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1、特殊的平行四边形讲义 知识点归纳 矩形，菱形和正方形之间的联系如下表所示： 四边形分类专题汇总 专题一：特殊四边形的判定 【知识点】 1. 平行四边形的判定方法： （1）_ （2）_ （3）_ （4） _ （5）_ 2. 矩形的判定方法： （1）_ （2）_ （3）_ 3. 菱形的判定方法： （1）_ （2）_ （3）_ 4. 正方形的判定方法： （1）_ （2）_ （3）_ 5. 等腰梯形的判定方法： （1）_ （2）_ （3）_ 【练一练】 一选择题 矩形菱形正方形 性 质 边对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等 角四个角都是直角对角相等四个角都是直角 对 角 线 互相平分且
2、相等 互相垂直平分，且每条对 角线平分一组对角 互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角 判定 有三个角是直角 ; 是平行四边形且有 一个角是直角; 是平行四边形且两 条对角线相等. 四边相等的四边形； 是平行四边形且有一组 邻边相等； 是平行四边形且两条对 角线互相垂直。 是矩形，且有一组邻边相等； 是菱形，且有一个角是直角。 对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形 1能够判定四边形ABCD 是平行四边形的题设是（） AAB CD ， AD=BC BA=B，C= D C AB=CD ，AD=BC DAB=AD ，CB=CD 2具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（） A相邻的角
3、互补 B两组对角分别相等 C一组对边平行，另一组对边相等 D对角线交点是两对角线中点 3. 下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是( ) A.一组对边平行，另一组对边相等 B.一组对边平行，一组对角相等 C.一组对边平行，一组邻角互补 D. 一组对边相等，一组邻角相等 4如下左图所示，四边形ABCD的对角线AC和 BD相交于点O ，下列判断正确的是（） A若 AO=OC ，则 ABCD 是平行四边形; B若 AC=BD ，则 ABCD 是平行四边形; C若 AO=BO ，CO=DO ，则 ABCD 是平行四边形; D若 AO=OC ，BO=OD ，则 ABCD 是平行四边形 5不能判定四
4、边形ABCD 是平行四边形的条件是（） AAB=CD ，AD=BC BAB CD，AB=CD CAB=CD ，AD BC DABCD，AD BC 6. 四边形 ABCD 的对角线AC ，BD相交于点O ，能判断它为矩形的题设是（） A AO=CO ，BO=DO BAO=BO=CO=DO C AB=BC ，AO=CO DAO=CO ，BO=DO ，ACBD 7. 四边形 ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（） A AB=CD B AD=BC C AB=BC DAC=BD 8.在四边形ABCD 中， O 是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是（） A、ACB
5、D ，AB CD，ABCDB、AD BC， A C C、 AOBOCODO，ACBDD、AC CO，BODO， ABBC 9.在下列命题中，真命题是（） 两条对角线相等的四边形是矩形两条对角线互相垂直的四边形是菱形 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 10.在下列命题中，正确的是（） A 一组对边平行的四边形是平行四边形B 有一个角是直角的四边形是矩形 C 有一组邻边相等的平行四边形是菱形D 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 11.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（） A当 AB=BC 时，它是菱形B当 ACBD 时，
6、它是菱形 C 当 ABC=90 0 时，它是矩形D当 AC=BD 时，它是正方形 12. 如图，在ABC中，点EDF， ，分别在边AB，BC，CA上，且DECA，DFBA下列四个判断中， 不正确 的是（ ） A四边形AEDF是平行四边形B如果90BAC，那么四边形AEDF 是矩形 C如果AD平分BAC，那么四边形AEDF是菱形 D C B A D如果ADBC且 ABAC ，那么四边形AEDF是菱形 13. 下列条件中不能判定四边形是正方形的条件是（） 。 A、对角线互相垂直且相等的四边形 B、一条对角线平分一组对角的矩形 C、对角线相等的棱形 D、对角线互相垂直的矩形 14. 下列命题中，假命
7、题是（） 。 A、四个内角都相等的四边形是矩形 B、四条边都相等的平行四边形是正方形 C、既是菱形又是矩形的四边形是正方形 D 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 15. 在四边形 ABCD 中， O是对角线的交点，能判定四边形是正方形的条件是（） 。 A、BDAC， CDAB/ B、BCAD /，CA C、DOCOBOAO，BDACD、 COAO ，DOBO， BCAB 16. 下列命题正确的是（） A对角线相等且互相平分的四边形是菱形 B对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 C 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D对角线相等的四边形是等腰梯形 17. 如图，已知四边形ABCD 是平行四边形
8、，下列结论中不正确的是（） A、当 AB=BC时，它是菱形 B、当 AC BD时，它是菱形 C、当 ABC=90 时，它是矩形 D、当 AC=BD 是，它是正方形 18. 顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（） A.等腰梯形B.正方形C.平行四边形D.矩形 一矩形 例 1：若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为60 0，则该矩形的面积为 例 2：菱形具有而矩形不具有的性质是（）A 对角线互相平分； B. 四条边都相等； C. 对角相等； D.邻角互补 例 3： 已知：如图，ABCD 各角的平分线分别相交于点E，F，G，?H ，求证： ?四边形 EFGH 是矩形 二菱形 例 1 已
9、知：如图ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E、F求证：四边形AFCE 是菱形 例 2、已知如图，菱形ABCD 中， E 是 BC 上一点， AE 、BD 交于 M，若 AB=AE, EAD=2 BAE。求证： AM=BE 。 B M A D C E A B C D 例 3（中考题）如图，在菱形ABCD 中， A=60 ,AB=4,O 为对角线BD 的中点，过O 点作 OEAB，垂足为 E 求线段BE的长 例 4、如图，四边形ABCD 是菱形， DEAB 交 BA 的延长线于E，DF BC，交 BC 的延长线于F。请你猜想DE 与 DF 的大小有什么关系？并证明你的猜
10、想 例 5、如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2 ，E、 F 分别是边 AD ，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2. （1）求证： BDE BCF ； （2）判断 BEF 的形状，并说明理由； （3）设 BEF 的面积为S，求 S的取值范围 . 三正方形 例 1、 （2011 海南）如图， P 是边长为1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点（ P与 A、C 不重合），点 E 在射线 BC 上， 且 PE=PB . （1）求证：PE=PD； PEPD； （2）设 AP=x, PBE 的面积为y. 求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； 当 x 取何值时， y
11、取得最大值，并求出这个最大值. D A B C O E 60 A B C P D E 专题二：矩形的有关线段计算 1. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD交于点 O，已知 0 120AOD，AB=2.5，则 AC的长为。 2. 如图，将矩形纸ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，若 EH 3 厘米， EF4 厘米， 则边 AD的长是 _厘米 . 3. 如图，矩形ABCD中，35ABBC，过对角线交点O作OEAC交AD于E，则AE的长是（） A1.6 B2.5 C3 D3.4 4. 如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角
12、线BD 重合，折痕为DG，则 AG 的长为（） A1 B 3 4 C 2 3 D2 5. 将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE、EF 为折痕， BAE30，AB3 ，折叠后，点C 落在 AD 边上 的 C1处，并且点B 落在 EC1边上的 B1处则 BC 的长为（） A、3B、2 C、3 D、32 6. 如图矩形纸片ABCD ，AB5cm，BC10cm，CD 上有一点E，ED2cm，AD 上有一点P，PD3cm，过 P 作 PF AD 交 BC 于 F，将纸片折叠，使P点与 E 点重合，折痕与PF 交于 Q 点，则 PQ 的长是 _cm. 7. 把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方
13、式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF若AB = 3 cm ，BC = 5 cm ，则 重叠部分DEF的面积是 cm 2 8. 如图 (十二 )，长方形 ABCD 中，E 为BC中点，作AEC的角平分线交AD于 F 点。若AB6，AD16，则FD 的长度为 （） A G D B C A A4 B5 C6 D8 9. 如图，将长8cm，宽 4cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与 C 重合，则折痕EF 的长为 _cm. 10. 如图，在矩形纸片ABCD 中， AB2cm，点 E 在 BC 上，且 AECE若将纸片沿AE 折叠，点 B 恰好与 AC 上的 点 B1重合，则ACcm 专题三：菱形
14、的有关线段计算 1. 已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是43，则这个菱形的面积是（） A12cm 2 B 24cm 2 C 48cm 2 D 96cm 2 2. .若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线的平方和为（） A 16 B 8 C 4 D 1 3. 如图， P是菱形 ABCD 对角线 BD上一点， PEAB于点 E ，PE4cm ，则点 P到 BC的距离是 _cm. 4. 菱形 ABCD 中， B 60， AB 2，E、F 分别是 BC 、 CD的中点，连接AE 、 EF 、AF，则 AEF的周长为（） A32 B33 C34 D3 5. 已知菱形ABCD的面积是 2
15、12cm，对角线4ACcm，则菱形的边长是_cm； 6. 菱形ABCD中，AE垂直平分BC， 垂足为E，4cmAB 那么，菱形ABCD的面积是， 对角线BD 的长是 7. 已知菱形ABCD 中，对角线AC 与 BD 交于点 O， BAD=120 ，AC=4 ，则该菱形的面积是（） A、16 错误！未找到引用源。B、16 C、8 错误！未找到引用源。D、8 8. 如图为菱形ABCD 与 ABE 的重迭情形， 其中 D 在 BE 上若 AB=17 ，BD=16，AE=25 ，则 DE 的长度为何 （） A、8 B、9 C、11 D、12 9. 如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一
16、个四边形ABCD ，若 AD=6cm ， ABC=60，则四边 形 ABCD 的面积等于cm2 专题四：正方形的有关线段计算 1. 如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M、 N 分别是 AD、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使A 落在 MN 上，落点记为A，折痕交AD 于点 E,若 M、N 分别是 AD、BC 边的中点，则AN= ; F A D E B C A D C E B A N M B C ADE 2. 如图，正方形ABCD 的边长为1cm，E、F 分别是 BC、CD 的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是 cm 2 3. 如图，将边长为8 的正方形ABCD
17、折叠，使点D 落在 BC 边的中点E 处，点 A 落在 F 处，折痕为MN，则线段 CN 的长是（） A3cmB4cmC5cmD6cm 4. 如图 , 四边形 ABCD 是边长为2 的正方形， 点 G 是 BC 延长线上一点， 连结 AG ，点 E、F 分别在 AG 上，连接 BE、 DF， 1=2 ， 3=4. （1）证明： AB E DAF ； （2）若 AGB =30 ，求 EF的长 . 5. 如图，四边形ABCD是边长为9 的正方形纸片， 将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B处，点A对应点为A， 且3B C，则AM的长是 B A1.522.252.5 专题五：有关特殊四边形的角度计算
18、 1. 如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，则ACP度数是 2. 如图，lm，矩形ABCD的顶点B在直线m上，则度 3. 如图，在菱形 ABCD 中， 72ADC ， AD 的垂直平分线交对角线BD 于点 P， 垂足为 E， 连接 CP， 则C P B_ 度 4. 如图，在菱形ABCD 中， A=110 ， E，F 分别是边AB 和 BC 的中点， EPCD 于点 P，则 FPC=（） A35B45C50D55 5. 如图 19，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点 B 重合，点 C 落在点 C处，折痕为EF，若 ABE 20，那么 EFC的度数为度 N M F
19、E D C B A 题 3 A C B D E F G 1 4 2 3 B C D A P D A B C m l 65 D C B A E P A D E P C B F 6. 如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，60BEG，现沿直线EG将纸片折 叠，使点B落在约片上的点H处，连接AH，则与BEG相等的角的个数为（） A.4 B. 3 C.2 D.1 四边形动点专题： 专题一：证明与计算 与中点相关的证明，或构造平行四边形将条件集中，或构造出中位线等等。 1. 如图 l ，在四边形A8CD 中， AB=CD ，E、 F分别是 BC 、AD的中点，连结EF并延长
20、, 分别与 BA 、CD的延长线交于点M 、 N，则 BME= CNE( 不需证明 ) ( 温馨提示：在图1 中，连结BD ，取 BD的中点 H，连结 HE、HF ，根据三角形中位线定理，可证得HE=HF ，从而 HFE= HEF ，再利用平行线的性质，可证得BME= CNE ) 问题一：如图2，在四边形ADBC中， AB与 CD相交于点O，AB=CD ，E、F 分别是 BC、AD的中点，连结EF，分别交DC 、 AB于点 M 、N，判断 OMN 的形状，请直接写出结论 问题二：如图3，在 ABC中， ACAB ，D点在 AC上， AB=CD ，E、F 分别是 BC、AD的中点，连结EF并延长
21、，与BA的延 长线交于点G ，若 EFC=60 0，连结 GD ，判断 AGD 的形状并证 明 2. 在图 1 至图 3 中，点 B是线段 AC的中点，点D是线段 CE的中点四边形BCGF 和 CDHN 都是正方形 AE的中点是 M （1）如图 1，点 E在 AC的延长线上，点N与点 G重合时，点M与点 C重合， 求证： FM = MH ，FM MH ； A C B D F E N M O E B C D H A F N M 1 2 图 1 图 2 图 3 A B C D F G E （2）将图 1 中的 CE绕点 C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证： FMH是等腰直角三角形； （3）将图
22、2 中的 CE缩短到图 14-3 的情况， FMH还是等腰直角三角形吗？ 3.已知正方形ABCD 中， E 为对角线BD 上一点，过E 点作 EFBD 交 BC 于 F，连接 DF， G 为 DF 中点，连接EG， CG （1）求证： EG=CG； （2）将图中 BEF 绕 B 点逆时针旋转45o，如图所示，取DF 中点 G，连接 EG，CG问（ 1）中的结论是否仍然 成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 （3）将图中 BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过 观察你还能得出什么结论？ 4.已知：在RtABC 中， AB=BC ，
23、在 RtADE 中， AD=DE ，连结 EC，取 EC 的中点 M，连结 DM 和 BM （1）若点 D 在边 AC 上，点 E 在边 AB 上且与点 B 不重合，如图，探索BM 、DM 的关系并给予证明； （2）如果将图中的ADE 绕点 A 逆时针旋转小于45 的角，如图，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立， 请举出反例；如果成立，请给予证明 图 1 A H C(M)D E B F G(N) G 图 2 A H C D E B F N M A H C D E 图 3 B F G M N F B A D C E G 图 F B A D C E G 图 D F B A C E 图 图 M D B A C E 图 M D B A C E