等腰三角形存在性问题.pdf

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1、等腰三角形存在性问题 1、如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB 的顶点 A、B 分别落在坐标轴上O 为原 点，点 A 的坐标为（ 6，0） ，点 B 的坐标为（ 0， 8） 动点 M 从点 O 出发沿OA 向终点 A 以每秒 1 个单位的速度运动，同时动点N 从点 A 出发， 沿 AB 向终点 B 以每秒个单位的速 度运动当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N 运动的时间为 t 秒（ t0） （1）当 t=3 秒时直接写出点N 的坐标，并求出经过O、 A、N 三点的抛物线的解析式； （2）在此运动的过程中，MNA 的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存

2、在，请说明理由； （3）当 t 为何值时， MNA 是一个等腰三角形？ 2、 （ 2012 山东临沂） 如图，点A 在 x 轴上， OA=4，将线段OA 绕点 O 顺时针旋转120 至 OB 的位置 （1）求点 B 的坐标；（2）求经过点AO、B 的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B 为顶点的三角形是等腰三 角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由 3、在平面直角坐标系xoy中， 一块含 60 角的三角板作如图摆放，斜边AB 在 x 轴上，直 角顶点 C 在 y 轴正半轴上，已知点A（ 1，0） （1）请直接写出点B、C 的坐标： B（，）、

3、 C（，）；并求经过A、B、 C 三点的抛物线解析式； （2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF （其中 EDF =90 ， DEF=60 ），把 顶点 E 放在线段AB 上 （点 E 是不与 A、 B 两点重合的动点） ， 并使 ED 所在直线经过点C 此 时， EF 所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M 设 AE=x，当 x 为何值时， OCE OBC； 在的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P 使PEM 是等腰三角形， 若存 在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由 4、如图，直线l1经过点 A（ 1，0），直线 l2经过点 B(3，0), l1、l2均为与 y 轴交

4、于点 C(0， 3)，抛物线 2 y=a x+bx+c(a0)经过 A、B、C 三点。 （1）求抛物线的函数表达式； （2）抛物线的对称轴依次与x轴交于点D、与 l2交于点E、与抛物线交于点F、与 l1交于 点 G。求证： DE=EF=F G; (3)若 l1l2于 y 轴上的 C 点处，点 P 为抛物线上一动点，要使PCG 为等腰三角形，请写 出符合条件的点P的坐标，并简述理由。 备用图 菱形存在性问题 1如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的边 OC、OA 分别与x 轴、 y 轴重合， ABOC， AOC=90 ， BCO=45 ，BC=122，点 C 的坐标为（ -18，0） （

5、1）求点 B 的坐标； （2）若直线DE 交梯形对角线BO 于点 D，交 y 轴于点 E，且 OE=4，OD=2BD ，求直线 DE 的解析式； （3）若点 P 是（ 2）中直线 DE 上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 O、E、 P、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由 2已知抛物线y= 4 1 x 2 + 1 ( 如图所示 ) (1)填空：抛物线的顶点坐标是(_ _，_ _)，对称轴是 _ _； (2)已知 y 轴上一点A(0，2)，点 P 在抛物线上，过点P 作 PBx 轴，垂足为B若 PAB 是等边三角形，求点P 的坐标； (3)在(

6、2)的条件下， 点 M 在直线 AP 上在平面内是否存在点 N，使四边形OAMN 为菱形 ? 若存在，直接写出所有 满足条件的点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 3.如图，已知抛物线经过原点O 和 x 轴上一点 A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与 x 轴交于点D.直线y=2x 1经过抛物线上一点B（-2，m）且与 y 轴交于点C，与抛 物线的对称轴交于点F. （ 1）求 m 的值及该抛物线对应的解析式； （ 2）P(x,y)是抛物线上的一点，若SADP=S ADC,求出所有符合条件的点P的坐标； （ 3）点 Q 是平面内任意一点，点M 从点 F 出发，沿对称轴向上以每秒1 个单位长度

7、的 速度匀速运动，设点M 的运动时间为t 秒，是否能使以Q、A、E、M 四点为顶点的四边形 是菱形 .若能，请直接写出点M 的运动时间t 的值；若不能，请说明理由. 4如图，二次函数y=x 2x+c 的图象与 x 轴分别交于A、B 两点，顶点M 关于 x 轴的对称 点是 M （1）若 A（ 4，0） ，求二次函数的关系式； （2）在（ 1）的条件下，求四边形AMBM 的面积； （3）是否存在抛物线y=x2x+c，使得四边形AMBM 为正方形？若存在，请求出此抛 物线的函数关系式；若不存在，请说明理由 直角三角形存在性问题 1、如图，对称轴为3x的抛物线 2 2yaxx与x轴相交于点B、O. (

8、1）求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标； (2)连结 AB，把 AB 所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l.点 P 是l上一动点 . 设以点 A、B、O、P 为顶点的四边形面积为S，点 P 的横坐标为t，当 0 S18时，求t的 取值范围； (3)在（ 2）的条件下，当 t取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使OPQ为直角三角 形且 OP 为直角边 .若存在 ,直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由. 2. （2012 山东枣庄10 分） 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二 象限，斜靠在两坐标轴上，点C 为 (1，0) 如图所示，B 点在抛物线y 1 2x 21

9、2x 2 图 象上，过点B 作 BDx 轴，垂足为D，且 B 点横坐标为 3 （1）求证： BDC COA；（2）求 BC 所在直线的函数关系式； （3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？若存 在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由 3、 （ 2012 内蒙古） 如图，抛物线 2 yxbx5与 x 轴交于 AB 两点（点A 在点 B 的左 侧） ，与 y 轴交于点C，点 C 与点 F 关于抛物线的对称轴对称，直线 AF 交 y 轴于点 E，|OC|： |OA|=5：1 （1）求抛物线的解析式； （2）求直线AF 的解析式； （3）在直线AF 上是

10、否存在点P，使 CFP 是直角三角形？若存在，求出P 点坐标；若不 存在，说明理由 4、如图，在平面直角坐标系中，直线 1 2 3 yx交x轴于点P，交y轴于点A， 抛物线 21 2 yxbxc的图象过点( 1,0)E，并与直线相交于A、B两点 . 求抛物线的解析式（关系式）； 过点A作ACAB交x轴于点C，求点C的坐标； 除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得MAB是直角三角形？若存在，请求 出点M的坐标，若不存在，请说明理由. 答案 等腰三角形 1、解： （1）N（ 3，4） 。 A（6，0） 可设经过O、A、N 三点的抛物线的解析式为：y=ax （ x6） ，则将 N （ 3， 4）代入

11、得 4=3a（36） ，解得 a= 4 9 。 抛物线的解析式： 2 448 yxx6x +x 993 （）。 （2）存在。过点N 作 NCOA 于 C， 由题意， AN= 5 3 t，AM=OAOM=6t， NC=NA? sin BAO= 544 t=t 353 。 2 MNA 1142 SAMNC6ttt36 2233 （）（）。 MNA 的面积有最大值，且最大值为6。 （3）在 RtNCA 中， AN= 5 3 t，NC=AN?sin BAO= 544 t=t 353 ， AC=AN? cosBAO=t。 OC=OAAC=6t。 N（6t， 4 t 3 ） 。 2 2 2 452 NM6

12、tt+tt24t+36 39 。 又 AM=6t 且 0t6， 当 MN=AN 时， 2525 t24t+36=t 93 ，即 t 28t+12=0，解得 t 1=2，t2=6 （舍去）。 当 MN=MA 时， 252 t24t+36=6t 9 ， 即 243 t12t=0 9 ， 解得 t1=0 （舍去）， t2= 108 43 。 当 AM=AN 时， 6t= 5 3 t，即 t= 9 4 。 综上所述，当t 的值取2 或 108 43 或 9 4 时， MAN 是等腰三角形。 2、 【答案】 解： （1）如图，过B点作 BCx轴，垂足为C，则 BCO=90 。 AOB=120 ， BOC

13、=60 。 又 OA=OB=4， OC= 1 2 OB= 1 2 4=2，BC=OB? sin60 = 3 4=2 3 2 。 点 B 的坐标为（ 2，23） 。 （2）抛物线过原点O 和点 AB， 可设抛物线解析式为y=ax 2+bx，将 A（4，0） ，B （ 2，2 3）代入，得 16a+4b=0 4a2b=2 3 ，解得 3 a= 6 2 3 b= 3 。 此抛物线的解析式为 32 3 y=x+ 63 。 y=2 3不符合题意，舍去。 点 P 的坐标为（ 2，2 3） 。 若 OB=PB，则 42+|y+2 3|2=42，解得 y=2 3。 点 P 的坐标为（ 2，2 3） 。 若 O

14、P=BP，则 22+|y|2=42+|y+2 3|2，解得 y=2 3。 点 P 的坐标为（ 2，2 3） 。 综上所述，符合条件的点P 只有一个，其坐标为（2，2 3） 。 3、（1）B（3， 0）， C（0，3） 解：法 1：设过 A、B、C 三点的抛物线为 12 (0)ya xxxxa，则 A（1，0）B（3，0）13ya xx 又 C（0，3）在抛物线上30 103a 3 3 a 3 13 3 yxx即 232 3 3 33 yxx （2）解：当 OCE OBC 时，则 OCOE OBOC 3OC，OE=AE AO=1x， OB=3 31 3 3 x 2x当2x时， OCE OBC （

15、2） 解：存在点 P. 理由如下：由可知2xOE=1 E （1， 0） 此时，CAE 为等边三角形 AEC= A=60 又 CEM=60 MEB=60 点C 与点M关于抛物线的对称轴 1 2 b x a 对称 . C（0，3） M2,3 过 M作MN x轴于点N （ 2， 0）MN=3EN=1 EM= 22 2ENEM 若 PEM 为等腰三角形,则: )当 EP=EM 时, EM=2 ，且点 P 在直线 1x 上P(1，2)或 P(1，2) ）当 EM=PM 时,点 M 在 EP的垂直平分线上P(1，23) ） 当 PE=PM 时， 点 P是线段 EM 的垂直平分线与直线1x的交点P(1， 2

16、 3 3 ) 综上所述，存在P点坐标为（ 1， 2）或（ 1，2）或（ 1，2 3）或（ 1， 2 3 3 ） 时， EPM 为等腰三角形 4、【答案】 解：（ 1）抛物线 2 y=ax +bx+c(a0)经过 A（ 1，0）， B（3，0）， C（ 0， 3）三点， abc0 9a3bc0 c3 ， 解 得 3 a 3 23 b 3 c3 。 抛 物 线 的 解 析 式 为 ： 2 32 3 y=x +x3 33 （2）证明：设直线l1的解析式为y=kx+b ，由直线l1经过 A（ 1，0）， C（0，3），得 kb0 b3 ，解得 k3 b3 ， 直线 l1的解析式为： y=-3x3。 直

17、线 l2经过 B（ 3，0）， C（0，3）两点，同理可求得直线l2解析式 为： y= 3 3 x3。 抛物线 2 232 334 3 y=x +x3=x1 3333 ， 对称轴为x=1，D（1，0），顶点坐标为F（1， 4 3 3 ）。 点 E 为 x=1 与直线 l2：y= 3 3 x3的交点， 令 x=1，得 y= 2 3 3 ，E （1， 2 3 3 ）。 点 G 为 x=1 与直线 l1：y=-3x3的交点，令x=1，得 y=2 3， G（1，2 3）。 各点坐标为：D（1，0）， E（ 1， 2 3 3 ）， F（1， 4 3 3 ）， G（1， 2 3 ），它们 均位于对称轴x=

18、1 上。 DE=EF=FG= 2 3 3 。 （3）如图，过C 点作 C 关于对称轴x=1 的对称点P1，CP1交对称轴于H 点， 连接 CF，PG。 PCG 为等腰三角形，有三种情况： 当 CG=PG 时，如图，由抛物线的对称性可知，此时P1满足 P1G=CG。 C（0，3），对称轴x=1， P1（2，3）。 当 CG=PC 时，此时P 点在抛物线上，且CP 的长度等于CG。 如图 ，C（1，3）， H 点在 x=1 上， H（1，3）。 在 RtCHG 中， CH=1 ，HG=|y GyH|=| 2 3（3）|= 3， 由勾股定理得： 2 2 CG132。 PC=2 如图， CP1=2，此

19、时与中情形重合。 又 RtOAC 中， 2 2 AC132，点 A 满足 PC=2 的条件，但点A、C、G 在同一 条直线上，所以不能构成等腰三角形。 当 PC=PG 时，此时P 点位于线段CG 的垂直平分线 上. l1l2， ECG 为直角三角形。 由（ 2）可知， EF=FG，即 F 为斜边 EG 的中点。 CF=FG，F 为满足条件的P 点，P2（1， 4 3 3 ）。 又 CG3 cos CGE EG2 ， CGE=30 。 HCG=60 。 又 P1C=CG， P1CG 为等边三角形。 P1点也在 CG 的垂直平分线上，此种情形与重合。 综上所述， P 点的坐标为P1（2，3）或P2

20、（1， 4 3 3 ）。 菱形答案 1、解：（ 1）过点 B 作 BFx 轴于 F 在 RtBCF 中 BCO=45 ，BC=6 2CF=BF=12 C 的坐标为（ -18，0）AB=OF=6 点 B 的坐标为（ -6，12） （2）过点 D 作 DGy 轴于点 G AB DG ODG OBA 21 世纪教育网 2 3 DGODOG ABOBOA ，AB=6 ，OA=12 DG=4 ，OG=8 D（-4，8）， E （0，4） 设直线DE 解析式为y=kx+b （k0 ） 48 4 kb b 1 4 k b 直线 DE 解析 式为4yx （3）结论：存在 设直线 y=-x+4 分别与 x 轴、

21、y 轴交于点E、点 F，则 E （0，4），F （4，0），OE=OF=4 ， 4 2EF 如答图 2 所示，有四个菱形满足题意 菱形 OEP1Q1， 此时 OE 为菱形一边 则有 P1E=P1Q1=OE=4， P1F=EF-P1E= 4 24 易知 P1NF 为等腰直角三角形， P1N=NF= 1 2 422 2 PF； 设 P1Q1交 x 轴于点N，则 NQ1=P1Q1-P1N= 4(42 2)2 2，又 ON=OF-NF= 2 2， Q1(22,2 2)； 菱形 OEP2Q2， 此时 OE 为菱形一边 此时 Q2与 Q1关于原点对称， Q2( 2 2, 2 2)； 菱形 OEQ3P3，此

22、时 OE 为菱形一边此时P3与点 F重合，菱形OEQ3P3为正方形， Q3（4，4）； 菱形 OP4EQ4， 此时 OE 为菱形对角线 由菱形性质可知， P4Q4为 OE 的垂直平分线， 由 OE=4，得 P4纵坐标为 2，代入直线解析式y=-x+4 得横坐标为2，则 P4（2，2）， 由菱形性质可知，P4、 Q4关于 OE 或 x 轴对称， Q4（-2，2） 综上所述，存在点Q，使以 O、E、P、Q 为顶点的四边形是菱形； 点 Q 的坐标为： Q1(2 2,2 2)，Q2( 2 2, 2 2)，Q3（4， 4）， Q4（-2，2） 2、解： (1)顶点坐标是 (0， 1)，对称轴是y 轴(或

23、 x=O) (2) PAB 是等边三角形， ABO=90 o-60o=30o AB=20A=4 PB=4 解法一：把y=4 代人 y= 4 1 x 2 + 1，得 x= 23. P1(23，4)，P2(-23，4) (3)存在 .N1(3， 1)， N2(-3，-1)，N3(-3，1)，N4(3，-1). 3、解：（ 1）点 B(-2,m) 在直线12xy上 m=3 即 B（-2，3）1 分 又抛物线经过原点O 设抛物线的解析式为bxaxy 2 点 B（-2，3）， A（4，0）在抛物线上 0416 324 ba ba 解得： 1 4 1 b a 设抛物线的解析式为xxy 2 4 1 4 分

24、（2）),(yxP是抛物线上的一点 ) 4 1 ,( 2 xxxP 若 ADCADP SS OCADS ADC 2 1 yADS ADP 2 1 6 分 又点 C 是直线12xy与y轴交点 C(0,1) OC=1 1 4 12 xx，即1 4 12 xx或1 4 12 xx 解得：2,222,222 4321 xxxx 点 P的坐标为)1, 2(),1 ,222(),1 ,222( 321 PPP 10 分 （3）存在： ,54 1 t,6 2 t ,54 3 t, 2 13 4 t 4、解： （ 1）A（ 4，0）在二次函数y=x 2x+c 的图象上， （ 4）2（ 4）+c=0， 解得 c

25、=12， 二次函数的关系式为y=x2x12； （2） y=x2x12，=（x22x+1） 12，=（ x1） 2 ，顶点M 的坐标为 （1，） ， A（ 4，0） ，对称轴为x=1，点 B 的坐标为（ 6，0） ， AB=6（ 4）=6+4=10 ， SABM= 10=，顶点M 关于 x 轴的对称点是M ， S四边形 AMBM=2SABM=2=125； （3）存在抛物线y=x2x，使得四边形AMBM 为正方形 理由如下：令y=0，则x2x+c=0，设点 AB 的坐标分别为A（x1，0） B（x2，0） ， 则 x1+x2= =2， x1? x2=2c，所以， AB=， 点 M 的纵坐标为：=，

26、 顶点 M 关于 x 轴的对称点是M，四边形AMBM 为正方形， =2，整理得， 4c2+4c3=0，解得 c1= ，c2=，又抛物线与x 轴有两 个交点， =b24ac=（ 1） 24 c0，解得 c ， c 的值为，故，存在抛物线y=x2 x，使得四边形AMBM 为正方形 直角三角形 1、解：（ 1）点 B 与 O（0，0）关于 x=3 对称 , 点 B 坐标为（ 6，0）. 将点 B 坐标代入 2 2yaxx得：36a+12=0, a= 1 3 . 抛物线解析式 为 2 1 2 3 yxx. 当x=3 时， 2 1 3233 3 y, 顶点 A 坐标为（ 3，3） （2）设直线AB 解析

27、式为y=kx+b. A(3,3),B(6,0), 60 33 kb kb 解 得 1 6 k b , 6yx. 直线 lAB 且过点O,直线 l解析式为 yx.点p是l上一动点且横坐标为t,点p坐 标为（, tt） 当p在 第 四 象 限 时 （ t 0 ） ， A OBO SSS=12 6 3+ 1 2 6t=9+3t. 0 S18, 0 9+3t18, -3t3. 又t 0,0t3.5分 当p在第二象限时（t0）, 作 PMx轴于 M， 设对称轴与x轴交点为 N. 则 ANBPMOANMP 22 +S-S 111 =3+(-t) (3)3 3()() 222 191 (3) 222 SS

28、ttt tt 梯形 =-3t+9. 0S18, 0-3t+918, -3t3. 又t0, -3t0.6 分 t 的取值范围是-3t0 或 0t3. (3)存在，点Q坐标为（ 3，3）或（ 6，0）或（ -3，-9）.9 分 2、【答案】 解：（ 1）证明： BCD ACO90 ， ACO OAC90 ， BCD OAC。 ABC 为等腰直角三角形， BCAC。 在BDC 和COA 中， BDC COA90 ， BCD OAC， BCAC， BDC COA（AAS）。 （2） C 点坐标为(1，0)， BDCO1。 B 点横坐标为3， B 点坐标为(3，1)。 设 BC 所在直线的函数关系式为y

29、kxb， kb0 3kb1，解得 k 1 2 b 1 2 。 BC 所在直线的函数关系式为y 1 2 x 1 2 。 由题意可得： y 1 2x2 x 1 2 ，解得， x 1 2 y 9 4 。 P2（ 1 2， 9 4）。 P 点坐标分别为P1（ 1 2， 1 4）、 P2（ 1 2， 9 4）。 3、 （3）存在。理由如下： 当 FCP=90 时，点 P与点 E 重合， 点 E 是直线 y=x1 与 y 轴的交点， E（0，1） 。 P（0， 1） 。 当 CF 是斜边时，过点C 作 CPAF 于点 P。 设 P（x1， x11） ， ECF=90 ，E（0， 1） ，C（0， 5） ，

30、F（4， 5） ， CE=CF。 EP=PF。 CP=PF。 点 P 在抛物线的对称轴上。x1=2。 把 x1=2 代入 y=x1，得 y=3。 P（2， 3） 。 综上所述，直线AF 上存在点P（0， 1）或（ 0， 1） 使 CFP 是直角三角形。 4、解：如图， 因为一次函数 1 2 3 yx交y轴于点A，所以，0 A x， 2 A y，即(0, 2)A. 又，一次函数交x轴于点P，所以，0 P y，6 P x，即(6,0)P. 由(0,2)A、( 1,0)E是抛物线 2 1 2 yxbxc的图象上的点， 23 21 0 2 2 C b bC C 所 以 ， 抛 物 线 的 解 析 式

31、是 ： 213 2 22 yxx 如图，ACAB、OAOP 在Rt CAP中，OACP 22 2 22 63 AO AOCO OPCO OP 点C的坐标： 2 (,0) 3 C 设除点C外，在坐标轴上还存在点M，使得MAB是直角三角形，即 AMBRt或ABMRt .在Rt MAB中，若AMBRt，那么M是以AB为直径的圆与坐标轴的交点， 这时M会在x轴的正半轴上和y轴的正半轴上. .若交点在y轴的正半轴上（如图），设(0,)Mm，则有， ()B B my 点的纵坐标 2 1 2 11 7 3 (,) 1339 2 22 yx B yxx 7 9 m，此时 7 (0,) 9 M .若交点在x轴的

32、正半轴上（如图），设( ,0)M n，此时过B作BD垂直x轴 于点D，则有AOMMDB，于是： AOOM OMMDAO DB MDDB 117 ()2 39 nn， 12 11651165 , 66 nn， 此时， 1165 (,0) 6 M 或 1165 (,0) 6 M .在Rt MAB中，若ABMRt，即过B作BMAP，这时M会在x轴 的正半轴上和y轴的负半轴上. . M在x轴的正半轴上，如图，设( ,0)M t，同样过B作BD垂直x轴于点D， 则在Rt PBM中， 有 2 BDMD DP 2 7111192 ()()(6) 93327 tt， 此时， 92 (,0) 27 M . M在y轴的负半轴上，如图，设(0,),(0)Mqq，过B作BF垂直y轴于 点F， 则在Rt ABM中，有 2 BFAF FM， 即： 2117792 ()(2)() 3999 qq 此时， 92 (0,) 9 M 综上所述，除点C外，在坐标轴上还存在点M，使得MAB是直角三角形，满 足条件的点M的坐标是： 7 (0, ) 9 、或 1165 (,0) 6 、或 1165 (,0) 6 、或 92 (,0) 27 ， 或 92 (0,) 9 共五个点 .