物理学马文蔚第七章气体动理论.的要点.pdf

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1、1 / 10 第七章气体动理论 7 1处于平衡状态的一瓶氦气和一瓶氮气的分子数密度相同，分子的平均平动动能也相 同，则它们 () (A) 温度，压强均不相同(B) 温度相同，但氦气压强大于氮气的压强 (C) 温度，压强都相同(D) 温度相同，但氦气压强小于氮气的压强 分析与解理想气体分子的平均平动动能23 k /kT，仅与温度有关 因此当氦气和氮气 的平均平动动能相同时，温度也相同又由物态方程nkTp，当两者分子数密度n 相同 时，它们压强也相同故选(C) 72三个容器 A、B、 C 中装有同种理想气体，其分子数密度n相同，方均根速率之比 4:2:1: 2/1 2 C 2/1 2 B 2/1

2、2 A vvv，则其压强之比 CBA :ppp为() (A) 1 24(B) 1 48 (C) 1 416(D) 4 21 分 析 与 解分 子 的 方 均 根 速 率 为 MRT /3 2 v， 因 此 对 同 种 理 想 气 体 有 321 2 C 2 B 2 A :TTTvvv，又由物态方程nkT，当三个容器中分子数密度n 相 同时，得 16:4:1: 321321 TTTppp.故选 (C) 7 3在一个体积不变的容器中，储有一定量的某种理想气体，温度为 0 T时，气体分子的 平均速率为 0 v，分子平均碰撞次数为 0 Z，平均自由程为 0 ，当气体温度升高为 0 4T时， 气体分子的

3、平均速率v、平均碰撞频率Z和平均自由程分别为 () (A) 00 4,4,4ZZ 0 vv(B) 00 22,ZZ 0 vv (C) 00 422,ZZ 0 vv(D) 00, 2,4ZZ 0vv 分析与解理想气体分子的平均速率MRT/8v，温度由 0 T升至 0 4T，则平均速率变 为 0 v2；又平均碰撞频率vndZ 2 2，由于容器体积不变，即分子数密度n 不变，则平 均碰撞频率变为 0 Z2；而平均自由程 nd 2 2 1 ，n 不变，则也不变因此正确答案 为(B) 2 / 10 7 5有一个体积为 35 m1001.的空气泡由水面下m050.深的湖底处 (温度为C0.4 o ) 升到

4、湖面上来若湖面的温度为C017 o .，求气泡到达湖面的体积(取大气压强为 Pa100131 5 0 .p) 分析将气泡看成是一定量的理想气体，它位于湖底和上升至湖面代表两个不同的平衡状 态 利 用 理 想 气 体 物 态 方 程 即 可 求 解 本 题 位 于 湖 底 时 ， 气 泡 内 的 压 强 可 用 公 式 ghpp 0 求出，其中 为水的密度 ( 常取 33 mkg100.1) 解设气泡在湖底和湖面的状态参量分别为(p1，V1，T1 )和(p2 ,V2，T2 )由分析知湖底 处压强为 ghpghpp 021 ，利用理想气体的物态方程 2 22 1 11 T Vp T Vp 可得空气

5、泡到达湖面的体积为 35 10 120 12 121 2 m1011.6 Tp VTghp Tp VTp V 7 6一容器内储有氧气，其压强为Pa10011 5 .，温度为 27 ，求： (1)气体分子的数 密度； (2) 氧气的密度；(3) 分子的平均平动动能；(4) 分子间的平均距离(设分子间均匀 等距排列 ) 分析在题中压强和温度的条件下，氧气可视为理想气体因此，可由理想气体的物态方程、 密度的定义以及分子的平均平动动能与温度的关系等求解又因可将分子看成是均匀等距排 列的，故每个分子占有的体积为 3 0 dV，由数密度的含意可知nV/1 0 ，d即可求出 解(1) 单位体积分子数 325

6、 m1044.2 kT p n (2) 氧气的密度 3- mkg30.1/ RT pM Vm (3) 氧气分子的平均平动动能 J1021623 21 k ./kT 3 / 10 (4) 氧气分子的平均距离 m104531 93 ./ nd 通过对本题的求解，我们可以对通常状态下理想气体的分子数密度、平均平动动能、 分子间 平均距离等物理量的数量级有所了解 772.0 10 -2 kg 氢气装在 4.0 10 -3 m3 的容器内，当容器内的压强为3.90 10 5 Pa时，氢 气分子的平均平动动能为多大？ 分析理想气体的温度是由分子的平均平动动能决定的，即23 k /kT因此， 根据题中 给出

7、的条件，通过物态方程pV M m RT ，求出容器内氢气的温度即可得 k 解由分析知氢气的温度 mR MpV T，则氢气分子的平均平动动能为 J1089.3 2 3 2 322 k Rm pVMk kT 7 8某些恒星的温度可达到约1.0 10 8K， 这是发生聚变反应 (也称热核反应)所需的温度 . 通常在此温度下恒星可视为由质子组成.求： (1) 质子的平均动能是多少？(2) 质子的方均 根速率为多大？ 分析将组成恒星的大量质子视为理想气体，质子可作为质点，其自由度i 3，因此，质 子的平均动能就等于平均平动动能.此外，由平均平动动能与温度的关系2/32/ 2 kTmv， 可得方均根速率

8、2 v. 解(1) 由分析可得质子的平均动能为 J1007.22/32/ 152 k kTmv (2) 质子的方均根速率为 1-62 sm1058.1 3 m kT v 7 9日冕的温度为 2.0 10 6 K，所喷出的电子气可视为理想气体.试求其中电子的方均根 速率和热运动平均动能. 解方均根速率 16 e 2 sm105. 9 3 m kT v 4 / 10 平均动能 J101423 17 k ./kT 710在容积为 2.0 10 -3 m3 的容器中，有内能为6.75 10 2 J的刚性双原子分子某理想气 体.(1) 求气体的压强； (2) 设分子总数为 5.4 10 22 个，求分子

9、的平均平动动能及气体的温度. 分析(1) 一定量理想气体的内能RT i M m E 2 ，对刚性双原子分子而言，i5.由上述内能 公式和理想气体物态方程pV RT可解出气体的压强.(2) 求得压强后，再依据题给数据 可求得分子数密度，则由公式p nkT可求气体温度.气体分子的平均平动动能可由 23 k /kT求出 . 解(1) 由RT i E 2 和pVRT 可得气体压强 Pa1035.1 25 iV E p (2) 分子数密度 n N/V，则该气体的温度 K1062.3/ 2 nkpVnkpT 气体分子的平均平动动能为 J1049723 21 k ./kT 7 11 当温度为 0C时，可将气

10、体分子视为刚性分子，求在此温度下：（1）氧分子的平 均动能和平均转动动能；（2）kg100.4 3 氧气的内能；（3）kg100.4 3 氦气的内 能. 分析（1）由题意，氧分子为刚性双原子分子，则其共有5个自由度，其中包括3个平动自 由度和 2个转动自由度.根据能量均分定理，平均平动动能kT 2 3 kt ，平均转动动能 kTkT 2 2 kr .（2）对一定量理想气体，其内能为RT i M m E 2 ，它是温度的单值函 数.其中 i为分子自由度，这里氧气i=5、氦气 i=3.而m为气体质量， M为气体摩尔质量，其中 氧气 13 molkg1032M；氦气 13 molkg100. 4M.

11、代入数据即可求解它们 的内能 . 5 / 10 解根据分析当气体温度为T=273 K 时，可得 （1）氧分子的平均平动动能为 J107.5 2 321 kt kT 氧分子的平均转动动能为 J108.3 2 221 kr kT （2）氧气的内能为 J107.1J27331.8 2 5 1032 100.4 2 2 3 3 RT i M m E （3）氦气的内能为 J103.4J27331.8 2 3 100.4 100.4 2 3 3 3 RT i M m E 7 12已知质点离开地球引力作用所需的逃逸速率为grv2，其中 r为地球半径 .(1) 若使氢气分子和氧气分子的平均速率分别与逃逸速率相

12、等，它们各自应有多高的温度；(2) 说明大气层中为什么氢气比氧气要少.(取r 6.40 10 6 m) 分析气体分子热运动的平均速率 M RT 8 v，对于摩尔质量 M 不同的气体分子，为使v 等于逃逸速率 v，所需的温度是不同的；如果环境温度相同，则摩尔质量M 较小的就容易达 到逃逸速率 . 解(1) 由题意逃逸速率gr2v，而分子热运动的平均速率 M RT 8 v.当 vv时， 有 R Mrg T 4 由于氢气的 摩尔质量 13 H molkg1002 2 .M，氧气的摩尔质量 12 O molkg1023 2 .M，则它们达到逃逸速率时所需的温度分别为 K10891K,10181 5 O

13、 4 H 22 TT 6 / 10 (2) 根据上述分析， 当温度相同时， 氢气的平均速率比氧气的要大(约为 4倍)，因此达到逃逸 速率的氢气分子比氧气分子多.按大爆炸理论，宇宙在形成过程中经历了一个极高温过程.在 地球形成的初期，虽然温度已大大降低，但温度值还是很高.因而，在气体分子产生过程中 就开始有分子逃逸地球，其中氢气分子比氧气分子更易逃逸.另外，虽然目前的大气层温度 不可能达到上述计算结果中逃逸速率所需的温度，但由麦克斯韦分子速率分布曲线可知，在 任一温度下，总有一些气体分子的运动速率大于逃逸速率.从分布曲线也可知道在相同温度 下氢气分子能达到逃逸速率的可能性大于氧气分子.故大气层中

14、氢气比氧气要少. 713容积为 1 m 3 的容器储有 1 mol 氧气，以v10 -1 sm的速度运动， 设容器突然停止， 其中氧气的 80的机械运动动能转化为气体分子热运动动能.试求气体的温度及压强各升高 了多少 . 分析容器作匀速直线运动时，容器内分子除了相对容器作杂乱无章的热运动外，还和容器 一起作定向运动.其定向运动动能(即机械能 )为 2 2 1 mv.按照题意，当容器突然停止后，80 定向运动动能转为系统的内能.对一定量理想气体内能是温度的单值函数，则有关系式： TR M m vmE 2 5 %80 2 1 2 成立，从而可求 T.再利用理想气体物态方程，可求压 强的增量 . 解

15、由分析知TR M mm E 2 5 2 8. 0 2 v ， 其中m为容器内氧气质量.又氧气的摩尔质 量为 12 molkg1023.M，解得 T 6.16 10-2 K 当容器体积不变时，由pV M m RT 得 Pa51.0T V R M m p 7 14有N个质量均为 m的同种气体分子，它们的速率分布如图所示.(1) 说明曲线与横坐 标所包围的面积的含义；(2) 由N和 0 v求a 值； (3) 求在速率 0 v/2到3 0 v/2 间隔内的分子数； (4) 求分子的平均平动动能. 7 / 10 题 7-14 图 分析处理与气体分子速率分布曲线有关的问题时，关键要理解分布函数vf的物理意

16、义 . d d N N f v， 题中纵坐标vvd/dNNf，即处于速率 v 附近单位速率区间内的分子数. 同时要掌握vf的归一化条件， 即1d 0 vvf.在此基础上， 根据分布函数并运用数学方 法(如函数求平均值或极值等)，即可求解本题. 解(1) 由于分子所允许的速率在0 到 2 0 v的范围内，由归一化条件可知图中曲线下的面 积 NNfS v vv d 0 2 0 即曲线下面积表示系统分子总数N. (2 ) 从图中可知，在0 到 0 v区间内， 0 /vvvaNf；而在 0 到 2 0 v区间，Nf v. 则利用归一化条件有 vv v v v 0 0 0 2 0 0 dd v v a

17、a N (3) 速率在 0 v/2到3 0 v/2间隔内的分子数为 12/7dd 2/3 0 0 0 0 0 Na a N v v v vv v v (4) 分子速率平方的平均值按定义为 vvfvvvd/d 0 2 0 22 NN 故分子的平均平动动能为 8 / 10 2 0 2 2 0 3 0 2 k 36 31 dd 2 1 2 1 0 0 0 vvvvv v v v v v m N a N a mm 7 15一飞机在地面时，机舱中的压力计指示为Pa10011 5 .，到高空后压强降为 Pa10118 4 设大气的温度均为27.0 .问此时飞机距地面的高度为多少？(设空气的摩尔 质量为 2

18、.89 10 2 kg mol 1 ) 分析当温度不变时，大气压强随高度的变化主要是因为分子数密度的改变而造成.气体分 子 在 重 力 场 中 的 分 布 满 足 玻 耳 兹 曼 分 布 . 利 用 地 球 表 面 附 近 气 压 公 式 kTmghpp/exp 0 ，即可求得飞机的高度h.式中 p0是地面的大气压强. 解飞机高度为 m1093.1/ln/ln 3 00 pp Mg RT pp mg kT h 7 16目前实验室获得的极限真空约为1.33 10 11Pa，这与距地球表面 1.0 10 4 km 处的 压强大致相等 .而电视机显像管的真空度为1.33 10 3 Pa，试求在 27

19、 时这两种不同压强下 单位体积中的分子数及分子的平均自由程.(设气体分子的有效直径d3.0 10 8cm) 解理想气体分子数密度和平均自由程分别为n kT p ；pdkT 2 2，压强为 1.33 10 11 Pa时， -39 m1021. 3/ kTpn m108.7 2 8 2 pd kT 从的值可见分子几乎不发生碰撞.压强为 1.33 10 3 Pa 时， 3-17 m1021.3 kT p n，m8.7 2 2 pd kT 此时分子的平均自由程变小，碰撞概率变大.但相对显像管的尺寸而言，碰撞仍很少发生. 717 在标准状况下，1 cm 3 中有多少个氮分子？氮分子的平均速率为多大？平均

20、碰撞次 数为多少 ?平均自由程为多大？（已知氮分子的有效直径m1076.3 10 d） 9 / 10 分析标准状况即为压强Pa10013.1 5 p，温度K273T.则由理想气体物态方程 nkTp可求得气体分子数密度n，即单位体积中氮分子的个数.而氮气分子的平均速率、 平均碰撞次数和平均自由程可分别由公式 M RT v 8 ，nvdZ 2 2和 nd 2 2 1 直接求出 . 解由分析可知，氮分子的分子数密度为 325 m1069.2 kT p n 即 3 cm1中约有 19 1069.2个. 氮气的摩尔质量为M=28 10 3 kg mol 1，其平均速率为 M RT v 8 =454 1

21、sm 则平均碰撞次数为 -192 s107.72nvdZ 平均自由程为 m106 2 18 2n d 讨论本题主要是对有关数量级有一个具体概念.在通常情况下，气体分子平均以每秒 几百米的速率运动着，那么气体中进行的一切实际过程如扩散过程、热传导过程等好像都应 在瞬间完成， 而实际过程都进行得比较慢，这是因为分子间每秒钟上亿次的碰撞导致分子的 自由程只有几十纳米，因此宏观上任何实际过程的完成都需要一段时间. 718在一定的压强下，温度为20时，氩气和氮气分子的平均自由程分别为9.9 10 8m 和27.5 10 8m.试求： (1) 氩气和氮气分子的有效直径之比； (2) 当温度不变且压强为原值

22、 的一半时，氮气分子的平均自由程和平均碰撞频率. 分析( 1 ) 气体分子热运动的平均自由程pdkT nd 2 2 2/ 2 1 ，因此，温度、 压强一定时，平均自由程 2 /1 d.(2) 当温度不变时，平均自由程p/1. 10 / 10 解(1) 由分析可知 67.1/ r22rANNA dd (2) 由分析可知氮气分子的平均自由程在压强降为原值的一半时，有 m105 .52 7 NN 22 而此时的分子平均碰撞频率 2 2 2 2 2 N N N N N 2 /8 MRT Z v 将T 293K ，MN22.8 10 2 kg mol 1 代入，可得 -18 N s1056.8 2 Z