七年级上册有理数复习拓展提高1.pdf

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1、有理数 一、常考题型检测 考点 1：正数和负数 注意： 0 既不是正数也不是负数，它是正负数的分界点 对于正数和负数，不能简单理解为带“+”号的数是正数，带“”号的数是负数 例 1: 向北走 2000 米与向南走1000 米，若规定向北走为正，则向北走2000 米可记作，向南 走 1000 米，原地不动分别可记作 易错点： 1、 a 一定是负数吗？ 2、下列说法错误的是（） A、0 是自然数 B、0 是整数 C、0 是偶数 D、海拔 0 米表示没有海拔 考点 2、有理数 1、有理数的分类 注意： 1、有理数只包括正数和分数，无限不循环小数不是有理数，如圆周率就不是有理数了。 2、0 是整数不是

2、分数 例 1、把下列各数填在相应的集合内： ， 4 1 ，-3 ，2，-1 ， -0.58 ， 0，-3.14 ，0.618 ，10 整数集合： 分数集合： 非负数集合： 有理数 集合： 例 2、下列说法正确的是（） A 有理数分为正数和负数 B 有理数 -a 一定表示负数 C 正整数、正分数、负整数、负分数统称为有理数 D 有理数包括整数和分数 2、数轴（重点） 数轴的含义： （1）数轴是一条直线，可以向两边无限延伸 （2）数轴的三要素： （） 、 （） 、 （） 、这三者缺一不可 （3）数轴一般取右（或向上）为正方向，数轴的原点的选定，正方向的取向，单位长度大小的确定都是根据 实际需要规定

3、的。 （4）同一数轴的单位长度必须一致 例 1：如图所示，在数轴上，点A,B,C,D 依次表示1.5 ，-2，2，-2.5 。说出个点与原点的位置关系以及与原 点的距离是多少个单位长度？ 1.5 CA B -2.5 D -3-2-1 321 0 例 2：有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，求 c c b b a a 的值 3. 相反数（重点） 定义：（1）只有 符号不同 的两个数叫做相反数 。 （2）在数轴上分别位置原点的两侧，到原点的距离相等的两个点所表示的数叫做互为相反数。 例 1、有理数 3 1 的相反数是（） （A） 3 1 （B） 3 1 （C）3 （D）3 例 2、a 的相反数

4、是， -a的相反数是， 0 的相反数是 4、绝对值（难点） 绝对值的定义：数轴上表示a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值，记为a，读作： a 的绝对值 因为数的绝对值是表示两点之间的距离，所以一个数的绝对值不可能是负数。即：任何数的绝对值都是正数 （0 的绝对值是0） 绝对值的代数定义：1）一个正数的绝对值是它本身 2）一个负数的绝对值是它的相反数 3）0 的绝对值是0 绝对值的计算规律： （1）互为相反数的两个数的绝对值相等 （2）若ba，则 a=b 或 a=-b； （3）若0, 0, 0baba则 例 1、如果 | -a | = -a，下列成立的是（） A .a0 D.a0 例 2、的绝对

5、值是8。 例 3、若11b，则 b= ，若aa则,06。 例 4、若5, 3 ba，则ba等于（） A、2 B、8 C、 2 或 8 D、81或 例 5、已知012 2 bab (1) 求 a,b 的值 a b0 c (2) 求 2008 2008 2 a b的值 例 6、计算： 99 1 100 1 3 1 4 1 2 1 3 1 1 2 1 例 7、根据0a，解答下列问题 （1）当 x 为何值时 , 2x有最小值？最小值是多少？ （2）当 x 为何值时 , 43x有最大值？最大值是多少？ 易错点： 1、画数轴时，缺少要素 2、已知aa，则 a的值是（） A、正数 B、负数 C、非正数 D、

6、非负数 3、相反数和倒数的定义相混淆 考点 3、有理数的加减（重难点） 例 1、如果两个有理数的和是正数，那么这两个数（） 。 （1）都是正数 （2）一个是正数，一个是零 （3）两个数异号，且正数的绝对值较大 D.以上三种情况都有可能 例 2、简单计算 （1） 1 34.5 2 ；（2）4.56.7 ； （3）2517 ； （4） 512 1313 例 3、从图（ 1）中找规律，并在图（2）填上合适的数 例 4、下列说法正确的是（） A.两数相减，被减数一定大于减数 B.0 减去一个数仍得这个数 C.互为相反的两个数差为0 D.减去一个正数，差一定小于被减数 (1) -6 -2 -8 -19

7、-11 -5 (2) -4 -14 12 考点 4 有理数的乘除、乘方 例 1、 “！ ”是一种运算符号，并且值为 ！ ！ 则 2009 2010 4321!4;321! 3;21!2; 1! 1 考点 5、近似数与科学计数法 近似数：一个与实际数比较接近的数，称为近似数。 科学计数法：把一个数记作a10 n 形式（其中1 a 10，n 为整数。） 题型 1 近似值 例 1 光的速度大约是300 000 000m/s ，用科学计数法表示为（） 。 A. 9 103m/s B. 8 103m/s C. 7 103m/s D. 9 103 .0m/s 题型 2： 精确度 例 1 、 下列说法正确的

8、是（） A、近似数25.0 的精确度与近似数25 的一样 B、近似数0.230 与近似数0.023 的精确度一样 C、近似数4 千万与近似数4000 万的精确度一样 题型 3： 求近似数 例 1、 用四舍五入法，按括号里的要求对下列各数取近似值： （1） 1.999 （精确到0.01 ） ； （2） 0.03049 （保留 2 个有效数字） ； （3） 67294（精确到万位） ； （4） 5864（保留 2个有效数字） 二、易错题型： 1、计算 1 2013 与（ 1） 2013 2、关于（ a） 2 的相反数，有下列说法：等于a 2；等于（ a）2；值可能为 0；值一定是正数其 中正确的有

9、（） A 1 个B2 个C 3 个D 4 个 3、下列不是有理数的是（） A-3.14 B0 C 3 7 D 4、下列各判断句中错误的是（） A.数轴上原点的位置可以任意选定 B.数轴上与原点的距离等于8 个单位的点有两个 C.与原点距离等于-2 的点应当用原点左边第2 个单位的点来表示 D.数轴上无论怎样靠近的两个表示有理数的点之间，一定还存在着表示有理数的点。 5、一个数和它的倒数相等，则这个数是（） 6、正数 a 的绝对值为 _；负数 b 的绝对值为 _ 7、如果规定符号“*”的意义是a*b=ab/ （a+b） ，求 2*（-3） *4 的值。 8、已知 |x+1|=4 ， （y+2）

10、2=4，求 x+y 的值。 三、拓展题型 1、有理数的巧算 （1）利用运算律 50 25 24 9 5 1 4 1 3 1 2 1 5432 （2）裂项相消 例1：计算 20102009 1 43 1 32 1 21 1 变式一：计算： 20092007 1 75 1 53 1 31 1 归纳小结： baab ba11 ； 1 11 1 1 nnnn ； mnnmnn m11 练习： 1、设三个互不相等的有理数，既可表示为aba, 1的形式，又可表示为b a b ,0的形式，求 20001999 ba的值 2、已知nm,互为相反数，ba,互为负倒数，x的绝对值等于3， 求 2003200123

11、 1abxnmxabnmx的值 2、绝对值 1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。 脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。 去绝对值符号法则： 0 0 0 0 a a a a a a 2、恰当地运用绝对值的几何意义 从数轴上看a表示数a的点到原点的距离； （1）去绝对值符号法则 例 1：已知3, 5 ba且abba那么ba。 变式一：已知 , 3,2, 1cba 且 cba ，那么 2 cba。 （2）绝对值的非负性 例 1：已知130ab，则_ab 变式：、已知 022aab ，求 20062006 1 22 1 11 11 bababaab 的值 拓展练习： 1、若

12、m是有理数，则mm一定是（） A零 B 非负数 C 正数 D 负数 2、满足baba成立的条件是（） （湖北省黄冈市竞赛题） A0ab B 1ab C 0ab D 1ab 3、若 0ab ，则 ab ab b b a a 的值等于。 3、数轴与绝对值结合考查（数形结合） 1、利用数轴能形象地表示有理数； 例 1：已知有理数a在数轴上原点的右方，有理数b在原点的左方，那么（） Abab Bbab C 0ba D 0ba 变式一：如图ba,为数轴上的两点表示的有理数，在abbaabba,2,中，负数的个数有（） A1 B2 C 3 D 4 2、利用数轴能直观地解释相反数； 例 2：如果数轴上点A到

13、原点的距离为3，点 B到原点的距离为5，那么 A、B两点的距离为。 变式：已知数轴上有A、B两点， A、B之间的距离为1，点 A 与原点 O的距离为3，那么所有满足条件的点B 与原点 O的距离之和等于。 3、利用数轴解决与绝对值相关的问题。 例 4： 有理数cba,在数轴上的位置如图所示，式子cbbaba化简结果为（） Acba32 B cb3 C cb D bc 变式：已知有理数cba,在数轴上的对应的位置如下图：则bacac1化简后的结果是（） A1b B 12ba C cba221 D bc21 有理数的巧算 【赛点解析】 1、有理数的运算时初中代数中最基本的运算，在运算过程中，根据题目

14、的结构特点灵活采用算法和技巧，不 仅可以简化运算，提高解题速度，而且可以养成勤于动脑，善于观察到良好习惯。 Oab Oa b -1 1c Oab-1c 2、有理数的相关概念和性质法则 有理数的运算法则有理数的运算律及其性质 3、常用运算技巧 巧用运算律凑整法拆项法（裂项相消）分组相约法倒写相加法 错位相减法换元法观察探究、归纳法 【专题精讲】 【例 1】计算下列各题 323333 33251233 ()0.750.5()(1)()4() 44372544 1 271 39 23 ( 0.125)( 1 )( 8)() 35 【例 2】计算：12345678910 11 122005200620

15、072008 【例 3】计算： 111111 261220309900 1111 133 55799 101 反思说明：一般地，多个分数相加减，如果分子相同，分母是两个整数的积，且每个分母中因数差相同，可 以用裂项相消法求值。 111 (1)1n nnn 11 11 () ()n nkknnk 1111 (1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn 1111 () (1)(1)211nnnn 【例 4】（第 18 届迎春杯）计算： 1111 2481024 【例 5】计算： 11212312341235859 ()()()() 23344455556060606060 【例 6】（第 8

16、 届“希望杯” ）计算： 11111111111111 (1)()(1)() 23200923420102320092010232009 【例 7】请你从下表归纳出 33333 1234n的公式并计算出： 33333 123450的值。 【实战演练】 1、用简便方法计算：999 998998999 998 999999998 2、 （第 10 届“希望杯”训练题） 11111 (1) (1)(1)(1)(1) 20042003100210011000 3、已知 1999 19991999200020002000200120012001 , 1998 1998199819991999199920

17、0020002000 abb 则abc 12345 246810 3691215 48121620 510152025 4、计算： 111 11 13 1513 15 172931 33 5、 （ “聪明杯”试题） 2 1 2424824 () 13 926 1839 nnn nnn 6、 11111 (1)(1)(1)(1)(1) 1 324351998200019992001 的值得整数部分为（） A1 B2 C3 D4 提示： 22 (1)21nnn 7、 48121640 1 3355 7791921 8、计算： 232010 12222S 9、计算 111 1 12123123100

18、 的值 . 10、计算： 1111 3201024 111111111 1(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1) 223234232010 的值。 七年级上学期复习要点归纳 第一章有理数 自然数 ：像 0,1,2,3,4,5,6 这样的数叫做自然数（提示:自然数包含0） 。 正整数 ：像 1,2,3,4,5 100,101 这样的数叫做正整数。 负整数： -100,-99 -5,-4,-3,-2,-1 这样的数叫负整数。0 既不是正数也不是负数。 整数 ：正整数， 0，负整数统称为整数。 正分数： 像 1 2 15 ,0.1,5.32 2 37 这样的数叫正分数。 负分数 ：像 52

19、1 0.5, 150.25 237 这样的数叫负分数。 分数 ：分数包括正分数和负分数。分数不包括0，有限小数、无限循环小数都是分数。 有理数定义分有理数按性质分 典型例题一： 1， 0.1，-789，25，2，0，-20，-3.14，200%， 6/ 7 正整数集 负整数集 正分数集 负分数集 正有理数集 负有理数集 自然数集 有理数集 非负数 ：包含 0 和正数非正数： 包含 0 和负数 典型例题二： 最小的自然数 _，最大的负整数为_，最小的正整数位_，最大的非正数为_，没有最大的正整数 和最小的负整数。判断对错：整数一定是自然数（） ，自然数一定是整数（） 。 数轴： 数轴三要素：原点

20、，正方向和单位长度。负数都在原点左边，正数都在原点右边。数轴上的点到原点的距离都是非负数。 原点的右边离原点越远的点表示的数越大，原点的左边离原点越远的点表示的数越小。 典型例题三： 在数轴上点A 表示 4 的点，现在把A 点移动 3 个单位长度，现在A 点的位置 _。 在数轴上点A 表示 -4 的点，点 B 表示 -5 的点，那么点A 和点 B 之间的距离为 _单位长度。 相反数： 只有符号不同的两个数叫做互为相反数(a+b=0)。相反数几何定义：在数轴上距离原点距离相等的两个点互为相反数。 相反数等于它本身的数是0，相反数大于它本身的数是负数。 设 a 表示一个有理数，a 一定是负数吗？

21、当 a 为正数时， a 表示 _负数 _, 当 a 为 0 时， a 表示 _0_ 当 a 为负数时， a 表示 _正数 _. 典型例题四： 点 a距原点的距离为4，那么 a 点为 _.1.6 的相反数为 _, 2x 的相反数为 _,ab 的相反数是 _.如果 a=5，那么 a=_。 数轴上表示互为相反数的两个数的点之间的距离为10，这两个数为 _。 如果 a=a，那么表示a 的点在数轴上的什么位置_。 符号化简： 有多少个 +号不影响结果（ +号可省略）， “”号的个数为奇数个时只取一个“”号。“”号的个数为偶数个时， 不影响结果。 典型例题五： 化简下列各数：(68) (+0.75) (6

22、) (+3.8) 绝对值：数轴上表示数啊a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，计做 a 。 3 和 3 到原点的距离是一样的， 所以 333。 绝对值出来是一个非负数。 一个正数的绝对值等于它本身 ；一个负数的绝对值是它的相反数 ；0 的绝对值等于0,；互为相反数的两个数绝对值相等 。非负 数的绝对值是 它本身 。 如果 a0,那么 a =a，如果 a=0，那么 a =0 如果 a0，那么 a =a 典型例题六 ：如果 a 的绝对值 3a，那么 a=_. 如果10a，那么 a=_。如果14a，那么 a=_ 如果 130ab ，那么 a-b+1=_。 写出绝对值小4 的所有整数 _，其中正整数

23、为 _。 比较大小： 正数大于 0,0 大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。 在数轴上，越往右边数越大。 典型例题七：画出数轴并在数轴上标出，4，3.5， 1 3 ， 1 2 ， 1.5，3.5，并用 连接。 有理数加法（默写3 条法则）： 加法运算规律：小学学过的加法交换律、结合律，在有理数的范围内同样适用，即：两个数相加，交换加数的位置和不变，式 子表示为a+b=b+a。三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。用式子表示（a+b）+c=a+（b+c） 。式 子中的字母可以是正数也可以是负数。 典型例题八： 2.48+ （+4.33 ）+（7.52 ）+（

24、 4.33 ） 23+ （-17 ）+6+（-22 ） 12511 43643 1332 3258 4545 2.检修小组从A 地出发，在东西方向的道路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中行驶记录如下（单位： km） ： 4，+7， 9，+8，+5， 3， 3. （1）求收工时距A 地多远？ （2）若每千米耗油0.5 升，问从出发到收工共 有理数减法 ：减去一个数等于加上这个数的相反数，字母ab=a+(b)。 典型例题九： 较小的数减去较大的数，所得的差一定是（） A.0 B.正数C.负数D.0 或负数 5028+（ 24）（ 22） 111 0.2513 232 19.8（

25、 20.3） 20.210.8 212 32.44 335 乘法法则（默写） ： 倒数： 乘积是 1 的两个数互为倒数(1ab). （与互为相反数区分开来，互为相反数的符号不同；互为倒数符号相同，分子 分母调换位置） （0 没有倒数，倒数是它本身的数是1 和 1） 。 1 2 5 的相反数为 1 2 5 1 2 5 的倒数为 5 11 典型例题十： 2 2 3 的倒数的绝对值是_. 8250.04 634 1 745 111 48 234 2.5 的倒数为 _ 多个数乘法规律：几个不是 0 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。 乘法交换律： 两个数相乘，交

26、换因数的位置，积相等。ab=ba 乘法结合律： 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。（ab）c=a(bc) 乘法分配率： 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即a（b+c）=ab+ac 典型例题十一 : 111 12 462 111 5777127 333 24 495 25 521abab,则46的值为 _ 除法法则（默写） ：除法是乘法的逆运算。 如果 ab(b 不等于 0)的商是负数，那么 a与 b（ 异号） 1 ( 1)( 5) 5 111 313 223 1 12100 12 两数的积是1，已知一数是 3 2 7 ，求另一个数

27、加减乘除混合运算：先乘除后加减，同级运算从左往右依次计算。 典型了例题十二： 11 66 66 231 42 344 5721 129336 7377 1 84812 乘方： 求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在 n a中， a叫做底数， n 叫做指数。 2 6中，底数是 6，指数是 2，运算结果为36，读作：负6 的平方。在 2 6中，底数是6，指数是 2，运算结果是 36,读 作 6 的平方的相反数。 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0 的任何正整数次幂都是0. 由 2 0a可得， a=0. 由 2 20a可得， a=2 由 24 2

28、10ab可得， a=2，b=1 典型例题十三： 23 11 5 1 2 3 4 22 4 1 乘方混合运算的规则：1.先乘方，在乘除，最后加减； 2.同级运算，从左到右依次进行 3.如有括号，先做括号内的运算；按小括号、中括号、大括号依次进行。 典型例题十四： 23 43526 2 41 123 6 科学记数法： 把一个大于10 的数表示成10n a的形式（其中a 大于或等于1 且小于 10，n 是正整数）。 典型例题十五： 用科学记数法表示：12500000000=_； 102500000=_; 把原数写在横线上： 6 2.03 10=_; 7 5.8 10=_; 0.0158(精确到 0.

29、001)_，304.35（精确到个位）_ 1.804（精确到0.1）_， 1.804（精确到0.01）_。 乘方 ：求 n 个相同的因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。在 n a中， a 叫做底数，n 叫做指数。 典型例题： 4 2其中底数为 _，指数为 _，幂是 _，读作 _。 4 2其中底数为 _，指数为 _，幂是 _，读作 _。 用幂的形式可表示为_. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。显然，正数的任何次幂都是正数，0 的任何正整数次幂都是0. 典型例题十六： 若 2 9x，则 x 的值是 _，若 3 8a，则 a 的值是 _。 如果 2 110xb，那么 20032004 xb_。 有理数的混合运算规律： 1.先乘方，再乘除，最后加减； 2.统计运算，从左到右进行 3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 典型例题十七： 3 342 2 93 3 10 1224 42 2 104332 2 4 1 123 6 2 2 32 421 110.522 3 16x的最小值是 _，此时 2015 x_.