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1、1 第六章数列 一基础题组 1. 【2017 高考上海， 10】已知数列 n a和 n b，其中 2* , n annN， n b的项是互不 相 同 的 正 整 数 . 若 对 于 任 意 * nN， n b的 第 n a项 等 于 n a的 第 n b项 ， 则 1491 6 1234 lg lg b b b b bb b b . 【答案】 2 【解析】由题意可得： 2 2 n n bb， 当1n时： 2 11 bb； 当2n时： 2 42 bb； 当3n时： 2 93 bb； 当4n时： 2 164 bb； 则： 22222 1 49 16123412 34 bb b bbbbbbb b
2、b， 据此可得： 2 149 161 234 1 2341 234 lglg 2 lglg b b b bbb b b bb b bbb b b . 2、 【2016 高考上海理数】无穷数列 n a由k个不同的数组成， n S为 n a的前n项和 . 若对任意 nN， 3, 2 n S，则k的最大值为 _. 【答案】 4 【解析】试题分析： 当 1n 时， 1 2a或 1 3a；当2n时，若 2 n S，则 1 2 n S，于是 0 n a，若 3 n S， 则 1 3 n S，于是0 n a，从而存在Nk，当n k时，0 k a. 所以数列 n a要涉及最多的 不同的项可以为：2,1 ，-
3、1,0,0从而可看出 max 4k. 【考点】数列的项与和 【名师点睛】从分析条件入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意“数列 n a由k个不 同的数组成”和“k的最大值” . 本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等. 2 3. 【2016 高考上海理数】已知无穷等比数列 n a的公比为，前n项和为 n S，且SSn n lim. 下列条件中， 使得 2 n SS nN恒成立的是（）. （ A）7. 06. 0, 0 1 qa（B）6.07 .0, 0 1 qa （ C）8. 07. 0, 0 1 qa（D）7 .08 .0, 0 1 qa 【答案】 B 【考点】数列的极限、等
4、比数列求和 【名师点睛】本题解答时确定不等关系是基础，准确分类讨论是关键，易错点是在建立不等关 系之后， 不知所措或不能恰当地分类讨论. 本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能 力、分类讨论思想等. 4. 【 2014 上海 , 理8】设无穷等比数列 n a 的公比为q，若)(lim 431 aaa n ，则 q= . 【答案】 15 2 【解析】由题意 3 34 lim() 1 n n a aaa q ， 即 2 1 1 1 a q a q ， 1 0,1aq， 15 2 q. 【考点】无穷递缩等比数列的和. 5. 【2013 上海 , 理 10】设非零常数d是等差数列x1，x2，x
5、19的公差，随机变量 等可能 地取值x1，x2，x19，则方程D_. 【答案】 30|d| 【解析】Ex10，D 2 222222 (981019 )30 |. 19 d d 6. 【2013 上海 , 理 17】在数列 an 中，an2 n1. 若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i行第j列的元 素cijaiajaiaj(i1,2 ， 7；j1,2 ， 12) ，则该矩阵元素能取到的不同数值的 个数为 ( ) A18 B 28 C48 D63 【答案】 A 3 【解析】ai，jaiajaiaj2 ij 1，而ij 2,3 ， 19，故不同数值个数为18，选 A. 7. 【2013 上海 ,
6、文 2】在等差数列 an 中，若a1a2a3a430，则a2a3_. 【答案】 15 【解析】a1a2a3a42(a2a3) 30a2a315. 8. 【2013 上海 ,文 7】 设常数aR.若 25 () a x x 的二项展开式中x 7 项的系数为10， 则a_. 【答案】 2 【解析】 25 () a x x 25 5 C ()() ryra x x 10x 7 r1， 1 5C a 105a 10，a 2 9. 【2012 上海 , 理 6】有一列正方体，棱长组成以1 为首项、 1 2 为公比的等比数列，体积分别 记为V1，V2，Vn，则 12 lim() n n VVV_. 【答案
7、】 8 7 12 8 lim () 7 n n VVV. 10. 【2012 上海 , 文 8】在 (x 1 x ) 6 的二项展开式中，常数项等于_ 【答案】 20 【解析】展开式的通项为Tr1 6 C r x 6r ( 1 x ) r ，令 6rr，可得r3 所以T4 3 6 Cx 3 ( 1 x ) 33 6 C 20. 11. 【 2012 上海 , 文 14】 已知 1 ( ) 1 f x x ， 各项均为正数的数列an满足a11，an2f(an) 若 a2 010a2 012，则a20a11的值是 _ 【答案】 313 5 26 【解析】由an2f(an) 1 1 n a ，a11
8、， 可得 3 1 11 12 a a ， 5 3 112 1 13 1 2 a a ， 4 7 13 2 5 1 3 a ， 9 15 3 8 1 5 a ， 11 18 5 13 1 8 a . 由a2 012 2010 1 1a a2 010，可得a2 010a2 012 51 2 ， 则a2a4a20a2na2 010a2 012 51 2 . 所以a20a11 518313 5 21326 . 12. 【2012 上海 , 文 18】若 2 sinsinsin 777 n n S(nN *) ，则在 S1，S2，S100中， 正数的个数是( ) A16 B72 C86 D100 【答案
9、】 C 【解析】由 8 sinsin 77 ， 29 sinsin 77 ， ， 613 sinsin 77 ， 714 sinsin0 77 ， 所以S13S14 0. 同理S27S28S41S42S55S56S69S70S83S84S97S980， 所以在S1，S2，S100中，其余各项均大于0. 故选 C项 13. 【2011 上海 , 理 18】设 an是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai 1的矩形的面积(i 1，2，) ，则 An为等比数列的充要条件是( ) Aan是等比数列 Ba1，a3，a2n1，或a2，a4，a2n，是等比数列 Ca1，a3，a2n1，和a2，a4，a
10、2n，均是等比数列 Da1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相同 【答案】 D 【解析】 14. 【2010 上海 , 理 11】将直线：0nxyn、 ：0x n y n（ * nN，2n）轴、y 轴围成的封闭图形的面积记为 n S，则lim n n S； 5 【答案】 1 【解析】直线：0nxyn、 ：0x n y n（ * nN，2n）轴、 y轴围成的封闭图形 为四边形OABC，其中(0,0)O，(1,0)A，, 11 nn B nn ，(0,1)C，则1 OB k，1 AC k， OBAC，故 11 22 2211 n nn SOB AC nn ，于是limli
11、m1 1 n nn n S n ，故 答案为： 1. 【点评】本题将直线与直线的位置关系与数列极限结合，考查两直线的交点的求法、两直线垂 直的充要条件、四边形的面积计算以及数列极限的运算法则，是本次考题的一个闪光点. 15. (2009 上海 , 理 12) 已知函数 f(x)=sinx+tanx,项数为 27 的等差数列 an 满足 an( 2 , 2 ), 且公差 d0. 若 f(a 1)+f(a2)+f(a27)=0, 则当 k=_时,f(ak)=0. 【答案】 14 16. (2009 上海 , 理 23) 本题共有 3 个小题 ,第 1 小题满分 5 分, 第 2 小题满分5 分,
12、第 3 小题满分 8 分. 已知 an 是公差为d 的等差数列 ,b n 是公比为q 的等比数列 . (1) 若 an=3n+1, 是否存在m 、 kN *, 有 a m+am+1=ak?说明理由 ; (2) 找出所有数列 an和bn, 使对一切nN *, n n n b a a 1 , 并说明理由 ; (3) 若 a1=5,d=4,b 1=q=3, 试确定所有的p, 使数列 an 中存在某个连续p 项的和是数列 bn 中的一 项 , 请证明 . 【答案】 (1) 不存在 ;(2) an 为非零常数列 ,bn为恒等于1 的常数列 ;(3) 参考解析 【解析】 (1) 由 am+am+1=ak, 得 6m+5=3k+1, 整理后 , 可得 3 4 2mk, m 、kN *, k-2m 为整数 . 不存在m 、kN * , 使等式成立 . (2) 解法一 : 若 n n n b a a 1 , 即 1 1 1 1 )1( n qb dna nda ,(*)