2019-2020广东学业水平测试数学复习讲义：第3章+函数的应用和答案.pdf

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1、2019-2020 广东学业水平测试数学复习讲义：第3 章+函数的应用和答案 - 1 - / 13 考纲展示考情汇总备考指导 函数与方程 结合二次函数的图象， 了解函数的零点与方程 根的联系，判断一元二 次方程根的存在性及根 的个数 . 2018 年 1 月 T5 本章的重点是求函数的零点，判断 函数零点的个数及其所在的区间， 难点是根据函数的零点的情况求参 数的取值范围，学习本章时要注意 应用数形结合的思想方法、转化与 化归的思想方法解决问题. 求函数的零点 、判断零点的个数 基础知识填充 1函数的零点 对于函数 yf(x)，我们把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x)的零点 2函

2、数的零点与方程的根 、函数图象与 x 轴交点的关系 函数 yf(x)有零点 ? 方程 f(x)0 有实根 ? 函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点 3零点存在性定理 如果函数 yf(x)在区间 a，b上的图象是连续不断的一条曲线， 并且有 f(a)f(b) 0，那么，函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使 f(c)0，这 个 c 也就是方程 f(x)0 的根 最新模拟快练 1(2019 惠州学考模拟 )函数 yln x 的零点是 () A(0,0)Bx0 Cx1 D不存在 C令 ln x 0，解得 x1. 2019-2020 广东学业水平测试数学复习讲义：第3 章+

3、函数的应用和答案 - 2 - / 13 2(2019 江门学考模拟 )函数 f(x)2 x1 的零点为 ( ) A1 B0 C(1,0) D(0,0) B函数的零点即相应方程的根由 2 x10 得 x0，函数 f(x)2x1 的 零点为 0. 3(2018 揭阳学考模拟题 )函数 f(x)xx2 的零点个数为 () A0B1 C2D3 B由 f(x)0 得 x2x，在同一坐标系内做出函数yx2，yx的图 象，如图所示 ，二者有 1 个交点 ，即 f(x)有 1 个零点 4(2019 东莞高一月考 )方程 2 xx23 的实数解的个数为 ( ) A2 B3 C1 D4 A令 f(x)2 x，g(

4、x)x23，绘制这两个函数的函数图象 ，可得 故有 2 个交点 ，故选 A. 5(2018 东莞市高一期中 )下列函数没有零点的是 () Af(x)0 Bf(x)2 Cf(x)x 21 Df(x)x 1 x B函数 f(x)2，不能满足方程 f(x)0，因此没有零点 6(2019 梅州高一期末 )函数 f(x)(lg x) 2lg x 的零点为 _ x1 或 x10由(lg x) 2lg x0，得 lg x(lg x1)0， 2019-2020 广东学业水平测试数学复习讲义：第3 章+函数的应用和答案 - 3 - / 13 lg x0 或 lg x1，x1 或 x10. 7(2018 佛山市高

5、一期中考试 )设函数 f(x)2 1x4，g(x)1log 2(x3)，则 函数 f(x)的零点与 g(x)的零点之和为 _ 2令 f(x)21x40 解得 x1， 即 f(x)的零点为 1， 令 g(x)1log2(x 3)0，解得 x1，所以函数 f(x)的零点与 g(x)的零点之和为 2. 利用函数的图象研究方程根的个数 当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程 f(x)0 的根就是函数 f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标 ，方程 f(x)g(x)的根就是函数 f(x) 与 g(x)图象的交点的横坐标 . 判断函数零点所在的区间 最新模拟快练 1(2019 佛山高

6、一期末 )对于函数 f(x)，若 f(1) f(3)0，则() A方程 f(x)0 一定有实数解 B方程 f(x)0 一定无实数解 C方程 f(x)0 一定有两实数解 D方程 f(x)0 可能无实数解 D函数 f(x)的图象在 (1,3)上未必连续 ，故尽管 f(1) f(3)0，但未必函 数 yf(x)在(1,3)上有零点 ，即方程 f(x)0 可能无实数解 2(2019 深圳学考模拟 )函数 f(x) x 33x5 的零点所在的大致区间是 () A(2,0) B(0,1) C(1,2) D(2,3) C函数 f(x)x 33x5 是单调递减函数 ，又f(1)13315 10，f(2)2 3

7、32590，故 x0(2,3) 4 (2019 江门学考模拟)根据表格中的数据，可以断定方程e x(x2) 0(e2.72)的一个根所在的区间是() x 10123 e x 0.3712.727.4020.12 x212345 A.(1,0) B(0,1) C(1,2) D(2,3) C令 f(x)e x(x2)， 则 f(1)0.3710.由于 f(1) f(2)0，那么由函数的零点存在性定理可知 ，函数的零点的区间 为(1,0)，选 B. 6 (2018 佛 山 市 学 考 模 拟 题 ) 已知 函数f(x) 2 x log3x 的 零点 在区 间 k1，k1 2 上，则整数 k 的值为

8、_ 1函数 f(x)2 xlog 3x 在(0，)单调递增 函数 f(x)2 xlog 3x 最多 2019-2020 广东学业水平测试数学复习讲义：第3 章+函数的应用和答案 - 5 - / 13 有一个零点 当 k1 时，区间 k1，k1 2 为 0，1 2 ，当 x0 时，f(x)，当 x 1 2时，f 1 2 2log320，函数 f(x)在区间 0，1 2 上存在零点 ，因此必然 k 1. 确定函数零点所在的区间有两种方法：一是利用零点存在性定理，二是把函 数的零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合的方法 . 函数零点的应用 学考真题对练 (2018广东学业水平真题 )设实数

9、 a 为常数，则函数f(x)x2xa(xR)存 在零点的充分必要条件是 () Aa1 Ba1 Ca1 4 Da 1 4 C由已知可得 ， 14a0? a 1 4，故选 C. 已知函数有零点 (方程有根 )求参数取值常用的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)， 再通过解不等式 (组) 确定参数范围； (2)分离参数法：将参数分离 ，转化成求函数的值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图 象，然后数形结合求解 最新模拟快练 1(2018 肇庆市学考模拟题 )若函数 f(x)3ax12a 在区间 (1,1)上存在一 个零点，

10、则 a 的取值范围是 () Aa1 5 Ba1 5或 a0，即 a10 5a10 或 a11 5或 a1f(0)1，要使函数 f(x)mx1 在(0,1)内有零点 ，需 f(1)m10， 即 m1. 4(2019 佛山学考模拟 )已知函数 f(x)ax 22axc(a0)的一个零点为 1，则 它的另一个零点为 _ 3设函数 f(x)的两个零点为x1，x2，根据函数解析式 ，由一元二次方程根 与系数的关系 ，得 x1x2 2a a 2.又因为 x11，所以 x23. 5(2019 广州高一期中 )设函数 g(x)ax 2bxc(a0)，且 g(1)a 2. (1)求证：函数 g(x)有两个零点；

11、 (2)讨论函数 g(x)在区间 (0,2)内的零点个数 2019-2020 广东学业水平测试数学复习讲义：第3 章+函数的应用和答案 - 7 - / 13 解(1)证明： g(1)abc a 2， 3a2b2c0， c 3 2ab.g(x)ax 2bx3 2ab， b24a 3 2ab (2ab) 22a2.a0， 0 恒成立 ， 故函数 g(x)有两个零点 (2)根据 g(0)c，g(2)4a2bc，又由(1)知 3a2b2c0，g(2)ac. ()当 c0 时，有 g(0)0， 又a0，g(1) a 20， 函数 f(x)在区间 (1,2)内有一零点 ， 综合()()，可知函数 g(x)

12、在区间 (0,2)内至少有一个零点 一、选择题 1(2018 阳江高一期中 )函数 f(x)x 2x的零点是 ( ) A0 B1 C0,1 D(0,0)，(1,0) C令 f(x)0 解得 x0 或 x1，故选 C. 2下列函数中能用二分法求零点的是() ABCD 2019-2020 广东学业水平测试数学复习讲义：第3 章+函数的应用和答案 - 8 - / 13 C在 A 和 D 中，函数虽有零点 ，但它们均是不变号零点 ，因此它们都不能 用二分法求零点 在 B 中，函数无零点 在 C 中，函数图象是连续不断的 ，且图 象与 x 轴有交点 ， 并且其零点为变号零点 ， 所以 C 中的函数能用二

13、分法求其零点 3下列函数没有零点的是 () Af(x)0 Bf(x)2 Cf(x)x 21 Df(x)x 1 x B函数 f(x)2，对任意 xR 不能满足方程 f(x)0，因此函数 f(x)2 没有 零点 4设 f(x)3 x3x8，用二分法求方程 3x3x80 在 x(1,2)内近似解的 过程中得f(1)0，f(1.5)0，f(1.25)0，则方程的根落在区间 () A(1,1.25) B(1.25,1.5) C(1.5,2) D不能确定 B根据题意及二分法的思想方法，画出简图(略)，显然 f(1.5) f(1.25)0，由 零点存在性定理可知：方程的根落在区间(1.25,1.5)内故选

14、B. 5下列关于函数f(x)的图象中，可以直观判断方程f(x)20 在(， 0)上 有解的是 () D方程 f(x)20 在(，0)上有解 ，函数 yf(x)与 y2 在(，0) 上有交点 ，分别观察直线y2 与函数 f(x)的图象在 (，0)上交点的情况 ，选项 A，B，C 无交点 ，D 有交点 ，故选 D. 6某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y5x4 000，而手套出厂价格为每副10 元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为() A200 副B400副 C600 副D800副 2019-2020 广东学业水平测试数学复习讲义：第3 章+函数的应用和答案 - 9 -

15、/ 13 D由 5x4 00010x，解得 x800，即日产手套至少 800 副时才不亏本 7方程 e x8x80 的根所在的区间为 ( ) A(2，1) B(1,0) C(0,1) D(1,2) C令函数 f(x)e x8x8，则方程 ex8x80 的根即为函数 f(x)的零点 ， 再由 f(0)1870，可得函数 f(x)在(0,1)上有零点 故选 C. 8已知函数 f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表： x 10123 f(x)84206 则函数 f(x)一定存在零点的区间是() A(1,0) B(0,1) C(1,2) D(2,3) B由表可知 f(0) f(1)4(2)80，

16、 由零点的存在性定理可知f(x)一定 存在零点的区间是 (0,1) 9若镭经过 100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为 1 的镭经过 x 年后剩 留量为 y，则 x，y 的函数关系是 () Ay0.957 6 x 100 By0.957 6 100x Cy 0.957 6 100 x Dy10.042 4 x 100 A设镭一年放射掉其质量的t%，则有 95.76%1 (1t%) 100,1t%0.957 6 1 100 ，y(1t%)x0.957 6 x 100 . 10函数 f(x)ln x2 x的零点所在的大致区间是 ( ) A(1,2) B(2,3) C. 1，1 e D(e，

17、 ) Bf(1)20，f(2) f(3)1 Ca1 Da1 B由 44a1. 13下列函数中，在区间 (1,1)内有零点且单调递增的是 () Aylog1 2x By2 x1 Cyx 21 2 Dyx 3 B选项 A、C 中的函数在 (1,1)上不具有单调性 ，选项 D 中 yx 3 在( 1,1)上递减 ，选项 B 中 y2 x1 在(1,1)上递增 ，且其零点为 0，故选 B. 14用一根长为 12 m 的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大 面积是 () A9 m 2 B8 m 2 C7 m 2 D6 m 2 A设矩形的一边长为x m， 2019-2020 广东学业水平测试数学

18、复习讲义：第3 章+函数的应用和答案 - 11 - / 13 则与这条边垂直的边长为 122x 2 m， 所以矩形面积 Sx 122x 2 x 26x(0x6)， 当 x3 m 时，S最大9 m 2. 15函数 f(x)xln(x1)1 的零点个数是 () A1 B2 C3 D4 B函数 f(x)xln(x1)1 的零点个数 ，即为函数 yln(x1)与 yx1 图象的交点个数 在同一坐标系内分别作出函数yln(x1)与 yx1 的图象 ， 如图， 由图可知函数 f(x)xln(x1)1 的零点个数是 2. 二、填空题 16函数 f(x) x1 ln x x3 的零点是 _ 1令 f(x)0，

19、即 x1 ln x x3 0，则 x10 或 ln x0，x1，故函数 f(x) 的零点为 1. 17已知 a 是函数 f(x)2log2x 的零点，则实数a 的值为 _ 4由 f(a)2log2a0，得 a4. 18已知函数f(x)ln |x|，g(x) 1，x0， 1，x0， 则 f(x)g(x)1 的零点有 _个 2019-2020 广东学业水平测试数学复习讲义：第3 章+函数的应用和答案 - 12 - / 13 2F(x)f(x)g(x) ln |x|，x0， ln |x|，x0 ln x ，x0， ln x，x0， 作出函数 F(x)的图象 (略)，此函数图象与直线y1 有 两个交点

20、 ， 所以 f(x)g(x)1 的零点有 2 个 19已知长为 4，宽为 3 的矩形，若长增加x，宽减少 x 2，则面积最大此时 x _，面积 S_. 1 25 2 根据题目条件0x 23，即 0x6，所以 S(4x) 3 x 2 1 2(x 22x 24)25 2 1 2(x1) 2(0x6)故当 x1 时，S取得最大值25 2 . 三、解答题 20设函数 f(x) 11 x (x0) (1)作出函数 f(x)的图象； (2)当 0ab，且 f(a)f(b)时，求 1 a 1 b的值； (3)若方程 f(x)m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围 解(1)如图所示 (2)f(x) 11 x

21、 故 f(x)在(0,1上是减函数 ，而在(1，)上是增函数 由 0ab 且 f(a)f(b)，得 0a1b，且 1 a11 1 b， 1 a 1 b2. 2019-2020 广东学业水平测试数学复习讲义：第3 章+函数的应用和答案 - 13 - / 13 (3)由函数 f(x)的图象可知 ， 当 0m1 时， 方程 f(x)m 有两个不相等的正根 ， 所以 m的取值范围是 (0,1) 21已知函数 f(x)x 2(lg a2)xlg b， 1 是函数 F(x)f(x)2 的一个零 点，且对于任意 xR，恒有 f(x)2x 成立，求实数 a，b 的值 解由已知条件知 ，F(1)0，lg blg a10， 又 f(x)2x 恒成立 ，有 x 2xlg alg b0 恒成立 ， (lg a)24lg b0.由 lg blg a10 得，lg alg b1， (lg b1)24lg b0，(lg b1)20.故 lg b1，即 b10，则 a100.