福建省2019年中考数学真题试题(A卷,含解析).pdf

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1、1 福建省 2019年中考数学真题试题 一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共10 小题，每题3 分，共 40 分） 1 （ 4.00 分）在实数 | 3| ， 2，0， 中，最小的数是（） A| 3| B 2 C 0 D 2 （ 4.00 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（） A圆柱 B三棱柱C长方体D 四棱锥 3 （ 4.00 分）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（） A1，1，2 B1，2，4 C2， 3，4 D2，3，5 4 （ 4.00 分）一个n 边形的内角和为360，则n 等于（） A3 B 4 C 5 D6 5 （4.00 分）如图，等边三角形ABC中，A

2、D BC ，垂足为 D，点 E在线段 AD上，EBC=45 ， 则 ACE等于（） A15 B30 C45 D60 6 （ 4.00 分）投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1 到 6 的点数，则下列 事件为随机事件的是（） A两枚骰子向上一面的点数之和大于1 B两枚骰子向上一面的点数之和等于1 C两枚骰子向上一面的点数之和大于12 D两枚骰子向上一面的点数之和等于12 2 7 （ 4.00 分）已知m=+，则以下对m的估算正确的（） A2m 3 B3m 4 C4 m 5 D5m 6 8 （ 4.00分）我国古代数学著作增删算法统宗记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一 条索， 索比竿子

3、长一托折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条 绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5 尺设 绳索长 x 尺，竿长y 尺，则符合题意的方程组是（） AB CD 9 （4.00 分）如图，AB是 O的直径， BC与 O相切于点B，AC交 O于点 D， 若ACB=50 ， 则 BOD等于（） A40 B50 C60 D80 10 （4.00 分）已知关于x 的一元二次方程（a+1）x 2+2bx+（ a+1）=0 有两个相等的实数根， 下列判断正确的是（） A1 一定不是关于x 的方程 x 2 +bx+a=0 的根 B0 一定不是关于x 的方

4、程 x 2 +bx+a=0 的根 C1 和 1 都是关于x 的方程 x 2+bx+a=0 的根 D1 和 1 不都是关于x 的方程 x 2+bx+a=0 的根 二、细心填一填（本大题共6 小题，每小题4 分，满分24 分，请把答案填在答題卷相应题 号的横线上） 11 （4.00 分）计算：（） 0 1= 12 （4.00 分）某8 种食品所含的热量值分别为：120，134，120，119，126，120，118， 124，则这组数据的众数为 3 13 （4.00 分）如图， Rt ABC中， ACB=90 ， AB=6 ，D是 AB的中点，则CD= 14 （4.00 分）不等式组的解集为 15

5、 （4.00 分）把两个同样大小的含45角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角 尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A， 且另三个锐角顶点B， C， D在同一直线上 若 AB=，则 CD= 16 （4.00 分）如图，直线y=x+m与双曲线y=相交于 A，B两点， BC x 轴， AC y 轴，则 ABC面积的最小值为 三、专心解一解（本大题共9 小题，满分86 分，请认真读题，冷静思考解答题应写出必要 的文宇说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置） 17 （8.00 分）解方程组： 18 （8.00 分）如图， ?ABCD的对角线AC ，BD相交于点O，EF过

6、点 O且与 AD ， BC分别相交 于点 E， F求证： OE=OF 4 19 （8.00 分）先化简，再求值： （1），其中 m=+1 20 （8.00 分）求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比 要求：根据给出的ABC及线段AB， A（ A= A） ，以线段AB为一边，在 给出的图形上用尺规作出ABC，使得 ABC ABC ，不写作法， 保留作图痕迹； 在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程 21 （8.0 0 分）如图，在RtABC中， C=90 ， AB=10 ， AC=8 线段 AD由线段 AB绕点 A 按逆时针方向旋转90得到， EFG由 ABC沿 C

7、B方向平移得到，且直线EF过点 D （1）求 BDF的大小； （2）求 CG的长 22 （10.00 分）甲、乙两家快递公司揽件员（揽收快件的员工）的日工资方案如下： 甲公司为“基本工资+揽件提成”，其中基本工资为 70 元/ 日，每揽收一件提成2 元； 乙公司无基本工资，仅以揽件提成计算工资若当日揽件数不超过40，每件提成4 元；若 当日搅件数超过 40，超过部分每件多提成2 元 如图是今年四月份甲公司揽件员人均揽件数和乙公司搅件员人均揽件数的条形统计图： 5 （1）现从今年四月份的30 天中随机抽取1 天，求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40 （不含 40）的概率； （2）根据以上信息，

8、以今年四月份的数据为依据，并将各公司揽件员的人均揽件数视为该 公司各揽件员的 揽件数，解决以下问题： 估计甲公司各揽件员的日平均件数； 小明拟到甲、 乙两家公司中的一家应聘揽件员，如果仅从工资收入的角度考虑，请利用所 学的统计知识帮他选择，井说明理由 23 （10.00 分）如图，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏 围成一个矩形菜园ABCD ，其中 AD MN ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100 米 木栏 （1）若 a=20，所围成的矩形菜园的面积为450 平方米，求所利用旧墙AD的长； （2）求矩形菜园ABCD 面积的最大值 24 （12.00 分）

9、已知四边形ABCD 是 O的内接四边形，AC是 O的直径， DE AB ，垂足为 E （1）延长 DE交 O于点 F，延长 DC ，FB交于点 P，如图 1求证： PC=PB ； （2）过点 B作 BC AD ， 垂足为 G ，BG交 DE于点 H， 且点 O和点 A都在 DE的左侧， 如图 2 若 AB=，DH=1 ， OHD=80 ，求 BDE的大小 6 25 （14.00 分）已知抛物线y=ax 2+bx+c 过点 A（0，2） （1）若点（，0）也在该抛物线上，求a，b 满足的关系式； （2）若该抛物线上任意不同两点M （x1，y1） ，N（x2，y2）都满足：当x1x20 时， （

10、x1 x2） （y1y2） 0；当 0x1x2时， （x1x2） （ y1y2） 0以原点O为心， OA为半径的圆 与拋物线的另两个交点为B，C，且 ABC有一个内角为60 求抛物线的解析式； 若点 P与点 O关于点 A对称，且O ， M ，N三点共线，求证：PA平分 MPN 7 参考答案与试题解析 一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共10 小题，每题3 分，共 40 分） 1 （ 4.00 分）在实数 | 3| ， 2，0， 中，最小的数是（） A| 3| B 2 C 0 D 【分析】 直接利用利用绝对值的性质化简，进而比较大小得出答案 【解答】 解：在实数 | 3| ， 2， 0， 中

11、， | 3|=3 ，则 2 0| 3| ， 故最小的数是：2 故选： B 2 （ 4.00 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（） A圆柱 B三棱柱C长方体D 四棱锥 【分析】 根据常见几何体的三视图逐一判断即可得 【解答】 解： A、圆柱的主视图和左视图是矩形，但俯视图是圆，不符合题意； B、三棱柱的主视图和左视图是矩形，但俯视图是三角形，不符合题意； C、长方体的主视图、左视图及俯视图都是矩形，符合题意； D、四棱锥的主视图、左视图都是三角形，而俯视图是四边形，不符合题意； 故选： C 3 （ 4.00 分）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（） A1，1，2 B1，2，4

12、 C2， 3，4 D2，3，5 【分析】 根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可求解 【解答】 解： A、1+1=2，不满足三边关系，故错误； B、1+24，不满足三边关系，故错误； C、2+34，满足三边关系，故正确； 8 D、2+3=5，不满足三边关系，故错误 故选： C 4 （ 4.00 分）一个n 边形的内角和为360，则n 等于（） A3 B 4 C 5 D6 【分析】 n 边形的内角和是（n 2）?180，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关 于边数的方程，解方程就可以求n 【解答】 解：根据n 边形的内角和公式，得： （n2）?180=360 ， 解得

13、 n=4 故选： B 5 （4.00 分）如图，等边三角形ABC中，AD BC ，垂足为 D，点 E在线段 AD上，EBC=45 ， 则 ACE等于（） A15 B30 C45 D60 【分析】 先判断出AD是 BC的垂直平分线，进而求出ECB=45 ，即可得出结论 【解答】 解：等边三角形ABC中， AD BC ， BD=CD ，即： AD是 BC的垂直平分线， 点 E在 AD上， BE=CE ， EBC= ECB ， EBC=45 ， ECB=45 ， ABC是等边三角形， 9 ACB=60 ， ACE= ACB ECB=15 ， 故选： A 6 （ 4.00 分）投掷两枚质地均匀的骰子，

14、骰子的六个面上分别刻有1 到 6 的点数，则下列 事件为随机事件的是（） A两枚骰子向上一面的点数之和大于1 B两枚骰子向上一面的点数之和等于1 C两枚骰子向上一面的点数之和大于12 D两枚骰子向上一面的点数之和等于12 【分析】 根据事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的 事件称为不可能事件，在一定条件下， 可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件进行分 析即可 【解答】 解： A、两枚骰子向上一面的点数之和大于1，是 必然事件，故此选项错误； B、两枚骰子向上一面的点数之和等于1，是不可能事件，故此选项错误； C、两枚骰子向上一面的点数之和大于12，是不可能事

15、件，故此选项错误； D、两枚骰子向上一面的点数之和等于12，是随机事件，故此选项正确； 故选： D 7 （ 4.00 分）已知m=+，则以下对m的估算正确的（） A2m 3 B3m 4 C4 m 5 D5m 6 【分析】 直接化简二次根式，得出的取值范围，进而得出答案 【解答】 解： m=+=2+， 12， 3m 4， 故选： B 8 （ 4.00分）我国古代数学著作增删算法统宗记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一 条索， 索比竿子长一托折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条 绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5 尺设 10 绳索长 x

16、 尺，竿长y 尺，则符合题意的方程组是（） AB CD 【分析】 设索长为x 尺，竿子长为y 尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿 子短一托”，即可得出关于x、y 的二元一次方程组 【解答】 解：设索长为x 尺，竿子长为y 尺， 根据题意得： 故选： A 9 （4.00 分）如图，AB是 O的直径， BC与 O相切于点B，AC交 O于点 D， 若ACB=50 ， 则 BOD等于（） A40 B50 C60 D80 【分析】 根据切线的性质得到 ABC=90 ，根据直角三角形的性质求出A，根据圆周角定 理计算即可 【解答】 解： BC是 O的切线， ABC=90 ， A=90 ACB

17、=40 ， 由圆周角定理得，BOD=2 A=80 ， 故选： D 10 （4.00 分）已知关于x 的一元二次方程（a+1）x 2+2bx+（ a+1）=0 有两个相等的实数根， 下列判断正确的是（） 11 A1 一定不是关于x 的方程 x 2 +bx+a=0 的根 B0 一定不是关于x 的方程 x 2 +bx+a=0 的根 C1 和 1 都是关于x 的方程 x 2+bx+a=0 的根 D1 和 1 不都是关于x 的方程 x 2+bx+a=0 的根 【分析】 根据方程有两个相等的实数根可得出b=a+1 或 b=（a+1） ，当 b=a+1 时，1 是方 程 x 2+bx+a=0 的根；当 b=

18、（ a+1）时， 1 是方程 x 2+bx+a=0 的根再结合 a+1（ a+1） ， 可得出 1 和 1 不都是关于x 的方程 x 2+bx+a=0 的根 【解答】 解：关于x 的一元二次方程（a+1）x 2+2bx+（a+1） =0 有两个相等的实数根， ， b=a+1 或 b=（ a+1） 当 b=a+1 时，有 ab+1=0，此时 1 是方程 x 2+bx+a=0 的根； 当 b=（ a+1）时，有a+b+1=0，此时 1 是方程 x 2+bx+a=0 的根 a+10， a+1（ a+1） ， 1 和 1不都是关于x 的方程 x 2+bx+a=0 的根 故选： D 二、细心填一填（本大

19、题共6 小题，每小题4 分，满分24 分，请把答案填在答題卷相应题 号的横线上） 11 （4.00 分）计算：（） 0 1= 0 【分析】 根据零指数幂：a 0=1（a0）进行计算即可 【解答】 解：原式 =11=0， 故答案为： 0 12 （4.00 分）某8 种食品所含的热量值分别为：120，134，120，119，126，120，118， 124，则这组数据的众数为120 【分析】 根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据即为众数 【解答】 解：这组数据中120 出现次数最多，有3 次， 12 这组数据的众数为120， 故答案为： 120 13 （4.00 分）如图， Rt ABC中

20、， ACB=90 ， AB=6 ，D是 AB的中点，则CD= 3 【分析】 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答 【解答】 解： ACB=90 ， D为 AB的中点， CD= AB=6=3 故答案为： 3 14 （4.00 分）不等式组的解集为x2 【分析】 先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可 【解答】 解： 解不等式得：x1， 解不等式得：x2， 不等式组的解集为x 2， 故答案为： x2 15 （4.0 0 分）把两个同样大小的含45角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三 角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A， 且另三个锐角顶点B， C， D在同一直线上 若

21、 AB=，则 CD= 1 13 【分析】 先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2，BF=AF=1 ，再利用勾股定理求出DF ，即可 得出结论 【解答】 解：如图，过点A作 AFBC于 F， 在 RtABC中， B=45 ， BC=AB=2 ，BF=AF=AB=1 ， 两个同样大小的含45角的三角尺， AD=BC=2 ， 在 RtADF中，根据勾股定理得，DF= CD=BF+DF BC=1+2=1， 故答案为：1 16 （4.00 分）如图，直线y=x+m与双曲线y=相交于 A，B两点， BC x 轴， AC y 轴，则 ABC面积的最小值为6 【分析】 根据双曲线y=过 A，B两点， 可设 A

22、 （a，） ，B （b，） ，则 C （a，） 将 y=x+m 代入 y=，整理得x 2+mx3=0，由于直线 y=x+m与双曲线 y=相交于 A，B两点，所以a、 b 是方程 x 2+mx 3=0 的两个根，根据根与系数的关系得出 a+b=m ，ab=3，那么（ ab） 14 2=（a+b）24ab=m2+12再根据三角形的面积公式得出 S ABC=AC?BC= m 2+6，利用二次函数 的性质即可求出当m=0时， ABC的面积有最小值6 【解答】 解：设 A（a，） ，B（ b，） ，则 C（a，） 将 y=x+m代入 y=，得 x+m=， 整理，得x 2+mx 3=0， 则 a+b=m

23、，ab=3， （ ab） 2=（a+b）24ab=m2+12 S ABC=AC?BC =（） （ab） =?（ab） =（ab） 2 =（m 2+12） =m 2+6， 当 m=0时， ABC的面积有最小值6 故答案为6 三、专心解一解（本大题共9 小题，满分86 分，请认真读题，冷静思考解答题应写出必要 的文宇说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置） 17 （8.00 分）解方程组： 【分析】 方程组利用加减消元法求出解即可 【解答】 解：， 得： 3x=9， 解得： x=3， 把 x=3 代入得： y=2， 则方程组的解为 15 18 （8.00 分）如图， ?AB

24、CD的对角线AC ，BD相交于点O，EF过点 O且与 AD ， BC分别相交 于点 E， F求证： OE=OF 【分析】由四边形ABCD 是平行四边形， 可得 OA=OC ， ADBC ， 继而可证得 AOE COF（ASA ） ， 则可证得结论 【解答】 证明：四边形ABCD 是平行四边形， OA=OC ，AD BC ， OAE= OCF ， 在 OAE和 OCF中， ， AOE COF （ ASA ） ， OE=OF 19 （8.00 分）先化简，再求值： （1），其中 m=+1 【分析】 根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将m的值代入即可解答本题 【解答】 解： （1） =

25、= =， 当 m=+1时 ，原式 = 20 （8.00 分）求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比 要求：根据给出的ABC及线段AB， A（ A= A） ，以线段AB为一边，在 给出的图形上用尺规作出ABC，使得 ABC ABC ，不写作法， 保留作图痕迹； 16 在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程 【分析】（1）作 ABC= ABC ，即可得到 ABC； （2）依据 D是 AB的中点， D是 AB 的中点，即可得到=，根据 ABC ABC，即可得到=， A= A，进而得出ACD ACD ，可得 =k 【解答】 解： （1）如图所示， ABC即为所求； （2）

26、已知，如图，ABC ABC ，=k，D是 AB的中点， D 是 AB 的中点， 求证：=k 证明： D是 AB的中点， D 是 AB 的中点， AD=AB ， AD=AB ， =， ABC ABC ， =， A= A， =， A= A， 17 ACD ACD ， =k 21 （8.00 分）如图，在RtABC中， C=90 ， AB=10 ， AC=8 线段 AD由线段 AB绕点 A 按逆时针方向旋转90得到， EFG由 ABC沿 CB方向平移得到，且直线EF过点 D （1）求 BDF的大小； （2）求 CG的长 【分析】（1）由旋转的性质得，AD=AB=10 ，ABD=45 ，再由平移的性质

27、即可得出结论； （2）先判断出 ADE= ACB ，进而得出 ADE ACB ，得出比例式求出AE ，即可得出结论 【解答】 解： （1）线段AD是由线段 AB绕点 A按逆时针方向旋转90得到， DAB=90 ， AD=AB=10 ， ABD=45 ， EFG是 ABC沿 CB方向平移得到， ABEF， BDF= ABD=45 ； （2）由平移的性质得，AECG ，AB EF， DEA= DFC= ABC ， ADE+ DAB=180 ， DAB=90 ， ADE=90 ， ACB=90 ， ADE= ACB ， ADE ACB ， ， AB=8，AB=AD=10 ， 18 AE=12.5，

28、由平移的性质得，CG=AE=12.5 22 （10.00 分）甲、乙两家快递公司揽件员（揽收快件的员工）的日工资方案如下： 甲公司为“基本工资+揽件提成”，其中基本工资为70 元/ 日，每揽收一件提成2 元； 乙公司无基本工资，仅以揽件提成计算工资若当日揽件数不超过40，每件提成4 元；若 当日搅件数超过 40，超过部分每件多提成2 元 如图是今年四月份甲公司揽件员人均揽件数和乙公司搅件员人均揽件数的条形统计图： （1）现从今年四月份的30 天中随机抽取1 天，求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40 （不含 40）的概率； （2）根据以上信息，以今年四月份的数据为依据，并将各公司揽件员的人均揽

29、件数视为该 公司各揽件员的 揽件数，解决以下问题： 估计甲公司各揽件员的日平均件数； 小明拟到甲、 乙两家公司中的一家应聘揽件员，如果仅从工资收入的角度考虑，请利用所 学的统计知识帮他选择，井说明理由 【分析】（1）根据概率公式计算可得； （2）分别根据平均数的定义及其意义解答可得 【解答】 解： （1）因为今年四月份甲公司揽件员人均揽件数超过40 的有 4 天， 所以甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含 40）的概率为=； 19 （2）甲公司各揽件员的日平均件数为=39 件； 甲公司揽件员的日平均工资为70+392=148 元， 乙公司揽件员的日平均工资为 =40+ 4+6 =159.4 元

30、， 因为 159.4 148， 所以仅从工资收入的角度考虑，小明应到乙公司应聘 23 （10.00 分）如图，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏 围成一个矩形菜园ABCD ，其中 AD MN ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100 米 木栏 （1）若 a=20，所围成的矩形菜园的面积为450 平方米，求所利用旧墙AD的长； （2）求矩形菜园ABCD 面积的最大值 【分析】 （1）设 AB=xm ，则 BC= （ 1002x）m ，利用矩形的面积公式得到x（100 2x）=450， 解方程得x1=5，x2=45，然后计算1002x 后与 20 进行大小比较即

31、可得到AD的长； （2）设 AD=xm ，利用矩形面积得到S=x（100x） ，配方得到S=（x50） 2+1250，讨 论：当 a50 时，根据二次函数的性质得S 的最大值为1250；当 0a50 时，则当0x a 时，根据二次函数的性质得 S的最大值为50aa 2 【解答】 解： （1）设 AB=xm ，则 BC= （1002x）m ， 根据题意得x（1002x）=450，解得 x1=5，x2=45， 当 x=5 时， 1002x=9020，不合题意舍去； 当 x=45 时， 100 2x=10， 答： AD的长为 10m ； （2）设 AD=xm ， 20 S=x（100x）=（x 50

32、） 2+1250， 当 a50 时，则 x=50 时， S的最大值为1250； 当 0a50 时， 则当 0x a 时，S随 x 的增大而增大， 当 x=a 时，S的最大值为50aa 2， 综上所述，当a50 时， S的最大值为1250；当 0a50 时， S的最大值为50aa 2 24 （12.00 分）已知四边形ABCD 是 O的内接四边形，AC是 O的直径， DE AB ，垂足为 E （1）延长 DE交 O于点 F，延长 DC ，FB交于点 P，如图 1求证： PC=PB ； （2）过点 B作 BC AD ， 垂足为 G ，BG交 DE于点 H， 且点 O和点 A都在 DE的左侧， 如图

33、 2 若 AB=，DH=1 ，OHD=80 ，求BDE的大小 【分析】（1）先判断出BC DF ，再利用同角的补角相等判断出F=PCB ，即可得出结论； （2） 先判断出四边形DHBC 是平行四边形， 得出 BC=DH=1 ， 再用锐角三角函数求出ACB=60 ， 进而判断出DH=OD ，求出 ODH=20 ，即可得出结论 【解答】 解： （1）如图 1， AC是 O的直径， ABC=90 ， DEAB ， DEA=90 ， DEA= ABC ， BCDF， F=PBC ， 四边形BCDF是圆内接四边形， F+DCB=180 ， PCB+ DCB=180 ， 21 F=PCB ， PBC= P

34、CB ， PC=PB ； （2）如图 2，连接 OD ， AC是 O的直径， ADC=90 ， BG AD ， AGB=90 ， ADC= AGB ， BG DC ， BCDE ， 四边形DHBC 是平行四边形， BC=DH=1 ， 在 RtABC中， AB=，tan ACB=， ACB=60 ， BC=AC=OD ， DH=OD ， 在等腰三角形DOH中， DOH= OHD=80 ， ODH=20 ， 设 DE交 AC于 N， BCDE ， ONH= ACB=60 ， NOH=180 （ONH+ OHD ）=40， DOC= DOH NOH=40 ， OA=OD ， OAD= DOC=20

35、， CBD= OAD=20 ， BCDE ， BDE= CBD=20 22 25 （14.00 分）已知抛物线y=ax 2+bx+c 过点 A（0，2） （1）若点（，0）也在该抛物线上，求a，b 满足的关系式； （2）若该抛物线上任意不同两点M （x1，y1） ，N（x2，y2）都满足：当x1x20 时， （ x1 x2） （y1y2） 0；当 0x1x2时， （x1x2） （ y1 y2） 0以原点O为心， OA为半径的圆 与拋物线的另两个交点为B，C，且 ABC有一个内角为60 求抛物线的解析式； 若点 P与点 O关于点 A对称，且O ， M ，N三点共线，求证：PA平分 MPN 【分析

36、】（1）由抛物线经过点A 可求出c=2，再代入（，0）即可找出2ab+2=0 （a0） ； （2）根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y 轴、开口向下，进而可得出b=0， 由抛物线的对称性可得出ABC为等腰三角形， 结合其有一个60的内角可得出ABC为等 边三角形，设线段BC与 y 轴交于点D，根据等边三角形的性质可得出点C的坐标，再利用 待定系数法可求出a 值，此题得解； 由的结论可得出点M的坐标为（ x1，+2） 、点 N的坐标为（ x2，+2） ，由 O 、 M 、N三点共线可得出x2=，进而可得出点N及点 N的坐标，由点A、M的坐标利用待 定系数法可求出直线AM的解析式，利用一次函

37、数图象上点的坐标特征可得出点N在直线 PM上，进而即可证出PA平分 MPN 【解答】 解： （1）抛物线y=ax 2+bx+c 过点 A（0，2） ， c=2 又点（，0）也在该抛物线上， a（） 2+b（ ） +c=0， 2ab+2=0（a0） （2）当x1x20 时， （x1x2） （y1y2） 0， 23 x1x20，y1y20， 当 x 0时， y 随 x 的增大而增大； 同理：当x0 时， y 随 x 的增大而减小， 抛物线的对称轴为y 轴，开口向下， b=0 OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B、C， ABC为等腰三角形， 又 ABC有一个内角为60， ABC为等边三角形 设线段

38、 BC与 y 轴交于点D，则 BD=CD ，且 OCD=30 ， 又 OB=OC=OA=2， CD=OC?cos30=，OD=OC?sin30 =1 不妨设点C在 y 轴右侧，则点C的坐标为（， 1） 点 C在抛物线上，且c=2，b=0， 3a+2=1， a=1， 抛物线的解析式为y=x 2+2 证明：由可知，点M的坐标为（ x1，+2） ，点 N的坐标为（ x2，+2） 直线 OM 的解析式为y=k1x（k10） O、M 、N三点共线， x10，x20，且=， x1+= x2+， x1x2=， x1x2=2，即 x2=， 点 N的坐标为（，+2） 24 设点 N关于 y 轴的对称点为点N，则

39、点 N的坐标为（，+2） 点 P是点 O关于点 A的对称点， OP=2OA=4 ， 点 P的坐标为（ 0，4） 设直线 PM的解析式为y=k2x+4， 点 M的坐标为（ x，+2） ， +2=k2x1+4， k2=， 直线 PM的解析式为y=+4 ?+4=+2， 点 N在直线PM上， PA平分 MPN 25 第一章 原文 道可也，非恒。名无万物之始；有母故欲以观其眇所徼两者同出异谓玄又众门 译文 言语如果文辞那就也说明并非普通。无可以用来表述天地浑沌未开之际的状况；而有，则是宇宙万物产生本原命名因此要常从中去观察领悟道奥妙体会端倪与这两者源相同称异都为玄、深远它不一般又总门到达形洞悉切变化径

40、注释 第一个道是名词，指的宇宙本原和实质引申为理、则真规律等。二动解说表述意思犹言得出 恒：一般的，普通。 第一个名是词，指道的形态。二动说明意思 无名：指形。 有名：指形。 母：体，根源。 恒：经常。 眇（m）：通妙，微的意思。 徼（）：边际、界。引申端倪的意思 谓：称。此为指 玄：深黑色，妙远的含义。 门：之一切奥妙变化的总径，此用来比喻宇宙万物唯原道。 延伸阅读王弼道德经注 道可，非常名。 可道之，名指事造形非其常也故不。 无名，天地之始；有万物母。 凡有皆始於无，故未形名之时则为万物。及其长育亭毒母也言道以成而不知所玄又 故常无欲，以观其妙； 妙者，微之极也。万物始於而后成无生故常欲空

41、虚可以观其 常有欲，以观其徼。 徼，归终也。凡有之为利必以无用；欲所本适道而后济故常可观其物 此两者，同出而异名。谓之玄又众妙门 两者，始与母也。同出於玄异名所施不可在首则谓之终冥默然无有、得而故言曰取以定乎一已是失远矣又众妙皆从门 延伸阅读苏辙老子解 道可，非常。 莫非道也。而可者不常，惟後耳今夫仁義禮智此之然以為如在彼皆變能 名可，非常。 道不可，而況得名之乎？凡皆其者也。既立則圓方曲直同常矣 無名，天地之始；有萬物母。常欲以觀其妙徼 自其無名，形而為天地位始立矣。有播萬物育不可勝載故者道之體甩也聖人以下用入於衆常將觀妙至徼若夫行知則粗神留繳精遍 此兩者，同出而異名謂之玄。 以形而言有無，則信兩矣。安知運為復未嘗不一哉其名雖異本之也玄凡遠所至極者色又故老子常寄衆妙門然猶心在焉盡可加從出