中考新定义题型.pdf

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1、新概念题目类型 一解答题（共8 小题） 1 （ 2012?绍兴）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心 举例：如图1，若 PA=PB，则点 P 为ABC 的准外心 应用：如图2，CD 为等边三角形ABC 的高，准外心P在高 CD 上，且 PD=AB ，求 APB 的度数 探究：已知 ABC 为直角三角形，斜边BC=5 ，AB=3 ，准外心P 在 AC 边上，试探究PA 的长 2 （ 2012?舟山）将 ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转度，并使各边长变为原来的n 倍， 得 ABC，即如图 ，我们将这种变换记为 ，n （1）如图 ，对

2、 ABC 作变换 60 ，得AB C，则 SAB C：SABC= ； 直线 BC 与直线 BC所夹的锐角为度； （2）如图 ，ABC 中， BAC=30 ， ACB=90 ，对 ABC 作变换 ，n得AB C， 使点 B、C、C 在同一直线上，且四边形ABBC 为矩形，求和 n 的值； （3）如图 ，ABC 中，AB=AC ，BAC=36 ，BC=1 ，对ABC 作变换 ，n得AB C ， 使点 B、C、B 在同一直线上，且四边形ABB C 为平行四边形，求和 n 的值 4 （ 2013?仙桃）一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩 下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩

3、下一个矩形，称为第二次操作； ；若在第 n 次操作 后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n 阶奇异矩形 如图 1，矩形 ABCD 中，若 AB=2 ， BC=6，则称矩形ABCD 为 2 阶奇异矩形 （1）判断与操作： 如图 2，矩形 ABCD 长为 5，宽为 2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形， 并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由 （2）探究与计算： 已知矩形 ABCD 的一边长为20，另一边长为a（ a20） ，且它是3 阶奇异矩形，请画出矩 形 ABCD 及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a 的值 （3）归纳与拓展： 已知矩形 ABCD 两邻边的长分别为b，c（ b

4、c） ，且它是4 阶奇异矩形，求b：c（直接写 出结果） 5 （ 2014?舟山）类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四 边形叫做 “ 等对角四边形” （1）已知：如图1，四边形ABCD 是“ 等对角四边形 ” ， A C， A=70 ， B=80 求 C， D 的度数 （2）在探究 “ 等对角四边形 ” 性质时： 小红画了一个 “ 等对角四边形 ” ABCD （如图 2） ，其中 ABC= ADC ，AB=AD ，此时她 发现 CB=CD 成立请你证明此结论； 由此小红猜想：“ 对于任意 等对角四边形，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等” 你 认为她的猜想正确吗？若

5、正确，请证明；若不正确，请举出反例 （3）已知：在 “ 等对角四边形 ” ABCD 中， DAB=60 ， ABC=90 ，AB=5 ，AD=4 求对 角线 AC 的长 6. 我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形” （1）概念理解： 请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子； （2）问题探究； 如图 1，在等邻角四边形ABCD 中， DAB= ABC ，AD ，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P， 连结 AC ，BD ，试探究AC与 BD的数量关系，并说明理由； （3）应用拓展； 如图 2，在 RtABC与 RtABD中， C= D=90， BC=BD=3 ， AB=5 ，将

6、Rt ABD绕着点 A 顺时针旋转角 （ 0 BAC ）得到 Rt AB D（如图 3），当凸四边形AD BC 为等邻角四边形时，求出它的面积 7 （ 2014?慈溪市模拟）定义：如果一个等腰直角三角形的一个顶点为矩形的顶点，另两个 顶点分别在矩形的边上，且任何两个顶点都不在矩形的同一边上，我们这样的等腰直角三角 形为矩形的 “ 内接优三角形 ” 如图， 矩形 ABCD 中， 点 E、 F 分别在边CD、 BC 上， AEF=90 ， AE=EF ，AEF 为矩形 ABCD 的内接优三角形 （1）正方形是否存在内接优三角形？ （2）已知 AEF 为矩形 ABCD 的内接优三角形 若 AD=4

7、，AB=7 ，求 AF 的长； 设 AB=a ，AD=b （ab） ，问是否存在斜边长为b 的内接优三角形？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由； 若CEF 的外接圆与直线AB 相切，求此时的值 8 （ 2013?慈溪市模拟）某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“ 锐（钝）角三角形有没有 类似于勾股定理的结论” 的问题首先定义了一个新的概念：如图（1）ABC 中，M 是 BC 的中点， P是射线 MA 上的点，设=k，若 BPC=90 ，则称 k 为勾股比 （1）如图（ 1） ，过 B、C 分别作中线AM 的垂线，垂足为E、 D求证： CD=BE （2） 如图（ 2） ，当=1，且 AB

8、=AC 时，AB 2+AC2= BC 2 （填一个恰当的数） 如图（ 1） ，当 k=1，ABC 为锐角三角形，且AB AC 时， 中的结论还成立吗？若成 立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由； 对任意锐角或钝角三角形，如图（1） 、 （3） ，请用含勾股比k 的表达式直接表示AB 2+AC2 与 BC2的关系（写出锐角或钝角三角形中的一个即可） 9.如果一条抛物线y=ax 2+bx+c（a0 ）与 x 轴有两个交点， 那么以该抛物线的顶点和这两个交 点为顶点的三角形称为这条抛物线的“ 抛物线三角形” （1）“ 抛物线三角形 ” 一定是三角形； （2）若抛物线y=-x2+bx（b0）的

9、“ 抛物线三角形 ” 是等腰直角三角形，求b 的值； （3）如图， OAB是抛物线y=-x2+bx （b 0）的 “ 抛物线三角形 ” ，是否存在以原点O 为对 称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D 三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理 由 10. 类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”。 （1）概念理解 如图 1，在四边形ABCD 中，添加一个条件，使得四边形ABCD是“等邻边四边形” ，请写出 你添加的一个条件； （2）问题探究 小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形，她的猜想正确吗？请说明理由； 如图 2，小红画了一个RtABC

10、 ， 其中 ABC=90 ， AB=2，BC=1 ，并将 RtABC沿 B的 平分线 BB 方向平移得到ABC ，连结 AA ， BC 。小红要使平移后的四边形ABC A 是“等邻边四边形” ，应平移多少距离（即线段BB 的长）？ （3）应用拓展 如图 3， “等邻边四边形” ABCD 中，AB=AD ，BAD+ BCD=90 ，AC，BD为对角线， AC=2AB 。 试探究 BC ，CD ， BD的数量关系。 11. 各顶点都在方格纸格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形。如 何计算它的面积？奥地利数学家皮克（G.Pick ，18591942）证明了格点多边形的面积公 式：1 2

11、 1 baS， 其中a表示多边形内部的格点数， b表示多边形边界上的格点数， S 表示多边形的面积。 如图，4a，6b，616 2 1 4S。 （1）请在图甲中画一个格点正方形，使它内部只含有4 个格点，并写出它的面积； （2） 请在图乙中画一个格点三角形，使它的面积为 2 7 ，且每条边上除 顶点外无其它格点 。 （注：图甲、图乙在答题纸上） 12. 24.定义：如图1，点 M ，N把线段 AB分割成 AM ，MN 和 BN，若以 AM ，MN ，BN为边的三 角形是一个直角三角形，则称点M ，N是线段 AB的勾股分割点 (1) 、已知点M ， N是线段 AB的勾股分割点，若AM=2 ， M

12、N=3 求 BN的长； (2) 、如图 2，在 ABC中， FG是中位线，点D，E是线段 BC的勾股分割点，且ECDE BD ， 连接 AD ，AE分别交 FG于点 M ，N，求证：点M ，N是线段 FG的勾股分割点 (3) 、已知点C是线段 AB上的一定点，其位置如图3 所示，请在BC上画一点D，使 C，D是 线段 AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可） (4) 、如图 4，已知点 M ，N是线段 AB的勾股分割点，MNAMBN ， AMC ， MND 和 NBM均 是等边三角形， AE分别交 CM ，DM ，DN于点 F， G ， H，若 H是 DN的中点，试探

13、究 AMF S ， BEN S 和 MNHG S 四边形 的数量关系，并说明理由 13. 类比等腰三角形的定义，我们定义： 有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形” . （1）概念理解 如图 1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”. 请写 出你添加的一个条件. （2）问题探究 小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形. 她的猜想正确吗？请说明理 由。 如图 2，小红画了一个RtABC ，其中 ABC=90 ， AB=2 ，BC=1 ，并将 RtABC沿 ABC的平分线BB 方向平移得到ABC ，连结 AA ，BC . 小红要是平移后的四边形 ABC

14、 A是“等邻边四边形” ，应平移多少距离（即线段BB 的长）？ （3）应用拓展 如图 3，“等邻边四边形” ABCD中， AB=AD ， BAD+ BCD=90 ， AC ， BD为对角线，AC=AB. 试探究 BC ，CD ， BD的数量关系 . 14. 小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数y=a1x 2+b 1x+c1（a10，a1，b1，c1是常数）与 y=a2x 2+b 2x+c2（ a20，a2， b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数” 求函数 y=x 2+3x2 的“旋转函数” 小明是这样思考的：由函数 y

15、=x 2+3x2 可知，a 1=1，b1=3，c1=2，根据 a1+a2=0，b1=b2， c1+c2=0，求出 a2， b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数” 请参考小明的方法解决下面问题： （1）写出函数y=x 2+3x2 的“旋转函数”； （2）若函数y=x 2+ mx2 与 y=x22nx+n 互为“旋转函数”，求（ m+n ） 2015的值； （3）已知函数y=（x+1） （x4）的图象与x 轴交于点A、B两点，与y 轴交于点C ，点 A、B、C关于原点的对称点分布是A1， B1， C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数 y=（ x+1） （x4）互为“旋转函数” 1

16、5. （10 分）在边长为1 的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点 （横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形记格点多边形内的格点数为a， 边界上的格点数为b，则格点多边形的面积可表示为1nbmaS，其中 m，n 为常数 （1）在下面的方格中各画出一个面积为6 的格点多边形，依次为三角形、平行四边形（非 菱形） 、菱形； （2）利用（ 1）中的格点多边形确定m，n 的值 16. 如图 1，点 P 为 MO N 的平分线上一点，以P 为顶点的角的两边分别与射线OM，ON 交于 A，B 两点，如果APB 绕点 P 旋转时始终满足 2 OPOBOA，我们就把 APB

17、叫 做 MON 的智慧角 （1）如图 2，已知 MON=90，点 P 为 MON 的平分线上一点，以P 为顶点的角的两边 分别与射线OM，ON 交于 A，B 两点，且 APB=135求证： APB 是 MON 的智慧角 （2）如图 1，已知 MON=（0 90） ，OP=2若 APB 是 MON 的智慧角，连 结 AB，用含 的式 子分别表示APB 的度数和 AOB 的面积 来源: 学_ 科_网 （3）如图 3，C 是函数 3 y x （ 0x ）图象上的一个动点，过C 的直线 CD 分别交 x 轴和 y 轴于 A，B 两点，且满足BC=2CA，请求出 AOB 的智慧角 APB 的顶点 P 的坐标