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1、数学课程标准中圆的考查要求 1、理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系。 2、探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征。 3、了解三角形的内心和外心。 4、了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线。 5、会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积。 九年级第一轮复习圆 吕潭二中 09年 12 月 年份题号题型考点相关的考点所占比例 07 年河南 10 填空 1、切线的性质 2、圆心角与圆周角的关系 四边形的内角和 12.5% 14 填空 1、扇形的面积
2、公式 2、同圆的半径相等 1、菱形的性质 2、 等边三角形的性质 20 解答题同圆的半径相等 1、三角形全等 2、 正方形的性质 3、 直角 三角形的性质 08 年河南 12 填空同弧所对的圆周角相等正切的定义 12.5% 14 填空扇形的面积公式勾股定理 21 解答题垂径定理 1、勾股定理 2、 点坐标的定义 09 年河南 11 填空 1、圆心角与圆周角的关系 2、切线的性质 直角三角形的性质 5.0% 15 填空圆锥侧面面积公式 1、勾股定理 2、 等腰直角三角形的判定及性质3、正 方形的性质、 09 年重庆 6 填空圆心角与圆周角的关系 5.3% 14 填空两圆的位置关系运用 09 年哈
3、尔滨 8 填空圆锥侧面面积公式 9.2% 15 填空垂径定理勾股定理 22 解答题同圆的半径相等三角形全等的判定及性质 09 年新疆 3 选择两圆的位置关系运用 12.7% 13 填空 1、圆心角与圆周角的关系 2、直径所对的圆周角是直角 1、锐角三角函数 2、直角三角形的性质 3、角平分线的性质 18 解答题 1、切线的性质 2、圆心角与圆周角的关系 3、直径所对的圆周角是直角 4、扇形的面积公式 1、等腰三角形的性质 2、勾股定理 3、三角形的面积公式 4、三角形的中位线性质 09 年云南 6 选择圆心角与圆周角的关系三角形的内角和 9.7% 13 填空弧长公式 23 解答题 1、切线的性
4、质 2、直径所对的圆周角是直角 1、 二次函数最值考察 2、 三角形的面积公式 09 年成都8 选择弧长公式17.0% 11 填空 1、同弧所对的圆周角相等 2、直径所对的圆周角是直角 1、等腰三角形的性质 2、锐角三角函数 20 解答题同圆的半径相等 1、勾股定理 2、三角形相似 3、三角形全等 中考命题趋势及复习对策： 根据新课标要求， 有关圆的证明题的难度有所降低，这部分的题型主要以填空题、选择题、计算题为主， 题目较简单， 在中考试卷中， 所占的分值为 11 左右，故在复习时应抓住基础知识进行复习，并且注意将圆的有关知识与其他各讲的知识进行联系，切忌太难的几何证明题 典型例题分析 1（
5、2009 年乌鲁木齐第13 题）如图 1， 点CD、在以AB为直径的O上，且CD平分ACB， 若21 5A BC B A， 则CD的长为 分析：要想求出弦CD的长，就要它与圆的半径或直径联系起来，这样很自然地让我们想到这点C 作 O的直径，即达到 解决问题的目的。 解： 过点 C作 O的直径 CE ，连接 DE 。 OB OC OCB OBC 15 0 AB是 O的直径 ACB 90 0 又 CD平分 ACB BCD 45 0 DCE BCD OCB 45 0150 30 0 CD是 O的直径 COE 90 0 在 RT CDE中 COS DCE CE CD A B C D O E 图1 即
6、COS30 0 2 CD CD 2COS30 0 3 2（2009 年乌鲁木齐第18 题） 如图 5， 在ABC中，ABAC， 以AB为直径的O交BC于点M，MNAC 于点N （1）求证MN是O的切线； （2）若1202BACAB ，求图中阴影部分的面积 分析 1：要想证明 MN是 O的切线， 须连接 OM 证明 OM MN即可， 本题的关键是直径AB所对的圆周角AMB和等 腰三角形ABC的三线合一的性质的结合。 证明 ：连接 OM ，AM AB是 O的直径 AM BC 又 AB BC BM MC 又 OB OA OM AC 又 MN AC OM MN OM 是 O的半径 MN是 O的切线 分
7、析 2：因为图中阴影部分是不规则的图形，所以它的面积应该由特殊图形面积的和差得到，不难看出，S阴S ABCSOBMS扇形 MOASMNC 解法：（略） 3 （2008 年河南第21 题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（ 10，0） ，点B的坐标为（ 8，0） ，点C、 D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形求点C的坐标 B A C M N O 图2 H y x D BAM O E C 思路分析：本题利用点的坐标意义，易过点C作 x 轴垂线，将点C坐标的求解转化成了垂线段求解，由条件A （10，0） ，B （8，0）易知圆中的有关线段， 如半径为5，弦长 CD为 8，观
8、察图形的特征，易想到垂径定理，构造垂径图，即可求解。 解： 过点 C作 CE OA于 E，过点 M作 MH CD于 H，连接 CM A（10，0） ，M为圆心 CM OM 5 又 B （8，0） ，四边形OCDB 是平行四边形 CD 8 MH CD CH 2 CD 4 在 RT CHM 中， HM 22 54 3 又 CD OB ，CE OA ，MH CD 四边形CEMH 为矩形 EM CH 4 OE OM EM 1，CE HM 3 点 C的坐标是（ 1，3） 评注：本题是一道坐标几何题，综合考查了点坐标意义，平行四边形性质，矩形的判定与性质，垂径定理及勾股定理等基础知识，体现了转化思想、数
9、形结合思想等基本数学思想方法。本题总的来说难度不大，学生具备扎实基础知识，基本的数学分析能力、运算能力，即可顺利解答，它给予我们老师 的启示是，要注重三基方面的教学，夯实学生必备的数学基础。 4 （ 2007 年河南第20 题）如图，ABCD是边长为1 的正方形，其中 DE、 EF、 FG的圆心依次是点A、 B、C F G D E C B A （1）求点D沿三条圆弧运动到G所经过的路线长； （2）判断直线GB与DF的位置关系，并说明理由 分析思路：此题第（1）问观察图形，以正方形性质为依据，应用弧长公式，即可求解；第（2）是结论探索题，在充分观察图形的基础上，易观察到 GBC FDC ，利用互
10、余及垂直的定义即可判断直线GB与 DF的位置关系：GB DF。 解： （1） ABCD 是边长为1 的正方形， DE、 EF、 FG的圆心依次是点A、B、C ADAE 1，BE BF2，CFCG 3 点D沿三条圆弧运动到G所经过的路线长为 l DEl EFl FG 90 (123) 180 3 (2) 判断：直线GB DF 理由如下：在RTGCB和 RTFCD中 BCCD BCGDCF GCFC RTGCB RT FCD F G G GDF 90 0 直线 GB DF 评注：本题设置两问，第（1）问运用弧长公式解决路线长，体现了学科的基础性，第（2）结论探索题，从而使本题里有了探究性，它要求学
11、生有把握 图形能力和综合分析问题的能力。 此题总的来说难度不大，但数形结合思想体现的尤为突出，贯穿本题始终。 给予一线教师的启示是，在课堂师生互动知识形成的过程中，要知识与思想方法并重，使数学思想有机地渗透于知识发生发展的探究过程中。 中考数学圆的第一轮复习题 圆是中考的必考内容，也是创新意识培养的好素材. 题型多样，有选择、填空，解答题，分值一般在10 分左右 . 你看在2009 年的中考试题中，就涌现 大量的与圆有关的创新型问题！ 知识梳理 知识点 1：圆及有关的线段和角 例 1：如图，四个边长为1 的小正方形拼成一个大正方形，A、 B、O是小正方形顶点，O的半径为1，P是O 上的点，且位
12、于右上方的小正方形内，则 APB等于（） A30 B45 C60 D90 答案： B 例 2：如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24 米，拱的半径为13 米，则拱高为（） A5 米 B8 米 C 7 米 D53米 思路点拨：本题考查垂径定理及勾股定理的有关知识，设该弧所在圆的圆心为O ， 则点 D一定在半径OC上， CD AB ，由垂径定理得AD=1 2 AB=12， 在 RtADO 中， OA=13 ，OD=5 ，CD=13 5=8 答案： B 练习： 1. 如图，AOB是O的圆心角，AOB=80，则弧AB所对圆周角ACB的度数是 ( ) A 40 B45 C 50 D80
13、2. 两个同心圆的半径分别为3cm和 5cm ，弦AB与小圆相切于 点C，则AB的长为（） A4cm B5cm C6cm D8cm 3. 如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上如果它们外缘边上的公共点 P在小量角器上对应的度数 为65，那么在大量角器上对应的度数为_（只需写出090的角度） A B O C 答案： 1. A 2. D 3.50. 最新考题 1. （2009山西省太原市）如图，在RtABC中，C=90，AB=10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等 于（） A5 3B5 C52D6 2. （2009山西省太
14、原市）如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OAABBO的路径运动一周设OP为s，运动时间为t，则下列图形能 大致地刻画s与t之间关系的是（） P A O B s t O s O t O s t O s t ABCD B C D A 答案： 1. A 2. C 知识点 2：与圆有关的位置关系 例 1：如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，90C，且ABADBC，AB是 O的直径，则直线CD与 O的位置关系为（） A相离 B相切 C相交D无法确定 思路点拨：本题难度较大，要判断直线与圆的位置关系，需将其转化为圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间的大小关系. 解：图中圆心O到直线 CD的距
15、离即为梯形ABCD中位线的长，即 d=)( 2 1 BCAD，而ABADBC，于是 dAB 2 1 ，即 dr ，故直线 CD与 O 相交 . 所以选 C. 例 2：如图，直线AB 、CD相交于点O ， AOD=30 ，半径为1cm的 P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm如果 P以 1cm/s 的速度沿由A向 B 的方向移动，那么（）秒钟后 P与直线 CD相切 4 8 4 或 6 4 或 8 思路点拨：本题是一道设计比较新颖的题目，要判断几秒种后P与直线 CD相切，则需要计算出当P与直线 A D C B O CD相切时，圆心P 移动的距离，如图，在移动的过程中，P 与直线 CD相切有两
16、种情况，如图，当圆心运动到P1、 P2的位置时与直线CD相切，只要求到 PP1，PP2长度即可 . 解：当圆心移动到P1、P2的位置时，设P1与直线 CD切于 E点，则 P1E=1，因为 POD=30 ，所以OP1=2，所以 PP1=6-2=4，同样可求PP2=8cm ，所以经过4 秒或 8 秒钟后 P与直线 CD相切 . 故选 D. 例 3：右图是一个“众志成城，奉献爱心”的图标，图标中两圆的位置关系是( ) A 外离 B 相交 C 外切 D 内切 思路点拨：观察图形知，两个圆只有一个交点，且一个圆上的点都在另一个圆的外部，所以它们的位置关系是外切.答案选 C 练习： 1. O的直径为12c
17、m，圆心 O到直线l的距离为7cm，则直线l与 O的位置关系是（） . 相交. 相切. 相离. 不能确定：在平面直角坐标系中，2. 以点（ 2，3）为圆心， 2 为半径的圆必定（） A 与x轴相离、与y轴相切 B与x轴、y轴都相离 C 与x轴相切、与 y轴相离 D与x轴、y轴都相切 3.OA 平分 BOC ，P是 OA上任一点（ O除外） ，若以 P为圆心的 P与 OC相离， ?那么 P与 OB的位置关系是（） A相离 B相切 C相交 D相交或相切 答案： 1. C. 2. A. 3. A 最新考题 1. （ 2009 年四川泸州）已知O 1与O2的半径分别为5cm和 3cm ，圆心距020=
18、7cm，则两圆的位置关系为（） A外离 B外切 C相交 D内切 2.(2009年山东滨州 ) 已知两圆半径分别为2 和 3，圆心距为 d，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（ ） 3. （ 2009 年山西省）如图，AB是 O的直径， AD是 O的切线，点C在 O上， BCOD, AB 2,OD3, 则 BC的长为（） A 2 3 B 3 2 C 3 2 D 2 2 4. （ 2009 绵阳）一个钢管放在V形架内，右图是其截面图，O为钢管的圆心如果钢管的半径为25 cm， MPN 60 ，则 OP ( ) A50 cm B253cm C 3 350 cm D503cm 答案： 1.C 2.C
19、 3.A 4.A 案 B. 例 2：如图，扇形AOB的圆心角为60，半径为6cm，C，D是AB的三等分点，则图中阴影部分的面积和是_ 思路点拨：依题意C，D是AB的三等分点可知把扇形分成三等分，结合图形可以看出阴影部分的面积其实就是扇形面的三分之一，运用扇形面积公式 即可解决 .答案： 2 2cm 练习： 1. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC的夹角为120，AB长为 30 cm，贴纸部分BD长为 20 cm，贴纸部分的面积为（）. A.800 cm 2 B.500 cm 2 C. 3 800 cm 2 D. 3 500 cm 2 2. 两同心圆的圆心是O，大圆的半径是以OA
20、，OB分别交小圆于点M, N已知大圆半径是小圆半径的3 倍，则扇形 OAB的面积是扇形OMN 的面积的 （）. A. 2 倍 B. 3倍 C. 6倍 D. 9倍 3. 半径为R的圆内接正三角形的面积是（） A 2 3 2 RB 2 RC 2 3 3 2 RD 2 3 3 4 R 答案： 1. C 2.D. 3. C 最新考题 1. （2009?湖北荆州）如图，两同心圆的圆心为O，大圆的弦AB切小 圆于 P，两圆的半径分别为6，3，则图中阴影部分的面积是（） A9 3B6 3 C9 33D6 32 2. （ 2009 年湖南长沙）如图，已知O的半径6OA，90AOB， O B A P O 9 3
21、 6 3 9 33 B A 则AOB所对的弧AB的长为（） A2B3C6D12 3. （ 2009 年天津市）边长为a的正六边形的内切圆的半径为（） A2aBaC 3 2 aD 1 2 a 答案： 1. C 2. B 3. C 知识点 4：圆锥的面积 处有一老鼠正在偷吃粮食小猫从 B处沿圆锥的表面去偷袭这 只老鼠，则小猫所经过的最短路程是_ （结果不取近似数） 思路点拨：因为小猫从 B处沿圆锥的表面去偷袭这只老鼠，故将此圆锥展开得到一个扇形，利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长可得 6 6 180 n ，解之 得 n=180 0，又老鼠母线 AC的中点P处，故展开后的BAP 90 0 ，再利用两点
22、之间，线段最短可得小猫所经过的最短路程是线段BP的长，利用勾股定理 计算得 22 63453 5BP. 练习： 1. 如图，扇形的半径为30cm ，圆心角为120 0，用它做成一个圆锥的侧面，则圆锥底 面半径为（） . 10cm 20cm 10cm 20cm 2. 如图，在ABC中，C=90，ACBC，若以AC为底面圆半径、BC为高的圆锥的侧面积为，以BC为底面圆半径、AC为高 的圆锥的侧面积为S2，则（） AS1=S2BS1S2 CS1S2DS1，S2有大小关系不确定 答案： 1.A 2.B 最新考题 1. （ 2009 年哈尔滨）圆锥的底面半径为8，母线长为9，则该圆锥的侧面积为（） A3
23、6 B48 C72 D144 2. （ 2009 年郴州市）如图已知扇形AOB的半径为 6cm ，圆心角的度数为120，若将此扇形围成一个 圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（） 120 B O A 6cm A 2 4 cm B 2 6 cm C 2 9 cm D 2 12 cm 答案： 1. C. 2. D 过关检测 一、选择题 1. 下列图案中，不是中心对称图形的是( ) 2点P在O内，OP=2cm ，若O的半径是 3cm ，则过点P的最短弦的长度为（） A1cm B2cm C5cm D2 5cm 3已知A为O上的点，O的半径为1，该平面上另有一点P，3PA，那么点P与O的位置关系是（） A点P
24、在O内B点P在O上C点P在O外D无法确定 A B C D (第 1 题图 ) 4如图，ABCD， ， ，为O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿OCDO路线作匀速运动，设运动时间为t（s） ( )APBy，则下列 图象中表示 y与t之间函数关系最恰当的是（ ） 5. 在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心， 2 为半径的圆必定（） A 与 x轴相离、与 y 轴相切 B与 x轴、 y 轴都相离 C 与 x轴相切、与 y 轴相离 D与 x轴、 y 轴都相切 6 如图 , 若的直径AB与弦 AC的夹角为30, 切线 CD与 AB的延长线交于点D,且 O的半径为2, 则 CD的长为( ) A. 2 3
25、 B. 4 3 C.2 D. 4 第 5 题图 A B C D O P B t y 0 45 90 D t y 0 45 90 A t y 0 45 90 C t y 0 45 90 P A O B （第 8 题） BDA C O P Q D B A C R 7 如图，已知 O是以数轴的原点O为圆心，半径为 1 的圆， 45AOB , 点P在数轴上运动，若过点P且与 OA平行的直线与O有公共点 , 设 OPx，则x的取值范围是（ ） AO x2 B 2 x 2 C 1 x1 D x2 8 如图，PQR是O 的内接三角形 ，四边形ABCD是 O 的内 接正方形，BC QR, 则DOR的度数 是
26、（） A.60 B.65 C.72 D. 75 9. 如图， A 、 B 、 C 、 D 、 E 相互外离，它们的半径都是1，顺次连结五个圆心得到五边形 ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积 之和是（） AB1.5C2D 2.5 10古尔邦节，6 位朋友均匀地围坐在圆桌旁共度佳节圆桌半径为60cm ，每人离圆桌的距离均为10cm ，现又来了两名客人，每人向后挪动了相同的距 离，再左右调整位置，使 8 人都坐下， 并且 8 人之间的距离与原来6 人之间的距离 （即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等 设每人向后挪动的距离为x， A B C D E 第 10 题图 根据题意，可列方程（） A
27、2 (6010)2 (6010) 68 x B 2 (60)2 60 86 x C2 (6010)62 (60)8xD2 (60)82 (60)6xx 二 、填空题 11. 如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中，B点坐标为 (4，4) ，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 . 12 如图，在 ABC中， A=90， AB=AC=2cm ， A与 BC相切于点D，则 A的半径长 为 cm. 第 11 题图 x y C B D A O （第 13 题） E O A B C M N （第 16 题） 60 E O A B D C 第 15 题图 A B D C 第 12 题 14相切两圆的半
28、径分别为10 和 4，则两圆的圆心距是 15 如图，AB是圆O的直径，弦AC、BD相交于点E，若BEC = 60，C是BD 的中点，则tan ACD = 16.点M、N分别是正八边形相邻的边AB、BC上的点，且AMBN，点O是正八边形的中心，则MON度 17 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AB交小圆于 C、D两点，ACCDDB，分别以C、D为圆心，以CD为半径作圆 若AB6cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2 18. 市园林处计划在一个半径为10m的圆形花坛中，设计三块半径相等且互相无重叠部分的圆形地块分别种植三种不同花色的花卉，为使每种花种植面积 最大，则这三块圆形地块的半
29、径为 m（结果保留精确值） 三、解答题 19请你类比一条直线和一个圆的三种位置关系，在图、中，分别各画出一条直线，使它与两个圆都相离、都相切、都相交，并在图11中也 A B C O D 第 17 题图 画上一条直线，使它与两个圆具有不同于前面3 种情况的位置关系 20 已知：如图，在ABC中，AB=AC， 以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D， 切线DEAC， 垂足为点E 求证： （1） ABC是等边三角形；（2）CEAE 3 1 21 如图，BD是O的直径，AB与O相切于点B，过点D作OA的平行线交O于点C，AC与BD的延长线相交于点E (1) 试探究A E与O的位置关系，并说明理由； (
30、2) 已知ECa，EDb，ABc，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算O的半径r的一种方案： 你选用的已知数是；写出求解过程（结果用字母表示） 22 如图，点A，B在直线MN上，AB11 厘米，A，B的半径均为1 厘米A以每秒 2 厘米的速度自左向右运动，与此同时， 第 19 题图 A B C DEO a b c A D B O C E B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r1+t（t0） （1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式； （2）问点A出发后多少秒两圆相切？ 参考答案： 1. c 2. D 3. D 4.C 5. A 6
31、.A 7.A 8 D 9.B 10.A 19. 答案不唯一可供参考的有： 相离： 相切： A B N M 相交： 其它： 20.证明：（ 1）连结 OD得 OD AC BDO= A 又由 OB OD得 OBD ODB OBD= A BC AC 又 AB=AC ABC是等边三角形 (2)连结 CD ，则 CD AB D是 AB中点 AE 1 2 AD=1 4 AB EC=3AE AE=1 3 CE 21. 解： （ 1）A E与O相切证明略 （2）选择a、b、c，或其中2 个 解答举例： 若选择a、b、c， 方法一：由CDOA， ab cr ，得 bc r a 方法二：在RtABE中 ，由勾股定
32、理 222 (2 )()brcac，得 2 2 2 aacb r 方法三：由RtOCERtABE， 2abr rc ，得 2 8 4 bbac r 若选择a、b 方法一：在Rt OCE中 ，由勾股定理： 222 ()arbr，得 22 2 ab r b ； 方法二：连接BC ，由DCECBE，得 22 2 ab r b 若选择a、c；需综合运用以上多种方法，得 2 2 2 c aac r ac 22 解：（ 1）当 0t5.5 时，函数表达式为d11-2t； 当t5.5 时，函数表达式为d2t -11 （2）两圆相切可分为如下四种情况： 当两圆第一次外切，由题意，可得11 2t1 1t，t3； 当两圆第一次内切，由题意，可得11 2t1t1，t 1 3 ； 当两圆第二次内切，由题意，可得2t 111t1，t11； 当两圆第二次外切，由题意，可得2t 111t1，t13 所以，点A出发后 3 秒、 3 11 秒、 11 秒、 13 秒两圆相切