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1、三角形 易错点 1：三角形的概念，三角形中三种重要的线段角平分线、中线、高. 易错题1：如图，点A，B，C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若ABC的面积是1, 那么A1B1C1的面积是 _. C B A C1 B1 A1 错解 ：4 正解 ：7 赏析 ：错解的主要原因在对三角形中线的有关性质理解错误，以为外侧三个三角形与里 面的ABC面积相等 . 三角形的一条中线把原三角形分成的两部分是两个等底同高的等积三 角形，由此，连接B1A，C1B，A1C，图中的7 个小三角形面积均相等，故答案为7. 易错点 2：三角形三边之间的关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差 小于第三边 . 易
2、错题 2：现有 3cm，4cm ，7cm ，9cm长的四根木棒，任取其中的三根组成一个三角形， 那么可组成三角形的个数是（） A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个 错解 ：C 正解 ：B 赏析 ： 本题对三角形三边的关系理解错误，可能以为三角形任意两边之和大于第三边的 对立面是三角形任意两边之和小于第三边，其实，其对立面还包括等于的情况. 从四根木棒 中任取三根，共有3cm，4cm ，7cm；3cm，4cm ，9cm；3cm ， 7cm ，9cm；4cm ，7cm，9cm四种 情况，但3 47,3 49，所以这两种情况不能组成三角形，故选B. 易错点 3：三角形按边、 按角的分类， 三角形
3、内、 外角的性质， 特别是外角的两条性质. 易错题 3：如图，在ABC中，ABC 50，ACB60，点E在BC的延长线上， ABC的平分线BD与ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论：BAC70； DOC90；BDC35；DAC55. 其中，不正确的有（） A. B. C.D. F M O N PE D C A B 错解 ：B 正解 ：C 赏析 ：本题对，可利用三角形内角和定理及三角形外角的性质就可判断对错， 关键是对的判断易产生错误本题错解就是这种情况. 判断对错的关键是能否判定AD是 ABC的外角FAC的平分线，为此，过点D分别作DMAF于点M，DNAC于点N，DPCE 于点P，
4、由BD,CD分别平分BAC，ACE，可得DMDP，DNDP，所以DMDN，由角平分 线的判定可得AD平分FAC，从而可通过计算判断正确. 易错点 4：全等三角形的性质，三角形全等的判定，特别是两边一角对应相等的两个三 角形不一定全等. 易错题4：如图，已知ABDC，ACFDBE，则添加下列条件之一，能判定ACF DBE且是用“ SAS ”判断全等的是（） A.AFDEB.ADC.AFDED.FCEB F E D C A B 错解 ：A 正解 ：D 赏析 ：三角形全等的判定方法通常有SAS 、ASA 、SSS 、 AAS四种，本题错解的原因是对 SAS的条件没有理解清楚. 两边一角对应相等的情况
5、有两种：一种是 SAS ，其条件是两边及其 夹角对应相等，另一种是两边及其一组等边的对角对应相等，这样的两个三角形不全等. 易错题 5：如图，在ABC和ABD中，AC与BD相交于点E，ADBC，DABCBA， 求证：AEBE. E B CD A 错解 ：DABCBA，DAECBE，在ADE和BCE中，ADBC，DAE CBE，DEACEB，ADEBCE（AAS ），AEBE. 正解 ：在ADB和BCA中， ADBC DABCBA ABBA ，ADBBCA（SAS ），D C. 在ADE和BCE中， ADBC DEACEB DC ，ADEBCE（AAS ），AEBE. 又解：在ADB和BCA中，
6、 ADBC DABCBA ABBA ，ADBBCA（SAS ），ABD BAC，即ABEBAE，AEBE. 赏析 ：本题错在第一步，由DABCBA，不能得出DAECBE，可能是把未知条件 当做已知条件用了. 应先根据“ SAS ”证ADBBCA，注意，这里的理由是“SAS ”而不是 “ SSA ”，由“ SSA ”不能判断三角形全等，接下来可用“AAS ”或“ ASA ”证ADEBCE 而得出结论，也可根据等腰三角形的判定“等角对等边”得出结论. 易错点 5：等腰三角形（含等边三角形）的性质与判定. 易错题 6：已知ABC是等边三角形，BD为中线，延长BC至点E，使CECDa，连接 DE，则D
7、E_. EB C D A 错解 ：2a 正解 ：3a 赏析 ：本题可能以为DEAC而得出错解，在DCE中，用三边的关系也可判断2a不正 确. 应先由等边三角形的性质得出BD垂直平分AC，CBD30，BCD 60，又CECD， ECDE，又BCDECDE，ECBD30，BDED. 再在Rt BCD 中，由tan BCD BD CD 得出BDCDtan60 3a，也可在RtBCD中先得出BC 2CD， 再由勾股定理求得BD3a，DE3a. 易错点 6：运用等腰三角形的性质与判定计算或证明有关问题时注意分类讨论思想的运用. 易错题 7：在ABC中，ABAC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得锐角
8、为40， 则B的度数为 _. 错解 ：65 正解 ：65或 25 赏析 ： 本题只考虑了ABC中顶角BAC为锐角的情况. 由于等腰三角形的顶角可以是锐 角，也可以是直角或钝角，本题应分三种情况讨论求解：当BAC为锐角时，如图1： 40 图1 E B C D A 40 图2 E B C D A 图3 E B C D A DE垂直平分AB， ADE40，则A50，又ABAC， BC， B 18050 2 65；当BAC为钝角时，如图2，DE垂直平分AB，ADE40，则DAB50， BAC180 50 130，又ABAC，BC，B 180130 2 25（或： 由DABBC，而BC，B 1 2 DA
9、B 1 2 50 25）；当BAC为直角 时，如图3，DEAC，不合题意，此种情况舍去.答案为65或 25. 易错点 7：全等三角形与等腰三角形的综合应用. 易错题 8：我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形两腰所得的四边形称为“准等腰 梯形” . 如图 1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”，其中BC. 在由不平行BC的直线AD截PBC所得的四边形ABCD中，BAD与ADC的平分线交于 点E，若EBEC，请问当点E在四边形ABCD内部时（如图 2 所示），四边形ABCD是不是“准 等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论.（不 必说明理由） 图1 BC P
10、 D A 图2 E BC D A 图3 E BC D A 错解 ：是“准等腰梯形”，理由：EBEC，EBCECB，ABCDCB，是 “准等腰梯形”. 当点E不在四边形ABCD内部时，如图3，四边形ABCD是“准等腰梯形”. 正解 ：如图 4，过点E分别作EFAB于点F，EGAD于点G，EHCD于点H. AE、DE 分别平分BAD、ADC，EFEGEH. 又EBEC， RtBFERtCHE， 3 4， 又EBEC， 1 2， 1 3 2 4，即ABCDCB. 又四边形ABCD为 AD截某三角形所得，且AD不平行BC，四边形ABCD是“准等腰梯形”. 当点E不在四边形ABCD内部时，有两种情况：当
11、点E在四边形ABCD的边BC上时，如图5， 四边形ABCD是“准等腰梯形”；当点E在四边形ABCD的外部时，如图6，四边形ABCD是 “准等腰梯形”. 43 21 H G F 图4 E BC D A 图5 E BC D A 图6 E BC D A 赏析 ：本题中第一问的理由不正确，没有充分利用两条角平分线的条件，第二问没有理 解不在四边形内部的含义，不在四边形内部应包括在四边形上和四边形外部两种情况. 这两 种情况的理由是： 当点E在四边形ABCD的边BC上时，如图 7， 同理可得RtBFERtCHE， BC，四边形ABCD是“准等腰梯形”；当点E在四边形ABCD的外部时，如图8， 同理可得R
12、tBFERtCHE，EBFECH，EBEC，EBCECB，EBF EBCECHECB，即ABCDCB. 四边形ABCD是“准等腰梯形”. H G F 图 7 EB C D A H G F 图8 E BC D A 易错练 1.如图，将一块含有30角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条边上，若 1 25， 则 2 的度数为（） A.53 B.55 C.57 D.60 2.如图，在ABC中，ABAC，点D、E在BC上，连接AD、AE. 若只添加一个条件就能得到 DABEAC，则下列条件中不正确的是（） A.BECD B.ADAE C.BAECADD.DAEDEA 30 2 1 第1题图第2题图 E
13、 BC D A 3.已知等腰三角形ABC中，ADBC于点D，AD 1 2 BC，则ABC的底角度数为_. 4.在ABC中，ABAC，点E、F分别在AB、AC上，AEAF，BF与CE相交于点D. 求证：DB DC，并直接写出图中其他相等的线段. F E BC D A 5.已知等腰三角形ABC中，ACB90，点E在AC边的延长线上，且DEC45，点M、 N分别是DE、AE的中点，连接MN交直线BE于点F. 当点D在CB边的延长线上时，如图1 所示，易证MFFN 1 2 BE. （1）当点D在CB边上时，如图2 所示，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不 成立，请写出你的猜想，并说明理由. （
14、2）当点D在BC边的延长线上时，如图3 所示，请证明你发现的结论. （3）你能用式子综合概括本题中MF、FN与BE之间的关系吗？ N M F E B CD A 图1 N M F E BC D A 图2 N M F E B C D A 图3 参考答案 3.75 或 45或 15解析：分三种情况：如图，AD为腰上的高，且在ABC内部， ABBC，AD 1 2 BC，AD 1 2 AB， 1 2 AD AB , 又 sin B AD AB , sin B 1 2 ，B 30，底角为 18030 2 75； 如图，AD为底边上的高， ABBC，ADBC，BDCD，又AD 1 2 BC，BDAD， AB
15、D为等腰直角三角形，底角为45； 如图，AD为腰上的高，且在ABC外部，ABBC，AD 1 2 BC，AD 1 2 AB， 1 2 AD AB , 又 sin DBA AD AB , sin DBA 1 2 ，DBA 30，又DBA B C， B C，底角为30 215. 4.证明：在ABF和ACE中， ABAC BAFCAE AFAE , ABFACE（SAS ）， ABFACE，BFCE，ABAC，AEAF，BECF. ABFACE，ABAC，ABCACB， ABCABFACBACE，即DBC DCB，DBDC. 图中其他相等的线段有DEDF，BECF，BFCE. 5.解：（ 1）不成立；猜想：FNMF 1 2 BE. 理由如下：如图4，连接AD，点M、N分别是 DE、AE的中点， MN 1 2 AD，又ACBC，ACBBCE 90，DEC45，DCEC， ACDBCE（SAS ），ADBE. MNFNMF，FNMF 1 2 BE. N M F E BC D A 图4 （2）发现的结论： MFFN 1 2 BE. 证明：如图5，连接AD，点M、N分别是DE、AE的中 点，MN 1 2 AD，又ACBC，ACBBCE 90，DEC45，DCEC，ACD BCE（SAS ），ADBE.MNMFFN，MFFN 1 2 BE.