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1、1 立体几何经典题精选题重点复习题型篇 （一）平行的问题 一“线线平行”与“线面平行”的转化问题 （一）中位线法：当直线上没有中点，平面内有一个中点的时候， ( 如例 1求证：/PB平面AEC P、B 为顶点，平面AEC内 E 为中点）采用中位线法。 具体做法：如例1，平面AEC的三个顶点，除中点E 外，取 AC的中点 O ，连接 EO ，再 确定由直线 PB和中点 E、O 、D确定的PBD （连接PBD的第三边 BD ） ，在PBD中，EO为 PB的中位线。 规范写法：/,/bbaba 例 1 如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD 中，点E是 PD 的中点 . 求证：/PB平面AEC；
2、 例 2 三棱柱 111 ABCAB C中，D为AB边中点。 求证： 1 AC 平面 1 CDB； 【习题巩固一】 1.（2011天津文）如图，在四棱锥PABCD中，底面 ABCD为平行四边形，O为AC中点 M 为 PD 中点 （）证明： PB/平面 ACM ； D C A B P M O a b C1B1 A1 D CB A 2 2 错误！未指定书签。 （2013 年高考课标 卷（文 ） ）如图, 直三棱柱 ABC-A1B1C1中,D 是 AB 的中点 .(1) 证明: BC1/ 平面 A1CD; 3. （2011四川文）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BAC=90 ，AB=AC=A
3、A1=1，延长 A1C1 至点 P， 使 C1PA1C1， 连接 AP 交棱 CC1于 D （）求证：PB1 平面 BDA1； （二）平行四边形法：当直线上有一个中点(如例 1 证明：FO/平面CDE；O 为中点）采用 平行四边形法。 具体做法： FO先与 E 连接（原因是ECD的三个顶点 E、C 、D中只有 E 与已知平行条件 EF/BC 有关） ，再与ECD的另两个顶点CD的中点 M相连，构成平行四边形FOEM （原因是 EF/OM，EF=OM） ，从而 FO/EM。 规范写法（如图）： /,/,/EHFGEHFGEHEFGHGHEFGHEF是平行四边形 例 1【天津高考】如图，在五面体
4、ABCDEF 中，点O是矩形ABCD的对角线的交点， 面CDE 是等边三角形，棱/ 1 2 EFBC （1）证明： FO/平面CDE； 3 例 2（2013 年高考福建卷（文）如图, 在四棱锥 PABCD ， / /ABDC 若M为PA的中点 , 求证:/ /DMPBC面; 例 3（2010 陕西文）如图，在四棱锥PABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA平面 ABCD， AP=AB，BP=BC=2，E，F 分别是 PB,PC 的中点 .()证明： EF平面 PAD； （II）若 H是 AD 的中点，证明： EA 平面 PHC ； 【习题巩固二】 1. 【2010北京文数】如图，正方形AB
5、CD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直 . EF/AC，AB= 2 ,CE=EF=1 ， （）求证： AF/ 平面 BDE ； 2.（2013 年高考山东卷（文）如图, 四棱锥 PABCD 中,2ABCD ABCD,E 为 PB的中点()求证 :CEPAD平面 ; 4 3. （2012广东）如图 5 所示，在四棱锥 PABCD 中，AB平面PAD，/ /,ABCD PDAD， E是 PB中点，F是DC上的点，且 1 2 DFAB， PH 为PAD 中 AD 边上的高。（3）证明： EF平面 PAD 二. “线面平行”与“面面平行”的转化问题 中截面法：当直线上有两个中点( 如例 1 证明
6、：MN 平面 11 BCC B）采用中截面法，如例1 只要做出 平面 11 BCC B的中截面 。 具体做法：取 AC中点 P，连接 MP 、NP ，则面 MNP/平面 11 BCC B 规范书写： Tep1:,/,/a babO ab【如下图】 O b a a b O O b a 图 或者 Tep1:, ,/,/a babO a baa bb【如上图】 Tep2: / /a a （面面平行线面平行） ； 例 1 三棱柱 111 ABCABC中，,MN分别是AB， 1 AC的中点求证： MN 平面 11 BCC B； N M C 1 B 1 A 1 C B A 5 例 2（2013 年辽宁卷（
7、文） ） 如图,.ABOPAOCO是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点 (II)设/ /.QPAGAOCQGPBC为的中点，为的重心，求证：平面 【习题巩固三】 1如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，,E F分别为棱,AB PC的 中点求证：EF平面PAD F E D C B A P 2如图,长方体 ABCD- 1111 DCBA中,M、 N 分别是 AE、 1 CD 的中点。 （） 求证： 11 /MNADD A平面； 3.(2012 辽宁文科） 如图，直三棱柱 / ABCA B C，点,M N分别为 / A B和 / B C的中点。 () 证明：MN平面 /
8、A ACC; 6 立体几何经典题精选题重点复习题型篇 （一）平行的问题参考答案 一.“线线平行”与“线面平行”的转化问题 （一）例 1 证明：连接 BD ，AC BD=O ，连接 EO,在PBD中，OD=OB，EO为 PB的中位线， AECPB/AEC,/面，面面又PBAECEOPBEO 例 2 证明：连接OBCCBBC 111, ，连接 OD,在AB 1 C中， 1 OCOB，OD为 A 1 C的中位线， 111111 /,/CDBACCDBACCDBODACOD面，面面又 【习题巩固一】 1.证明：连接 BD，MO，在平行四边形 ABCD 中，因为 O 为 AC 的中点，所以 O 为 BD
9、 的中 点，又 M 为 PD 的中点，所以 PB/MO。因为 PB平面 ACM ， MO平面 ACM ，所以 PB/平面 ACM 。 2. 证明：连接OACCAAC 111, ，连接 OD,在AB 1 C中， 1 OCOA，OD为 B 1 C的中位线， 111111 /,/CDABCCDABCCDAODBCOD面，面面又 3.连结 AB1与 BA1交于点 O， 连结 OD， C1D平面 AA1， A1C1AP， AD=PD， 又 AO=B1O， ODPB1，又 OD面 BDA1，PB1面 BDA1，PB1平面 BDA1 （二）例 1 证明：取 CD的中点 M ，连接 OM ，EM ，EF/OM
10、 ，EF=OM，FOEM 为平行四边形，从 而 FO/EM ，CDEFOCDEFOCDEEM面，面面又/, 例 2 证明：取PB中点N, 连结MN,CN在PAB中,M是PA中点, MNAB, 1 3 2 MNAB, 又CDAB,3CDMNCD,MNCD 四边形MNCD为平行四边形 , DM CN 又DM平面PBC,CN平面PBCDM平面PBC 例 3 证明： ( ) 在PBC中，E，F 分别是 PB ，PC的中点， EFBC . 又 BC AD , EFAD , 又 AD 平面 PAD ,EF平面 PAD , EF平面 PAD . （II）连接 FH ，易证 EAFH 是平行四边形，所以EA/
11、FH, 从而得证。 7 【习题巩固二】 1. 证明： （）设 AC ，BD 交于点 G 。因为 EF AG,且EF=1 ，AG=1 所以四边形 AGEF 为平行四边形，所以 AFEG 因为EG 平面BDE,AF 平面BDE,所以AF 平面 BDE 2.证明：取 PA中点 M ，连结 MD ， ME 。 因为 E是 PB的中点，所以 1 / 2 MEAB。因为 CD AB 2 1 / ，所以 CEDM / ， 所以四边形 MDCE 是平行四边形， PDACEPDADMPDACEDMCE面，面面又/,/ 3.证明：取 PA中点 M ，连结 MD ， ME 。 因为 E是 PB的中点，所以 1 /
12、2 MEAB。因为 1 / 2 DFAB，所以/MEDF ， 所以四边形 MEDF 是平行四边形， PDAEFPDADMPDAEFDMEF面，面面又/,/ 二. “线面平行”与“面面平行”的转化问题 例 1 略 例 2 连 OG 并延长交 AC 于 M，连接 QM，QO，由 G 为 AOC 的重心，得 M 为 AC 中点 由 Q 为 PA 中点，得 QM PC. 又 O 为 AB 中点，得 OM BC. 因为 QMMOM，BCPCC，所以平面 QMO平面PBC. 因为 QG平面 QMO，所以 QG平面 PBC. 【习题巩固三】 1.思路：取 PB 的中点 M，连接 ME、EF，证明面 MEF/面 PAD 2 思路：取 CD 的中点 Q，连接 MQ、NQ，证明面 MNQ/ 面 AD 11A D 3. 证明：取 AB 的中点为 P，连结 MP ，NP ，,M N分别为 / A B和 / B C的中点， MP AA ,NP AC , MP 面 A ACC ,NP面 A ACC , MPNPP , 面 MPN 面 A ACC ，MN 面 A ACC ， MN 面 A ACC . 8