 ) 2， CD1，BD 3在 RtADC中，tan A CD AD ，AD3 ，ABADBD33 . 练习 6、3 提示： 2 24 2 xx x 2 2 2 44 xx xx 4 2 x x 2x，原式 2sin 60 3 练习 7、 0.5

33、09 提示： sin 30 36 cos 59 24 练习 8、 6 提示：A，B互余， tan Atan B1，tan 2A tan 2B (tan Atan B) 22tan Atan B2 22 6 练习 9、 39 16 提示： cos B 5 13 ，设BE5x，则AB13x，AE 22 ABBE 12x ABBCBECE，13x5x1，x 1 8 ，则AE12x 12 1 8 3 2 ，BC5x15 1 8 1 13 8 ，S 3 2 13 8 39 16 10 5 5 提示 : 如图 28155 所示，根据题意得DD 2DC，设正方形的边长为x，则AD x，DD 2xADD 90

34、，根据勾股定理得AD 22 ADDD5xADx， sin ADD AD AD 5 55 x x . ABDD，BADADD， sin BAD 实用标准 文档 5 5 11 30 提示：如图28156 所示，S ABCD 1 2 S矩形 BEFC，且 BCBC( 底相同 ) ，GC 1 2 FCCFDC，GC 1 2 DC， 1 2 CG DC DGC90， sin 30 1 2 ，CDG30， 即这个平行四边形的一个最小内角为30 12 1 2 3 1330 提示：x1x22sin，x1x2 3，则 (x1x2) 2( x1x2) 24x 1x298sin (5 ) 2， sin 1 2 ，3

35、0 14解： (1) cosADC 3 5 ，设CD3x，则AD5x，AC4x，BCAD5xBD BCCD， 5x3x4，x2，CD 3x6 (2)AC4x8，BC 5x10，AB 2222 810241ACBC， sin B 84 41 412 41 AC AB 专题三：题型一俯角与仰角仰角：视线在水平线上方 的角； 俯角：视线在水平线下方的角。 仰角 铅垂线 水平线 视线 视线 俯角 例 1、（ 2012 湖北襄阳）在一次数学活动中，李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形 量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD 如图5，已知李明距假山的 水平距离BD 为 12m ，他的眼睛

36、距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA 和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60刻度线，则假山的高度为 m 【解析】如下图，过点A作 AFCD于 F，则 AFBD12m ， FDAB 1.6m再由 OE CF 可知 C AOE 60所以，在RtACF中， CF tan60 AF 43 ，那么CD CF FD (431.6)m 例 2、（ 2012 珠海）如图，水渠边有一棵大木瓜树，树干DO （不计粗细）上有两个木瓜A、 A O B E D C F 图 5 C D A B O E 实用标准 文档 B（不计大小），树干垂直于地面，量得AB=2 米，在水渠的对面与O 处于

37、同一水平面的C 处测得木瓜A的仰角为45、木瓜B的仰角为30. 求 C处到树干DO的距离 CO.（结果精 确到 1 米）（参考数据：41.12,73.13） 第 16题图 D B A OC 【解析】如图, 根据题意 , 得 COD 90, ACO 45, BCO 30, AB2, 求 CO.设 CO 为 x 米, 根据 AO CO,列方程 , 解得即可 . 【答案】解 : 设 CO为 x 米在RtBCO中,tan30 BO CO , 则 BO 3 3 x 在RtACO中,AOCO,得方程 3 3 x2x 解得 x5. 答: CO 长大约是5 米. 例 3、（ 2012 江苏盐城）如图所示，当小

38、华站立在镜子EF前 A处时，他看自己的脚在镜中 的像的俯角为45 0 ：如果小华向后退0.5 米到 B 处，这时他看自己的脚在镜中的像的俯角 为 30 0 . 求小华的眼睛到地面的距离。 （结果精确到0.1 米，参考数据：31.732 ）. 【答案】 设 AC=BD=x ， 在 Rt ACA1中，AA1C=45 0， AA 1=x， 在 RtDBB1中，BB1= 0 tan30 x =3x， 又 1 2 BB1- 1 2 AA1= 1 2 , 即 1 2 3x- 1 2 x= 1 2 ，解得： x= 3 1 2 1.4 （米） 例 4、 （2012 山西）如图， 为了开发利用海洋资源，某勘测飞

39、机预测量一岛屿两端AB 的距离，飞机在距海平面垂直高度为100 米的点 C处测得端点A的俯角为 60，然后沿着 平行于 AB的方向水平飞行了500 米，在点D测得端点B的俯角为45，求岛屿两端A B 的距离（结果精确到0.1 米，参考数据：） 【解析】解：过点A作 AE CD于点 E，过点 B作 BFCD于点 F， ABCD ， AEF=EFB= ABF=90，四边形ABFE为矩形 AB=EF ，AE=BF 由题意可知：AE=BF=100米， CD=500米 2 分 第 24 题图 实用标准 文档 在 RtAEC中， C=60， AE=100米 CE=（米）4 分在 Rt BFD中， BDF=

40、45 ， BF=100 DF=100 （ 米） 6 分 AB=EF=CD+DFCE=500+100 600 1.73 600 57.67 542.3 （米） 8 分答：岛屿两端AB的距离为 542.3 米 例 5、（2012 呼和浩特22）如图，线段AB、DC分别表示甲、乙两建筑物的高。某初三课外 兴趣活动小组为了测量两建筑物的高，用自制测角仪在B处测得D点的仰角为，在A处 测得D点的仰角为。已知甲、乙两建筑物之间的距离BC为m。请你通过计算用含、 m的式子分别表示出甲、乙两建筑物的高度。 【答案】解：过点A作AMCD于M在Rt BCD中，tan= CD BC CD=BCtan=m tan 在

41、RtAMD中，tan = DM AM DM=AMtan =mtan AB=CDDM=m(tantan ) 例 6、 （2012 湖北随州， 20）在一次暑假旅游中，小亮在仙岛湖的游船上（A处） ，测得湖西 岸的山峰太婆尖（C 处）和湖东岸的山峰老君岭（D 处）的仰角都是45，游船向东航行 100 米后（ B处） ，测得太婆尖、老君岭的高度为多少米？（31.732，结果精确到米） 。 解析：设太婆尖高h1米，老君岭高h2米。可分别在直角三角形中利用正切值表示出水 平线段的长度，再利用移动距离为AB=100米，可建立关于h1、h2的方程组，解这个方程组 求得两山峰高度。 答案：设太婆尖高h1米，老

42、君岭高h2米，依题意，有 100 60tan45tan 100 45tan30tan 22 11 hh hh F E 第20题图 60 o 30 o 45 o 45 o D(老君岭 ) C（太婆尖） BA 乙 甲 A D B M C 实用标准 文档 1376 .136)1732.1 (50)13(50 45tan60tan 100 1 h（米） 3 3 1 100 30tan45tan 100 2 h 2376.236)732.13(50)33(50) 13(350（米）答：太婆尖高 度为 137 米，老君岭高度为237 米。 题型二方位角问题1、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水 平角

43、，叫做方位角。 如图 3，OA 、OB 、OC 、OD的方向角分别是： 45、 135、225。 2、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90的水平角， 叫做方向角。 如图 4：OA 、OB 、OC 、OD的方向角分别是：北偏东30（东北 方向），南偏东 45（东南方向），南偏西60（西南方向），北 偏西 60（西北方向）。 例 1、（ 2011 山东省潍坊）轮船从B 处以每小时海里的速度沿男偏东 30方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东75方向上，轮船 航行半小时到达C 处，在观测灯塔A 北偏东60方向上，则C 处与灯 塔 A的距离是海里 解答： BC=500.5=25 海里；根

44、据方位角知识得，BCD=30 ， =75 30； CB= BCD+ ACD=30 +60=90； A=CBD=45 所以 CA=CB 所以 CB=25海里 例 2、 （2012 年四川德阳）某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏 东 30方向， 且相距 20 海里 . 客轮以 60 海里 / 小时的速度沿北偏西60方向航行 3 2 小 时 到 达B 处 ， 那 么tan ABP=A. 2 1 B.2 C. 5 5 D. 5 52 实用标准 文档 【解析】如图6 所示，根据题意可知APB=90 且AP=20, PB=60 2 3 =40. 所以 tan ABP= 201 402 P

45、A PB 例 3、 （2012 连云港） 已知 B港口位于A观测点北偏东53.2 方向， 且其到 A观测点正北方 向的距离BD的长为 16km。一艘货轮从B港口以 40km/h 的速度沿如图所示的BC方向航行， 15min 后到达 C 处。现测得C处位于观测点北偏东79.8 方向。求此时货轮与A 观测点 之间的距离AC的长（精确到0.1km）.( 参考数据： sin53.2 0.80 ，cos53.2 0.60 ， sin79.8 0.98 ，cos79.8 0.18 ，tan26.6 0.50 ，21.41 ，52.24) 东 北 D A观测点 C B D A观测点 C B H 【解析】过点B 作 AC的垂线，把所求线段AC换为两线段的差。利用RtABH和 RtBCH 求线段 AH 、CH的长，利用AH CH确定 AC的长。 【 答 案 】 BC=40 15 60 =10. 在Rt ADB 中 ， sin DAB=DB AB , sin53.2 0.8 。 所 以 AB= DAB DB sin 1.6 0.8 =20. 如图，过点B作 BH AC，交 A