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1、函数的单调性与导数教案1 2 131 函数的单调性与导数（第1 课时） 教学目标 1了解可导函数的单调性与其导数的关系； 2能利用导数研究函数的单调性，掌握求函数（对多项式函数一般不 超过三次）的单调区间； 教学重点 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学方法 讲练结合法 教学用具 小黑板 教学过程 一创设情景复习引入 我们在学习函数的时候，就利用定义研究过函数的单调性当时我 们总结了六个字 : “ 同为增，异为减 ” 可以分为两类： 第一类：基本初等函数的单调性 “同”指的是不等号方向相同
2、； “异”指的是不等号方向相反 比如函数 y=f(x) 在定义域 D 上任取 x1,x2， x1x2，f(x1)f(x2)，f(x)在 D 上单增； x1f(x2)，f(x)在 D 上单减； x1x2，f(x1)f(x2)，f(x)在 D 上单减 第二类：简单的复合函数的单调性 函数 y=f(x) 由 yf(u)以及 u=u(x)两函数复合而成的复合函数 “同”指的是 f(u) 与 u(x) 的单调性相同；“异”指的是 f(u) 与 u(x) 的 单调性相反。 比如 f(u) 单增且 u(x) 单增，则 f(x) 单增； f(u) 单减且 u(x) 单减，则 f(x) 单增； f(u) 单增且
3、 u(x) 单减，则 f(x) 单减； f(u) 单减且 u(x) 单增，则 f(x) 单减 所以说 “ 同为增，异为减 ” 是利用单调性定义判断函数单调性或求单调区 间的方法的高度概括 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了 解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非 常重要的通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一 个基本的了解下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在 3 研究函数中的作用 二新课讲授 1问题：右图（ 1） ，它表示跳水运动 中 高 度 h 随 时 间t变 化 的 函 数 2 ( )4.96.510h ttt的图像，
4、图（ 2） 表示高台跳水运动员的速度v随时间t 变 化 的 函 数 ( )( )9.86.5v th tt的 图像 运动员从起跳到最高点， 以及从最高点 到入水这两段时间的运动状态有什么 区别？ 通过观察图像，我们可以发现： （1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t的增加而增加， 即( )h t是增函数相应地， ( )( )0v th t （2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t的增加而减少， 即( )h t是减函数相应地， ( )( )0v th t 2函数的单调性与导数的关系 （出示小黑板）观察函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关 系 4 （出示小黑板）
5、 如下图，导数 0 ()fx表示函数( )f x在点 00 (,)xy处的切线 的斜率 在 0 xx处， 0 ()0fx，切线是“左下右上”式的，这时，函数 ( )f x 在 0 x附近单调 递增； 在 1 xx处， 0 ()0fx，切线是“左上右下” 式的，这时，函数( )f x 在 1 x附近单调递减 结论：函数的单调性与导数的关系 在某个区间( , )a b内，如果 ( )0fx，那么函数( )yf x在这个区间 内单调递增；如果 ( )0fx，那么函数( )yf x在这个区间内单调递减 说明：特别的，如果 ( )0fx，那么函数( )yf x在这个区间内是常函 数 3求解函数( )yf
6、 x单调区间的步骤： （1）确定函数( )yfx的定义域； （2）求导数 ( )yfx； （3）解不等式 ( )0fx，解集在定义域内的部分为增区间； 5 （4）解不等式 ( )0fx，解集在定义域内的部分为减区间 三典例分析 例1 已知导函数 ( ) fx的下列信息： 当1 4x时， ( )0fx； 当4x，或1x时， ( )0fx； 当4x，或1x时， ( ) 0fx 试画出函数( )yf x图像的大致形状 解：当 14x时， ( )0fx，可知( )yf x在此区间内单调递增； 当4x，或1x时， ( )0fx；可知( )yf x在此区间内单调递减； 当4x，或1x时， ( )0fx，
7、这两点比较特殊， 我们把它称为“临 界点” 综上，函数( )yf x图像的大致形状如上图所示 四课堂练习 课本 P26 练习： 1（找 4 位学生板演） 五回顾总结 1让学生自己总结回顾本节课的内容 2教师进一步强调本节课重点内容 （1）函数的单调性与导数的关系 （2）求解函数( )yfx单调区间 （3）证明可导函数fx 在,a b 内的单调性 六布置作业 1 课本 P31 习题 13A 组 1 （1） （3）2（2） （4） 2预习 P2426 七板书设计 6 1.3.1函数的单调性与导数 1函数的单调性与 导数的关系 说明：特别的，如 果 ( ) 0fx，那么 函数( )yf x在这 个 区 间 内 是 常 函 数 2 求 解 函 数 ( )yf x单调区间 的步骤： 例 1 问题 小结