人教版八年级数学分式知识点及典型例题.pdf

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1、分式的知识点及典型例题分析 1、分式的定义： 例：下列式子中， yx 15 、8a2b、- 23 9a 、 yx ba 2 5 、 4 3 22 ba 、2- a 2 、 m 1 、 6 5xy x 1 、 2 1 、 2 1 2 x 、 xy3 、 yx 3 、 m a 1 中分式的个数为（）（A） 2 （B）3 （C） 4 (D) 5 练习题： （1）下列式子中，是分式的有 . 27 5 x x ； 1 23 x ； 2 5a a ； 2 2xx ； 2 2 b b ； 22 2 xy xy . （2）下列式子，哪些是分式？ 5 a ； 2 3 4x ； 3 y y ； 7 8 x ； 2

2、 xxy xy ； 1 45 b . 2、分式有，无意义，总有意义： （1）使分式有意义：令分母 0 按解方程的方法去求解； （2）使分式无意义：令分母 =0 按解方程的方法去求解； 注意： （1 2 x0） 例 1：当 x 时，分式 5 1 x 有意义；例 2：分式 x x 2 12 中，当_x时，分式没 有意义 例 3：当 x 时，分式 1 1 2 x 有意义。例 4：当 x 时，分式 1 2 x x 有 意义 例 5：x， y 满足关系时，分式 xy xy 无意义； 例 6：无论 x 取什么数时，总是有意义的分式是（） A 1 2 2 x x B. 12x x C. 1 3 3 x x

3、D. 2 5 x x 例 7： 使分式 2x x 有意义的 x的取值范围为（） A2xB2xC2xD2x 例 8： 要是分式 )3)(1( 2 xx x 没有意义，则 x 的值为 （） A. 2 B.-1 或-3 C. -1 D.3 同步练习题： 3、分式的值为零： 使分式值为零：令分子 =0 且分母0，注意：当分子等于0 使，看看是否使分母 =0 了，如果 使分母 =0 了，那么要舍去。 例 1：当 x 时，分式 1 21 a a 的值为 0例 2：当 x 时，分式 1 1 2 x x 的 值为 0 例 3：如果分式 2 2 a a 的值为为零 ,则 a的值为 ( ) A. 2B.2 C.

4、2D.以 上全不对 例 4：能使分式 1 2 2 x xx 的值为零的所有x的值是 （） A 0xB 1xC0x或1xD0x或1x 例 5：要使分式 65 9 2 2 xx x 的值为 0，则 x 的值为（）A.3 或-3 B.3 C.-3 D 2 例 6：若01 a a ,则 a 是( )A.正数B.负数C.零D.任意有理数 4、分式的基本性质的应用： 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0 的整式，分式的值不变。 例 1： abya xy ； zyzy zyx 2 )(3 )(6 ；如果 7 5 )13(7 )13(5 a a 成立,则 a 的取值范围是 _； 例 2： )

5、( 1 33 2 ba ab )( cb a cb CB CA B A CB CA B A 0C 例 3：如果把分式 ba ba2 中的 a 和 b 都扩大 10倍，那么分式的值（） A、扩大 10倍 B、缩小 10 倍 C、是原来的 20 倍 D、不变 例 4：如果把分式 yx x10 中的 x，y 都扩大 10 倍，则分式的值（） A扩大 100倍 B扩大 10 倍 C不变 D缩小到原来的 10 1 例 5：如果把分式 yx xy 中的 x 和 y 都扩大 2 倍，即分式的值（） A、扩大 2 倍；B、扩大 4 倍；C、不变；D 缩小 2 倍 例 6：如果把分式 yx yx 中的 x 和

6、y 都扩大 2 倍，即分式的值（） A、扩大 2 倍；B、扩大 4 倍；C、不变；D 缩小 2 倍 例 7：如果把分式 xy yx 中的 x 和 y 都扩大 2 倍，即分式的值（） A、扩大 2 倍；B、扩大 4 倍；C、不变；D 缩小 2 1 倍 例 8：若把分式 x yx 2 3 的 x、y 同时缩小 12倍，则分式的值（） A扩大 12倍B缩小 12 倍C不变D缩小 6 倍 例 9：若 x、y 的值均扩大为原来的2 倍，则下列分式的值保持不变的是（） A、 y x 2 3 B、 2 2 3 y x C、 y x 2 3 2 D、 2 3 2 3 y x 例 10：根据分式的基本性质，分式

7、 ba a 可变形为（） A ba a B ba a C ba a D ba a 例 11：不改变分式的值， 使分式的分子、 分母中各项系数都为整数， 05.0 012.02 .0 x x ； 例 12： 不改变分式的值， 使分子、分母最高次项的系数为正数， 2 1 1 xx x = 。 5、分式的约分及最简分式： 约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分 分式约分的依据：分式的基本性质 分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式 约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式） 约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主

8、要分数字，同字母进行约分。 第二类：分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的 因式约去。 例 1：下列式子（1） yxyx yx1 22 ； （2） ca ba ac ab ； （3）1 ba ab ； （4） yx yx yx yx 中正确的是（）A 、1 个B 、2 个C、 3 个D、 4 个 例 2：下列约分正确的是（） A、 3 2 6 x x x ；B、0 yx yx ；C、 xxyx yx1 2 ；D、 2 1 4 2 2 2 yx xy 例 3：下列式子正确的是 ( ) A0 2 2 yx yx B.1 ya ya C. x zy x z x y

9、D.0 a dcdc a dc a dc 例 4：下列运算正确的是（） A、 aa abab B 、 241 2xx C、 2 2 aa bb D、 111 2mmm 例 5：下列式子正确的是（） A 2 2 a b a b B0 ba ba C1 ba ba D ba ba ba ba 2 3 2. 0 3 . 01.0 例 6：化简 2 2 9 3 m mm 的结果是（）A、 3m m B、 3m m C、 3m m D、 m m 3 例 7： 约分： 2 2 6 4 xy yx ； 9 3 2 x x = ； xyxy 1 3 2 ； yx yx yx 53 6.0 3 1 5 1 。

10、例 8：约分： 2 2 4 44 a aa ； yx xy 2 16 4 ； )( )( bab baa ； 2 )(yx yx 22 yx ayax ； 168 16 2 2 xx x ； 62 9 2 x x 23 3 14 _ 21 a bc a bc 2 9 _ 3 m mba ab 2 20 5 _ 96 9 2 2 xx x _。 例 9：分式 3a 2a 2 ， 22 ba ba ， )ba(12 a4 ， 2x 1 中，最简分式有 ( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 6、分式的乘，除，乘方： 分式的乘法：乘法法测： b a d c = bd ac . 分式的除法：除

11、法法则： b a d c = b a c d = bc ad 分式的乘方：求 n 个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是 ( b a )n.分式的乘方， 是把分子、分母各自乘方 .用式子表示为： ( b a )n= n n b a (n 为正整数 ) 例题： 计算： （1） 7 4 6 2 39 25 15 26 y x x x （2） 13 4 10 43 100 56 125 16 a x a yx （3） a aa 1 计算： （4） 2 422 2 aab aba aba ba （5） 4 25 5 2 2 2 x x x x （6） 2 1 44 1 2 2 a a aa

12、 a 计算： （7） 3 22 3 4 6 y x yx（8） a b ab 2 3 6 2 （9） 2xy xyx xy 计 算 ：（ 10 ） 22 2 21 10 6 5 3 2 x y x y y x （ 11 ） 2 22 13 (1) 69 xx x xxxx （ 12 ） 2 2 12 1 441 aa a aaa 计算： （13） 1 1 12 4 2 1 22 2 aaa a a a （14） 6 3 3 44 62 22 aa a a aa a 求值题： （1）已知： 4 3 y x ，求 xyx yxy yxyx yx 2 2 22 22 2 的值。 （2）已知：xyyx

13、39，求 22 22 yx yx 的值。 （3）已知：3 11 yx ，求 yxyx yxyx 2 232 的值。 例题： 计算： （1） 2 32 () 3 y x （2） 5 2 b a = （3） 3 2 3 2 3 x y = 计算： （4） 3 2 2 2a b = （5） 4 3 2 2 ab a b b a （6） 22 2 2 1 1 11a a a a a aa 求值题： （1）已知： 432 zyx 求 222 zyx xzyzxy 的值。 （2）已知：032510 2 yxx求 yxy xx 22 2 的值。 例题：计算 yx x x yx yx 2 2 2 )(的结果是

14、（）A yx x 2 2 Byx 2 C y 1 D y1 1 例题：化简 xy x x 1 的结果是（）A. 1 B. xy C. x y D . y x 计算： （1） 42 2 44 82 2 3 x x xx xx ； （2） 1 22 1 12 2 2 x x x xx （3）(a 21) 2 22 21 a aa 1 22 a a 7、分式的通分及最简公分母： 通分：主要分为两类：第一类：分母是单项式；第二类：分母是多项式（要先把分母因式分 解） 分为三种类型：“二、三”型；“二、四”型；“四、六”型等三种类型。 “二、三”型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是它们的乘积。 例

15、如： 22 2 x x x 最简公分母就是22 xx。 “二、四”型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母。 例如： 42 2 2 x x x 最简公分母就是224 2 xxx “四、六”型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分母要有独特的； 相同的都要有。 例如： 2 2 22xxx x 最简公分母是：22xx 这些类型自己要在做题过程中仔细地去了解和应用，仔细的去发现之间的区别与联系。 例 1：分式 nmnmnm 2 , 1 , 1 22 的最简公分母是（） A)( 22 nmnm B 222 )(nm C)()( 2 nmnm D 22 nm

16、例 2：对分式 2 y x ， 2 3 x y ， 1 4xy 通分时，最简公分母是（） A x 2y B 例 3：下面各分式： 2 2 1x xx , 22 xy xy , 1 1 x x , 22 22 xy xy ，其中最简分式有（）个。 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 例 4：分式 4 1 2 a ， 42a a 的最简公分母是. 例 5：分式 a 与 1 b 的最简公分母为 _ ； 例 6：分式 xyxyx 222 1 , 1 的最简公分母为。 8、分式的加减： 分式加减主体分为：同分母和异分母分式加减。 1、同分母分式不用通分，分母不变，分子相加减。 2、异分母分式要先通分

17、，在变成同分母分式就可以了。 通分方法：先观察分母是单项式还是多项式，如果是单项式那就继续考虑是什么类型，找出 最简公分母，进行通分；如果是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型， 继续通分。 分类：第一类：是分式之间的加减，第二类：是整式与分式的加减。 例 1： m n m 22 = 例 2： 1 4 1 32 2 2 2 2 a a a a = 例 3： xy x yx y = 例 4： 222222 22 yx x xy y yx yx = 计算： （1） 41 33 m mm （2） ab b ba a （3） 2 2 2 2 )()(ab b ba a （4） 2 2

18、53a b ab 2 2 35a b ab 2 2 8a b ab . 例 5：化简 1 x + 1 2x + 1 3x 等于（） A 1 2x B 3 2x C 11 6x D 5 6x 例 6： c a b c a b 例 7： 2 21 42 a aa 例 8： x x x x 3)3( 3 2 例 9： xxx x x x1 3 6 3 2 例 10： 2 21 2 a aa 2 2 4 a a 例 11： 1 1 a a a 例 12： 2 1 1 x x x 练习题： （1） 22 ab ab ba b （2） x x xx2 1 4 4 2 1 2 （3） 2 12 9a + 2

19、 3a . （4）ba b-a b 2 （5） 2 xy xyyx 例 13：计算 1 1 a a a的结果是（）A 1 1 a B 1 1 a C 1 1 2 a aa D 1a 例 14：请先化简： 2 12 24 x xx ，然后选择一个使原式有意义而又喜欢的数代入求值. 例 15：已知：034 2 xx求 44 21 2 2 xx x x x 的值。 9、分式的混合运算： 例 1： 44 2 16 4 2 x x xx 例 2： 34 12 1 3 1 1 2 2 2 xx xx x x x 例 3： 2 2 2 ) 2 2 2 2 ( x xx x x x x 例 4： 13 4 2

20、 x x x 例 5： 11 1 1 x x x 例 6： 22 22 442 1 yxyx yx yx yx 例 7 22 112 () 2 y xyxyxxyy 例 8： xxx x xx x1 12 1 22 例 9： x x xx x xx x4 ) 44 1 2 2 ( 22 练习题： 10、分式求值问题： 例 1：已知 x 为整数，且 2 3x + 2 3x + 2 218 9 x x 为整数，求所有符合条件的x 值的和 . 例 2：已知 x2，y 1 2 ，求 22 2424 ()()xyxy 11 xyxy 的值. 例 3：已知实数 x 满足 4x2-4x+l=O，则代数式 2

21、x+ x2 1 的值为 _ 例 4：已知实数 a 满足 a22a8=0，求 34 12 1 3 1 1 2 2 2 aa aa a a a 的值. 例 5：若 1 3x x 求 1 24 2 xx x 的值是（） A 8 1 B 10 1 C 2 1 D 4 1 例 6：已知 11 3 xy ，求代数式 2142 2 xxyy xxyy 的值 例 7：先化简，再对a取一个合适的数，代入求值 2 2 1369 324 aaaa aaa 练习题： （1） 168 4 2 2 xx xx ，其中 x=5. （2） 16 168 2 2 a aa , 其中 a=5 （3） 22 2 2baba aba

22、 , 其中 a=-3，b=2 （4） 2 1 44 1 2 2 a a aa a ；其中 a=85；（5） x x xx x xx x4 ) 44 1 2 2 ( 22 ，其中 x= -1 （6）先化简，再求值： 3 24 x x (x+2 5 2x ).其中 x2. （7） 3, 3 2 , 1)() 2 ( 22 2 22 2 ba ba a ba a baba a ba a 其中 输入 n 计算 n（ n+1） n 50 Yes No 输出结果m （8）先化简， 2 11 1 x xx ，再选择一个你喜欢的数代入求值 11、分式其他类型试题： 例 1：观察下面一列有规律的数： 3 2 ，

23、 8 3 ， 15 4 ， 24 5 ， 35 6 ， 48 7 ，根据其规律可知第 个数应是（ n 为正整数） 例 2： 观察下面一列分式： 2345 124816 ,., x xxxx 根据你的发现，它的第8 项是， 第 n 项是。 例 3：按图示的程序计算，若开始输入的n 值为 4，则最后输出的结果m是（） A 10 B 20 C 55 D 50 例 4：当 x=_时,分式 x5 1 与 x32 10 互为相反数 . 例 5：在正数范围内定义一种运算，其规则为ab ba 11 ，根据这个规则x 2 3 ) 1(x 的解为 （） A 3 2 xB1xC 3 2 x或 1 D 3 2 x或1

24、 例 6：已知 4)4( 4 22 x CBx x A xx ，则_,_,CBA； 例7： 已知 37 (1)(2)12 yAB yyyy ，则（） A 10,13AB B 10,13AB C 10,13AB D 10,13AB 例 8：已知yx32，求 22 2 22 yx y yx xy 的值； 例 9： 设mnnm,则 nm 11 的值是( ) A. mn 1 B.0 C.1 D.1 例 10：请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式 2 44 2 2 4 2 2 例 11：先填空后计算： 1 11 nn = 。 2 1 1 1 nn = 。 3 1 2 1 nn = 。

25、（3 分） （本小题 4分）计算： )2008)(2007( 1 )3)(2( 1 )2)(1( 1 )1( 1 nnnnnnnn 解： )2008)(2007( 1 )3)(2( 1 )2)(1( 1 )1( 1 nnnnnnnn = 12、化为一元一次的分式方程： （1）分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程分式方程。 （2）解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程 转化为整式方程。解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为， 这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。 （3）解分式方程的步骤： （1）能化简的先化简； (2)方程两

26、边同乘以最简公分母，化 为整式方程； (3)解整式方程； (4)验根 例 1：如果分式 12 1 x x 的值为 1，则 x 的值是； 例 2：要使 2 4 1 5 xx 与的值相等，则 x=_ 。 例 3：当 m=_ 时，方程 21mx mx =2 的根为 1 2 . 例 4：如果方程3 ) 1( 2 xa 的解是 x5，则 a。 例 5：(1) 1 32 xx (2) 1 3 1 3 2 xx x 例 6: 解方程： 2 2 4 16 2 2 2 x x xx x 例 7：已知：关于 x 的方程 x x x a 3 4 3 1无解，求 a的值。 例 8：已知关于 x 的方程1 2x ax

27、的根是正数，求 a的取值范围。 例 9：若分式 2 1 x 与 3 2 x x 的 2 倍互为相反数， 则所列方程为 _ ； 例 10：当 m为何值时间？关于x的方程 2 1 12 2 x x x x xx m 的解为负数？ 例 11：解关于x的方程)0(2a a bx a xb 例 12：解关于 x 的方程 :)0( 211 22 a ba a ba x ba x 例 13：当 a为何值时 , )1)(2( 2 1 2 2 1 xx ax x x x x 的解是负数 ? 例 14：先化简 ,再求值 :2 22 )( 22 2 yx x yx yx yx x ,其中 x,y 满足方程组 2 3

28、2 yx yx 例 15 知关于 x 的方程 )1)(2(12 1 xx m x x x x 的解为负值，求m的取值范围。 练习题： (1) 16 4 4 1 2 xx (2)0 )1( 2 1 3 xx x x (3) XXX1 5 1 3 1 1 2 (4) 6 2 5x x x x (5) 2 1 63 52 42 45 x x x x (6) 1 1 1 1 2 xx (7) x x x2 1 3 2 1 (8） 2 1212 339xxx （9）3 1 1 22 3 xx 13、分式方程的增根问题： （1）增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式

29、方程的根。 （2）分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则 整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 例 1：分式方程 3x x +1= 3x m 有增根，则 m= 例 2：当 k 的值等于时，关于 x 的方程 3 4 2 3x x x k 不会产生增根； 例 3：若解关于 x 的分式方程2 3 42 2 2 xx mx x会产生增根，求m的值。 例 4：m取时，方程 3 2 3x m x x 会产生增根； 例 5：若关于 x 的分式方程 3 2 3 2 x m x x 无解，则 m的值为 _ 。 例 6：当 k 取什么值时？分式方程0

30、 111 xkx xxx 有增根 . 例 7： 若方程 44 1 x m x x 有增根，则 m的值是（） A 4 B 3 C-3 D 1 例 8：若方程 34 2(2) a xxx x 有增根，则增根可能为（） A、0 B、2 C、0 或 2 D、1 14、分式的求值问题： 例 1：已知 3 1 b a ，分式 ba ba 52 的值为； 例 2：若 ab=1，则 1 1 1 1 ba 的值为。 例 3：已知 1 3a a ，那么 2 2 1 a a _ ； 例 4：已知3 11 yx ，则 yxyx yxyx55 的值为（）A 2 7 B 2 7 C 7 2 D 7 2 例 5：已知yx3

31、2，求 22 2 22 yx y yx xy 的值； 例 6：如果 b a =2，则 22 22 ba baba = 例 7：已知 2x a 与 2x b 的和等于 4 4 2 x x ，则 a= , b = 。 例 8：若0yxxy，则分式 xy 11 （）A、 xy 1 B、xy C 、1 D 、1 例 9：有一道题“先化简，再求值： 22 241 244 xx xxx （），其中3x。 ”小玲做题时把 “3x”错抄成了“3x” ，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？ 例 10：有这样一道数学题 : “己知 :a=2005, 求代数式 a(1+ a 1 ) 1 1 2 a a

32、的值” , 王东在计算时 错把“ a=2005”抄成了“ a=2050” ，但他的计算结果仍然正确，请你说说这是怎么回事。 例 11：有这样一道题： “计算： 2 22 211 1 xxx x xxx 的值，其中2007x” ，某同学把2007x 错抄成2008x，但它的结果与正确答案相同，你说这是怎么回事？ 例题：已知3 1 x x，求 1 24 2 xx x 的值。 15、分式的应用题： （1）列方程应用题的步骤是什么？ (1) 审；(2) 设；(3) 列；(4) 解；(5) 答 （2）应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有四种： a. 行程问题：基本公式：路程=速度时间而行程问题中又

33、分相遇问题、追及问题 b. 数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法 c. 工程问题：基本公式：工作量 =工时工效 d. 顺水逆水问题 : v顺水=v静水+v水 v逆水=v静水-v水 工程问题： 例 1： 一项工程，甲需 x 小时完成，乙需 y 小时完成，则两人一起完成这项工程需要_ 小 时。 例 2：小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6 个字，小明打120 个字所用 的时间和小张打 180个字所用的时间相等。 设小明打字速度为x 个/ 分钟，则列方程正确的是 （） A xx 180 6 120 B xx 180 6 120 C 6 180120 xx D 6 180120

34、xx 例 3：某工程需要在规定日期内完成, 如果甲工程队独做 , 恰好如期完成 ; 如果乙工作队独做 , 则超过规定日 期 3 天, 现在甲、乙两队合作 2 天, 剩下的由乙队独做 , 恰好在规定日期完成 , 求规定日期 . 如果 设规定日期 为 x 天, 下面所列方程中错误的是( ) A. 2 1 3 x xx ; B. 23 3xx ; C. 112 21 33 x xxx ; D. 1 1 3 x xx 例 4：一件工程甲单独做a小时完成，乙单独做 b 小时完成，甲、乙二人合作完成此项工作需 要的小时数 是（） （A）ba（B） ba 11 （C ） ba 1 （D） ba ab 例 5

35、：赵强同学借了一本书，共280 页，要在两周借期内读完，当他读了一半时，发现平时 每天要多读 21 页才能在借期内读完 . 他读了前一半时 , 平均每天读多少页 ?如果设读前一半时 , 平均每天读 x 页, 则下列方程中 , 正确的是（） A、14 21 140140 xx B 、14 21 280280 xx B 、1 21 1010 xx D、14 21 140140 xx 例 6：某煤厂原计划x天生产 120 吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产3 吨，因此提前 2 天完成任务，列出方程为（） A 3 120 2 120 xx B 3 2 120120 xx C 3 120 2 120

36、xx D 3 2 120120 xx 例 7：某工地调来 72 人参加挖土和运土工作，已知3 人挖出的土 1 人恰好能全部运走，问怎 样调配劳动力才使挖出来的土能及时运走且不窝工？要解决此问题，可设派x人挖土列方 程 721 3 x x ； 72 3 x x；372xx；3 72 x x 例 8：八（ 1） 、八（2）两班同学参加绿化祖国植树活动，已知八（1）班每小时比八（ 2）班 多种 2 棵树，八（1）班种 66 棵树所用时间与八 （2）班种 60 棵树所用时间相同， 求：八（1） 、 八（2）两班每小时各种几棵树？ 例 9：某一一项工程预计在规定的日期内完成，如果甲独做刚好能完成，如果乙

37、独做就要超 过日期 3 天，现在甲、乙两人合做2 天，剩下的工程由乙独做，刚刚好在规定的日期完成， 问规定日期是几天？ 例 10：服装厂接到加工720 件衣服的订单，预计每天做48 件，正好可以按时完成，后因客 户要求提前 5天交货，则每天应比原计划多做多少件？ 例 11：为加快西部大开发的步伐，决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程。如果 甲工程队单独施工， 则刚好可以按期完成； 如果乙工程队单独施工就要超过6 个月才能完成。 现在甲、乙两队先共同施工4 个月，剩下的由乙队单独施工，则也刚好可以按期完成。问师 宗县原来规定修好这条公路需多长时间？ 例 12：某工程由甲、乙两队合做6 天

38、完成，厂家需付甲、乙两队共4350 元；乙、丙两队合 做 10 天完成，厂家需付乙、丙两队共4750 元；甲、丙两队合做5 天完成全部工程的 3 2 ，厂 家需付甲、丙两队共2750 元。 （1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？ （2）若工期要求不超过20 天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说 明理由。 价格价钱问题： 例 1： “五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价 为 180 元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3 元钱车费，设参加游览 的同学共 x 人，则所列方程为（） A3 2 180180 xx B

39、3 180 2 180 xx C 3 2 180180 xx D3 180 2 180 xx 例 2：用价值 100 元的甲种涂料与价值240 元的乙种涂料配制成一种新涂料，其每千克售价 比甲种涂料每千克售价少3 元，比乙种涂料每千克的售价多1 元，求这种新涂料每千克的 售价是多少元？若设这种新涂料每千克的售价为x 元，?则根据题意可列方程为 _ 例 3：某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150 人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别 为 600 元和 1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2 倍，问甲、乙同种工种 各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？ 例 4：为了帮助遭受自

40、然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款 总额为 4800元，第二次捐款总额为5000 元，第二次捐款人数比第一次捐款人数多20 人，而 且两次人均捐款额恰好相等。那么这两次各有多少人进行捐款？ 例 5： 随着 IT 技术的普及，越来越多的学校开设了微机课. 某初中计划拿出 72 万元购买电脑， 由于团体购买，结果每台电脑的价格比计划降低了500 元，因此实际支出了64 万元. 学校共 买了多少台电脑？若每台电脑每天最多可使用4 节课，这些电脑每天最多可供多少学生上微 机课？ (该校上微机课时规定为单人单机) 例 6：光明中学两名教师带领若干名三好学生去参加夏令营活动，联

41、系了甲、乙两家旅游公 司，甲公司提供的优惠条件是：1 名教师收行业统一规定的全票，其余的人按7.5折收费，乙 公司则是：所有人全部按8 折收费经核算甲公司的优惠价比乙公司的优惠价便宜 1 32 ，那么 参加活动的学生人数是多少人？ 例 7：北京奥运 “ 祥云” 火炬 2008年 5 月 7 日在羊城传递，熊熊燃烧的奥运圣火将在羊城传递 和平、友谊、 进步的 “ 和平之旅 ” ，广州市民万众喜迎奥运。某商厦用8 万元购进奥运纪念运动休闲衫，面 市后供不应求， 商厦又用 17.6 万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2 倍，但单价贵了 4 元，商厦销 售这种运动休闲衫时每件定价都是

42、58 元，最后剩下的 150 件按八折销售，很快售完，请问在 这两笔生意 中，商厦共赢利多少元？ 顺水逆水问题： 例 1：A、B两地相距 48 千米，一艘轮船从 A地顺流航行至 B地，又立即从 B地逆流返回 A地， 共用去 9 小时， 已知水流速度为4千米/ 时， 若设该轮船在静水中的速度为x 千米/ 时， 则可列方程（） A、9 4 48 4 48 xx B 、9 4 48 4 48 xx C 、94 48 x D 、9 4 96 4 96 xx 例 2：一只船顺流航行90km 与逆流航行 60km 所用的时间相等，若水流速度是2km/h，求船 在静水中的速度，设船在静水中速度为xkm/h，

43、则可列方程（） A、 2 90 x = 2 60 x B、 2 90 x = 2 60 x C、 x 90 +3= x 60 D、 x 60 +3= x 90 例 3：轮船顺流航行66 千米所需时间和逆流航行48 千米所需时间相同，已知水流速度是每 小时 3 千米，求轮船在静水中的速度。 行程问题： 例 1：在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时V1千米，下坡时的速度为每小时V2千 米，则他在这 段路上、下坡的平均速度是每小时（） A、 2 21 vv 千米 B、 21 21 vv vv 千米 C、 21 21 2 vv vv 千米 D、无法确定 例 2：甲、乙两人分别从两地同时出发，若相

44、向而行，则a小时相遇；若同向而行，则b 小时 甲追上乙那么甲的速度是乙的速度的（） ab b 倍 b ab 倍 ba ba 倍 ba ba 倍 例 3：八年级 A、B两班学生去距学校4.5 千米的石湖公园游玩， A班学生步行出发半小时后， B 班学生骑自行车开始出发，结果两班学生同时到达石湖公园，如果骑自行车的速度是步行 速度的 3 倍，求步行和骑自行车的速度各是多少千米/ 小时？ 例 4：A、B 两地的距离是 80 公里，一辆公共汽车从A 地驶出 3 小时后，一辆小汽车也从A 地出发，它的速度是公共汽车的3 倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达 B 地，求两车的 速度。 例 5：甲、乙两火

45、车站相距1280千米，采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是原来 速度的 3.2 倍，从甲站到乙站的时间缩短了11小时，求列车提速后的速度。 数字问题： 例 1：一个分数的分子比分母小6, 如果分子分母都加1, 则这个分数等于 4 1 , 求这个分数 . 例 2：一个两位数，个位数字是2，如果把十位数字与个位数字对调，所得到的新的两位数与 原来的两位数之比是7：4，求原来的两位数。 例 3：一个分数的分母加上5，分子加上 4，其结果仍是原来的分数，求这个分数。 例 4：一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小2，个位上的数字加上8 以后去除这个两 位数时， 所得到的商是 2，求这个两位数。

46、 16、公式变形问题： 例 1： 一根蜡烛在凸透镜下成实像， 物距为 U 像距为 V， 凸透镜的焦距为 F， 且满足 FVU 111 ， 则用 U、V 表示 F 应是（） （A） UV VU （B） VU UV （C） V U （D） U V 例 2：已知公式 12 111 RRR （ 12 RR） ，则表示1R的公式是（） A 2 1 2 RR R RR B 2 1 2 RR R RR C 12 1 2 ()R RR R R D 2 1 2 RR R RR 例 3：一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距u，像距 v 和凸透镜的焦距 f 满足关系式： 1 u 1 v 1 f . 若 f 6 厘米， v8 厘米，则物距 u厘米. 例 4：已知梯形面积,)( 2 1 hbaSS、a、b、h 都大于零，下列变形错误是（） A ba S h 2 B. b h S a 2 C.a h S b 2 D. )(2ba S h 例 5：已知 b b a a N ba Mab 11 , 1 1 1 1 , 1,则 M 与 N 的关系为 ( ) A.MNB.M=NC.MN D.不能确定 .