高三高考平面向量题型总结材料,经典.pdf

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1、实用标准文档 文案大全 平面向量 一、平面向量的基本概念： 1. 向量：既有大小又有方向的量叫做_. 我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行 移动。 向量可以用 _来表示 . 向量的符号表示_. 2. 向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_） ，记作 _. 3. 零向量：长度为0 的向量叫做零向量，记作_. 4. 单位向量： _. 5. 平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反. 记作 _规定： _. 注意：理解好共线（平行）向量。 6. 相等向量： _. 例：下列说法正确的是_ 有向线段就是向量，向量就是有向线段； ,cbb

2、a则ca；,/,/cbbaca/ 若CDAB，则 A，B，C， D四点是平行四边形的四个顶点； 所有的单位向量都相等； 二、向量的线性运算： （一）向量的加法： 1. 向量的加法的运算法则：_、_和_. （1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关 系_ ； “首是首，尾是尾，首尾相连” 例 1. 已知 AB=8 ，AC=5 ，则 BC的取值范围 _ 例 2. 化简下列向量 （1）PMQPMNNQ（2）)()()(MBPMABCQBCBP （2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则； ba 是以a，b为

3、邻边的平行四边形的一条对角线，如图： 例 1. （09 山东）设P是三角形 ABC所在平面内一点，BPBABC2，则 A.0PBPA B.0PCPA C.0PBPC D.0PCPBPA 例 2.（13 四川） 在平行四边形ABCD 中，对角线 AC与 BD交于点 O，AOADAB，则._ （3）多边形法则 2. 向量的加法运算律：交换律与结合律 （二）向量的减法： 减法是加法的逆运算，A.PBPAOBOABA（终点向量减始点向量） 实用标准文档 文案大全 在平行四边形中，已知以a、b为邻边的平行四边形中， baba, 分别为平行四边形的两条对角线，当 baba 时，此时平行四边形是矩形。 例

4、1. 已知 8,6 ba ，且 baba ，则 baba =_ 例 2. 设点 M是 BC的中点，点A在线段 BC外， BC=16 ， ACABACAB ，则 _AM 向量的加减运算： 例 1. （08 辽宁）已知、OA、B是平面内的三个点，直线AB上有一点C，满足 CB +2AC =0，则 OC =_ A.2OA -OB B. OA +2OB C. 3 2 OA 3 1 OB D. 3 1 OA + 3 2 OB 例 2.(15课标全国I）设 D是三角形ABC所在平面内一点，CDBC3，则 _ A. ACABAD 3 4 3 1 B. ACABAD 3 4 3 1 C. ACABAD 3 1

5、 3 4 D. ACABAD 3 1 3 4 例 3. （12 全国）在ABC中，AB边上的高为CD,CB =a, CA =b,ab=0,2, 1 ba, 则AD =_ 例 4. （10 全国）在 ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB，若 CB =a, CA =b,2, 1 ba，则 CD =_ 例 5. 在ABC中，设D为边BC的中点 , E为边AD的中点 , 若BE =mAB +nAC ，则m+n=_ 例6. （ 15 北京理）在ABC中，点 NM , 满足 NCBNMCAM,2 ，若 ACyABxMN ，则 _ yx 例 7. （13 江苏）设D、E分别是ABC的边AB、BC上的点，

6、若BCBEABAD 3 2 , 2 1 ，若DE = 1AB + 2AC ( 1,2为实数 ) ，则1+2=_ 例 8.（12 东北四市一摸）在ABC中，设P为边BC的中点，内角CBA,的对边cba,，若cAC +aPA +b PB =0，则ABC的形状为 _ 实用标准文档 文案大全 ( 三）实数与向量的积： 1. 定 义 ： 实 数与 非 零 向 量a的 乘 积 a是 一 个 向 量 ， 它 的 长 度 是 _. 它 的 方 向 是 _. 当0时， _ 2. 数乘向量的几何意义是把向量同方向或反方向扩大或缩小。 3. 运算律：设a、b是任意向量，,是实数，则实数与向量的积适合以下运算： 4.

7、 向量共线的判断： （平行向量的基本定理） 如果ba，则ba /；若ba /，0b，则存在唯一的实数，使得ba. 若a、b是两个不共线的非零向量，则它们共线的充要条件是存在两个均不是零的实数,， 使_. 若22122111 ,eebeea ， 2 1,e e 不共线，ba /，则在有意义的前提下，2 1 2 1 例 1. （15 课标全国II ）设向量若a、b是两个不平行的向量，向量ba 与ba2 平行，则_ 例 2. （09 湖南）对于非零向量 , ,a b “0ab”是“/ /ab”的 _ A充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 例 3. （12

8、 四川）设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使 | ab ab 成立的充分条件是 Aab Bab Ca 2b Dab且|a| |b| 5. 单位向量 给定一个向量a，与a同方向且长度为1 的向量叫做a的单位向量，即_ 重要结论： 已知ABC，O为定点，P为平面内任意一点. PA +PB +PC =0_. 若 OP = 3 1 OA +OB +OC ，则P为ABC_ 若 OP =OA +（AB +AC ） ，), 0(，则P点的轨迹 _. 若 OP =OA +_,),0(, 则P点的轨迹通过ABC的内心 若 _, 则P点的轨迹是ABC的外心 若 _, 则P点的轨迹是ABC的垂心 例 1. （1

9、0 湖北）在ABC中，点M满足 MA +MB +MC =0，若存在实数m，使得 AB +AC =mAM ，则m=_. 实用标准文档 文案大全 例 2. 在 ABC中，重心为 G ，若0sin3sin3sin2GCCGBBGAA，则_cosB 例 3. 在 ABC中，重心为 G ，若 0 3 3 GCGBbGAa ，则_A 三、平面向量的基本定理 ( 一）平面向量基本定理内容： 如果 1 e 、 2 e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对这一平面内的任一向量 a， 有且只有一对实数 21, ， 使_, 其中 1 e 、 2 e 是一组基底，记作_._ 叫做向量a关于基底的分解 式。平面向量基

10、本定理是向量正交分解的依据，是向量坐标运算的基础。 注意：只要是不共线的两个向量都可以作为基底，因为零向量与任一向量都平行，所以零向量一定不能作 为基底；基底不唯一；任一向量可以由一组基底来表示，但表示方法是唯一的。 例 1. （14 福建）在下列向量组中，可以把向量)2, 3(a表示出来的是_ A.)2, 1 (),0, 0( 21 ee B.)2, 5(),2, 1( 21 ee C.)10,6(),5 , 3(21ee D.)3 ,2(),3, 2(21ee 例 2. （09 安徽）在平行四边形ABCD 中， E， F分别是 CD ， BC的中点，若AFAEAC， 则_ _ _ （二）平

11、面向量基本定理与向量共线条件的综合应用 设BA,是 直 线l上 两 点 ，O是 直 线 外 一 点 ， 对 于 直 线 上 任 意 一 点P， 存 在Rt， 使 _成立 . 反之，满足上式的点P在直线l上. 特别地，当P为BA,的中点时，则_. 例 1. 已知、OA、B是平面内的三个点，线段BA的延长线上有一点C，满足 3AC +CB =0 则OC =_ A.3OA -2OB B.2OA +3OB C. 2 3 OA 2 1 OB D. 2 1 OA + 2 3 OB 例 2. 数列 n a 是等差数列， 其前n项和为 n S ， 若平面上的三个不共线的向量OA 、OB 、 OC 满足 OB

12、= 1 aOA + 2006 a OC ，且CBA,三点共线，则_ 2006 S 例 3. 已知向量j i , 不共线，且 AB =jmi ， AD jin，若DBA,三点共线，则实数nm,应满足的条件 _ A. 1nm B. 1nm C. 1mn D. 1mn 例 4. （ 07 江西）如图，在ABC中， 设O为边BC的中点，过点O的直线交直线AB、AC于不同两点NM ,. 实用标准文档 文案大全 若AB =mAM ，AC =nAN ，则m+n=_mn的最大值为 _ 例 5. 在ABC中，设M为边BC的任意点，N为AM中点， AN =AB +AC ，则+=_. 例 6. 在 ABC中，设M

13、为边BC的中点，N为AM中点， AN =AB +AC ，则+=_. 例 7. 如图， 在ABC中，设D为边BC的中点，G为AD中点， 过G任作一条直线MN分别交AB、AC 于NM ,两点，若 AM =xAB ， AN =yAC ，试问 yx 11 是否为定值？ 四、平面向量的正交分解与向量的直角坐标运算： （一）向量的正交分解与向量的直角坐标 1. 向量的垂直：如果两个向量的基线互相垂直，那么这两个向量互相垂直； 2. 向量的正交分解：如果基底的两个基向量互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量， 叫做正交分解。 3. 在平面直角坐标系下，分别取与x 轴， y 轴方向相同的两个单

14、位向量作为基底，对于平面内任一向量 a ， 有且只有一对实数x,y ，使得 21 eyexa. 有序数对 ),(yx叫做 a 的坐标，记作),(yxa 注意： （1）每一个向量都可以用一对有序实数对来表示，向量有代数法和几何法两种表示。 （2）符号),(yx有了双重的意义，既可以表示固定的点，又可以表示向量；平面向量的坐标只与始点和终 点坐标有关，只有点始点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等。 （二）向量的坐标运算 1. 若),(),( 2211 yxbyxa ，则_ba. 2. 若),(),( 2211 yxByxA，则 AB =_|AB |=_ 3. 若Ryxa),(，则_a 4. 若

15、),(),( 2211 yxbyxa， ba / , 则有 _. 5. 三角形 ABC的重心坐标公式为_ N M O C B A B M D G N C A 实用标准文档 文案大全 五、平面向量的数量积： 1. 平面向量数量积的定义 向量b a, 的夹角 已知两个非零向量 b a, ，过点O作bOBaOA,，则(AOB_), 叫作向量ba,的夹角 . 当_时，a与b垂直，记作 _. 当_时，a与b平行或共线 . 注意：理解什么是两向量的夹角？以及两向量夹角的范围。 向量b a, 的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则把 _叫做向量b a, 的数量积（内积），记作 _. 规定a 0=

16、0 向量数量积的几何意义 _. 2. 向量数量积的性质 设 b a, 是非零向量，e是与b方向相同的单位向量， 是a与e的夹角，则 cosaeaae ba_ 当b a, 同向时， _ba.当b a, 反向时， _ba 特别地，_aa _cos baba 3. 向量的数量积的运算律： 注意：向量的数量积无_律，无 _律. 4. 数量积的坐标运算 若),(),( 2211 yxbyxa ，则_ba 若),(yxa，则_ 2 2 aaaa_a 实用标准文档 文案大全 若),(),( 2211 yxbyxa，则 ba/ 的充要条件为_ ),(),( 2211 yxbyxa ，则ba 的充要条件为_ 求

17、角问题：若非零向量),(),( 2211 yxbyxa ，是b a, 的夹角，则 _cos 注意：向量有几何法和坐标法两种表示，它的运算也有两种方式即基于几何表示的几何法和基于坐标表示 的代数法 . 典型例题（一）向量数量积的几何运算，注意两个向量的夹角，利用平面向量的基本定理选好基底 例 1. 对任意向量b a, ，下列关系式中不恒成立的是_ A. baba B. baba C. 2 2 baba D. 22 bababa 例 2. 已知向量 cba,，满足2, 1 ba ，acbac，且 ，则向量 b a与 的夹角为 _ 例 3. （11 江西）已知2)()2(,2bababa，则b a,

18、 的夹角为 _ 例 4. （13 全国）已知两个单位向量a，b的夹角为60 ， btatc)1( ，若0cb 则_t 例 5. （13 江西）设 1 e、 2 e为单位向量， 1 e与 2 e的夹角为 3 ，若 121 2,3ebeea ，则向量a在b方向 的射影为 _ 例 6. 已知向量cba, ，满足0cba， bacba,)( ，, 1a 若则_ 2 2 2 cba 例 7.(14课标全国）已知A，B ， C为圆 O上的三点，若 )( 2 1 ACABAO ，则AB与AC的夹角为 _ 例 8. （10 湖南）在直角三角形ABC中，,4,90ACC 则AB AC =_ 例 9. （15 湖

19、北）已知向量 3, OAABOA ，则 _OBOA 例 10. 如图，在平行四边形ABCD 中， AP BD ，垂足为P，且 AP 3，则AP AC 例 11. 在三角形ABC中，1,2,60 ACABA，FE,为边BC的三等分点， 实用标准文档 文案大全 则AE AF =_ 例 12. （12 天津）已知三角形ABC为等边三角形，2AB，点QP,满足 AP =AB ， AQ =（1-）AC ，R，若 BQ CP = 2 3 ，则_ 例 13. （13 山东）已知向量AB 与AC 夹角120 ，2, 3 ACAB，AP =AB +AC ，且 AP BC =0 则实数的值 _ 例 14.（13

20、天津）在平行四边形 ABCD中，60, 1BADAD，E为边CD的中点， 若AC BE =1， 则AB 的长为 _ 例 15. 已知b a, 夹角为 6 ，2,3 ba，在三角形ABC中， AB nm22， AC nm62，D为边BC的中点，则_AD 例 16. AD 与 BE分别是ABC的中线，若AD=BE=1 ， BE与AD 的夹角为 120 ，则 AB AC =_ 例 17.(15四川）设四边形ABCD为平行四边形，AB=6 ，AD=4 ，若 M ，N 满足 NCDNMCBM2,3 ，则 _NMAM 例 18. （12 浙江）在三角形ABC中，点M为BC的中点，,10,3 BCAM则AB

21、 AC =_ 例 19. （09 陕西）设M为ABC边BC的中点，1AM， 点P在AM上， 满足 AP =2PM , 则PA （ PB +PC ） =_ 例 20. 设O是三角形ABC的外心，1,3,ACABBCOD，则 AD （AB -AC ）=_ 例 21. 在三角形 OAB中，已知2,4 OBOA ，点P是AB的垂直平分线l上任一点，则 AB OP =_ 例 22. 已知O是三角形ABC的外心，若5, 3 ACAB，则 AO BC =_ 例 23. 若三角形ABC内接于O以为圆心， 1 为半径的圆， 3OA +4OB +5OC =0,则OC AB =_ 例 24. 已知非零向量b a,

22、，12 3 1 )(,3 23 xbaxaxxfba 在R上有极值， 则b a, 的取值 范围为 _ 例 25. （10 全国）已知圆O的半径为1，PBPA,为该圆的两条切线，BA,为切点， 则PA PB 的最小值为 _ 实用标准文档 文案大全 典型例题（二） ：对于有明显的直角关系的向量问题-建立平面直角坐标系( 与线性规划问题联系), 向 量的几何法与代数法的转化 例 1.（13 湖北） 已知点 A （ 1，1） ，B （ 1,2 ）C （ 2，1） ，D （ 3,4 ） ，则向量 AB 在CD 方向上的投影为_ 例 2. （12 重庆）设Ryx,，向量cbbacybxa/,),4,2()

23、, 1(),1 ,( ，则_ba 例 3. 已知点3, 3A，O是坐标原点，点),(yxP的坐标满足 0 023 03 y yx yx ，设z为OA 在OP 上的投影， 则z的取值范围 _ 例 4. （13 福建）在四边形ABCD中， AC =（1,2 ） ， BD =（-4,2 ） ，则四边形的面积为_ 例 5. （09 湖南）如图，两块斜边长相等的直角三角板在一起，若AD =xAB +yAC ，则x=_,y=_ 内， OC 例 6. 已知1OA， 3 2 ,AOBkOB， 点C在AOB OA =0, 若OC =m2OA +mOB ，32OC，则_k 例 7. （09 天津）若等边三角形的边

24、长为32，平面上一点M，满足 CM = 6 1 CB + 3 2 CA , 则MA MB =_. 例 8. （11 天津）已知直角梯形 ABCD中，1,2,90,/BCADADCBCAD，P是腰DC上的动 点，则 |PA +3PB | 的最小值为 _ 例 9.(12江苏 ) 如图， 在矩形ABCD中，2,2 BCAB，点E为BC的中点， 点F在边CD上，若AB AF ,2，则 AE BF =_ 例10. 在 直 角 三 角 形ABC中 ， 点D是 斜 边AB的 中 点 ， 点P是 线 段CD的 中 点 ， 则 实用标准文档 文案大全 _ 2 22 PC PBPA 例 11. （13 全国）已知

25、正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 AE BD =_ 例 12. （ 13 重庆）在平面上， 212121 , 1,ABABAPOBOBABAB ，若2 1 OP ，则 OA 的取 值范围是 _ 例 13. （12 北京）已知正方形ABCD的边长为1，点E为AB边上的动点，则DE CB =_ DE DC 的最大值为 _ 例 14. 平面上三个向量OA 、OB 、OC ，满足, 1,3, 1OCOBOAOA OB =0则 CA CB 的最大值为 _ 例 15. 已知三角形ABC中，1,2,60 BCACC， 点M是ABC内部或边界上一动点，N是边BC 的中点，则 AN AM 的最大值为

26、 _ 例16. （ 15 福建）已知t ACtABACAB 1 , ，若点P 是三角形ABC所在平面内一点，且 AC AC AB AB AP 4 ，则PCPB的最大值为 _ 例 17. （09 全国）设是a,b,c单位向量，ab=0,则(a-c) (b-c)的最小值为 _ 例 18. （13 湖南）已知a,b是单位向量，ab=0，若向量c满足|c-a-b|=1，则|c|的取值范围 _ 例 19. （11 辽宁）若a,b,c单位向量，ab=0, (a-c) (b-c)0，则|a+b-c|的最大值为 _ 例 20. （11 全国） 设向量a,b,c ，满足|a|=|b|=1,ab= 2 1 ,60

27、,cbca, 则|c|的最大值为 _ 例 21.（ 14 安徽） 在平面直角坐标系xOy 中，已知a,b是单位向量，ab=0，若 Q点满足 )(2baOQ , 曲线 20 ,sincosbaOPPC ，区域 RrRPQrP,0 ，若C为两段 分离的曲线，则_ A.31Rr B.Rr31 C.31Rr D.Rr31 典型例题（三） ：注意数量积与三角形面积、余弦定理、正弦定理的联系与三角函数的联系，与均值不等式 的联系 例 1. （10 辽宁）平面上三点BAO,不共线，设 OA a，OB b，则ABC的面积等于 _ A. 2 22 )(baba B. 2 22 )(baba C. 2 22 )(

28、 2 1 baba D. 2 22 )( 2 1 baba 实用标准文档 文案大全 例 2. 在ABC中， 2 3 , 3, 2 ABC SACAB，AB AC 0，则_BAC 例 3.（11 浙江） 若平面向量1, 1,，以向量 ,为邻边的平行四边形面积为 2 1 ，则 ,夹角 的取值范围为_ 例 4. （14 辽宁）在ABC中，已知ca，2BCBA， 3, 3 1 cosbB 求ca,的值； 求)cos(CB 例 5. 设a，b为向量，若a与ba的夹角为3，ba与b的夹角为4，则 _ b a 例 6. 在三角形ABC中，若1,120ACABA，则 BC 的最小值为 _ 例 7. 在三角形A

29、BC中， AB=2 ， AC=4 ，若点 P为三角形ABC的外心，则_BCAP 例 8. 设O是ABC内部一点，且OA +OC =-2OB ，则AOB与AOC的面积之比为 _ 例 9. 设O是ABC内部一点，且OA +3OC =-2OB ，则ABC与AOC的面积之比为 _ 例 10. 已知向量 xxa 2 3 sin, 2 3 cos 与 2 sin, 2 cos xx b ，)1, 1(c，其中 2 , 2 x 求证：)()(baba 设函数)3)(3()( 2 2 cbcaxf ，求)(xf的最大值和最小值 例 11.（ 09 上海） 已知ABC的角CBA,所对的边分别为cba,，设向量),(bam，)sin,(sinABn， )2,2(abp 若 n m/ ，求证：ABC为等腰三角形 若pm ， 3 , 2 Cc，求ABC的面积