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1、几何证明全章复习与巩固知识讲解（提高） 【学习目标】 1. 理解命题、逆命题、定理、逆定理等的含义； 2. 掌握证明真命题正确性的方法步骤，会举反例说明假命题的错误；掌握证明线段相等角度相等的 基本方法和思路； 3. 理解轨迹的定义，掌握三种基本轨迹； 4. 能判断直角三角形全等，能应用勾股定理及其逆定理解决实际问题. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、几何证明 1命题和证明 （1）命题 定义：判断一件事情的句子. 判断为正确的命题，叫做真命题； 判断为错误的命题，叫做假命题. （2）演绎证明（简称证明） 从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程.
2、 要点诠释： 命题通常由题设、结论两部分组成， 题设是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项，可以写成 “如 果那么”的形式，“如果”开始的部分是题设，“那么”开始的部分是结论. 2. 公理和定理 （1）公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原 始依据 . （2）定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并能进一步作为判断其他命题真 假的依据，这样的真命题叫做定理. 3. 逆命题与逆定理 （1）在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个 命题的题设，则这两个命题叫互逆命题. 其中一个命题叫原命题；另一
3、个命题叫它的逆命题. （2）如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，则这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫另一个的 逆定理 . 4. 证明真命题的一般步骤 （1）理解题意，分清命题的条件（已知）、结论（求证） （2）根据题意，画出图形，并在图中标出必要的字母或符号 （3）结合图形，用符号语言写出“已知”和“求证” （4）分析题意，探索证明思路（由“因”导“果”，执“果”索“因” ） （5）依据思路，运用数学符号和数学语言条理清晰的写出证明过程 （6）检查表达过程是否正确、完善 要点诠释： （1）一个命题（定理）的逆命题（逆定理）并不是唯一的，这是因为一个命题的题设中可能有两个 或多个条件，结论也可
4、能不止一个； （2）逆命题的真假与原命题的真假没有关系. 要点二、线段的垂直平分线和角的平分线 1. 线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的定义 垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线. （2）线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 如图： MN 垂直平分线段AB PA=PB （3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 要点诠释： 线段的垂直平分线定理与逆定理往往与边相等、角相等的证明密切相关，它提供了证明边、角 相等 的又一种重要的方法，在以后的学习中还会与直角三角形、角平分线
5、、 勾股定理等连在一起综合应用. 2. 角的平分线 （1）角的平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. （2）角的平分线有下面的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 如图： OP平分 AOB ， PDOA ，PEOB ， PD=PE. M N B A P A B O D E P 3. 垂线的性质 性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 性质 2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 简称：垂线段最短. 要点诠释： （1）当题目中的条件涉及到角平分线上的点与角的两边的垂直
6、关系时，利用角的平分线性质可直接 得到垂线段相等，而不必用全等三角形来证，但是在书写过程中，不要漏掉垂直关系； （2）已知角的平分线，有两种常用的添加辅助线的方法：一是把角沿着角平分线翻折，在这个角的 两边截取相等线段，从而创设两个全等的三角形；二是过角平分线上的点向角两边做垂线段，利用角 平分线的性质定理及其逆定理来解题. 要点三、轨迹 1. 轨迹的定义 把符合某些条件的所有点的集合叫做点的轨迹. 要点诠释： 轨迹定义包含以下两层含义： 其一、轨迹图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都符合条件（也称图形的 纯粹性）； 其二、轨迹图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条
7、件的任何一点都在图形上（也称图形的 完备性）； 所谓轨迹问题的证明就是用论证的方法证明得到的轨迹符合上述两层含义. 2. 三条基本轨迹 轨迹 1：和已知线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线； 轨迹 2：到已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 轨迹 3：到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心、以定长为半径的圆. 3. 交轨法作图 利用轨迹相交进行作图的方法叫做交轨法. 如果要求作的点（图形）同时要满足两个条件时，我们通常先作出满足条件A的轨迹，然后再作出满 足条件 B的轨迹，两轨迹的交点则同时满足条件A和条件 B. 交轨法是常用的作图方法，我们在利用尺规作三角形
8、、线段的垂直平分线、角平分线时，都运用 了交轨法 . 要点诠释： “尺规作图”是指限用无刻度直尺和圆规来作几何图形，基本的尺规作图有如下几种： （1）作一条线段等于已知线段； （2）作一个角等于已知角； （3）作已知角的平分线； （4）经过一点作已知直线的垂线； （5）作线段的垂直平分线. 要点四、直角三角形 1. 直角三角形全等的判定 （1）直角三角形全等一般判定定理： 直角三角形是特殊的三角形，一般三角形全等的判定方法也适用于直角三角形，即(SAS、ASA 、 SSS 、 AAS) （2）直角三角形全等的HL判定定理： 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等
9、（简记为：HL） 综上：直角三角形全等的判定方法有SAS 、ASA 、SSS 、AAS 、HL. 2. 直角三角形的性质 定理：直角三角形的两个锐角互余； 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 推论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30, 那么它所对的直角边等于斜边的一半； 推论：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30. 3. 勾股定理 定理：在直角三角形中，斜边大于直角边； 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方； 勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三 角形； 勾股定理证明思路：
10、面积分割法（勾股定理逆定理证明思路：三角形全等） 勾股数组：如果正整数cba、满足 222 cba，那么cba、叫做勾股数组，常见的勾股数组 有： 3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17. 4. 两点之间的距离公式 如果直角坐标平面内有两点 2211 ,yxByxA、，那么 A、B两点的距离为： 2 21 2 21 yyxxAB. 两种特殊情况： （1）在直角坐标平面内，x轴或平行于x轴的直线上的两点yxByxA, 21 、的距离为： 21 2 21 22 21 xxxxyyxxAB （2）在直角坐标平面内，y轴或平行于y轴的直线上的两点 21 ,yxByxA、的距离为：
11、21 2 21 2 21 2 yyyyyyxxAB 要点诠释： 几何证明的分析思路： （1）从结论出发，即：根据所要证明的结论去寻找条件. 例如： 要证线段相等，则需先证：全等，然后利用全等三角形性质得到线段相等；角相等，然后利用 等角对等边 （前提： 在同一个三角形中）寻找中间变量，然后利用等量代换得出结论；观察图形， 看是否可以直接利用线段的垂直平分线定理或角平分线定理来得出结论； 要证角相等，则需先证：全等，然后利用全等三角形性质得到角相等；线段相等，然后利 用等边对等角（前提：在同一个三角形中）寻找中间变量，然后利用等量代换得出结论；观察图 形，看是否可以直接利用角平分线逆定理来得出结
12、论； 要证垂直，则需先证：两条直线所夹的角为90；先证等腰三角形，然后利用“三线合一” 来得出结论（前提：在同一个三角形中）； 要证三角形全等，则需先要从已知找条件，看要判定全等还却什么条件，然后再去寻找. （2）从已知出发，即：根据所给条件、利用相关定理直接可得的结论. 例如： 已知线段的垂直平分线线段相等； 已知角平分线到角的两边距离相等或角相等； 已知直线平行角相等； 已知边相等角相等（前提：在同一三角形中）. 【典型例题】 类型一、命题与证明 1. 命题：对顶角相等；垂直于同一条直线的两直线平行；相等的角是对顶角；同位角 相等。其中假命题有（） A 、1 个B、2 个C、 3个D、4
13、个 【答案】 C ； 【解析】 是真命题；是假命题，没说“在同一平面内”；是假命题，相等的角不一定是是对顶 角；是假命题，当两直线平行时，同位角才相等；故选C. 【点评】 判断为正确的命题，叫做真命题；判断为错误的命题，叫做假命题. 举一反三： 【变式】把命题：三角形的内角和等于180 改写如果， 那么；并找出结论 . 【答案】 如果三个角是三角形的内角，那么它们的和等于180 ；并找出结论它们的和等于 180 。 类型二、线段的垂直平分线 2如图， 直线 CP是 AB的中垂线且交AB于 P，其中 AP=2CP 甲、乙两人想在AB上取两点D、E， 使得 AD=DC=CE=EB，其作法如下： （
14、甲）作 ACP 、 BCP之角平分线，分别交AB于 D、E ，则 D、E即为所求； （乙）作AC 、BC之中垂线，分别交AB于 D、 E ，则 D、E即为所求 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（） A、两人都正确 B、两人都错误 C、甲正确，乙错误D、甲错误，乙正确 【答案】 D ； 【解析】 甲错误，乙正确 证明： CP是线段 AB的中垂线，ABC是等腰三角形，即AC=BC ， A=B， 作 AC、BC之中垂线分别交AB于 D、E， A= ACD ， B=BCE ， A= B ， A=ACD ， B=BCE ， AC=BC ， ACD BCE ， AD=EB ， AD=DC ，EB=C
15、E ， AD=DC=EB=CE 故选 D 【点评】 本题主要考查线段垂直平分线的性质，还涉及等腰三角形的知识点，不是很难先根据直线 CP是 AB的中垂线且交AB于 P，判断出 ABC是等腰三角形，即AC=BC ，再根据线段垂直平分线的性 质作出 AD=DC=CE=EB 举一反三： 【变式】 如图， 在 RtABC中，C=90 ，B=30AB的垂直平分线DE交 AB于点 D，交 BC于点 E， 则下列结论不正确的是（） A、AE=BE B、AC=BE C、CE=DE D 、 CAE= B 【答案】 A、根据线段垂直平分线的性质，得AE=BE 故该选项正确； B、因为 AE AC ，AE=BE ，
16、所以 ACBE 故该选项错误； C、根据等角对等边，得BAE= B=30；根据直角三角形的两个锐角互余，得BAC=60 则 CAE= BAE=30 ，根据角平分线的性质，得CE=DE 故该选项正确； D、根据 C的证明过程故该选项正确 故选 B 类型三、角平分线 3如图，在Rt ACB中， C=90， BE平分 ABC ，ED垂直平分AB于 D 若 AC=9 ，则 AE的值 是（） A、6B、4 C、6 D、 4 【答案】 C ； 【解析】 BE平分 ABC ， CBE= ABE ， ED垂直平分 AB于 D， EA=EB ， A= ABE ， CBE=30 ， BE=2EC ，即 AE=2E
17、C ， 而 AE+EC=AC=9 ， AE=6 故选 C 【点评】 由角平分线的定义得到CBE= ABE ，再根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB ，则 A= ABE ， 可得 CBE=30 ， 根据含 30度的直角三角形三边的关系得到BE=2EC ， 即 AE=2EC ， 由 AE+EC=AC=9 ， 即可求出AC 举一反三： 【变式】如图，ABC=50 ， AD垂直且平分BC于点 D， ABC的平分线BE交 AD于点 E，连接 EC ， 则 AEC的度数是度 【答案】 AD垂直且平分BC于点， BE=EC ， DBE= DCE ， 又 ABC=50 ， BE为 ABC的平分线， EBC
18、= C=1 50 2 =25， AEC= C+EDC=90 +25=115， 即 AEC=115 类型四、直角三角形 4如图 ABC中， AB=AC ， BAC=120 ， D是 BC的中点， DE AB于 E，求证： BE=3AE 【答案与解析】 证明 :连接 AD ， AB=AC，D为 BC中点， BAD=BAC=60 ， ADBC， B=30 ， AD= AB ， DEAB ， ADE=30 ， AE= AD， AE=AB ， BE=3AE. 【点评】 此题技巧就在于利用所给的等腰三角形及120的特殊条件，去构造30角的特殊的直角三 角形 . 直接分析BE与 AE间数量关系不大好想，但是
19、由 AB=AC 且 BAC=120 想到应用等腰三角形的性 质连结 AD后则可推出 BAD=60 ，又由DEAB ，又可推出EDA=30 ， B=30，图中有了两个含 30角的直角三角形，则由性质可得AE=AD ，AD=AB. 举一反三： 【变式】如图，长方形ABCD ，DC=5cm ，在 DC上找一点 E，沿直线AE ，把三角形AED折叠，使D点恰 好落在 BC边上，设此点为F，若 ABF的面积为30cm 2，求折叠的三角形 ADE的面积 . 【答案】 解：设 DE=x SABF=AB BF，又 AB=CD=5 ，SABF=30（已知） BF=12 又由图形翻折得知ADE AFE DE=EF
20、=x AF=AD(全等三角形的对应边相等) RtABF中，由勾股定理可得AF=13 AD=13， BC=AD=13 ，FC=1 ， 在 RtEFC中 FC=1，EF=x， EC=5-x ， EF 2=EC2+FC2( 勾股定理 ) ， x 2=(5-x)2+12， x2=25-10x+x2+1， x=， DE=， SADE=AD DE=13=16.9 答：折叠后的三角形的面积为16.9cm 2 . 类型五、几何综合题 5如图，在四边形ABCD 中， AD BC ，E为 CD的中点，连接AE 、BE，BE AE ，延长 AE交 BC的 延长线于点F 求证：（1）FC=AD ； （2）AB=BC+
21、AD 【答案与解析】 解： （1） AD BC （已知）， ADC= ECF （两直线平行，内错角相等）， E是 CD的中点（已知） ， DE=EF （中点的定义） 在 ADE与 FCE中， ADC= ECF ，DE=EF ， AED= CEF ， ADE FCE （ASA ） ， FC=AD （全等三角形的性质） （2） BE AE （已知）， ADE FCE ， AE=EF ，AD=CF （全等三角形的对应边相等）， BE是线段 AF的垂直平分线， AB=BF=BC+CF， AD=CF （已证）， AB=BC+AD （等量代换） 【点评】（1）根据 ADBC可知 ADC= ECF ，再根据
22、E是 CD的中点可求出ADE FCE ，根据全等 三角形的性质即可解答 （2）根据线段垂直平分线的性质判断出AB=BF即可 6ABC中， BAC=110 ， DM垂直平分AB ，EN垂直平分AC ，求 DAE的度数。 【答案与解析】 DM 垂直平分AB DA=DB B=BAD 同理： C= CAE DAE= BAC-（ BAD+ CAE ） =110- （ B+C） =110- （180 - BAC ） =110- （180 -110） =40 【点评】 根据线段垂直平分线的性质与角平分线的性质. 举一反三： 【变式】如图，已知ABC的角平分线BD ，CD相交于点D ，DE/AB 交 BC于 E，DF/AC 交 BC于 F， AB=5 ，BC=6 ，AC=4 ，求 DEF的周长 . 【答案】 DE+EF+DF=BC=6.