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1、全等三角形中辅助线的添加 一. 教学内容: 全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。 二知识要点: 1、添加辅助线的方法和语言表述 (1)作线段:连接; (2)作平行线:过点作; (3)作垂线(作高) :过点作,垂足为; (4)作中线:取中点,连接; (5)延长并截取线段:延长使等于; (6)截取等长线段:在上截取,使等于; (7)作角平分线:作平分;作角等于已知角; (8)作一个角等于已知角:作角等于。 2、全等三角形中的基本图形的构造与运用 常用的辅助线的添加方法: (1)倍长中线(或类中线)法:若遇到三角形的中线或类中线(与中点有关的线段),通常考虑倍长中线或类
2、中 线,构造全等三角形。 (2)截长补短法:若遇到证明线段的和差倍分关系时,通常考虑截长补短法,构造全等三角形。截长:在较 长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条;补短:将一条较短线段延长,延长部 分等于另一条较短线段,然后证明新线段等于较长线段;或延长一条较短线段等于较长线段,然后证明延长部分 等于另一条较短线段。 (3)一线三等角问题( “K ”字图、弦图、三垂图) :两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的 直角边。 (4)角平分线、中垂线法:以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。 (5)角含半角、等腰三角形的(绕顶点、绕斜边中点)
3、旋转重合法:用旋转构造三角形全等。 (6)构造特殊三角形:主要是30、 60、 90、等腰直角三角形( 用平移、对称和弦图也可以构造) 和等边三 角形的特殊三角形来构造全等三角形。 三、基本模型: (1) ABC中 AD是 BC边中线 D A BC 方式 1: 延长 AD到 E,使 DE=AD ,方式 2:间接倍长,作CF AD于 F,方式 3: 延长 MD 到 N, 连接 BE 作 BE AD的延长线于E,连接 BE 使 DN=MD ,连接 CD E D A B C F E D C B A N D CB A M ( 2) 由 ABE BCD导出由 ABE BCD导出由 ABE BCD导出 B
4、C=BE+ED=AB+CD ED=AE-CD EC=AB-CD (3)角分线,分两边,对称全等要记全 角分线 +垂线,等腰三角形必呈现(三线合一) (4) 旋转: 方法:延长其中一个补角的线段 (延长CD到E,使ED=BM ,连AE或延长CB到F,使FB=DN ,连AF ) 结论:MN=BM+DN ABC CMN 2 AM 、AN分别平分BMN和DNM 翻折: 思路 : 分别将ABM和ADN以AM和AN 为对称轴翻折, 但一定要证明M 、P、N三点共线 .(B+D= 0 180 且AB=AD) (5)手拉手模型 ABE和ACF均为等边三角形 结论:(1) ABF AEC ; (2) B0E=
5、BAE=60 ( “八字型”模型证明) ; ( 3)OA平分 EOF 拓展: 条件:ABC和CDE均为等边三角形 结论:(1) 、AD=BE( 2)、ACB= AOB( 3) 、PCQ为等边三角形 (4) 、PQ AE( 5) 、AP=BQ(6) 、CO平分AOE(7) 、OA=OB+OC (8) 、OE=OC+OD( (7) , (8)需构造等边三角形证明) ABD和ACE均为等腰直角三角形 结论:(1) 、BE=CD ( 2)BECD ABEF和ACHD均为正方形 结论:(1) 、BDCF(2) 、BD=CF 变形一:ABEF和ACHD均为正方形,ASBC交FD于T, n 360 180
6、求证: T为FD的中点 . . ADFABC SS 方法一:方法二:方法三: 变形二:ABEF和ACHD均为正方形,M为FD的中点,求证:AN BC 当以 AB 、AC为边构造正多边形时,总有:1=2= 2 1P G F E D K J I H A C B P F E D I H G B C A 四、典型例题: 考点一:倍长中线(或类中线)法: E D F C B A D C B A EDC B A 核心母题已知,如图ABC中, AB=5 ,AC=3 ,则中线AD的取值范围是_. 练习: 1、如图, ABC中, E、 F 分别在 AB 、 AC上, DE DF,D 是中点,试比较BE+CF与E
7、F 的 大小 . 2、如图, ABC中, BD=DC=AC,E是 DC的中点,求证:AD平分 BAE. 3、如图, CE 、 CB分别是 ABC与 ADC的中线,且ACB= ABC ,求证: CD=2CE 。 4、已 知 :如 图 ,在 正 方 形 ABCD中 ,E 是 BC的 中 点 ,点 F 在 CD上 , FAE= BAE求 证 :AF=BC+FC 5、如图, D是 AB的中点, ACB=90 , 求证: 2CD=AB. 6、已知在 ABC中, AB=AC ,D在 AB上, E在 AC的延长线上,DE交 BC于 F,且 DF=EF ,求证: BD=CE 。 7、已知在 ABC中, AD是
8、 BC边上的中线,E是 AD上一点,且BE=AC ,延长 BE交 AC于 F,求证: AF=EF 。 8、已知:如图,在 ABC中,ACAB , D 、E在 BC上,且 DE=EC ,过 D作 BADF / 交 AE于点 F,DF=AC. 求证: AE平分BAC。 9、以 ABC的两边AB 、AC为腰分别向外作等腰 Rt ABD和等腰 RtACE, 90 ,BADCAE 连接DE ,M 、 N分别是BC 、DE的中点探究:AM与DE的位置关系及数量关系 F E C A B D F E D A B C 第 1 题图 A B F D E C ( 1)如图当 ABC为直角三角形时, AM与DE的位置
9、关系是,线段AM与DE的数量关系 是; (2)将图中的等腰Rt ABD 绕点 A沿逆时针方向旋转(090) 后,如图所示, (1)问中得到的两个结 论是否发生改变?并说明理由 10、已知:ABC和ADE是两个不全等的等腰直角三角形,其中BA=BC,DA=DE,联结EC,取EC的中点M,联 结BM和DM (1) 如图 1, 如果点D、E分别在边AC、AB上, 那么BM、DM的数量关系与位置关系是; (2)将图 1 中的ADE绕点A旋转到图2 的位置时,判断(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由 变式 1:已知:在Rt ABC中, AB=BC ,在 Rt ADE中, AD=DE ,连结 EC ,取
10、 EC的中点 M ,连结 DM和 BM (1)若点 D在边 AC上,点 E在边 AB上且与点B不重合,如图,探索BM 、DM的关系并给予证明; (2)如果将图中的ADE绕点 A逆时针旋转小于45的角,如图,那么(1)中的结论是否仍成立?如果不 成立,请举出反例;如果成立,请给予证明 DC B A E M M E A B C D B E B E 变式 :2 :已知:ABC和ADE都是等腰直角三角形,ABC=ADE=90,点M是CE的中点,连接BM. (1) 如图,点D在AB上, 连接DM, 并延长DM交BC于点N, 可探究得出BD与BM的数量关系为; (2)如图,点D不在AB上, ( 1)中的结
11、论还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,说明理由. N MD E CA B M E C B A D 变式 3: 四边形ABCD是正方形,BEF是等腰直角三角形,90BEF,BEEF,连接DF,G为 DF的中点,连接EG,CG,EC。 (1)如图 24-1 ,若点E在CB边的延长线上,直接写出EG与GC的位置关系及 EC GC 的值; (2)将图24-1 中的BEF绕点B顺时针旋转至图24-2 所示位置,请问(1)中所得的结论是否仍然成立?若 成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由; (3)将图 24-1 中的BEF绕点B顺时针旋转(090) ,若1BE,2AB,当E,F,D三 点共线时,
12、求DF的长及 ABF的度数。 考点二:截长补短法: 核心母题如 图 , AD BC, EA, EB分 别 平 分 DAB, CBA, CD过 点 E, 求 证 : AB=AD+BC A C D G E F B 图 24-1 图 24-2 A C D G E F B A BC D 备用图 图a F E C B A 图b F E C B A 练习: 1、如图a, ABC和 CEF是两个大小不等的等边三角形,且有一个公共顶点C,连接 AF和 BE. (1) 线段 AF和 BE有怎样的大小关系?请证明你的结论; (2) 将图a中的 CEF绕点 C旋转一定的角度,得到图b,(1) 中的结论还成立吗?作出
13、判断并说明理由; 、已知:如图,ABC是等边三角形,120BDC , 求证:ADBDCD. 、已知四边形 ABCD中,ABBC,60ABC,P为四边形ABCD的对角线BD上一点,且 120APD,求证:PAPDPCBD 2、在 ABC中,BAC=60 ,C=40,AP平分 BAC交 BC于 P,BQ平分 ABC交 AC于 Q,求证: AB+BP=BQ+AQ。 A B C D P B D C A 3、如图,在ABC中,60ABC,AD ,CE分别为ACBBAC,的平分线,求证:AC=AE+CD 4、如图,在ABC中, AB=AC ,D是 ABC外一点,且ABD=60 , ACD=60 求证: B
14、D+DC=AB 2 1 5、已知:如图在ABC中, AB=AC ,D 为 ABC外一点, ABD=60 , ADB=90 BDC ,求证: AB=BD DC 。 考点三:一线三等角问题(“ K”字图) 核心母题已知:如图,在RtABC中, BAC=90 , AB=AC ,D是 BC边上一点, ADE=45 , AD=DE ,求证: BD=EC. 练习: A B C D E O 1、已 知 : 如 图 , 在 矩 形 ABCD中 , E、 F 分 别 是 边 BC、 AB 上 的 点 , 且 EF=ED, EF ED 求 证 : AE 平 分 BAD 2、 两 个 全 等 的 含 30 , 60
15、角 的 三 角 板 ADE 和 三 角 板 ABC 如 图 所 示 放 置 , E, A, C 三 点 在 一 条 直 线 上 , 连 接 BD, 取 BD 的 中 点 M, 连 接 ME , MC 试 判 断 EMC的 形 状 , 并 说 明 理 由 3、如图,在ABC中,BCACACB,90,直线MN经过点 C,且MNAD于点 D,MNBE于点 E。 (1)当直线MN绕点 C旋转到图( 1)的位置时,求证:DE=AD+BE ; (2)当直线 MN绕点 C旋转到图( 2)的位置时,求证: DE=AD BE ; (3)当直线MN绕点 C 旋转到图( 3)的位置时,试问:DE ,AD ,BE有怎
16、样的等量关系?请写出等量关系,并 加以证明。 4、 如 图 所 示 , AE AB, BC CD且 AB=AE, BC=CD, F、 A、 G、 C、 H 在 同 一 直 线 上 ,如 按 照 图 中 所 标 注 的 数 据 及 符 号 , 则 图 中 实 线 所 围 成 的 图 形 面 积 是 ? A B C N M D E A B C N M D E B C M N E D 6、小雨遇到这样一个问题:如图1,直线l1l2l3,l1与l2之间的距 离 是 1,l2与l3之间的距离是2,试画出一个等腰直角三角形ABC,使三个顶点分别在直线l1、l2、l3上,并求出所画 等腰直角三角形ABC的面
17、积 小雨是这样思考的:要想解决这个问题,首先应想办法利用平行线之间的距离,根据所求图形的性质尝试用 旋转的方法构造全等三角形解决问题具体作法如图2所示:在直线l1任取一点A, 作ADl2于点D, 作DAH=90, 在AH上截取AE=AD,过点E作EBAE交l3于点B,连接AB,作BAC=90,交直线l2于点C,连接BC,即可得 到等腰直角三角形ABC 请你回答:图2 中等腰直角三角形ABC的面积等于 参考小雨同学的方法,解决下列问题: 如图 3,直线l1l2l3, l1与l2之间的距离是2,l2与l3之间的距离是1, 试画出一个等边三角形ABC,使 三个顶点分别在直线l1、l2、l3上,并直接
18、写出所画等边三角形ABC的面积(保留画图痕迹) 7、如图,在平面直角坐标系中,将直角三角形的直角顶点放在P(5,5 )处,两条直角边与坐标轴分别交于点A 和点 B. l1 l2 l3 图 3 l1 l2 l3 图 1 l1 H C B A D E l2 l3 图 2 l1 l2 l3 图 3 CDB P A (1)当点 A、点 B分别在 x 轴、 y 轴正半轴上运动时,试探究OA+0B的值或取值范围; (2)点 A在 x 轴正半轴上运动,点B在 y 轴负半轴上时,试探究OA-OB的值或取值范围,直接写出结果。 9、 已 知 : 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 等 腰 直 角 ABC 顶
19、 点 A、 C 分别 在y 轴 、 x 轴 上 , 且 ACB=90, AC=BC ( 1) 如 图 1, 当 A( 0, -2 ) , C( 1, 0) , 点 B 在 第 四 象 限 时 , 先 写 出 点 B 的 坐 标 , 并 说 明 理 由 ( 2)如 图 2,当 点 C 在 x 轴 正 半 轴 上 运 动 ,点A( 0, a)在y 轴 正 半 轴 上 运 动 ,点B( m, n)在 第 四 象 限 时 , 作 BD y 轴 于 点 D, 试 判 断 a, m, n 之 间 的 关 系 , 请 证 明 你 的 结 论 考点四:角平分线、中垂线法 核心母题 1、在ABC 中, ABAC
20、 , AD 是BAC 的平分线P 是 AD 上任意一点 求证: ABACPBPC 2、已 知 等 腰 直 角 三 角 形ABC, BC 是 斜 边 B 的 角 平 分 线 交 AC于D, 过 C 作 CE 与 BD 垂 直 且 交 BD 延 长 线 于 E, 求 证 : BD=2CE D P CB A 3、如图,ABC的边 BC的中垂线 DF交 BAC的外角平分线AD于 D, F 为垂足, DE AB于 E,且 AB AC ,求证: BE-AC=AE 练习 1、如图所示,在ABC 中, AD 是BAC 的外角平分线,P 是 AD 上异于点 A的任意一点,试比较 PBPC与ABAC的大小,并说明
21、理由 2、 如 图 所 示 : ABC 的 平 分 线 BF 与 ABC中 ACB 的 相 邻 外 角 ACG的 平 分 线CF 相 交 于 点 F, 过 F 作 DF BC, 交 AB于 D, 交 AC 于 E 问 :( 1)写 出 图 中 的 等 腰 三 角 形 并 说 明 理 由 ( 2) 若 BD=8cm, DE=3cm, 求 CE 的 长 3、在ABC中,,2ABAC AD平分BAC,E是AD中点,连结CE,求证: 2BDCE F G ED C B A 4、如 图 , ABC 中 , ABC=2 C, BE平 分 ABC 交 AC 于 E、 AD BE 于 D, 求 证 : ( 1)
22、 AC-BE=AE ; ( 2) AC=2BD 5、 如 图 , 在 ABC 中 , AB AC, E 为BC 边 的 中 点 , AD 为 BAC的平分 线 , 过 E 作 AD 的 平 行 线 , 交 AB于 F, 交 CA 的 延 长 线 于 G求证: BF=CG 变式一:如图,在ABC 中, AD 交 BC 于点 D ,点 E 是 BC 中点, EFAD交 CA 的延长线于点F ,交 AB于点 G ,若 BGCF ,求证: AD 为BAC 的角平分线 变式二:已知:ABC中, AD是 ABC的角平分线, M为 BC的中点,过点M作MN AD ,交 AC于点 N , 求证: AN+AB=
23、NC. 变式三:在ABC中,AD是ABC的角平分线 (1)如图 1,过C作CEAD交BA延长线于点E,若F为CE的中点,连结AF, 求证:AFAD; (2)如图 2,M为BC的中点,过M作MNAD交AC于点N,若AB=4, AC=7, 求NC的长 6、如图,已知ABC中, AB AC , A100, B的平分线交AC于 D, 求证: AD BD BC 7、如图,在 ABC中, AD BC于 D,CD AB BD , B的平分线交AC于点 E,求证:点E恰好在 BC的垂直平分 线上。 8、如图 1,在 ABC中, ACB=2 B , BAC的平分线AO交 BC于点 D,点 H为 AO上一动点,过
24、点H作直线 l AO于 H,分别交直线AB 、AC 、BC于点 N、E、M A C B D E A D B C 图 1 图 2 2 1 E CB A (1)当直线l 经过点 C时(如图2) ,证明: BN=CD ; (2)当 M是 BC中点时,写出CE和 CD之间的等量关系,并加以证明; (3)请直接写出BN 、CE 、 CD之间的等量关系 9、如图所示,在ABC中, ABC=3 C,AD是 BAC的平分线, BEAD于 F,求证: 2BE=AC-AB 变式:如图,已知在ABC 中,3ABCC ,12,BEAE 求证: 2A CA BB E 10、如图所示,在ABC 中, AD 平分BAC ,
25、ADAB, CMAD 于 M ,求 证 2A BA CA M M D CB A 变式一:如图1=2,B为 AC中点, CM FB于 M ,ANFB于 N,求证:EF=2BM ; FB= 2 1 (FM+FN ) 变 式 二 : 如 图 , 在 ODC中 , , 0 9 0D CEOEDCOEC的角平分线,且是 , 过 点E作 之间的关系,并证明与猜想:线段于点交ODEFFOCOCEF 变式三:如图所示,在ABC中, AC AB ,M为 BC的中点, AD是 BAC的平分线,若CF AD且交 AD的延长线于 F,求证: MF= 2 1 (ACAB ) 。 M F D C B A 考点五:角含半角
26、、等腰三角形的(绕顶点)旋转重合法 核心母题如图,在正方形ABCD 中, E、F 分别是 BC 、CD边上的点,EAF=45 ,求证: EF=BE+DF. 变式一:如图,E、F 分别是边长为 1 的正方形ABCD 的边 BC 、CD上的点 , 若 ECF的周长是2,求 EAF的度数 ? 变式二:如图,在正方形ABCD 中, E 、 F分别是 BC 、 CD边上的点,EAQ=45 , AH EF,求证: AH=AB. 综合:在正方形ABCD中,若M、N分别在边BC、CD上移动,且满足MN=BM +DN, 求证: .MAN= 45 . ABC CMN 2 .AM 、AN分别平分BMN和DNM. 练
27、习 1、如图,在四边形ABCD 中, AB=BC, A=C=90, B=135, K、N分别是 AB 、BC上的点,若 BKN的周长是AB的 2 倍,求 KDN的度数? 2、 已 知 :正 方 形 ABCD中 , MAN=45, MAN绕 点 A 顺 时 针 旋 转 ,它 的 两 边 分 别 交 CB、 DC ( 或 它 们 的 延 长 线 ) 于 点 M、 N 当 MAN绕 点 A 旋 转 到 BM=DN时 ( 如 图 1) , 易 证 BM+DN=MN ( 1)当 MAN绕 点 A 旋 转 到 BM DN 时( 如 图 2) ,线 段 BM、 DN 和 MN之 间 有 怎 样 的 数 量
28、关 系 ? 写 出 猜 想 , 并 加 以 证 明 ; ( 2)当 MAN绕 点 A 旋 转 到 如 图 3的 位 置 时 ,线 段 BM 、DN 和 MN之 间 又 有 怎 样 的 数 量 关 系 ? 请 直 接 写 出 你 的 猜 想 3、如图,在四边形ABCD中, AB=AD , , B+D=180, E、F 分别是边BC 、CD上的点,且2EAF= BAD , (1)求证: EF=BE+FD (2)如果 E、F 分别是边BC 、CD延长线上的点,其他条件不变,结论是否仍然成立?说明理由。 5、如图所示,在五边形ABCDE 中, AB=AE ,BC+DE=CD, ABC+ AED=180
29、 求证: AD平分 CDE. 6、 如 图 , 已 知 AB=CD=AE=BC+DE=2, ABC= AED=90, 求 五 边 形 ABCDE的 面 积 7、 如 图 1在 四 边 形 ABCD中 AB=AD, B+ D=180 , E、 F 分 别 是 边 BC、CD 上 的 点 ,且 BAD=2 EAF ( 1) 求 证 : EF=BE+DF; ( 2)在(1)问 中 ,若 将 AEF 绕 点 A 逆 时 针 旋 转 ,当 点 E、 F 分 别 运 动 到 BC、 CD延 长 线 上 时 ,如 图 2 所 示 , 试 探 究 EF、 BE、 DF 之 间 的 数 量 关 系 8、 如 图
30、 , 在 ABC 中 , ACB=90, AC=BC, P 是 ABC 内 一 点 , 且 PA=3, PC=2, PB=1 求 BPC 的 度 数 考点六:构造特殊三角形 核心母题如 图 , 在 ABC 中 , AD 交 边 BC 于 点 D, BAD=15, ADC=4 BAD, DC=2BD ( 1) 求 B 的 度 数 ; ( 2) 求 证 : CAD= B 练习 1、在平面直角坐标系中,点 A(2,0)、B(0,4) ,以 AB为斜边作等腰直角ABC ,则点 C的坐 标为? 2、如图,在正方形网格图中,求1 2 3 的度数和。 3、已知:平面直角坐标系中的三个点,A(1,0 ) 、B
31、(2,1) 、C(0,3 ) ,求OCA+ OCB的度数 . 4、已知2AD,4BD,以AB为一边作等边三角形ABC.使C、D两 点落在直线AB的两侧 . (1)如图,当ADB=60时,求AB及CD的长; A C E D C B A 图( 3) CB D A E (2)当ADB变化,且其它条件不变时,求CD 的 最大值,及相应ADB的大小 . 5 、 已 知 :2PA,4PB, 以A B为 一 边 作 正 方 形A BCD, 使P、 D两 点 落 在 直 线AB 的两侧 . (1)如图,当APB=45时,求AB及PD的长; (2)当APB变化,且其它条件不变时,求PD 的 最大值,及相应APB的大小 . 6、在四边形ABDE中,C是BD边的中点 (1)如图 (1) ,若AC平分BAE,ACE=90, 则线段AE 、AB 、DE的长度满足的数量关系为?(直接写出 答案) (2)如图( 2) ,AC平分BAE, EC平分AED, 若120ACE,则线段AB 、BD 、DE 、AE的长度满足怎样的数量关系?写出结论并证明; (3)如图( 3) ,BD = 8,AB=2,DE=8, ACE=120 ,则线段AE长度的最大值是多少?如果 ACE=135 ,此时线段AE长度的最大值是多少? E DC B A