人教版八年级上册数学专题全等三角形中辅助线的添加.pdf

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1、全等三角形中辅助线的添加 一. 教学内容： 全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。 二知识要点： 1、添加辅助线的方法和语言表述 （1）作线段：连接； （2）作平行线：过点作； （3）作垂线（作高） ：过点作，垂足为； （4）作中线：取中点，连接； （5）延长并截取线段：延长使等于； （6）截取等长线段：在上截取，使等于； （7）作角平分线：作平分；作角等于已知角； （8）作一个角等于已知角：作角等于。 2、全等三角形中的基本图形的构造与运用 常用的辅助线的添加方法： （1）倍长中线（或类中线）法：若遇到三角形的中线或类中线（与中点有关的线段），通常考虑倍长中线或类

2、中 线，构造全等三角形。 （2）截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。截长：在较 长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条较短线段延长，延长部 分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分 等于另一条较短线段。 （3）一线三等角问题（ “K ”字图、弦图、三垂图） ：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的 直角边。 （4）角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。 （5）角含半角、等腰三角形的（绕顶点、绕斜边中点）

3、旋转重合法：用旋转构造三角形全等。 （6）构造特殊三角形：主要是30、 60、 90、等腰直角三角形( 用平移、对称和弦图也可以构造) 和等边三 角形的特殊三角形来构造全等三角形。 三、基本模型： （1） ABC中 AD是 BC边中线 D A BC 方式 1： 延长 AD到 E，使 DE=AD ，方式 2：间接倍长，作CF AD于 F，方式 3： 延长 MD 到 N， 连接 BE 作 BE AD的延长线于E，连接 BE 使 DN=MD ，连接 CD E D A B C F E D C B A N D CB A M （ 2） 由 ABE BCD导出由 ABE BCD导出由 ABE BCD导出 B

4、C=BE+ED=AB+CD ED=AE-CD EC=AB-CD （3）角分线，分两边，对称全等要记全 角分线 +垂线，等腰三角形必呈现（三线合一） （4） 旋转： 方法：延长其中一个补角的线段 （延长CD到E，使ED=BM ，连AE或延长CB到F，使FB=DN ，连AF ） 结论：MN=BM+DN ABC CMN 2 AM 、AN分别平分BMN和DNM 翻折： 思路 : 分别将ABM和ADN以AM和AN 为对称轴翻折， 但一定要证明M 、P、N三点共线 .（B+D= 0 180 且AB=AD） （5）手拉手模型 ABE和ACF均为等边三角形 结论：（1） ABF AEC ； （2） B0E=

5、BAE=60 （ “八字型”模型证明） ； （ 3）OA平分 EOF 拓展： 条件：ABC和CDE均为等边三角形 结论：（1） 、AD=BE（ 2）、ACB= AOB（ 3） 、PCQ为等边三角形 （4） 、PQ AE（ 5） 、AP=BQ（6） 、CO平分AOE（7） 、OA=OB+OC （8） 、OE=OC+OD（ （7） ， （8）需构造等边三角形证明） ABD和ACE均为等腰直角三角形 结论：（1） 、BE=CD （ 2）BECD ABEF和ACHD均为正方形 结论：（1） 、BDCF（2） 、BD=CF 变形一：ABEF和ACHD均为正方形，ASBC交FD于T， n 360 180

6、求证： T为FD的中点 . . ADFABC SS 方法一：方法二：方法三： 变形二：ABEF和ACHD均为正方形，M为FD的中点，求证：AN BC 当以 AB 、AC为边构造正多边形时，总有：1=2= 2 1P G F E D K J I H A C B P F E D I H G B C A 四、典型例题： 考点一：倍长中线（或类中线）法： E D F C B A D C B A EDC B A 核心母题已知，如图ABC中， AB=5 ，AC=3 ，则中线AD的取值范围是_. 练习： 1、如图， ABC中， E、 F 分别在 AB 、 AC上， DE DF，D 是中点，试比较BE+CF与E

7、F 的 大小 . 2、如图， ABC中， BD=DC=AC，E是 DC的中点，求证：AD平分 BAE. 3、如图， CE 、 CB分别是 ABC与 ADC的中线，且ACB= ABC ，求证： CD=2CE 。 4、已 知 ：如 图 ，在 正 方 形 ABCD中 ，E 是 BC的 中 点 ，点 F 在 CD上 ， FAE= BAE求 证 ：AF=BC+FC 5、如图， D是 AB的中点， ACB=90 , 求证： 2CD=AB. 6、已知在 ABC中， AB=AC ，D在 AB上， E在 AC的延长线上，DE交 BC于 F，且 DF=EF ，求证： BD=CE 。 7、已知在 ABC中， AD是

8、 BC边上的中线，E是 AD上一点，且BE=AC ，延长 BE交 AC于 F，求证： AF=EF 。 8、已知：如图，在 ABC中，ACAB ， D 、E在 BC上，且 DE=EC ，过 D作 BADF / 交 AE于点 F，DF=AC. 求证： AE平分BAC。 9、以 ABC的两边AB 、AC为腰分别向外作等腰 Rt ABD和等腰 RtACE， 90 ,BADCAE 连接DE ，M 、 N分别是BC 、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系 F E C A B D F E D A B C 第 1 题图 A B F D E C （ 1）如图当 ABC为直角三角形时， AM与DE的位置

9、关系是，线段AM与DE的数量关系 是； （2）将图中的等腰Rt ABD 绕点 A沿逆时针方向旋转(090) 后，如图所示， （1）问中得到的两个结 论是否发生改变？并说明理由 10、已知：ABC和ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结EC，取EC的中点M，联 结BM和DM （1） 如图 1， 如果点D、E分别在边AC、AB上， 那么BM、DM的数量关系与位置关系是； （2）将图 1 中的ADE绕点A旋转到图2 的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由 变式 1：已知：在Rt ABC中， AB=BC ，在 Rt ADE中， AD=DE ，连结 EC ，取

10、 EC的中点 M ，连结 DM和 BM （1）若点 D在边 AC上，点 E在边 AB上且与点B不重合，如图，探索BM 、DM的关系并给予证明； （2）如果将图中的ADE绕点 A逆时针旋转小于45的角，如图，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不 成立，请举出反例；如果成立，请给予证明 DC B A E M M E A B C D B E B E 变式 :2 ：已知：ABC和ADE都是等腰直角三角形，ABC=ADE=90，点M是CE的中点，连接BM. （1） 如图，点D在AB上， 连接DM， 并延长DM交BC于点N， 可探究得出BD与BM的数量关系为； （2）如图，点D不在AB上， （ 1）中的结

11、论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由. N MD E CA B M E C B A D 变式 3： 四边形ABCD是正方形，BEF是等腰直角三角形，90BEF，BEEF，连接DF，G为 DF的中点，连接EG，CG，EC。 （1）如图 24-1 ，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及 EC GC 的值； （2）将图24-1 中的BEF绕点B顺时针旋转至图24-2 所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若 成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）将图 24-1 中的BEF绕点B顺时针旋转（090） ，若1BE，2AB，当E，F，D三 点共线时，

12、求DF的长及 ABF的度数。 考点二：截长补短法： 核心母题如 图 ， AD BC， EA， EB分 别 平 分 DAB， CBA， CD过 点 E， 求 证 ： AB=AD+BC A C D G E F B 图 24-1 图 24-2 A C D G E F B A BC D 备用图 图a F E C B A 图b F E C B A 练习： 1、如图a， ABC和 CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接 AF和 BE. (1) 线段 AF和 BE有怎样的大小关系?请证明你的结论； (2) 将图a中的 CEF绕点 C旋转一定的角度，得到图b，(1) 中的结论还成立吗?作出

13、判断并说明理由； 、已知：如图，ABC是等边三角形，120BDC ， 求证：ADBDCD. 、已知四边形 ABCD中，ABBC，60ABC，P为四边形ABCD的对角线BD上一点，且 120APD，求证：PAPDPCBD 2、在 ABC中，BAC=60 ，C=40，AP平分 BAC交 BC于 P，BQ平分 ABC交 AC于 Q，求证： AB+BP=BQ+AQ。 A B C D P B D C A 3、如图，在ABC中，60ABC，AD ，CE分别为ACBBAC,的平分线，求证：AC=AE+CD 4、如图，在ABC中， AB=AC ，D是 ABC外一点，且ABD=60 ， ACD=60 求证： B

14、D+DC=AB 2 1 5、已知：如图在ABC中， AB=AC ，D 为 ABC外一点， ABD=60 ， ADB=90 BDC ，求证： AB=BD DC 。 考点三：一线三等角问题（“ K”字图） 核心母题已知：如图，在RtABC中， BAC=90 ， AB=AC ，D是 BC边上一点， ADE=45 ， AD=DE ，求证： BD=EC. 练习： A B C D E O 1、已 知 ： 如 图 ， 在 矩 形 ABCD中 ， E、 F 分 别 是 边 BC、 AB 上 的 点 ， 且 EF=ED， EF ED 求 证 ： AE 平 分 BAD 2、 两 个 全 等 的 含 30 ， 60

15、角 的 三 角 板 ADE 和 三 角 板 ABC 如 图 所 示 放 置 ， E， A， C 三 点 在 一 条 直 线 上 ， 连 接 BD， 取 BD 的 中 点 M， 连 接 ME ， MC 试 判 断 EMC的 形 状 ， 并 说 明 理 由 3、如图，在ABC中，BCACACB,90，直线MN经过点 C，且MNAD于点 D，MNBE于点 E。 （1）当直线MN绕点 C旋转到图（ 1）的位置时，求证：DE=AD+BE ； （2）当直线 MN绕点 C旋转到图（ 2）的位置时，求证： DE=AD BE ； （3）当直线MN绕点 C 旋转到图（ 3）的位置时，试问：DE ，AD ，BE有怎

16、样的等量关系？请写出等量关系，并 加以证明。 4、 如 图 所 示 ， AE AB， BC CD且 AB=AE， BC=CD， F、 A、 G、 C、 H 在 同 一 直 线 上 ，如 按 照 图 中 所 标 注 的 数 据 及 符 号 ， 则 图 中 实 线 所 围 成 的 图 形 面 积 是 ？ A B C N M D E A B C N M D E B C M N E D 6、小雨遇到这样一个问题：如图1，直线l1l2l3，l1与l2之间的距 离 是 1，l2与l3之间的距离是2，试画出一个等腰直角三角形ABC，使三个顶点分别在直线l1、l2、l3上，并求出所画 等腰直角三角形ABC的面

17、积 小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用 旋转的方法构造全等三角形解决问题具体作法如图2所示：在直线l1任取一点A， 作ADl2于点D， 作DAH=90， 在AH上截取AE=AD，过点E作EBAE交l3于点B，连接AB，作BAC=90，交直线l2于点C，连接BC，即可得 到等腰直角三角形ABC 请你回答：图2 中等腰直角三角形ABC的面积等于 参考小雨同学的方法，解决下列问题： 如图 3，直线l1l2l3, l1与l2之间的距离是2，l2与l3之间的距离是1, 试画出一个等边三角形ABC，使 三个顶点分别在直线l1、l2、l3上，并直接

18、写出所画等边三角形ABC的面积（保留画图痕迹） 7、如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在P（5,5 ）处，两条直角边与坐标轴分别交于点A 和点 B. l1 l2 l3 图 3 l1 l2 l3 图 1 l1 H C B A D E l2 l3 图 2 l1 l2 l3 图 3 CDB P A （1）当点 A、点 B分别在 x 轴、 y 轴正半轴上运动时，试探究OA+0B的值或取值范围； （2）点 A在 x 轴正半轴上运动，点B在 y 轴负半轴上时，试探究OA-OB的值或取值范围，直接写出结果。 9、 已 知 ： 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 等 腰 直 角 ABC 顶

19、 点 A、 C 分别 在y 轴 、 x 轴 上 ， 且 ACB=90， AC=BC （ 1） 如 图 1， 当 A（ 0， -2 ） ， C（ 1， 0） ， 点 B 在 第 四 象 限 时 ， 先 写 出 点 B 的 坐 标 ， 并 说 明 理 由 （ 2）如 图 2，当 点 C 在 x 轴 正 半 轴 上 运 动 ，点A（ 0， a）在y 轴 正 半 轴 上 运 动 ，点B（ m， n）在 第 四 象 限 时 ， 作 BD y 轴 于 点 D， 试 判 断 a， m， n 之 间 的 关 系 ， 请 证 明 你 的 结 论 考点四：角平分线、中垂线法 核心母题 1、在ABC 中， ABAC

20、 ， AD 是BAC 的平分线P 是 AD 上任意一点 求证： ABACPBPC 2、已 知 等 腰 直 角 三 角 形ABC， BC 是 斜 边 B 的 角 平 分 线 交 AC于D， 过 C 作 CE 与 BD 垂 直 且 交 BD 延 长 线 于 E， 求 证 ： BD=2CE D P CB A 3、如图，ABC的边 BC的中垂线 DF交 BAC的外角平分线AD于 D， F 为垂足， DE AB于 E，且 AB AC ，求证： BE-AC=AE 练习 1、如图所示，在ABC 中， AD 是BAC 的外角平分线，P 是 AD 上异于点 A的任意一点，试比较 PBPC与ABAC的大小，并说明

21、理由 2、 如 图 所 示 ： ABC 的 平 分 线 BF 与 ABC中 ACB 的 相 邻 外 角 ACG的 平 分 线CF 相 交 于 点 F， 过 F 作 DF BC， 交 AB于 D， 交 AC 于 E 问 ：（ 1）写 出 图 中 的 等 腰 三 角 形 并 说 明 理 由 （ 2） 若 BD=8cm， DE=3cm， 求 CE 的 长 3、在ABC中，,2ABAC AD平分BAC，E是AD中点，连结CE，求证： 2BDCE F G ED C B A 4、如 图 ， ABC 中 ， ABC=2 C， BE平 分 ABC 交 AC 于 E、 AD BE 于 D， 求 证 ： （ 1）

22、 AC-BE=AE ； （ 2） AC=2BD 5、 如 图 ， 在 ABC 中 ， AB AC， E 为BC 边 的 中 点 ， AD 为 BAC的平分 线 ， 过 E 作 AD 的 平 行 线 ， 交 AB于 F， 交 CA 的 延 长 线 于 G求证： BF=CG 变式一：如图，在ABC 中， AD 交 BC 于点 D ，点 E 是 BC 中点， EFAD交 CA 的延长线于点F ，交 AB于点 G ，若 BGCF ，求证： AD 为BAC 的角平分线 变式二：已知：ABC中， AD是 ABC的角平分线， M为 BC的中点，过点M作MN AD ，交 AC于点 N , 求证： AN+AB=

23、NC. 变式三：在ABC中，AD是ABC的角平分线 （1）如图 1，过C作CEAD交BA延长线于点E，若F为CE的中点，连结AF， 求证：AFAD； （2）如图 2，M为BC的中点，过M作MNAD交AC于点N，若AB=4， AC=7， 求NC的长 6、如图，已知ABC中， AB AC ， A100， B的平分线交AC于 D， 求证： AD BD BC 7、如图，在 ABC中， AD BC于 D，CD AB BD ， B的平分线交AC于点 E，求证：点E恰好在 BC的垂直平分 线上。 8、如图 1，在 ABC中， ACB=2 B ， BAC的平分线AO交 BC于点 D，点 H为 AO上一动点，过

24、点H作直线 l AO于 H，分别交直线AB 、AC 、BC于点 N、E、M A C B D E A D B C 图 1 图 2 2 1 E CB A （1）当直线l 经过点 C时（如图2） ，证明： BN=CD ； （2）当 M是 BC中点时，写出CE和 CD之间的等量关系，并加以证明； （3）请直接写出BN 、CE 、 CD之间的等量关系 9、如图所示，在ABC中， ABC=3 C，AD是 BAC的平分线， BEAD于 F，求证： 2BE=AC-AB 变式：如图，已知在ABC 中，3ABCC ，12，BEAE 求证： 2A CA BB E 10、如图所示，在ABC 中， AD 平分BAC ，

25、ADAB， CMAD 于 M ，求 证 2A BA CA M M D CB A 变式一：如图1=2，B为 AC中点， CM FB于 M ，ANFB于 N，求证：EF=2BM ； FB= 2 1 （FM+FN ） 变 式 二 ： 如 图 ， 在 ODC中 ， ， 0 9 0D CEOEDCOEC的角平分线，且是 ， 过 点E作 之间的关系，并证明与猜想：线段于点交ODEFFOCOCEF 变式三：如图所示，在ABC中， AC AB ，M为 BC的中点， AD是 BAC的平分线，若CF AD且交 AD的延长线于 F，求证： MF= 2 1 （ACAB ） 。 M F D C B A 考点五：角含半角

26、、等腰三角形的（绕顶点）旋转重合法 核心母题如图，在正方形ABCD 中， E、F 分别是 BC 、CD边上的点，EAF=45 ，求证： EF=BE+DF. 变式一：如图，E、F 分别是边长为 1 的正方形ABCD 的边 BC 、CD上的点 , 若 ECF的周长是2，求 EAF的度数 ? 变式二：如图，在正方形ABCD 中， E 、 F分别是 BC 、 CD边上的点，EAQ=45 ， AH EF，求证： AH=AB. 综合：在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM +DN， 求证： .MAN= 45 . ABC CMN 2 .AM 、AN分别平分BMN和DNM. 练

27、习 1、如图，在四边形ABCD 中， AB=BC, A=C=90， B=135， K、N分别是 AB 、BC上的点，若 BKN的周长是AB的 2 倍，求 KDN的度数？ 2、 已 知 ：正 方 形 ABCD中 ， MAN=45， MAN绕 点 A 顺 时 针 旋 转 ，它 的 两 边 分 别 交 CB、 DC （ 或 它 们 的 延 长 线 ） 于 点 M、 N 当 MAN绕 点 A 旋 转 到 BM=DN时 （ 如 图 1） ， 易 证 BM+DN=MN （ 1）当 MAN绕 点 A 旋 转 到 BM DN 时（ 如 图 2） ，线 段 BM、 DN 和 MN之 间 有 怎 样 的 数 量

28、关 系 ？ 写 出 猜 想 ， 并 加 以 证 明 ； （ 2）当 MAN绕 点 A 旋 转 到 如 图 3的 位 置 时 ，线 段 BM 、DN 和 MN之 间 又 有 怎 样 的 数 量 关 系 ？ 请 直 接 写 出 你 的 猜 想 3、如图，在四边形ABCD中， AB=AD ， ， B+D=180， E、F 分别是边BC 、CD上的点，且2EAF= BAD ， （1）求证： EF=BE+FD （2）如果 E、F 分别是边BC 、CD延长线上的点，其他条件不变，结论是否仍然成立？说明理由。 5、如图所示，在五边形ABCDE 中， AB=AE ，BC+DE=CD， ABC+ AED=180

29、 求证： AD平分 CDE. 6、 如 图 ， 已 知 AB=CD=AE=BC+DE=2， ABC= AED=90， 求 五 边 形 ABCDE的 面 积 7、 如 图 1在 四 边 形 ABCD中 AB=AD， B+ D=180 ， E、 F 分 别 是 边 BC、CD 上 的 点 ，且 BAD=2 EAF （ 1） 求 证 ： EF=BE+DF； （ 2）在（1）问 中 ，若 将 AEF 绕 点 A 逆 时 针 旋 转 ，当 点 E、 F 分 别 运 动 到 BC、 CD延 长 线 上 时 ，如 图 2 所 示 ， 试 探 究 EF、 BE、 DF 之 间 的 数 量 关 系 8、 如 图

30、 ， 在 ABC 中 ， ACB=90， AC=BC， P 是 ABC 内 一 点 ， 且 PA=3， PC=2， PB=1 求 BPC 的 度 数 考点六：构造特殊三角形 核心母题如 图 ， 在 ABC 中 ， AD 交 边 BC 于 点 D， BAD=15， ADC=4 BAD， DC=2BD （ 1） 求 B 的 度 数 ； （ 2） 求 证 ： CAD= B 练习 1、在平面直角坐标系中，点 A(2，0)、B(0，4) ，以 AB为斜边作等腰直角ABC ，则点 C的坐 标为？ 2、如图，在正方形网格图中，求1 2 3 的度数和。 3、已知：平面直角坐标系中的三个点，A（1,0 ） 、B

31、（2，1） 、C（0,3 ） ，求OCA+ OCB的度数 . 4、已知2AD，4BD，以AB为一边作等边三角形ABC.使C、D两 点落在直线AB的两侧 . （1）如图，当ADB=60时，求AB及CD的长； A C E D C B A 图（ 3） CB D A E （2）当ADB变化，且其它条件不变时，求CD 的 最大值，及相应ADB的大小 . 5 、 已 知 ：2PA，4PB， 以A B为 一 边 作 正 方 形A BCD， 使P、 D两 点 落 在 直 线AB 的两侧 . （1）如图，当APB=45时，求AB及PD的长； （2）当APB变化，且其它条件不变时，求PD 的 最大值，及相应APB的大小 . 6、在四边形ABDE中，C是BD边的中点 （1）如图 (1) ，若AC平分BAE，ACE=90, 则线段AE 、AB 、DE的长度满足的数量关系为？（直接写出 答案） （2）如图（ 2） ，AC平分BAE， EC平分AED， 若120ACE，则线段AB 、BD 、DE 、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明； （3）如图（ 3） ，BD = 8，AB=2，DE=8， ACE=120 ，则线段AE长度的最大值是多少？如果 ACE=135 ，此时线段AE长度的最大值是多少？ E DC B A