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1、1.（本题满分15 分）如图，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三 角形。,E F O分别为,PA PB PC的中点，16,10ACPAPC。 （I ） 设C是OC的中点，证明：/PC平面BOE； w.w.ws.5.u.c.o.m （II ）证明：在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，并求点M到OA,OB的距 离。 2.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中， P 是侧棱 CC1上的一点， CP=m， （）试确定m，使得直线AP 与平面 BDB1D1所成角的正切值为3 2； （）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q 在平面 APD 1上的射
2、影 垂直于 AP，并证明你的结论。 3. 如图甲， ABC 是边长为6 的等边三角形，E，D 分别为 AB、 AC 靠近 B、C 的三等分 点，点 G 为 BC 边的中点线段AG 交线段 ED 于 F 点，将 AED 沿 ED 翻折， 使平面 AED 平面 BCDE ，连接 AB 、AC 、AG 形成如图乙所示的几何体。 （I）求证 BC平面 AFG ； （II）求二面角BAED 的余弦值 . x y z 4 在 如 图 所 示 的 几 何 体 中 ，EA平 面ABC，DB平 面ABC，ACBC， 2ACBCBDAE，M是 AB的中点 （1）求证：CMEM； （2）求 CM 与平面 CDE所成
3、的角 5. 如 图 ， 矩 形ABCD和 梯 形BEFC所 在 平 面 互 相 垂 直 ，BECF， 90BCFCEF，3AD，2EF （）求证：AE平面DCF； （）当AB的长为何值时，二面角AEFC的大小为60？ 6. 如图，在矩形ABCD 中，点 E，F 分别在线段AB，AD 上，AE=EB=AF=.4 3 2 FD沿直 线 EF 将AEF翻折成,EFA使平面EFA平面 BEF. （I）求二面角CFDA的余弦值； （II）点 M，N 分别在线段FD，BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与A重合，求线段FM 的长 . E M A C B D D A B E F C （
4、第 18 题） 7. 如图，在三棱锥P-ABC 中， AB AC，D 为 BC 的中点， PO平面 ABC ，垂足 O 落在 线段 AD 上，已知BC8，PO4，AO3，OD2 （）证明： APBC； （）在线段AP 上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由。 8. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面是边长为2 3的菱形， BAD=120 ，且 PA平面 ABCD ，PA=2 6, M ，N 分别为 PB,PD 的中点。 （1）证明： MN 平面 ABCD ； （2）过点 A 作 AQ PC，垂足为点Q，求二面角A-MN-Q的平面角的余弦
5、值。 9. 如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD， BCCD，2AD，2 2BDM是AD的中点，P是BM的中 点，点Q在线段AC上，且3AQQC （）证明：/ /PQ平面BCD； （）若二面角CBMD的大小为60，求BDC的大小 10. 如图，在五面体ABCDEF中，已知DE平面 ABCD ，/ /ADBC ， o 60BAD， 2AB，1DEEF （1）求证：/ /BCEF ； （2）求三棱锥 BDEF的体积 （第 16 题图） F A C D E B 11. 如图，在直三棱柱 111 ABCAB C中，已知1CACB， 1 2AA， o 90BCA （1）求异面直线 1 BA与 1 C
6、B夹角的余弦值； （2）求二面角 1 BABC平面角的余弦值 12( 本小题 14 分) 在等腰梯形ABCD中，/ /ADBC ， 1 2 ADBC，60ABC，N是BC 的中点将梯形ABCD绕AB旋转90，得到梯形 ABC D （如图） （1）求证：AC平面 ABC； （2）求证：/ /C N平面 ADD ； （3）求二面角AC NC 的余弦值 13. （本题满分14 分）如图，在四棱锥P- ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形， AD/BC， ADC =90 ，平面 PAD底面 ABCD，Q 为 AD 的中点， M 是棱 PC 上 的点， P A=PD=2，BC= 1 2 AD =1，C
7、D=3 （ I ）求证：平面PQB平面 PAD； （ II ）若二面角M-BQ-C 为 30 ，设 PM=tMC， 试确定 t 的值 （第 22 题图） A B C A1 B1 C1 A C D B N D C P A B C D Q M 14如图，直角梯形ABCD 中，AB/CD ，BCD = 90 , BC = CD = 2,AD = BD ：EC丄底面A B C D , F D丄底面A B C D且 有E C = FD=2 . ( I)求证： AD丄 BF : (II )若线段 EC 上一点 M 在平面 BDF 上的射影恰好是 BF 的中点N, 试求二面角 B-MF-C 的余弦值 . 1
8、.证明： （I）如图，连结OP，以 O 为坐标原点，分别以OB、OC、OP 所在直线为x轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 则0,0,0 , (0, 8,0),(8,0,0),(0,8,0),OABC(0,0,6),(0,4,3),PE4,0,3F， 由题意得， 0,4,0 ,G因(8,0,0),(0, 4,3)OBOE， 因此平面BOE 的法向 量为 (0,3, 4)n ， ( 4,4, 3FG 得 0n FG ，又直线FG不在 平面BOE内，因此有/ /FG平面BOE （II ）设点 M 的坐标为 00 ,0xy，则 00 (4, 3)F
9、Mxy，因为 FM平面 BOE，所以有/FMn，因此有 00 9 4, 4 xy，即点 M 的坐标为 9 4,0 4 ，在平面直角坐标系xoy中，AOB的内部区域满足不等式组 0 0 8 x y xy ，经检验，点M 的坐标满足上述不等式组，所以在ABO内存在一点M，使 FM平面BOE，由点 M 的坐标得点M到OA，OB的距离为 9 4, 4 w.w.w.s.5.u.c.o.m x y z 2. 解法：（）,ACACBDO连设 1 .APBGOG 1 与面BDD交于点，连 1111 /,PCBDD BBDD BAPCOG因为面面面 故/OGPC。所以 1 22 m OGPC。 又 111 ,A
10、ODB AOBBAOBDD B所以面 . 故 11 AGOAPBDD B即为与面所成的角。 在Rt 2 2 tan3 2 2 AOGAGO m 中，即 1 3 m. 故当 1 3 m时，直线AP 11 与平面 BDDB所成的角的正切值为2。 （）依题意，要在 11 A C上找一点Q，使得 1 D QAP. 可推测 11 A C的中点 1 O即为所求的Q点。 因为 1111. D OA C 111 D OAA，所以 111. D QACC A面 又 11. APACC A面,故 11 D OAP。 从而 111 D OAD PAP在平面上的射影与垂直。 解法二：（）建立如图所示的空间直角坐标系，
11、则 A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1, )，C(0,1,0), D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1). 所以 1 ( 1, 1,0),(0,0,1),BDBB ( 1,1,),( 1,1,0).APm AC 又由 11 0,0AC BDAC BBACD D 1 知为平面 BB的一个法向量. 设AP与 11 BDD B面 所成的角为， 则 2 |2 sincos() 2| | 22 AP AC APAC m 依题意有： 2 2 23 2 22 1(32) m ，解得 1 3 m. 故当 1 3 m时，直线AP 11 与平面 BDDB所成的角的正切值为2。 （）若
12、在 11 A C上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x， 则 1 ( ,1,1),( ,1,0)Q xxDQxx。 依题意，对任意的m 要使 D1Q 在平面 APD1 上的射影垂直于AP。等价于 1 1 AP10(1)0 2 D QAP D Qxxx 即Q为 11 A C的中点时，满足题设的要求. 3. () 在图甲中，由ABC 是等边三角形，E，D 分别为 AB，AC 的三等分点，点G 为 BC 边的中点，易知DE AF， DEGF，DE/BC 2 分 在图乙中，因为DE AF， DEGF，AFFG=F，所以 DE平面 AFG 又 DE/BC，所以 BC平面 AFG 4 分 () 因为平面AE
13、D平面 BCDE，平面 AED平面 BCDE=DE，DEAF，DEGF， 所以 FA，FD， FG 两两垂直 以点 F 为坐标原点，分别以FG，FD，FA 所在的直线为zyx,轴，建立如图所示 的空间直角坐标系xyzF则)32, 0, 0(A，)0, 3,3(B，)0, 2,0(E，所以 )32, 3,3(AB，, 1 ,3(BE0) 6 分 设平面 ABE 的一个法向量为),(zyxn 则 0 0 BEn ABn ，即 03 03233 yx zyx ， 取1x，则3y，1z，则)1,3, 1(n 8 分 显然)0, 0, 1(m为平面 ADE 的一个法向量， 所以 5 5 | ,cos n
14、m nm nm 10 分 二面角DAEB为钝角，所以二面角DAEB的余弦值为 5 5 12 分 4. 方法一： （1） 证明： 因为 AC=BC ， M是 AB的中点，所以 CM AB 又 EA 平面ABC ，所以 CM EM （2）解：过点 M作 MH 平面 CDE ，垂足是 H，连结 CH并延长交ED于点 F，连结 MF 、MD ，FCM是直线 CM 和平面 CDE所成的角 因为 MH 平面 CDE ，所以 MH ED ， 又因为 CM 平面 EDM ，所以 CM ED ， 则 ED 平面 CMF ，因此 ED MF 设 EAa，BDBC AC 2a， 在直角梯形ABDE中， AB 22a
15、， M是 AB的中点， 所以 DE 3a，EM 3a，MD 6 a， 得EMD是直角三角形，其中 EMD 90 所以 MF 2 EMMD a DE 在 RtCMF中，tan FCM= MF MC =1，所以 FCM=45 ， 故 CM与平面 CDE所成的角是45 方法二： 如图，以点C为坐标原点，以CA，CB 分别作为x 轴和 y 轴， 过点 C作与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立直角坐标系C-xyz， 设 EA=a，则 A（2a，0， 0） ，B（0，2a， 0） ，C（2 a，0，a） ， A（0，2 a， 2 a） ， A（ a，a，0） . （1）证明：因为EM=（-a ，a，-a
16、 ） ，CM=（a，a，0） ， 所以EMCM=0， 故EMCM. （2）解：设向量n=（1， o y ， 0 x ）与平面CDE垂直， 则nCE，nCD， 即n CE =0，n CD=0. 因为EC=（2a,0,a ）, CD=(0,2a,2a), 所以 y 0 =2，z 0=-2， 即 n=（1，2，-2） ， 2 cos, 2 CMn n CM M n ， 直线 CM与平面 CDE所称的角是45 . 5. 方法一： （）证明：过点E作EGCF交CF于G，连结DG， D A B E F C H G 可得四边形BCGE为矩形， 又ABCD为矩形， 所以AD EG ，从而四边形ADGE为平行四
17、边形， 故AEDG 因为AE平面DCF，DG平面DCF， 所以AE平面DCF （）解：过点B作BHEF交FE的延长线于H，连结AH 由平面ABCD平面BEFC，ABBC，得 AB平面BEFC， 从而AHEF 所以AHB为二面角AEFC的平面角 在RtEFG中，因为3EGAD，2EF，所以60CFE，1FG 又因为CEEF，所以4CF， 从而3BECG 于是 3 3 sin 2 BHBEBEH 因为tanABBHAHB， 所以当AB为 9 2 时，二面角AEFC的大小为60 方法二：如图，以点C为坐标原点，以CBCF，和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立 空间直角坐标系Cxyz 设ABaBEbC
18、Fc， 则(0 0 0)C，( 3 0)Aa， ，( 30 0)B， ，( 30)Eb， ，(00)Fc， ， （）证明：(0)AEba， ，(30 0)CB，(00)BEb， ， 所以0CB CE，0CB BE，从而CBAE，CBBE， 所以CB平面ABE 因为CB平面DCF， 所以平面ABE 平面DCF 故AE 平面DCF （）解：因为(30)EFcb，( 30)CEb， ， 所以0EF CE，| 2EF，从而 2 3()0 3()2 b cb cb ， ， D A B E F C y z x 解得34bc， 所以 ( 330)E， ， ，(0 4 0)F， 设(1)nyz， ，与平面AE
19、F垂直， 则0n AE，0n EF， 解得 3 3 (13)n a ， ， 又因为BA平面BEFC，(0 0)BAa， ， 所以 2 |3 31 |cos| 2| | 427 BA na n BA BAn aa ， 得到 9 2 a 所以当AB为 9 2 时，二面角AEFC的大小为60 6. 方法一： （）解：取线段EF 的中点 H，连结A H 因为A EA F及 H 是 EF 的中点， 所以A HEF 又因为平面A EF平面 BEF，及A H平面.A EF 所以A H平面 BEF。 如图建立空间直角坐标系.Axyz 则(2,2,22),(10,8,0),(4,0,0),(10,0,0).AC
20、FD 故( 2,2,22),(6,0,0)FNFD 设( , , )nx y z为平面A FD的一个法向量 所以 222 20 60 xyz x 取2,(0, 2,2)zn则 又平面 BEF 的一个法向量(0,0,1)m 故 3 cos, 3| | n m n m nm 所以二面角的余弦值为 3 . 3 （）解：设 ?(4,0,0)FMxMx则 因为翻折后，C 与 A 重合，所以CM=A M 故 222222 (6)80( 2)2(2 2)xx， 得 21 4 x 经检验，此时点N 在线段 BG 上 所以 21 . 4 FM 方法二： （）解：取截段EF 的中点 H，AF 的中点 G，连结A
21、G，NH，GH 因为 A EA F 及 H 是 EF 的中点， 所以AH/EF 。 又因为平面AEF平面 BEF， 所以AH平面 BEF， 又AF平面 BEF， 故A HAF， 又因为 G，H 是 AF，EF 的中点， 易知 GH/AB ， 所以 GHAF， 于是 AF 面AGH 所以A GH为二面角ADFC 的平面角， 在Rt A GH中，2 2,2,2 3A HGHA G 所以 3 cos. 3 A GH 故二面角ADFC 的余弦值为 3 3 。 （）解：设FMx， 因为翻折后，G 与A重合， 所以CMA M， 而 22222 8(6)CMDCDMx 222222222 (2 2)(2)2
22、A MA HMHA HMGGHx 得 21 4 x 经检验，此时点N 在线段 BC 上， 所以 21 . 4 FM 7. 解： （）证：AB AC，D 为 BC 的中点，BCAD PO平面 ABC PO BC，而 PO AD=OBC平面 ADP APBC （）当 CM AP 时，二面角A-MC-B 为直二面角， 2 5OBOC，6PBPC，41ABAC，5AP PABPACAMCAMBAMMBAM 平面MBC平面AMC 平 面 MBC 2541363 cos 254141 PAB 3 cos413 41 AMPAB AB 方法二： 8. （）因为M，N分别是PB，PD的中点，所以MN是PBD的
23、中位线，所以 / /MMBD 又因为MN平面ABCD，所以 / /MM平面ABCD （）方法一： 连结AC交BD于O，以O为原点，OC，OD所在直线为x，y轴，建立空 间直角坐标系Oxyz，如图所示 在菱形ABCD中，120BAD，得 2 3ACAB，36BDAB 又因为PA平面ABCD，所以 P AA C 在直角 PAC中，2 3AC ，2 6PA，AQPC，得 2QC，4PQ 由此知各点坐标如下， (3 ,0, 0)A，(0 ,3, 0)B， ( 3 ,0 , 0)C， (0 ,3 , 0)D， (3 ,0, 2 6)P， 33 (,6) 22 M， 33 (,6) 22 N， 32 6
24、(, 0 ,) 33 Q 设(, )xyzm为平面AMN的法向量 由 33 (,6) 22 AM， 33 (,6) 22 AN知 33 60 22 33 60 22 xyz xyz 取1x，得 (2 2 , 0,1)m 设(,)xy zn为平面QMN的法向量 由 5 336 (,) 623 QM， 5 336 (,) 623 QN知 5 336 0 623 5 336 0 623 xyz xyz 取 5z ，得 (2 2 ,0, 5)n 于是 33 cos, | |33 m n m n mn| 所以二面角AMNQ的平面角的余弦值为 33 33 方法二： 在菱形ABCD中，120BAD，得 AC
25、ABBCDA，3BDAB， 有因为PA平面ABCD，所以 PAAB，PAAC，PAAD， 所以PBPCPD 所以PBCPDC 而M，N分别是PB，PD的中点，所以 MQNQ，且 11 22 AMPBPDAN 取线段MN的中点E，连结AE，EQ，则 AEMN ，QEMN， 所以AEQ为二面角AMNQ的平面角 由2 3AB，2 6PA，故 在AMN中，3AMAN， 1 3 2 MNBD，得 3 3 2 AE 在直角PAC中，AQPC，得 2 2AQ，2QG，4PQ， 在PBC中， 222 5 cos 26 PBPCBC BPC PB PC ，得 22 2cos5MQPMPQPMPQBPC 在等腰M
26、QN中，5MQNQ，3MN，得 22 11 2 QEMQME 在AEQ中， 3 3 2 AE， 11 2 QE，2 2AQ，得 222 33 cos 233 AEQEAQ AEQ AE QE 所以二面角AMNQ的平面角的余弦值为 33 33 9. 方法一： （）取BD中点O，在线段CD上取点F，使得3DFFC，连结OP，OF，FQ 因为3AQQC，所以/ /QFAD，且 1 4 QFAD 因为O，P分别为BD，SM的中点，所以OP是BDM的中位线， 所以/ /OPDM，且 1 2 OPDM 又点M是AD的中点，所以/ /OPAD，且 1 4 OPAD 从而/ /OPFQ，且OPFQ 所以四边形
27、OPQF为平行四边形，故/ /FQQF 又PQ平面BCD，OF平面BCD，所以/ /PQ平面BCD （）作CGBD于点G，作GHBM于点H，连结CH 因为AD平面BCD，CG平面BCD，所以ADCG， 又CGBD，ADBDD，故CG平面ABD， 又BM平面ABD，所以CGBM 又GHBM，CGGHG，故BM平面CGH，所以GHBM， CHBM 所以CHG为二面角CBMD的平面角，即60CHG 设BDC 在Rt BCD中，cos2 2cosCDBD， cos2 2 cos sinCGCD， 2 sin2 2sinBGBC 在Rt BDM中， 2 2 3sin 3 BG DM HG BM 在Rt
28、CHG中， 3cos tan3 sin CG CHG HG 所以tan3 从而60，即60BDC 方法二： （）如图，取BD中点O，以O为原点，OD，OP 所在射线为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz 由题意知(02 2)A，(02 0)B，(02 0)D， 设点C的坐标为 00 (0)xy， ，因为3AQQC，所以 00 3231 () 4442 Qxy， 因为M是AD的中点，故(02 1)M，又P是BM的中点，故 1 (00) 2 P， ， 所以 00 323 (0) 444 PQxy， 又平面 BCD的一个法向量为(0 0 1)a， ，故0PQ a 又PQ平面BCD，所以/ /
29、PQ平面BCD （）设()mx y z， ，为平面BMC的一个法向量 由 00 (21)CMxy，(0 2 2 1)BM，知 00 (2)0 2 20 x xyyz yz ， 取1y，得 0 0 2 (1 2 2) y m x ， 又平面BDM的一个法向量为(1 0 0)n，于是 0 0 2 0 0 2 |1 |c o s | = 2 | | 2 9 y x m n m n mn y x ， 即 2 0 0 2 3 y x （ 1） 又BCCD，所以0CBCD，故 0000 (20)(20)0xyxy， 即 22 00 2xy（2） 联立（ 1） ， （2） ，解得 0 0 0 2 x y （
30、舍去）或 0 0 6 2 2 2 x y 所以 0 0 tan3 2 x BDC y 又BDC是锐角，所以60BDC 10（ 1）因为/ /ADBC ，AD平面ADEF， BC平面ADEF， 所以/ /BC平面ADEF，3 分 又 BC平面 BCEF ，平面BCEF平面ADEFEF， 所以/ /BCEF 6 分 （2）在平面ABCD 内作BH AD于点H ， 因为DE平面 ABCD ，BH平面 ABCD ，所以DEBH， 又AD，DE平面ADEF，ADDED， 所以BH平面 ADEF， 所以BH是三棱锥BDEF的高 9 分 在直角三角形 ABH中， o 60BAD，2AB，所以3BH， 因为D
31、E平面 ABCD ，AD平面 ABCD ，所以 DEAD， 又由（ 1）知，/ /BCEF ，且/ /ADBC ，所以/ /ADEF ，所以DEEF， 12 分 所以三棱锥BDEF的体积 1113 1 13 3326 DEF VSBH 14 分 11. 如图，以 1,CA CB CC为正交基底，建立空间直角坐标系 Cxyz 则(1,0,0)A，(0,1,0)B， 1(1,0,2) A， 1(0,1,2) B，所以 1 (0,1,2)CB，( 1,1,0)AB， 1 ( 1,1,2)AB， 1 (1, 1,2)BA （1）因为 11 11 11 330 cos, 10 65 CBBA CB BA
32、 CBBA ， 所以异面直线 1 BA与 1 CB夹角的余弦值为 30 10 4 分 （2）设平面 1 CAB的法向量为( , , )x y zm， 则 1 1 0, 0, AB CB m m 即 20, 20, xyz yz 取平面 1 CAB的一个法向量为(0,2,1)m； 所以二面角 1 BABC平面角的余弦值为 10 5 10 分 H （第 16 题图） F A C D E B x y z （第 22 题图） A B C A1 B1 C1 12. （1）证明：因为 1 2 ADBC，N是BC的中点 所以ADNC，又/ /ADBC 所以四边形ANCD是平行四边形，所以ANDC 又因为等腰
33、梯形，60ABC， 所以ABBNAD，所以四边形ANCD是菱形，所以 1 30 2 ACBDCB 所以90BAC，即ACAB 由已知可知平面C BA平面ABC， 因为 平面C BA平面ABCAB 所以AC平面ABC4 分 （2）证明：因为/ /ADBC，/ /ADBC， ,ADADA BCBCB 所以平面/ /ADD平面BCC 又因为C N平面BCC, 所以/ /C N平面ADD8 分 （3）因为AC平面ABC, 同理AC平面ABC，建立如图如示坐标系 设1AB， 则(1,0,0)B, (0,3,0)C , (0,0,3)C ， 13 (,0) 22 N，9 分 则 ( 1,0,3)BC ，
34、(0,3,3)CC 设平面C NC的法向量为( , , )nx y z，有0BC n，0C C n得( 3,1,1)n 设平面ANC的法向量为),(zyxm，有0, 0mACmAN 得 )0 , 1 ,3(m 12 分 所以 5 5 cos nm mn 13 分 由图形可知二面角AC NC为钝角 所以二面角AC NC的余弦值为 5 5 14 分 x z y A C D B N D C 13. （I ）AD / BC，BC= 1 2 AD，Q为AD的中点， 四边形BCDQ为平行四边形，CD / BQ ADC=90AQB=90即QBAD 又平面PAD平面ABCD 且平面PAD平面ABCD=AD，
35、BQ平面PAD BQ平面PQB，平面PQB平面PAD5 分 （II ）PA=PD，Q为AD的中点，PQAD 平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD， PQ平面ABCD 如图，以Q为原点建立空间直角坐标系 则平面BQC的法向量为 (0,0,1)n ；(0,0,0)Q， (0,0,3)P ， (0,3,0)B，( 1, 3,0)C 设( , , )M x y z，则( , ,3)PMx y z，( 1, 3,)MCxyz， PM tMC ， 7 分 ( 1) (3) 3( xtx yty zt z） ， 1 3 1 3 1 t x t t y t z t 10 分 在平面MBQ中，
36、(0,3,0)QB， 33 (,) 111 tt QM ttt ， 平面MBQ法向量为( 3,0, )mt 二面角M-BQ-C为 30， 2 3 cos30 2 30 n mt n mt ， 3t14 分 14. 20 解： （）证明： DCBC ，且 2CDBC ， 2BD且 45BDCCBD ；1 分 又由 DCAB / ，可知 45CBDDBA 2AD ， ADB是等腰三角形，且 45DBADAB ， 90ADB ，即DBAD；3 分 FD底面 ABCD于 D，AD平面 ABCD ，DFAD，4 分 AD平面 DBF.又BF平面 DBF ，可得BFAD. 6分 （）解：如图，以点C为原点
37、，直线CD 、CB、CE方向为 x、 y、z 轴建系 . 可得 )0,2,22(),2, 0,2(),0,2,0(),0,0,2(AFBD ，8 分 又 N 恰好为 BF的中点， )1 , 2 2 , 2 2 (N . 9 分 设 ),0,0( 0 zM ， )1, 2 2 , 2 2 ( 0 zMN . 又 0 0 DFMN BDMN ，可得 1 0 z . 故 M为线段 CE的中点 . 11 分 设平面 BMF的一个法向量为 ),( 1111 zyxn ， 且 )2,2,2(BF ， )1 ,2,0(BM ，由 0 0 1 1 nBM nBF 可得 02 0222 11 111 zy zyx ， 取 2 1 3 1 1 1 z y x 得 )2, 1,3( 1 n . 13 分 又平面MFC 的一个法向量为 )0, 1,0( 2 n ，14 分 6 3 ,cos 21 21 21 nn nn nn . 故所求二面角B-MF-C的余弦值为 6 3 . 15 分 y A C M E D B M N 20 题解答 x z