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1、第七章三角形 【知识要点】 一认识三角形 1关于三角形的概念及其按角的分类 定义：由 不在同一直线上的三条线段 首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2三角形的分类： 三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。 2关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、 比较线段的长短） 根据公理“ 两点之间，线段最短”可得： 三角形任意两边之和大于第三边。 三角形任意两边之差小于第三边。 3与三角形有关的线段 ：三角形的角平分线、中线和高 三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段； 三角形的中线：连接
2、三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形任意一条中线将三角形分成面积 相等的 两个部分； 三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高。 注意：三角形的角平分线、中线和高都是线段 ，不是直线，也不是射线； 任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高； 任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。但三角形的高却有不同的位置： 锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直 角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部。 一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于
3、一点。（三 角形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的 交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部。） 4三角形的内角与外角 （1）三角形的内角和：180 引申：直角三角形的两个锐角互余； 一个三角形中至多有一个直角或一个钝角； 一个三角中至少有两个内角是锐角。 （2）三角形的外角和：360 （3） 三角形外角的性质： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；常用来求角度 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。常用来比较角的大小 5. 多边形的内角与外角 （1）多边形的内角和： （n-2 ）180 （2）多边形
4、的外交和：360 引申：（1）从 n 边形的一个顶点出发能作（n-3 ）条对角线； （2）多边形有 2 )3(nn 条对角线。 （3）从 n 边形的一个顶点出发能将n 边形分成（ n-2 ）个三角形； 6镶嵌 （1）同一种正三边形、正四边形、正六边形可以进行平面镶嵌； （2）正三角形与正四边形、正三角形与正六边形可以进行平面镶嵌； （1）同一种任意三角形、任意四边形可以进行镶嵌。 【典型例题】 考点一：三角形的分类 例题 1：具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ B ） 。 A： A+B=C B ： A= B= C C ： A=90- B D ： A-B=90 例题 2：等腰三角形一腰
5、上的高与另一腰的夹角为30，则顶角的度数为( D ) A60 B120 C60或 150 D 60或 120 考点二：三角形三边的关系 例题 1：已知：如图1， ABC 中， D 是 AB 上除顶点外的一点.， 求证： AB+ACDB+DC； 变式一：已知：如图3， ABC 中，点 P 为 ABC 内任一点求证：AB+BC PB+PC 延长 BP 与 AC 交于点 D, 根据三角形三边的关系：有)1 (BDBPADABBDADAB即 )2(PCDCPD (1)+(2)-PD 得PCPBACAP 变式二：如图2，点 P 为 ABC 内任一点，求证：PA+PB+PC 2 1 (AB+BC+AC);
6、 变式三：如图3， D、 E是 ABC 内的两点，求证：AB+ACBD+DE+EC. 例题 2：现有两根木棒，它们的长分别是40cm 和 50cm，若要钉成一个三角形木架，则在下列四根木棒中 应选取长为（C） A.100cm 的木棒B.90cm 的木棒C.40cm 的木棒D.10cm 的木棒 练习： 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ D ） P C B A 图 2 ED C B A 图 3 图1 A B C D A、 3 ，4，8 B、 5 ，6，11 C 、 1 ，2，3 D 、 5 ，6，10 2. 一个等腰三角形的两条边长分别为8 和 3 ，那么它的周长为 19cm . 考点三
7、：三角形的中线的性质 例题 1：将 ABC 分成面积相等的四个三角形。 例题 2：已知：如图，AD 、BC 、DE是 ABC 的三条中线， O 为交点。 求证：（1） ABCAOE SS 6 1 (2) 1:2: ODAO 练习 : 1. 如图 5， 在 ABC中，已知点 D， E， F 分别为边BC ， AD ， CE的中点， 且 ABC S= 4 2 cm， 则S阴影等于 ( B ) A2 2 cm B. 1 2 cm C. 1 2 2 cm D. 1 4 2 cm 考点四：三角形的稳定性 三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性例如起 重机的支
8、架采用三角形结构就是这个道理 练习： 1. 不是利用三角形稳定性的是( ) A、自行车的三角形车架 B 、三角形房架 C 、照相机的三角架 D、矩形门框的斜拉条 2. 下列图形中具有稳定性的有（） A 、正方形 B、长方形 C、梯形 D、 直角三角形 考点五：三角形的外角与不相邻的内角的关系 例题 1：如图，已知点P在 ABC内任一点，试说明A与 P的大小关系。 例题 2：如图 4， 1+2+3+4 等于多少度；（ 280） A C B D E F O A B C 方法一 A B C 方法二 A B C 方法三 _ F _ E _ D_ B_ C _ A P C B A ? 4 4 3 2 1
9、 40 4题图 E BD A C H 练习： 1、如图，下列说法错误的是( A ) A、 B ACD B、 B+ACB =180 A C、 B+ACB B 2、若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( C ). A、直角三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、无法确定 考点六： 三角形的内角和、外角和相关的计算与证明 例题 1：若三角形的三个外角的比为3：4：5，则这个三角形为（ B ） A锐角三角形 B直角三角形 C等边三角形D钝角三角形 例题 2：已知等腰三角形的一个外角为150，则它的底角为_. 练习： 1、如图，若AEC=100 ， B=45， C=38，则
10、 DFE等于 ( A ) A. 125 B. 115 C. 110 D. 105 2、如图， 1=_. 3、如图，则1=_, 2=_, 3=_, 4、已知等腰三角形的一个外角是120，则它是 ( C ) A.等腰直角三角形 B.一般的等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰钝角三角形 5、如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180，那么与这个外角相邻的内角的度数为 ( C ) A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 6、已知三角形的三个外角的度数比为2 34，则它的最大内角的度数( D ). A. 90 B. 110 C. 100 D. 120 例题 2：如图 , 已知ABC
11、中,ACBABC和的角平分线BD,CE相交于点O. （1）若 50ABC ， 70ACB ，则 CB0 ； （2）若48ABC，64ACB，则CB0； （3） 若 60A, 则CB0； （4）请探究的关系与BOCA. 变式一：如图，BP平分 FBC ，CP平分 ECB. （1）若 A=40，求 BPC的度数； （2）若 A=a，求 BPC的度数（用含a 的代数式表示）. A B C O _ 3题图 _ 150 _ 50 _ 3 _ 2 _ 1 _ 2题图 _ 140 _ 80 _ 1 _1 题图 _ F _ E _ A _ C _ B _ D 变式二：已知：BD 为ABC 的角平分线，CO 为
12、ABC 的外角平分线，它与BO 的延长线交于点O，试 探索 BOC 与 A 的数量关系，并说明理由 引申：如图，若E 为 BA 延长线上一动点，连EC，AEC 与 ACE 的角平分线交于Q，当 E 滑动时有下 面两个结论：Q+A1的值为定值；Q-A1的值为定值，其中有且只有一个是正确的，请写出正 确的结论，并求出其值（正确， Q+A1=180） 变式三：已知：如图1，线段 AB 、CD 相交于点O，连接 AD 、CB，如图， DAB 和 BCD 的平分线AP 和 CP 相交于点 P，并且与CD、AB 分别相交于M、N试解答下列问题： （1）在图中，若D=40 ， B=30 ，试求 P的度数；（
13、写出解答过程） （2）如果图中 D 和 B 为任意角，其他条件不变，试写出P 与 D、B 之间数量关系 （ B+D=2 P） 例题 3：如图甲，在 ABC 中， AD BC 于 D，AE 平分 BAC （1）若 B=30 ， C=70 ，则 DAE=20； （2）若 C B=30 ，则 DAE= 15； （3）若 C B=a（ C B） ，求 DAE 的度数（用含a 的代数式表示） ； （ 2 1 ） （4）如图乙，当C B 时我们发现上述结论不成立，但为了使结论的统一与完美，我们不妨规定：角 度也有正负，规定顺时针为正，逆时针为负例如：DAE= 18 ，则 EAD=18 ，作出上述规定后，上
14、 述结论还成立吗？_成立 _；若 DAE= 7 ，则 B C=_14_ 变式一：已知：如图1，ABC 中， B C，AD 是ABC 的角平分线，点P 是 AD 上的一点，过点P 画 PHBC 于 H （1）求证： DPH=（ B C） ； （2）如图 2，当点 P 是线段 AD 的延长线上的点时，过点 P画 PHBC 于 H，上述结论任然成立吗？请你 作出判断并加以说明 变式二：如图，AE、OB、OC 分别平分 BAC 、 ABC 、 ACB ， ODBC，求证： 1=2 由（ 1）得OBCOCBABCACBEOD)( 2 1 OCEOBCEOD 9021OCDEODOBE 21 例题 4：如
15、图，一张三角形ABC 纸片，点D、E 分别是 ABC 边上两点 研究（ 1） ：如果沿直线DE 折叠，使A 点落在 CE 上，则 BDA 与 A 的数量关系是_BDA =2A _ 研究（2） ：如果折成图的形状，猜想 BDA 、CEA 和 A 的数量关系是_BDA + CEA =2 A 研究（ 3） ：如果折成图的形状，猜想BDA 、 CEA 和 A 的数量关系，并说明理 由 _BDA -CEA =2A 变式： 研究（ 4） ：将问题1 推广，如图，将四边形ABCD 纸片沿 EF 折叠，使点A、 B 落在四边形EFCD 的内部 时， 1+2 与 A、 B 之间的数量关系是_2 A+2B-1-2
16、-180=0_ 考点五：多边形的内角和与外角和（识记） 正 n 边形3 4 5 6 8 10 12 15 内角和180 360 540 720 1080 1440 1800 2340 外角和360 360 360 360 360 360 360 360 每一个内角 n 360 180 180)2( 或 n n 6090108 120 135 144 150 158 每一个外角 n 360180)2( 180 或 n n 120 90726045 36 30 22 例题 1：若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（A） A B 三角形B六边形C五边形D四边形 例题 2：下列说法错误的是
17、（A ） A边数越多，多边形的外角和越大B多边形每增加一条边，内角和就增加180 C正多边形的每一个外角随着边数的增加而减小D六边形的每一个内角都是120 例题 3：一个多边形内角和与其中一个外角的总和为1360 这个多边形的边数为9 . 例题 4：一个多边形的每一个外角都是24，则此多边形的内角和（B） A 2160 B 2340 C2700 D2880 练习： 1一个多边形内角和是1080 0 ，则这个多边形的边数为（ B ） A、 6 B、 7 C、 8 D、 9 2一个多边形的内角和是外角和的2 倍，它是（ C ） A、四边形 B 、 五边形 C 、 六边形 D 、八边形 3一个多边形
18、的边数增加一倍，它的内角和增加( A ) A. 180 B. 360 C. (n-2)180 D. n180 4、若一个多边形的内角和与外角和相加是1800，则此多边形是( B ) A、八边形 B 、十边形 C 、十二边形 D 、十四边形 5、正方形每个内角都是_90_，每个外角都是 _ _90 _。 6、多边形的每一个内角都等于150，则从此多边形一个顶点出发引出的对角线有9 条。 7、正六边形共有_9_条对角线，内角和等于_720_，每一个内角等于_120_。 8、内角和是1620的多边形的边数是_11_。 9、如果一个多边形的每一外角都是24，那么它是_15_边形。 10、将一个三角形截
19、去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和_180或 360_。 11、一个多边形的内角和与外角和之比是52，则这个多边形的边数为_8_。 12、一个多边形截去一个角后,所得的新多边形的内角和为2520,则原多边形有_15 或 16 或 17_条边。 13. 已知一个十边形中九个内角的和的度数是1290 0，那么这个十边形的另一个内角为 150 度. 考点六：镶嵌 例题 1：装饰大世界出售下列形状的地砖： 1正方形；2 长方形；3正五边形；4正六边形。若只选购其 中某一种地砖镶嵌地面，可供选用的地砖有（ B ） A. 1 2 3 B. 1 2 4 C. 2 3 4 D. 1 3 4 例题 2：
20、边长相等的下列两种正多边形的组合，不能作平面镶嵌的是( B ) A.正方形与正三角形B. 正五边形与正三角形 C.正六边形与正三角形D.正八边形与正方形 练习： 1. 下列正多边中，能铺满地面的是（ B ） A、正方形 B 、 正五边形 C、 等边三角形 D 、 正六边形 2. 下列正多边形的组合中，不能够铺满地面的是( D ). A.正六边形和正三角形 B.正三角形和正方形 C. 正八边形和正方形 D.正五边形和正八边形 3. 用正三角形和正十二边形镶嵌，可能情况有( B )种. A、1 B、2 C 、3 D 、4 4. 某装饰公司出售下列形状的地砖：正方形；长方形；正五边形；正六边形.若只选购其中某一 种地砖镶嵌地面，可供选用的地砖共有( C )种. A、1 B、2 C 、3 D 、4 5. 小李家装修地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角 形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则小李不应购买的地砖形状是( C ) A、正方形 B 、正六边形 C 、正八边形 D 、正十二边形 6. 用正三角形和正四边形作平面镶嵌，在一个顶点周围，可以有_3_个正三角形和_2_个正四边形。 7. 如图，第n 个图案中有白色地砖_（4n+2） _块. _ 第1个_ 第3个_ 第? 2个