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1、专题 53 离散型随机变量及其分布列、均值与方差 （1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性. （2）理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用. （3）理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并 能解决一些实际问题. 一、离散型随机变量的分布列 1随机变量的有关概念 随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母, ,X Y，表示 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 2离散型随机变量分布列的概念及性质 （1）离散型随机变量的分布列的概念 设离散型随机变
2、量X可能取的不同值为 1 x， 2 x， n x，X取每一个值 i x (i1，2，n)的概率 () ii P Xxp=，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列 . X 1 x 2 x i x n x P 1 p 2 p i p n p 有时也用等式(),1,2,， ii P Xxp in表示X的分布列 （2）离散型随机变量的分布列的性质 0 i p(i1，2，n) ； 12 1 n ppp 3必记结论 （1）随机变量的线性关系 若X是随机变量，YaXb，a，b是常数，则Y也是随机变量 （2）分布列性质的两个作用 利用分布列中各事件概率之和为1 可求参数的值 随机变量 所取的值分别对
3、应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率 二、常见的离散型随机变量的概率分布模型 1两点分布 若随机变量X的分布列为 X 01 P 1p p 称X服从两点分布，而称(1)pP X为成功概率 2超几何分布 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件Xk发生的概率为 C C () C kn k MN M n N P Xk - - =，k0，1，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN *，称分布 列 X 01m P 00 C C C n MN M n N - - 11 C C C n MNM n N - - C C C mn m MNM n N - -
4、为超几何分布列，如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布. 3必记结论 （1）两点分布实际上是n1 时的二项分布 （2）某指定范围的概率等于本范围内所有随机变量的概率和 三、离散型随机变量的均值与方差 1离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X 1 x 2 x i x n x P 1 p 2 p i p n p （1）称 1122 () nn E Xx px px p为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取 值的平均水平 （2）称 2 1 ()() n ii i D XxE Xp 为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均
5、值E(X) 的平均偏 离程度，其算术平方根()D X为随机变量X的标准差 2均值与方差的性质 若YaXb，其中a，b为常数，则Y也是随机变量， 且E(aXb) aE(X) b； D(aXb) a 2D (X) 考向一离散型随机变量分布列性质的应用 分布列的应用主要体现在分布列的性质上的应用，离散型随机变量的分布列的性质主要有三方面的作用： （1）利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值； （2）利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的 概率； （3）可以根据性质判断所得分布列结果是否正确. 典例 1 随机变量X的分布列为 X-1 0 1
6、 Pabc 其中a,b,c成等差数列 , 则P(|X|=1)等于 A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 2 3 【答案】 D 典例 2 已知随机变量 的分布列为 1 2 n-1 n P 1 1 2 1 2 3 1 1nn x 其中nN * ,则x的值为 A 1 1n n B 1 12nn C 1 n D 1 1n 【答案】 C 【解析】由分布列的性质, 得 1 1 2 + 1 23 + 1 1n n +x=1, 即 (1- 1 2 )+( 1 2 - 1 3 )+( 1 1n - 1 n )+x=1- 1 n +x=1, 所以x= 1 n . 1已知随机变量 的分布列为 1 2 3 4 P
7、1 6 1 6 1 3 1 3 若随机变量 满足 =2-1, 则P(1 32 天数6 12 YZ 由于工作疏忽 , 统计表被墨水污染,Y和Z数据不清楚 , 但气象部门提供的资料显示, 六月份的日最高气温 不高于 32 的频率为0.9. 某水果商根据多年的销售经验,六月份的日最高气温t( 单位 : ) 对西瓜的销售影响如下表: 日最高气温t/t222232 日销售额X/千元2 5 6 8 (1) 求Y,Z的值 ; (2) 若视频率为概率,求六月份西瓜日销售额X的期望和方差; (3) 在日最高气温不高于32 时 , 求日销售额不低于5 千元的概率 . 3已知袋中装有大小相同的8 个小球 , 其中
8、5 个白球编号分别为1,2,3,4,5;3个黑球编号分别为1,2,3,从 袋中任意取出3 个球 . (1) 求取出的 3 个小球编号都不相同的概率; (2) 记X为取出的3 个小球中编号的最大值, 求X的分布列与数学期望; (3) 记每次取出的3 个小球所得的分数为Y, 其中Y=2X+1(X为取出的3个小球中编号的最大值), 求Y的数 学期望 . 考向三超几何分布 超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数超几何分布的特征是： 考察对象分两类； 已知各类对象的个数； 从中抽取若干个个体，考察某类个体个数X的概率分布 超几何分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布模型，要熟
9、记公式，正确运用. 典例 5 为参加全国第二届“登峰杯”科技创新大赛, 某市重点中学准备举办一次选拔赛, 共有 60 名高二学 生报名参加 , 按照不同班级统计参赛人数, 如表所示 : 班级宏志班珍珠班英才班精英班 参赛人数20 15 15 10 (1) 从这 60 名高二学生中随机选出2 人, 求这 2 人在同一班级的概率; (2) 现从这 60 名高二学生中随机选出2 人作为代表 , 进行大赛前的发言, 设选出的2 人中宏志班的学生人数 为X, 求随机变量X的分布列和数学期望. 则P(X=0)=, 典例 6 为了统计某市网友2017 年的“双十一”在某淘宝店的网购情况, 随机抽查了该市60
10、 名网友当天的 网购金额情况, 得到如下数据统计表: 网购金额 ( 单位 : 千元 ) 频数频率 (0,0.5 3 0.05 (0.5,1 xp (1,1.5 9 0.15 (1.5,2 15 0.25 (2,2.5 18 0.30 (2.5,3 yq 合计60 1.00 网购金额超过2 千元与不超过2 千元的顾客的人数比恰为23. (1) 求p,q的值 , 并补全频率分布直方图( 如图 ); (2) 从网购金额超过2 千元与不超过2 千元的顾客中用分层抽样的方法抽取15 人 , 若需从这15 人中随机选 取 3 人进行问卷调查, 设 为选取的3 人中网购金额超过2 千元的人数 , 求 的分布
11、列和期望. (2) 用分层抽样的方法, 从中选取 15人, 则其中网购金额超过2千元的顾客有15 2 5 =6(人), 网购金额不超过 2 千元的顾客有15 3 5 =9(人), 故 的所有可能取值为0,1,2,3, 则P( =0)= 03 69 3 15 C C12 C65 , P( =1)= 12 69 3 15 C C216 C455 , P( =2)= 21 69 3 15 C C27 C91 , P( =3)= 30 69 3 15 C C4 C91 , 所以 的分布列为 0 1 2 3 P 12 65 216 455 27 91 4 91 E( )=0 12 65 +1 216 4
12、55 +2 27 91 +3 46 915 . 4为督导学校课外选修课的开展情况, 某市教育督导部门从一所高中的四个选修专业中利用分层抽样的方 法选出了14 名学生进行调查, 已知样本中各专业学生人数如下表: 专业泥塑剪纸武术电工 人数2 3 4 5 (1) 若从这 14 名学生中随机选出两名, 求这两名学生来自同一选修专业的概率; (2) 现要从这 14 名学生中随机选出两名学生参加座谈, 设其中来自剪纸专业的人数为X, 令Y=2X-1, 求随机 变量Y的分布列及数学期望E(Y). 考向四利用均值、方差进行决策 均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，因此，当均值不同时，两个随机变量取值的水
13、平可见分晓， 由此可对实际问题作出决策判断；若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究 随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策. 典例7 某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕, 基地员工一天可以完成一 处种植区的采摘. 由于下雨会影响药材品质, 基地收益如下表所示: 周一无雨无雨有雨有雨 周二无雨有雨无雨有雨 收益20 万元15 万元10 万元7.5 万元 若基地额外聘请工人, 可在周一当天完成全部采摘任务. 无雨时收益为20 万元 ; 有雨时收益为10 万元 . 额外 聘请工人的成本为a万元 . 已知下周一和下周二有雨的概率相同, 两天是否
14、下雨互不影响, 基地收益为20 万 元的概率为0.36. (1) 若不额外聘请工人, 写出基地收益X的分布列及基地的预期收益; (2) 该基地是否应该外聘工人, 请说明理由 . 则其预期收益E(Y)=200.6+100.4-a=16-a, E(Y)-E(X)=1.6- a 综上 , 当额外聘请工人的成本高于1.6 万元时 , 不外聘工人 ; 成本低于 1.6 万元时 , 外聘工人 ; 成本恰为 1.6 万 元时 , 是否外聘工人均可以. 典例 8 某种产品的质量以其质量指标值衡量, 质量指标值越大, 表明质量越好. 记其质量指标值为k, 当k85 时, 产品为一级品;当 75k0, 所以E(A
15、)较大 . 所以从长期来看, 投资A配方产品的平均利润率较大. 5根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25, 有大洪水的概率为0.01, 该地区某工地上有一台大型 设备 , 遇到大洪水时要损失60000 元, 遇到小洪水时要损失10000 元.为保护设备 , 有以下 3 种方案 : 方案 1: 运走设备 , 搬运费为3800 元; 方案 2: 建保护围墙 , 建设费为2000 元 , 但围墙只能防小洪水; 方案 3: 不采取措施 , 希望不发生洪水. 试比较哪一种方案好. 1已知离散型随机变量X的分布列为 X1 2 3 P 3 5 3 10 1 10 则X的数学期望E(X)= A 3
16、2 B2 C 5 2 D3 2某离散型随机变量 的分布列如下表, 且E()=1.5,则P( 2)= 0 1 2 3 P0.1 mn0.1 A0.3 B0.4 C0.5 D0.6 3已知某离散型随机变量X的分布列如下表所示, 则随机变量X的方差D(X) 等于 X0 1 Pm2m A 1 9 B 2 9 C 1 3 D 2 3 4 某 12 人的兴趣小组中,有 5 名三好学生 , 现从中任意挑选6 人参加竞赛 , 用X表示这 6 人中三好学生的人 数, 则下列概率等于 33 57 6 12 C C C 的是 A2P XB3P X C2P XD3P X 5已知袋中有20 个大小相同的球, 其中记上0
17、 号的有 10 个, 记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取 一球 ,X表示所取球的标号. 若 =aX+b,E( )=1,D( )=11, 则a+b的值是 A1 或 2 B0 或 2 C2 或 3 D0 或 3 6已知离散型随机变量的概率分布如下： 0 1 2 P0.3 3k4k 随机变量21，则的数学期望为 A1.1 B3.2 C11kD22k+1 7节日期间 , 某种鲜花的进价是每束2.5 元, 售价是每束5 元, 节后对没售出的鲜花以每束1.6 元处理 .已知 前 5 年节日期间这种鲜花的需求量( 单位 : 束) 的统计如下表, 若进这种鲜花500 束在今年节日期间销售,
18、则期望利润是 200 300 400 500 P0.20 0.35 0.30 0.15 A706 元B690 元 C754 元D720 元 8如图 , 旋转一次圆盘 , 指针落在圆盘3 分处的概率为a, 落在圆盘2 分处的概率为b, 落在圆盘0 分处的概 率为c, 已知旋转一次圆盘得分的数学期望为2 分, 则ab的最大值为 A 1 48 B 1 24 C 1 12 D 1 6 9把半圆弧分成4 等份 , 以这些分点 ( 包括直径的两端点) 为顶点 , 作出三角形 , 从这些三角形中任取3 个不 同的三角形 , 则这 3 个不同的三角形中钝角三角形的个数 X的期望为 A 19 10 B 21 1
19、0 C3 D2 10已知随机变量X的分布列为 X1 2 k P 1 2 1 4 1 2 k 则P(232)=1-P(t32)=0.1, 所以Z=300.1=3, Y=30-(6+12+3)=9. 变式拓展 所以六月份西瓜日销售额X的分布列为 X2 5 6 8 P0.2 0.4 0.3 0.1 所以E(X)=20.2+50.4+60.3+80.1=5, D(X)=(2-5) 20.2 +(5-5) 20.4 +(6-5) 20.3 +(8-5) 20.1=3. (3) 因为P(t32)=0.9,P(22E(X3)E(X2), 故采取方案2 的平均损失最少, 所以方案2 好. 1【解析】 A 【解
20、析】由数学期望的公式可得E(X)=1 3 5 +2 3 10 +3 13 102 . 故选 A 2【解析】 C 【解析】由题意可知, 解得m=n=0.4, 所以P( 2)=0.5. 3【解析】 B 【解析】由m+2m=1, 得m= 1 3 , E(X)=0 1 3 +1 22 33 ,D(X)=(0- 2 3 ) 21 3 +(1- 2 3 ) 22 2 39 , 故选 B 4【解析】 B 【解析】3X表示抽到三好学生的人数为3，故基本事件有 33 57 C C ，概率为 33 57 6 12 C C C . 考点冲关 5【解析】 B 故选 B 6【解析】 B 【解析】由0.3 3k4k1 得
21、k0.1, 00.3 1 0.320.41.1E, 212 1.1 13.2EE. 7【解析】 A 【解析】用频率估计概率, 则节日期间这种鲜花需求量的期望E( )=2000.20+3000.35+4000.30+ 5000.15=340( 束 ). 设利润为, 则 =5+1.6(500-)-5002.5=3.4 -450, 则E( )=E(3.4 -450)=3.4E()-450=3.4340-450=706( 元 ). 8【解析】 D 【解析】由题意可得数学期望为3a+2b=2, ab= 1 6 3a2b 1 6 ( 32 2 ab ) 2=1 6 , 当且仅当 32 322 ab ab
22、? 1 3 1 2 a b 时取等号 ,所以ab的最大值为 1 6 . 9【解析】 B 【解析】从5 个点中任选3 个点可构成 3 5 C10个三角形，其中钝角三角形有 7 个，所以从这10 个三角 形中任取3 个不同的三角形，钝角三角形的个数0,1,2,3X. 03 73 3 10 C C1 0 C120 P X , 12 73 3 10 C C7 1, C40 P X 21 73 3 10 C C21 2 C40 P X, 30 73 3 10 C C7 3 C24 P X, 1721721 ()0123 12040402410 E X, 故选 B 10【解析】 3 16 【解析】P(2
23、4 5 , 所以p 3 5 . 又p+ 1 3 +q=1,q0, 所以p 2 3 . 故 3 5 p 2 3 . (3) 若丙选择“投资股市” , 记X为丙投资股市的获利金额( 单位 : 万元 ), 则X的分布列为 X4 0 -2 P 1 2 1 8 3 8 所以E(X)=4 1 2 +0 1 8 +(-2) 35 84 . 所以丙选择“投资股市”才能使一年后投资收益的数学期望较大. 1【解析】（1）随机变量 X 的所有可能取值为0，1，2，3 1111 (0)(1)(1)(1) 2344 P X， 11111111111 (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1) 23423423424 P
24、 X， 1111111111 (2)(1)(1)(1) 2342342344 P X ， 1111 (3) 23424 P X 所以，随机变量 X的分布列为 X 0 1 2 3 直通高考 P 1 4 11 24 1 4 1 24 所以，这2 辆车共遇到1 个红灯的概率为 11 48 【名师点睛】求离散型随机变量概率分布列及数学期望是理科高考数学的必考题型求离散型随机变 量概率分布列问题时，首先要清楚离散型随机变量的所有可能取值，及随机变量取这些值时所对应的 事件的概率，计算出概率值后即可列出离散型随机变量的概率分布列，最后按照数学期望的公式计算 出数学期望 2【解析】（1）记接受甲种心理暗示的
25、志愿者中包含 1 A但不包含 1 B的事件为M，则P(M)= 4 8 5 10 C5 C18 . （2）由题意知X可取的值为：0,1,2,3,4. 则 5 6 5 10 C1 0 C42 P X， 41 64 5 10 C C5 1 C21 P X， 32 64 5 10 C C10 2 C21 P X ， 23 64 5 10 C C5 3 C21 P X ， 14 64 5 10 C C1 4 C42 P X， 因此X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 42 5 21 10 21 5 21 1 42 X的数学期望是0(0)1(1)2(2)3(3)4(4)EXP XP XP XP X
26、P X = 151051 012342. 4221212142 【名师点睛】本题主要考查古典概型的概率公式和超几何分布概率的计算公式、随机变量的分布列和 数学期望 . 解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数. 本题属中等难度的 题目，计算量不是很大，能很好地考查考生数学的应用意识、基本运算求解能力等. 所以的分布列为 0 1 2 P 1 6 2 3 1 6 故的期望 121 ( )0121 636 E. （3）在这 100 名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差 . 【名师点睛】求分布列的三种方法： （1）由统计数据得到离散型随机变量的分布列； （
27、2）由古典概型求出离散型随机变量的分布列； （3）由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散 型随机变量的分布列 4【解析】（1）由题意知，X所有可能取值为200,300,500 ，由表格数据知 216 2000.2 90 P X ， 36 3000.4 90 P X ， 2574 5000.4 90 P X . 因此 X 的分布列为 X200300500 P0.2 0.4 0.4 当 200300n时， 若最高气温不低于20，则642Ynnn； 若最高气温低于20，则6 200220048002Ynnn. 因此20.40.480020.2160 1.
28、2EYnnn. 所以n=300 时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520 元. 【名师点睛】离散型随机变量的分布列指出了随机变量X的取值以及取各值的概率；要理解两种特殊的 概率分布两点分布与超几何分布，并善于灵活运用两性质：一是pi0(i1,2 ，) ；二是p1p2 pn1 检验分布列的正误. 5【解析】（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8， 9，10， 11 的概率分别为0.2 ，0.4 ，0.2 ，0.2 ，从而 04. 02. 02. 0)16(XP； 16.04.02. 02)17(XP ； 24.04 .04.02 .02. 02)18(XP； 24. 02. 04.022 .02. 02)19(XP； 2 .02.02 .04.02. 02)20(XP； 08.02 .02. 02)21(XP； 04. 02. 02.0)22(XP. 所以X的分布列为 X 16 17 18 19 20 21 22 P04.016.024.024.02.008.004.0 （2）由（ 1）知44.0)18(XP，68.0)19(XP，故n的最小值为19. 【名师点睛】 本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查, 有一定的综合性， 但难度不是 太大 , 求解的关键是读懂题意, 所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.