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1、三角函数图象的平移和伸缩 函数sin()yAxk 的图象与函数sinyx的图象之间可以通过变化Ak， ，来相互转化A ，影响 图象的形状，k，影响图象与x 轴交点的位置 由A引起的变换称振幅变换，由引起的变换称周期变换，它们都 是伸缩变换；由引起的变换称相位变换，由k引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换 既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移 变换方法如下：先平移后伸缩 sinyx 的图象 向左 (0)或向右 (0) 平移个单位长度 得sin()yx的图象 () 横坐标伸长 (01) 1 到原来的纵坐标不变 得sin()yx的图象 () AA A 纵坐标伸长(1) 或缩
2、短 (01) 为原来的倍 横坐标不变 得sin()yAx的图象 (0)(0)kk k 向上或向下 平移个单位长度 得sin()yAxk 的图象 先伸缩后平移 sinyx 的图象 (1)(01)AA A 纵坐标伸长或缩短 为原来的倍( 横坐标不变 ) 得sinyAx 的图象 (01)(1) 1 () 横坐标伸长或缩短 到原来的纵坐标不变 得sin()yAx 的图象 (0)(0)向左或向右 平移个单位 得sin ()yAxx的图象 (0)(0)kk k 向上或向下 平移个单位长度 得sin()yAxk 的图象 例 1将sinyx的图象怎样变换得到函数 2sin21 4 yx的图象 解： （方法一）
3、把sinyx 的图象沿x轴向左平移 4 个单位长度，得 sin 4 yx的图象；将所得图象的 横坐标缩小到原来的 1 2 ，得 sin 2 4 yx的图象； 将所得图象的纵坐标伸长到原来的2 倍，得 2sin2 4 yx 的图象；最后把所得图象沿y轴向上平移1 个单位长度得到 2sin21 4 yx的图象 （方法二）把sinyx的图象的纵坐标伸长到原来的2 倍，得2sinyx的图象；将所得图象的横坐标缩小 到原来的 1 2 ，得2sin 2yx 的图象；将所得图象沿x 轴向左平移 8 个单位长度得 2sin 2 8 yx的图象；最 后把图象沿y轴向上平移1 个单位长度得到 2sin21 4 y
4、x的图象 说明： 无论哪种变换都是针对字母x 而言的 由sin 2yx 的图象向左平移 8 个单位长度得到的函数图象的解析 式是 sin2 8 yx而不是 sin 2 8 yx，把 sin 4 yx的图象的横坐标缩小到原来的 1 2 ，得到的函数图象的 解析式是 sin 2 4 yx而不是 sin 2 4 yx 对于复杂的变换，可引进参数求解 例 2将sin2yx的图象怎样变换得到函数 cos 2 4 yx的图象 分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数 解： sin2cos2cos 2 22 yxxx， 在 cos 2 2 yx中以xa代x，有 cos 2()cos 22 22 yxaxa 根
5、据题意，有 222 24 xax，得 8 a 所以将sin 2yx的图象向左平移 8 个单位长度可得到函数 cos 2 4 yx的图象 练习 1、将函数 y=3sin（2x+ ）的图象 F1按向量 平移得到图象F2，若图象 F2关于直线对称， 则 的一个可能取值是（） A、B、C、D、 2、将函数的图象按向量平移，得到y=f（ x）的图象，则f（x）= （） A、B、 C、D、sin（2x）+3 3、要得到函数y=cos() 24 x 的图象，只需将y=sin 2 x 的图象（） A向左平移 2 个单位B.同右平移 2 个单位 C向左平移 4 个单位D. 向右平移 4 个单位 4、若函数 y=
6、f(x) 的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2 倍，再将整个图象沿x 轴向左平移 2 个 单位，沿y 轴向下平移1 个单位，得到函数 1 y= sinx 2 的图象 则 y=f(x) 是（） A 1 y=sin(2)1 22 xB. 1 y=sin(2)1 22 x C. 1 y=sin(2)1 24 xD. 1 sin(2)1 24 yx 5.为得到函数 cos 2 3 yx 的图像，只需将函数sin 2yx的图像（A ） A向左平移 5 12 个长度单位B向右平移 5 12 个长度单位 C向左平移 5 6 个长度单位D向右平移 5 6 个长度单位 6.要得到函数sinyx的
7、图象，只需将函数cosyx 的图象（D ） A向右平移 个单位B向右平移个单位 C向左平移 个单位D向左平移个单位 7.为了得到函数) 6 2sin( xy的图象，可以将函数xy2cos的图象（B ） (A) 向右平移 6 个单位长度(B) 向右平移 3 个单位长度 (C)向左平移 6 个单位长度(D) 向左平移 3 个单位长度 8.已知函数( )sin()(,0) 4 f xxxR的最小正周期为，为了得到函数 ()c o sg xx的图象，只要将( )yf x的图象 A A 向左平移 8 个单位长度B 向右平移 8 个单位长度 C 向左平移 4 个单位长度D 向右平移 4 个单位长度 9.把曲线 ycosx+2y1=0 先沿 x 轴向右平移 2 个单位，再沿y 轴向下平移1 个单位，得到的曲线方程是（C ） A （1y） sinx+2y3=0 B （y1）sinx+2y3=0 C（y+1）sinx+2y+1=0 D (y+1)sinx+2y+1=0