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1、南京市 20172018 学年度第一学期期末调研测试卷 高 一 数 学2018.01 注意事项： 1本试卷共4 页，包括填空题 （第 1 题第 14 题） 、 解答题（第 15 题第 20 题） 两部分本 试卷满分为160 分，考试时间为120 分钟 2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内试题的 答案写在答题卡 上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡 一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共70 分请把答案填写在答题卡相应位置 上 1已知集合M x| 0x2，N 1， 0，1，2，则 M N 2计算： lg4lg 5 2 的值是 3函数f(x) (x
2、2) 1 2 的定义域是 4已知tan 2，则 tan( 4) 的值是 5若函数f(x)cosx| 2xa| 为偶函数，则实数a 的值是 6 已知向量 a(1， 2)， b(2， 1) 若向量 ab 与向量 kab共线，则实数 k 的值是 7已知角的终边经过点P(12，5)，则 sin( )cos( ) 的值是 8已知函数f(x) log2(2x)， x1， 2 x， x1， 则 f (2)f (log23) 的值是 9在 ABC 中，若tanA1，则角 A 的取值范围是 10在平行四边形ABCD 中， AB a，AD b若 | a| 2，| b| 3，a与 b 的夹角为 3，则 线段 BD
3、的长度为 11已知 (0， 2)，且满足 sin 2 3cos2 sin cos 2，则 tan的值是 12已知函数f(x) sin(x 3) ( 0)，将函数 yf(x) 的图象向左平移个单位长度后， 所得图象与原函数图象重合，则的最小值是 13如图，已知函数f(x)的图象为折线ACB (含端点A，B)，其中A(4， 0)，B(4， 0)， C(0，4)，则不等式f(x)log2(x2) 的解集是 14若 m0，且关于 x 的方程(mx1) 2m x 在区间0， 1 上有且只有一个实数解， 则实数 m 的取值范围是 二、解答题：本大题共6 小题，共90 分请在答题卡指定区域内 作答，解答时应
4、写出文字 说明、证明过程或演算步骤 15 （本小题满分14 分） 已知向量 a(1，2)，b( 3，4) （1）求向量ab 与向量 a 夹角的大小； （2）若 a(a b)，求实数 的值 16 （本小题满分14 分） 已知函数f(x)Asin( x ) ( A 0， 0，0 ) 的图象如图所示 （1）求 A， ，的值； （ 2）若 x 2， 12，求 f(x)的值域 17 （本小题满分14 分） 已知 sin 43 7 ， ( 2，0) （1）求 cos( 4 )的值； （2）若 sin( ) 3 3 14 ， (0， 2)，求 的值 18 （本小题满分16 分） 如图，已知OPQ 是半径为1
5、，圆心角为 3 的扇形，点A 在弧 PQ 上(异于点 P，Q)， 过点 A 作 ABOP，ACOQ，垂足分别为B，C记 AOB ，四边形 ACOB 的周长为l （1）求 l 关于 的函数关系式； （2）当 为何值时， l 有最大值，并求出l 的最大值 19 （本小题满分16 分） 如图，在矩形ABCD 中，点 E 在边 AB 上，且 AE 2EB M 是线段 CE 上一动点 （1）若 M 是线段 CE 的中点， AM mAB nAD ，求 mn 的值； （2）若 AB9， CA CE 43，求(MA 2MB ) MC 的最小值 O P Q A B C （第 18 题图） (第 16 题图 )
6、y x 6 12 2 O 20 （本小题满分16 分） 如果函数 f(x)在定义域内存在区间a，b，使得该函数在区间a，b上的值域为 a 2，b2 ， 则称函数f(x)是该定义域上的“和谐函数” （1）求证：函数f(x) log2(x 1)是“和谐函数”； （2）若函数g(x) x 2 1t (x1)是“和谐函数” ，求实数 t 的取值范围 南京市 20172018 学年度第一学期期末调研测试卷 高一数学参考答案2018.01 说明： 1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后
7、续部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果 后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数，填空题不给中间分数 一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分 10 ，1 21 32， ) 4 3 50 6 1 7 7 13 85 9 ( 4， 2) 107 113 122 13(2，2) 14(0，13， ) 注：第 1、3、13 题的答案必须是集合或区间形式，第9、14 题可以用不等式表示；其它题 M E D C BA (第 19 题图 ) 严格按
8、标准执行。 二、解答题：本大题共6 小题，共90 分 15 （本小题满分14 分） 解 （1）因为a (1， 2)，b(3，4)，所以 ab(2，6)， 所以 |ab| (2) 2622 10， |a|5， (ab)a 212 104 分 记向量 ab 与向量 a 的夹角为 ， 从而 cos (ab)a |ab|a| 2 2 6 分 因为 0， ，所以 4， 即向量 ab 与向量 a 的夹角为 4 8分 （2）因为 a(a b)，所以 a(a b)0，即 a2 ab 0， 所以 5 (38)0，12 分 解得 114 分 注：第 (1)问 8 分，计算出数量积2 分，求两个向量模各1 分，求夹
9、角余弦2 分，求出角2 分，不交代向量夹角的范围或错误扣1 分；第 (2)问 6 分，列出关系式4 分，解出 得 2 分 16 （本小题满分14 分） 解（ 1）设函数f(x)的最小正周期为T，由图象知： A2，1 4T 6( 12) 4， 所以周期 T ，从而 2 T 24 分 因为函数图象过点( 12， 2)，所以 sin( 6 )1 因为 0 ，所以 6 6 5 6 ， 所以 6 2，解得 2 3 因此 A2， 2， 2 3 8 分 （2）由（ 1）知f(x)2sin(2x2 3 ) 因为 x 2， 12，所以 32x 2 3 5 6 ，10 分 所以 3 2 sin(2x 2 3 )1
10、， 从而函数 f(x)的值域为 3，214 分 注：第 (1)问 8 分，指出A 得 1 分，求出周期得2 分，求出得 1 分，列出求的关系式2 分，求出得 2分， ；第 (2)问 6 分，指出相位范围得2 分，求出sin(2x 2 3 )的范围得2 分， 求出值域得2 分 17 （本小题满分14 分） 解（ 1）因为 sin 43 7 ， ( 2，0)， 所以 cos 1sin 2 1 48 49 1 7 2 分 从而cos( 4 )cos 4cos sin 4sin 2 2 1 7 2 2 ( 4 3 7 ) 2 4 6 14 6 分 （2）因为 ( 2，0)， (0， 2)， 所以 (
11、2， 2) 8分 因为 sin( ) 3 3 14 ， 所以 cos( )1 sin 2( ) 1( 33 14 ) 213 14 10 分 从而sin sin( ) sin( )cos cos( ) sin 33 14 1 7 13 14 ( 4 3 7 ) 3 2 12 分 因为 (0， 2)，所以 3 14 分 法二 :因为sin( ) 3 3 14 ，所以 43 7 cos 1 7sin 33 14 8 分 从而有 2sin 83cos 3 3，又 sin 2 cos2 1， 解得 cos 1 2，sin 3 2 或 cos 23 98，sin 55 98 3(舍去 ) 12 分 因为
12、 (0， 2)，所以 3 14 分 注：第 (1)问 6 分，求出 cos的值得 2 分(公式 1 分，结果 1 分)，求 cos( 4 )共 4 分，(公式 2 分，结果2 分)；第 (2)问 8 分，指出 的范围列出关系式2 分，求出 cos( )得 2 分， 求出 sin得 2 分 (公式 1 分，结果1 分)，最后根据的范围，求的值 2 分 第(2)问，用解法二，列出关系式得2 分，解出两解，每一组解2 分，若列出方程直接得出 sin与 cos 之一，并没有消元的过程，最后结果正确，扣4 分，仅给 4 分。 18 （本小题满分16 分） 解（ 1）在直角三角形OAB 中，因为OA 1，
13、 AOB ， 所以 OBcos ，AB sin 2 分 在直角三角形OAC 中，因为 POQ 3，所以 AOC 3 ， 从而 OCcos( 3 )， ACsin( 3 ) 4 分 所以 l sin cos sin( 3 )cos( 3 )， (0， 3) 7 分 （2）由（ 1）知， lsin cos sin( 3 )cos( 3 ) sin cos ( 3 2 cos 1 2sin ) ( 1 2cos 3 2 sin ) 31 2 sin 33 2 cos (31)( 1 2sin 3 2 cos ) ( 31)sin( 3)， (0， 3) 12 分 因为 (0， 3)，所以 3 ( 3
14、， 2 3 )， 所以当且仅当 3 2，即 6 时， l 取得最大值3 1 答： 当 6 时， l 取得最大值，最大值为3116 分 注：第 (1)问 7 分，求出OB，AB，OC，AC 各 1 分，写出 l 的表达式2 分，定义域1 分； 第(2)问 9 分，将 l 化为 (31)sin( 3)得 5 分，求出最值 3 分，答 1 分 19 （本小题满分16 分） 解（ 1）因为 M 是线段 CE 的中点， AE 2EB ， 所以 AM AE EM AE 1 2 EC AE 1 2( AC AE ) 1 2( AC AE ) 1 2( AB AD 2 3 AB )5 6 AB 1 2AD m
15、AB nAD ， 因为 AB 与 AD 不共线， 所以 m 5 6，n 1 2，则 mn 4 3 7 分 （2）在矩形ABCD 中， CA AB AD ， CE CB BE AD 1 3 AB ， 所以 CA CE ( AB AD ) ( AD 1 3 AB ) 1 3 AB 24 3 AB AD AD 2 1 3AB 2 AD 2 因为 AB9， CA CE 43，所以 1 3 AB 2 AD 21 39 2 AD 243， 解得 | AD | 4，即 ADBC4 在 RtEBC 中， EB 3，BC4，则 EC511 分 因为 AE 2EB ， 所以 MA 2MB (ME EA ) 2(M
16、E EB )3ME EA 2EB 3ME 13 分 设 MEt，0t5 所以 (MA 2MB ) MC 3ME MC 3t (5t)3(t25t)3(t 5 2) 275 4 ，0t5 因此当且仅当t 5 2 时， (MA 2MB ) MC 有最小值 75 4 ， 从而 (MA 2MB )MC 的最小值为 75 4 16 分 解法二 :建立如图直角坐标系，则A(0，0)， E(6，0)，B(9，0)，设 C(9，m)，m0 则 CA ( 9， m)， CE (3， m)， CA CE 27m243，所以 m4 3 分 所以 C(9， 4)，因为 M 在线段 CE 上， 设CM CE ， 0 1
17、M(x，y)，则 CM (x9，y4)， CE (3， 4)， x9 3 ， y4 4 ，所以x93 ，y44 即M(9 3 ，4 4 ) 5 分 所以 MA (3 9，4 4)，MB (3 ，4 4) MA 2MB (9 9， 12 12)，MC (3 ， 4 )， (MA 2MB ) MC 27 227 48248 75(2 ) 75( 1 2) 275 4 ，0 18 分 所以当且仅当 1 2时， (MA 2MB ) MC 有最小值 75 4 ， 从而 (MA 2MB )MC 的最小值为 75 4 9 分 注：第 (1)问 7分，将 AM 用AB 与AD 线性表示，得4 分，指出 m，n
18、 并求出 m n 的值 3 分， 不交代 AB 与AD 不共线，扣1 分； 第(2)问 9 分，求出AD 的长得 3 分，求出EC 的长得 1 分，得出 MA 2MB 3ME 得 2 分， 列出 (MA 2MB )MC 的函数关系式得2 分，求出最值得1 分 用坐标法 (解法二 )，求出 C 点坐标 (即求出 m 值)得 3 分，得出M 点坐标得2 分， 列出函数关系式得3 分，求出最值得1 分 20 （本小题满分16 分） M E D C B A (第 19 题图 ) 解（ 1）函数 f(x) log2(x1)的定义域为 (1， )，且在 (1， )上单调递增 考察函数 F(x) f(x)x
19、 2log 2 (x 1) x 2，x(1， ) 因为 F(0)log2 100，取 a0，则 F(a)0，即 f(a)a2；2 分 F(1)log2 210，取 b1，则 F(b)0，即 f(b)b 2 4分 因为 f(x)在a，b上单调递增， 所以 f(x)在区间 a，b上的值域为 f(a)，f(b)，即为 a2，b2 所以函数f(x)log2 (x1)是 (1， )上的“和谐函数” 6 分 （2）任取 x1，x21， ) ，且 x1x2， 则 g(x1)g(x2) x1 21 x2 21 (x1x2) (x1x2) x1 21 x2 210，即 g(x1) g(x2)， 因此 g(x)在
20、1， ) 单调递增8 分 因为函数 g(x) x 21t (x1)是“和谐函数”， 所以存在 a，b1， ) ，使得函数在区间a，b上的值域为 a2，b2， 即 g(a)a 2，g(b)b2 因此 g(x)x2，即 x 21t x2在1， ) 上至少有两个不相等的实数根 11 分 令 x 21u，u0，方程可化为 u21ut， 即 u2u1 t0 在0， ) 上至少有两个不相等的实数根13 分 记 h(u)u2u1t，h(u)的对称轴为直线u1 2， 所以 1 4(1t)0， h(0)0， 解得 3 4t1，即 t 的取值范围为 (3 4，1 16 分 注：第 (1)问 6 分，找出a，b 各 2 分，证明过程完整规范得2 分，如交代不清扣2分； 第(2)问 10 分，证明函数单调2 分，如没有证明扣2 分，转化为关于x 方程在 1， ) 上至少有两个不相等的实数根，得 3 分，转化为关于u 的二次方程在0，) 上至少有 两个 不相等的实数根，得2 分，列出关系式得2 分，最后结果1 分