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1、第七讲圆与扇形进阶 模块一、基本图形面积求法： 方中圆：正方形面积: 圆面积 =4 : ；圆中方：圆面积: 正方形面积 = : 2. 例 1 （1）下图中正方形的边长为2，则所在是弯角与所在的弓形的面积分别是、。( 取 3.14) 解：正方形的边长为2，所以正方形的面积是4，圆的半径是2，所以四分之一的圆的面积 . 所以圆角的面积是4- =0.86； 直角三角形的面积是2，所以弓形的面积是 - 2=1.14. （2）下图中正方形的面积为2，则所在是弯角与所在的弓形的面积分别是、。( 取 3.14) 解：正方形的面积是2，所以扇形面积是 2 =1.57，所以圆角的面积是2- 1.57=0.43；
2、 直角三角形的面积是1，所以弓形的面积是1.57- 1=0.57. 例 2如图，已知正方形的面积是100，则阴影部分的面积和为。 （结果保留 ） 解：正方形的面积是100，正方形内有一个四分之一的圆，圆的半径是10，四分之一圆的面积是25 ， 所以阴影中的圆角的面积是100- 25 ， 有外面的大圆的面积是50 ，阴影中小弓形的面积是大圆面积减去正方形面积的四分之一， 所以两个弓形的面积是21 4 (50 - 100)=25 - 50， 于是阴影部分的面积=100-25 +25 - 50=50. 例 3 （1）如图，阴影部分的面积是多少？ 解： （1）阴影部分面积=长方形面积 - 扇形 - 圆
3、角， 大长方形面积=4 6=24，扇形是四分之一个圆，扇形面积= 1 4 16=4 ， 圆角面积 =正方形面积 - 四分之一圆 =16-4 ， 所以阴影部分的面积=24-4 - 16+4 =8. （2）在一个边长为6 的正方形内，分别以正方形的三条边为直径向内作三个半圆，则图中阴影部分的面积 为多少平方厘米？（ = 3.14 ） 解： （2）下面的阴影是半圆，上面的阴影是两个圆角，它的面积等于半个正方形的面积- 半个圆的面积， 所以阴影部分的面积半个正方形的面积= 1 2 6 2 =18. 例 4如图所示， 分别以直角三角形的三条边为直径做半圆，这三个半圆交出两个月牙形区域（阴影部分） ， 则
4、这两个阴影面积之和为。 解：两个阴影部分的面积之和等于三角形ABC 面积 +AB 为直径的半圆的面积+ BC 为直径的半圆的面积- AC 为直径的半圆面积。 三角形 ABC 的面积 =30，AB 为直径的半圆的面积= 2 1525 ( ) 228 ， BC 为直径的半圆的面积= 2 1 618 2 ，AC 为直径的半圆的面积= 2 113169 () 228 ， 所以阴影部分面积=30+ 25169 18 88 =30. 例 5已知三角形ABC 是直角三角形，AC=4cm，BC=2cm，则阴影部分的面积为cm2。 （ 取 3.14） 13 12 5 C B A C B A D C B A 解：
5、如图连结CD，可以看出 阴影部分的面积=两个半圆的面积和- ADC 的面积 - BDC 的面积， AC=4，得以 AC 为直径的半圆的面积=2 ，BC=2，以 BC 我直径的半圆的面积= 1 2 ， 三角形 ABC 的面积 = 1 2 4 2=4， 所以阴影部分的面积=2 + 1 2 - 4=3.85. 例 6三个半圆，两个圆如图摆放，两个小半圆和两个小圆的半径都是10cm，大半圆外的阴影面积比大半 圆内的阴影面积大cm 2。 （取 3.14） 解：小圆的半径为10，大圆的半径为20， 大圆外的阴影部分面积等于两个小圆面积的和- 两个月牙部分的面积和， 大圆内的阴影部分的面积等于半个大圆的面积
6、- 两个月牙部分的面积和- 一个小圆的面积， 于是大半圆外的阴影面积比大半圆内的阴影面积大出一个小圆的面积， 即 100 =314cm 2 . 随堂练习 1下列图形中阴影部分的面积分别为、。 （取 3.14） 解：弓形面积 = 2 5 4 - 2 1 5 2 =7.125；圆角面积 =25- 2 5 4 =5.375； 5 55 5 D C B A 5 5 月牙面积 =2 7.125=14.25. 2计算图形中阴影部分的面积为平方分米（单位：分米）。 解：如图做辅助线，可以看出，阴影部分是由一个三角形、一个圆角和四分之一个圆组成， 三角形面积 = 21 5 2 ，圆角面积 +四分之一的圆的面积
7、=边长为 5 的正方形面积=25， 所以阴影部分的面积=12.5+25=37.5. 3如图，直角三角形ABC 中， AB=4，BC=6，分别以三角形三边为直径画三个半圆，则阴影部分是面积为 。 解：阴影部分的面积=以 AB 为直径的半圆面积+以 BC 为直径的半圆面积+三角形 ABC 的面积 - 以 AC 为直 径的半圆面积， 而由于 AB 2+BC2=AC2， 所以以 AB 为直径的半圆面积+以 BC 为直径的半圆面积=以 AC 为直径的半圆面积， 于是阴影部分的面积=ABC 的面积 = 1 4 6 2 =12。 4图中阴影部分的面积为。 （取 3.14） 解：如图画出辅助线，看出AE 弧的
8、弓形是以AB 为直径的圆中的一部分， 三角形 ABC 内部的阴影部分等于扇形CBF- 三角形 BCE+BE 为弧的弓形， 所以两部分阴影面积的和=扇形 CBF 的面积 - 三角形 BCE 的面积 +2 BE 为弧的弓形的面积， BCF=45 ，所以扇形CBF 的面积 = 1 8 12 2 =18 ， 10 5 10 5 C B A 12 12 F E D 12 12 C B A 三角形 BCE 的面积 = 1 2 三角形 ABC 的面积 =36， BE 弧的弓形 =AE 弧的弓形 =四分之一个小圆面积- 三角形 ADE 的面积 = 1 4 36- 1 2 36=9 - 18， 所以阴影部分的面
9、积和=16 - 36+18 - 36=36 - 72=41.04. 5如图，直角三角形ABC中， AB是圆的直径，且AB20，阴影甲的面积与阴影乙的面积一样大，则BC的 长为。( 3.14） 解：连结 BD ，OD，阴影甲的面积=扇形 OAD 的面积 - 三角形 AOD 的面积， 阴影乙的面积=四边形 OBCD 的面积 - 扇形 OBD 的面积， 由题意，扇形OAD 的面积 - 三角形 AOD 的面积 =四边形 OBCD 的面积 - 扇形 OBD 的面积， 所以扇形 OAD 的面积 +扇形 OBD 的面积 =四边形 OBCD 的面积 +三角形 AOD 的面积， 得 半圆面积 =三角形 ABC 的面积， 设 BC=x，则 2 10 2 = 1 20 2 x，解得 x=15.7. O D