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1、二次根式 1、算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于 a，那么这个正数x 叫做 a 的算术平方根。 2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘( 除以) 同一个负数，不等号方向改变。 如：-2x 4，不等式两边同除以 -2 得 x-2。不等式组的解集是两个不等式解集的 公共部分。如 3、分式有意义的条件： 分母 0 4、绝对值： a=a （a0） ；a= - a （a0） 一、 二次根式的概念 一般地，我们 把形如a （a0）的式子叫做二次根式 ， “”称为二次根号 。 正确理解二次根式的概念，要把握以下五点： （1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“” ， “
2、”的根指数 为 2，即“ 2 ” ，我们一般省略根指数2，写作“” 。如 2 5 可以写作5 。 （2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。 （3）式子a 表示非负数 a 的算术平方根 ，因此 a0，a 0。其中 a0 是a 有意 义的前提条件。 （4）在具体问题中，如果已知二次根式a ，就意味着给出了a0 这一隐含条件。 （5）形如 ba （a0）的式子也是二次根式， b 与a 是相乘的关系 。要注意当 b 是分 数时不能写成带分数，例如 8 3 2 可写成 82 3 ，但不能写成 2 2 3 2 。 练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1）6 ； （2）-
3、18 ； （3）x 2+1 ； （4） 3 -8 ；（5）x 2+2x+1 ； （6）3 x ；（7）1+2x （x- 1 2 ） 二、当 x 取什么实数时，下列各式有意义？ X-2 X5 的解集为 -2x5。 （1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1 二、二次根式的性质： 二 次 根 式 的 性 质 符号语言文字语言应用与拓展注意 a （a0）的 性质 a 0 （a0） 一 个 非 负 数 的 算 术 平 方 根 是 非负数。 （1）二次根式的非负性（a 0， a0） 应用较多，如： a+1 +b-3 =0，则 a+1=0，b-3=0，即 a= -1 ， b=3；又如x-a +a-x ，则
4、 x 的取 值范围是x-a 0，a-x 0，解得 x=a。 （2）具有非负性的性质： a 20； a0；a 0（a0） 。 （3）若 a 2+b+ c =0，则 a=0， b=0，c=0，即若几个非负数的和等 于 0，则这几个非负数分别等于0。 a （a0）的最 小值为 0。 （a ） 2 （a0） 的性质 （a ） 2 = a （a0） 一 个 非 负 数 的 算 术 平 方 根 的 平 方 等 于 它本身。 正用公式：（5 ） 2 =5； （m 2+1 ） 2=m2+1；逆用公式：若 a0，则 a= （a） 2 如： 2=（2） 2，1 2=（ 1 2） 2 逆用公式可以在实数 范围内分解
5、因式，如 a 2-5=a2- （ 5 ） 2 =(a+5 )(a-5 ) a 2 的性质 a 2 = a =a（a0） 或 a 2 = a = - a （a0） 一 个 数 的 平 方 的 算 术 平 方 根 等 于 这 个 数 的 绝 对 值。 （1）正用公式：（3- 2) =3- =3-（2）逆用 公式： 3 1 3 =3 21 3 =3 化简形如a 2 的式 子时，先转化为 a形式，再根据 a 的符号去掉绝对 值号。 练习：计算（ 1） （ 3 5 ） 2 (2) （43 ） 2 (3) （-6 2) （4）- （- 1 8） 2 （6）x 2-2x+1 + x 2-6x+9 （1x3）
6、 （a ） 2（a0）与 a 2 的区别与联系： （a ） 2 a 2 区 表示的意义不表示非负数 a 的算术平方根的表示 a 2 的算术平方根 同平方 取值范围不同a0 a 为任意实数 读法不同读作“根号a 的平方”或“ a 的算术平方根的平方” 读作“根号 a 2”或“ a 的平方 的算术平方根” 被开方数不同被开方数是 a 被开方数是 a 2 运算顺序不同先开放后平方先平方后开方 运算结果，运算 依据不同 （a ） 2 =a，依据平方与开平 方互为逆运算得到 依据算术平方根的定义得到 作用不同（a ） 2 = a（a0） ，正向运用可 化简二次根式，逆向运用可以将任意 一个非负数写成一个
7、数的平方的形 式 a 2 = a，正向运用可以将根号 内的非负因式取算术平方根移到根 号外，逆用运用可以将根号外的非 负因式平方后移到根号内 联系含有两种相同的运算，都要进行平方与开方 结果都是非负数； a0 时， （a ） 2= a2 三、代数式 用基本运算符号 （基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连 接起来的式子叫代数式 。例：3，x，x+y，3x （x0） ，-ab，s t （t 0，x 3 都是代数式 注（1）单独一个数或字母也是代数式； （2）代数式中不能含有关系符号（，=等） （1）将两个代数式用关系符号（，=等）连接起来的式子叫关系式，方程和不 等式都是关
8、系式。如2x+33x-5 是关系式。 练习：下列式子： 0； 22+x=4；x-2 3 1；2a+3b；2-x (x 2) ，其中 是代数式的有（） 列代数式的常用方法： （1）直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式。 （2）公式法：根据公式列出代数式。 （3）探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。 练习：列代数式 （1）把 a 本书平均分给若干名学生，若每人分5 本，还余 3 本，则学生人数为（） （2）若圆 A的半径 r 是圆 B的半径的 5 倍，则这两个圆的周长之和为（） 典型例题剖析 题型一：二次根式有意义的条件 当 x 取何值时，下列各式在实数范围内有意
9、义？ （1）x+5-3-2x；（2） 2x-1 1-x ；（3）x-3+3+x 题型二：利用二次根式的非负性化简求值 已知 a 2+ b-2=4a-4 ，求 ab的值。 题型三：二次根式非负性的简单应用 已知实数 x， y 满足x-4+ y-8=0， 则以 x， y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 （） 题型四：利用a 2 = a并结合数轴化简求值 已知实数 a，b 在数轴上的位置如图所示。 试化简：a 2+ b2+ （a-b）2+ （b-1）2- （a-1） 2 题型五：a 2 = a与三角形三边关系的综合应用 在ABC中，a，b，c 是三角形的三边长，化简（a-b+c） 2-2 c-a-
10、b 题型六：逆用（a ） 2 = a （a0）在实数范围内分解因式 在实数范围内分解因式： （1）x 4-4； （2）x 4-4x2+4 二次根式的乘除 1、单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个 单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 2、单项式与单项式相除，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在 被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 一、二次根式的乘法法则 a b =ab （a0，b0）即： 二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变 （1）进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b 均为非负数这一条件。 （2
11、）推广a b c =abc （a0，b0，c0）ab cd =acbd 乘法交换律和结合律在二次根式的乘法中任然可应用。 练习： （1）28 7 ； （2） 1 4 256 ； （3）4xy 1 y (4)627 （-23 ） 二、二次根式乘法法则的逆用 ab =a b （a0，b0）即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积 利用这个性质可以把二次根式化简，在进行二次根式的化简运算时，先将被开方数进 行因式分解或因数分解 ，然后再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外。 注： （1）公式中的 a，b 可以是数，也可以是代数式，但必须满足a0，b0，实际上， 公式中的 a， b 是限制公
12、式右边 的， 对公式的左边，只要 ab0 即可，如（-4 ）（ -9） -4 -9 。 （2）在本章中如果没有特别说明，所有的字母都表示正数。 推广：abcd =a b c d （a0，b0，c0，d0） 练习：化简（1）300 ；（2）（-14 ）（-112） ； （3）200a 5b4c3 ；（4）13 2-122 ；（5）16x 4+32x2 三、二次根式的除法法则 a b = a b （a0，b0）即：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 注： （1）a 必须是非负数 ，b 必须是正数，式子才成立。若a，b 都是负数，虽然 a b 0， a b 有意义，但a ，b 在实数范围内无
13、意义；若b=0，则 a b 无意义。 （2）如果被开方数是 带分数 ，应先将其化成假分数 ，如41 4 必须先化成 17 4 ，以 免出现41 4 = 4 1 4 这样的错误。 （3）在二次根式的计算中，最后结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含 二次根式 。 推广： （m a ）（ n b ）=（m n）（a b ） ，其中 a0，b0，n0。 练习：计算（ 1）48 6 ；（2）-27 （ 3 10 3 8 ） ； （3） a 4b 4a 3b （- a 4b ；（4） 72a 2b 6b 四、二次根式除法法则的逆用 a b = a b （a0，b0）即商的算术平方根等于被除式的
14、算术平方根除以除式的算术平方根。 注：公式中的a，b 可以是数，也可以是代数式，但必须满足a0，b0。公式中的 a，b 是限制公式右边 的，对公式的左边，只要 a b 0 即可。例如计算 -3 -4 ，不能写为 -3 -4 = -3 -4 ，而应写为 -3 -4 = 3 4 = 3 4 = 3 2 。 利用这个公式， 同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数 （或分式） 的二次根式时，先将其化为 a b （a0，b0）的形式，然后利用分式的基本性质，分 子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可。当被开方数是 带分数 时，应 先把它化成假分数 。 练习：化简（ 1）54 9
15、 ；（2） 81125 144 ；（3） 121b 5 16a 2 五、最简二次根式的概念 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 （1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 对于最简二次根式的概念我们可作如下解释： （1）被开方数中不含分母，因此被开方数是整数或整式 ； （2）被开方数中每一个因数或因式的指数都是 1。 化简二次根式的一般方法 方法举例 将被开方数中能开得尽方 的因数或因式进行开方 8 =42 =22，x 3y4= x2y4x=xy2 x 化 去 根 号 下 的 分母 若被开方数中含有 带分数，应先将带 分数化成假分数 11 3= 4 3=
16、43 33= 2 3 3 或11 3= 4 3= 4 3= 43 33= 2 3 3 若被开方数中含有 小数，应先将小数 化成分数 0.9= 9 10= 90 100= 3 10 10或0.9= 9 10= 9 10= 910 1010= 3 10 10 被开方数是多项式的要先 进行因式分解 X 5+2x3y2+xy4= x（x 4+2x2y2+y4）= x（x 2+y2）2=（x2+y2） x 练习：下列二次根式中哪些是最简二次根式？哪些不是？若不是，请说明理由。 （1）0.3 ； （2） 2 5 xy ； （3） y x ； （4） x 3 ； （5）a 3+6a2+9a ； （ 6） 2
17、（x 2-y2）； （7） 32n ； （8） 2 3 拓展： 分母有理化 ：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去 分母中根号的变形叫做分母有理化。分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子 和分母都乘上分母的有理化因式 （两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含 二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号 。分母有理化因式不 唯一，但以运算最简便为宜。 常用的有理化因式有：a与a； a+b与a+b； a-b 与a-b ； a+ b与a-b；ab+c d与 ab-cd等。 练习：把下列二次根式化成最简二次根式： （1） 240； （2） 1.25
18、； （3）1 7 20； （4） 75a 2 b 典型例题剖析 题型一：二次根式乘除法法则成立的条件 （1）若x+3x-3=（x+3）（x-3）成立，则（） A、x3 B、x-3 C、-3x3 D、x 为任意实数 （2）如果 x x-6 = x x-6 成立，那么（） A、x6 B、0x6 C、x0 D、x6 题型二：二次根式的化简 化简： （1）12ab 9a 3 4 ；（2）41 2-402； （3）x 4+x2 题型三：二次根式的乘法混合运算 计算： （1）21 23 28（-522 7） ； （2）2 a 2-b2 6a a 3a+6b （ 4 5 a-b b ） 题型四：利用二次根式
19、的性质把根号外的非负因数（式）移到根号内 把下列各式中根号外的因数（式）移到根号内： （1）5 3 5； （2）-3 2； （3）-2a 1 2a； （4）-a - 1 a； （5）x y x（x0，y0） 题型五：二次根式的大小比较 比较大小：（1）72与 3 11；（2）-211与-35 二次根式的加减 1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项， 例如 3ab 与-4ab 2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，合并同类项后，所 得项的系数是合并前各同类项的系数和，且字母部分不变。 3、整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，
20、然后再合并同类项。 4、平方差公式：（a+b） （a-b ）=a 2-b2 完全平方公式 （ab） 2=a22ab+b2 5、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得 的积相加，即 （a+b） （m+n ）=am+an+bm+bn 一、可以合并的二次根式 将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并。 合并的方法与合并同类项类似，把括号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变， 合并的依据是乘法分配律，如m a+n a=（m+n ）a 练习：化简下列二次根式，并指出哪些是可以合并的二次根式。 （1）27； （2）- 1 5 27 a
21、； （3） 1 3； （4） 2a 3 b （a0，b0） ； （5）b 1 27a 3； （6）2 243；（7） 32 9 ab（a0，b0） ；（8）3 32 ab（a0，b0） ； 二、二次根式的加减 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根 式进行合并 。 二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤如下： （1）将各个二次根式化成最简二次根式； （2）找出化简后被开方数相同的二次根式； （3） 合并被开方数相同的二次根式将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变， 可简记为： 化简判断合并 。 二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下： 运算二
22、次根式的乘除法二次根式的加减法 系数系数相 乘除系数相加减 被开方数被开方数相 乘除被开方数 不变 化简结果化成最简二次根式 先化成最简二次根式，再 合并被开方数相同的二次根式 注： （1）化成最简二次根式后被开方数不同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们 也是结果的一部分； （2）整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则 在二次根式运算中仍然适用； （3）根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数 是带分数的要化成假分数的形式。 练习：计算：（1） 2 3 9x+6 x 4 - 2x 1 x ； （2） （24-0.5+2 2 3）-（ 1 8 - 6） 二、二次根式的混
23、合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方、再乘除、最后加减， 有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）。 在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式仍然适用。 注：在进行二次根式的运算时，能用乘法公式的尽量使用乘法公式，有时还需要灵活 运用公式和逆用公式，这样可以使计算过程大大化简。 练习：计算（ 1）3（6+8） ；（2） （43-36）23；（3） （6+2） （6-3） （4） （5+ 7） （5-7） ；（5） （5+2） 2； （6） （2 3-2） 2； 典型例题剖析 题型一：二次根式的化简求值问题 已知 a= 1 5-2 ，b= 1 5+2 ，求a 2+b2+2 题型二：巧解二次根式的混合运算题 计算： （1） （23-18） （12+3 2） ； （2） （3-1 ） 2+（ 3+2） 2-2 （ 3-1） （3+2） （3） （2+ 3-5） 2- （ 2-3+5） 2； （4）a a-a b a-ab - a-b a+ b