人教版高中数学选修2-2教案全集教程文件.pdf

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1、人教版高中数学选修2-2 教案全集 第一章导数及其应用 1.1.1变化率问题 教学目标： 1理解平均变化率的概念； 2了解平均变化率的几何意义； 3会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念 教学过程： 一创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产 生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心

2、等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有 效的工具。 导数 研究的问题即变化率问题 ：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度 二新课讲授 （一）问题提出 问题 1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程, 可以发现 , 随着气球内空气容量的增加, 气球的半径 增加越来越慢. 从数学角度 , 如何描述这种现象呢? 气球的体积V( 单位 :L) 与半径r( 单位 :dm) 之间的函数关系是 3 3 4 )(rrV 如果将半径r 表示为体积V的函数 , 那么 3 4 3 )( V Vr 分析 : 3 4 3 )( V Vr， 当 V从 0

3、 增加到 1 时, 气球半径增加了)(62.0)0()1(dmrr 气球的平均 膨胀率 为)/(62.0 01 )0() 1( Ldm rr 当 V从 1 增加到 2 时, 气球半径增加了)(16.0)1 ()2(dmrr 气球的平均 膨胀率 为 )/(16.0 12 ) 1()2( Ldm rr 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了 思考： 当空气容量从V1增加到V2时 , 气球的平均膨胀率是多少? 12 12 )()( VV VrVr 问题 2 高台跳水 在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度h( 单位：m) 与起跳后 的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -

4、4.9t 2+6.5 t+10. 如何用运动 员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态? 思考计算：5. 00t和21t的平均速度v 在5.00t这段时间里，)/(05.4 05 .0 )0()5.0( sm hh v； 在21t这段时间里，)/(2. 8 12 ) 1()2( sm hh v 探究： 计算运动员在 49 65 0t这段时间里的平均速度，并思考以下问题： 运动员在这段时间内使静止的吗？ 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程： 如图是函数h(t)= -4.9t 2+6.5 t+10 的图像，结合图形可知，)0() 49 65 (hh， 所以)/(0

5、 0 49 65 )0() 49 65 ( ms hh v， 虽然运动员在 49 65 0t这段时间里的平均速度为)/(0ms，但实际情况是运动员仍然运动，并 非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态 （二）平均变化率概念: 1 上述问题中的变化率可用式子 12 12 )()( xx xfxf 表示 , 称为函数f(x) 从x1到x2的平均变化率 2若设 12 xxx, )()( 12 xfxff ( 这里x看作是对于x1的一个“增量”可用 x1+x代替x2, 同样)()( 12 xfxfyf) 3 则平均变化率为 x f x y x xfxxf xx xfxf)()()()(

6、11 12 12 h t o 思考：观察函数f(x) 的图象 平均变化率 x f 12 12)()( xx xfxf 表示什么 ? 直线AB的斜率 三典例分析 例 1 已知函数f(x)=xx 2 的图象上的一点)2,1(A及临近一点)2,1(yxB, 则 x y 解：)1()1(2 2 xxy， x x xx x y 3 2)1()1( 2 例2求 2 xy在 0xx附近的平均变化率。 解： 2 0 2 0 )(xxxy，所以 x xxx x y 2 0 2 0 )( xx x xxxxx 0 2 0 2 0 2 0 2 2 所以 2 xy在 0 xx附近的平均变化率为xx02 四课堂练习 1

7、质点运动规律为3 2 ts，则在时间)3,3(t中相应的平均速度为 x1 x2 O y y=f(x) f(x1) f(x2) x= x2-x1 y =f(x2)-f(x1) x 2. 物体按照s(t)=3t 2+t +4 的规律作直线运动, 求在 4s附近的平均变化率. 3. 过曲线y=f(x)=x 3 上两点P（1，1）和Q(1+x,1+y) 作曲线的割线，求出当x=0.1 时割线 的斜率 . 五回顾总结 1平均变化率的概念 2函数在某点处附近的平均变化率 六教后反思： 1.1.2导数的概念 教学目标： 1了解瞬时速度、瞬时变化率的概念； 2理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的

8、思想及其内涵； 3会求函数在某点的导数 教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点：导数的概念 教学过程： 一创设情景 （一）平均变化率 （二） 探究： 计算运动员在 49 65 0t这段时间里的平均速度，并思考以下问题： 运动员在这段时间内使静止的吗？ 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程： 如图是函数h(t)= -4.9t 2+6.5 t+10 的图像，结合图形可知，)0() 49 65 (hh， 所以)/(0 0 49 65 )0() 49 65 ( ms hh v， 虽然运动员在 49 65 0t这段时间里的平均速度为)/(0ms，但实际 情况

9、是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描 述运动员的运动状态 二新课讲授 1瞬时速度 253 t h t o 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻 的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t时的瞬时速度是多少？考察 2t附近的情况： 思考： 当t趋近于 0 时，平均速度v有什么样的变化趋势？ 结论：当t趋近于 0 时，即无论t从小于 2 的一边，还是从大于2 的一边趋近于2 时，平均 速度v都趋近于一个确定的值13.1 从物理的角度看，时间t间隔无限变小时，平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度，因此， 运动员在2t时的瞬时速度

10、是13.1/m s 为了表述方便，我们用 0 (2)(2) lim13.1 t hth t 表示“当2t，t趋近于 0 时，平均速度v趋近于定值13.1” 小结 ：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近 似值过渡到瞬时速度的精确值。 2 导数的概念 从函数y=f(x) 在x=x0处的瞬时变化率是: 00 00 ()() limlim xx fxxf xf xx 我们称它为函数( )yf x在 0 xx出的 导数 ，记作 0 ()fx或 0 |x x y ，即 00 0 0 ()() ()lim x f xxf x fx x 说明：（1）导数即为函数y=f(x

11、) 在x=x0处的瞬时变化率 （2） 0 xxx，当0x时， 0 xx，所以 0 0 0 0 ( )() ()lim x fxf x fx xx 三典例分析 例 1 （1）求函数y=3x2在x=1处的导数 . 分析： 先求f=y=f( x)-f( )=6 x+(x) 2 再求6 f x x 再求 0 lim6 x f x 解： 法一定义法（略） 法二： 2222 1 111 33 13(1 ) |limlimlim3(1)6 11 x xxx xx yx xx （2）求函数f(x)=xx 2 在1x附近的平均变化率，并求出在该点处的导数 解：x x xx x y 3 2)1()1( 2 2 0

12、0 ( 1)( 1)2 ( 1)limlim (3)3 xx yxx fx xx 例 2 （课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和 加热， 如果第xh时，原油的温度 （单位：C o ）为 2 ( )715(08)f xxxx，计算第2h时 和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义 解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是 (2) f和 (6)f 根据导数定义， 0 (2)()fxf xf xx 22 (2)7(2)15(27215) 3 xx x x 所以 00 (2)limlim(3)3 xx f fx x 同理可得 :(6)5f 在第

13、2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和 5，说明在2h附近，原油温度大 约以3/Ch o 的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5/Ch o 的速率上升 注：一般地， 0 ()fx 反映了原油温度在时刻 0 x附近的变化情况 四课堂练习 1质点运动规律为3 2 ts，求质点在3t的瞬时速度为 2求曲线y=f(x)=x 3 在 1x 时的导数 3例 2 中，计算第3h时和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义 五回顾总结 1瞬时速度、瞬时变化率的概念 2导数的概念 六教后反思： 1.1.3导数的几何意义 教学目标： 1了解平均变化率与割线斜率之间的关系； 2理解曲线的切线的

14、概念； 3通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题； 教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义 教学过程： 一创设情景 （一）平均变化率、割线的斜率 （二）瞬时速度、导数 我们知道，导数表示函数y=f(x) 在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x) 在x=x0附近的 变化情况，导数 0 ()fx的几何意义是什么呢？ 二新课讲授 （一）曲线的切线及切线的斜率：如图 3.1-2 ，当(,()(1,2,3, 4) nnn Pxf xn沿着曲线( )f x趋 近于点 00 (,()P xf x时，割线 n PP的变化趋势是什么？

15、 我们发现 , 当点 n P沿着曲线无限接近点P即x0 时, 割线 n PP趋近于确定的位置，这个确 定位置的直线PT称为曲线在点P处的 切线 . 问题： 割线 n PP的斜率 n k与切线PT的斜率k有什么关系？ 切线PT的斜率k为多少？ 容易知道， 割线 n PP的斜率是 0 0 ()() n n n f xf x k xx , 当点 n P沿着曲线无限接近点P时， n k无 限趋近于切线PT的斜率k，即 00 0 0 ()() lim() x f xxf x kfx x 说明：（1）设切线的倾斜角为, 那么当x0 时, 割线 PQ的斜率 , 称为曲线在点P处的切线的 斜率 . 这个概念

16、: 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; 切线斜率的本质函数在 0 xx处的导数 . （ 2）曲线在某点处的切线:1) 与该点的位置有关;2) 要根据割线是否有极限位置来判断与求 解. 如有极限 , 则在此点有切线, 且切线是唯一的; 如不存在 , 则在此点处无切线;3) 曲线的切线 , 并 不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个 , 甚至可以无穷多个. （二）导数的几何意义： 函数y=f(x) 在x=x0处的导数等于在该点 00 (,()xf x处的切线的斜率， 即 00 0 0 ()() ()lim x f xxf x fxk x 说明： 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: 图 3.

17、1-2 求出P点的坐标 ; 求出函数在点 0 x处的变化率 00 0 0 ()() ()lim x f xxf x fxk x ，得到曲线在点 00 (,()xf x的切线的斜率； 利用点斜式求切线方程. （二）导函数： 由函数f(x) 在x=x0处求导数的过程可以看到,当时 , 0 ()fx是一个确定的数，那么, 当x变 化时 , 便是x的一个函数 , 我们叫它为f(x) 的导函数 . 记作：( )fx或y， 即 : 0 ()( ) ( )lim x f xxf x fxy x 注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数 （三）函数( )f x在点 0 x处的导数 0 ()fx、导函数( )fx

18、、导数之间的区别与联系。 （1）函数在一点处的导数 0 ()fx，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限， 它是一个常数，不是变数。 (2 ）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x) 的导函数 (3 ）函数( )f x在点 0 x处的导数 0 ()fx就是导函数( )fx在 0 xx处的函数值，这也是求函数 在点 0 x处的导数的方法之一。 三典例分析 例 1: （1）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2) 处的切线方程 . （ 2）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数 . 解： （1） 222 1 00 (1)1(11)2 |limlim2 x xx x

19、xx y xx , 所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为22(1)yx即20xy （2）因为 2222 1 111 33 13(1 ) |limlimlim3(1)6 11 x xxx xx yx xx 所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为36(1)yx即630xy （ 2）求函数f(x)=xx 2 在1x附近的平均变化率，并求出在该点处的导数 解：x x xx x y 3 2)1()1( 2 2 00 ( 1)( 1)2 ( 1)limlim (3)3 xx yxx fx xx VV 例 2 （课本例2） 如图 3.1-3 ，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 2

20、( )4.96.510h xxx，根据图像，请描述、比 较曲线( )h t在 0 t、 1 t、 2 t附近的变化情况 解：我们用曲线( )h t在 0 t、 1 t、 2 t处的切线，刻 画曲线( )h t在上述三个时刻附近的变化情况 （1）当 0 tt时，曲线( )h t在 0 t处的切线 0 l平行于 x轴，所以，在 0 tt附近曲线比较平坦，几 乎没有升降 （2）当 1 tt时，曲线( )h t在 1 t处的切线 1 l的斜率 1 ( )0h t，所以，在 1 tt附近曲线下降， 即函数 2 ( )4.96.510h xxx在 1 tt附近单调递减 （3）当 2 tt时，曲线( )h

21、t在 2 t处的切线 2 l的斜率 2 ( )0h t，所以，在 2 tt附近曲线下降， 即函数 2 ( )4.96.510h xxx在 2 tt附近单调递减 从图 3.1-3 可以看出，直线 1 l的倾斜程度小于直线 2 l的倾斜程度，这说明曲线在 1 t附近比在 2 t 附近下降的缓慢 例 3 （课本例3）如图 3.1-4 ，它表示人体血管中药物浓度( )cf t(单位：/mg mL) 随 时间t（单位：min）变化的图象根据图像，估计0.2, 0.4,0.6, 0.8t时，血管中药物浓度 的瞬时变化率（精确到0.1） 解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度( )f t在此时

22、刻的导数，从图像上 看，它表示曲线( )f t在此点处的切线的斜率 如图 3.1-4 ，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药 物浓度瞬时变化率的近似值 作0.8t处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则它的斜率为： 0.480.91 1.4 1.00.7 k 所以(0.8)1.4f 下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值： t 0.2 0.4 0.6 0.8 药物浓度瞬时变化率 ( )ft0.4 0 -0.7 -1.4 四课堂练习 1求曲线y=f(x)=x 3 在点(1,1)处的切线； 2求曲线yx在点(4,2)处的切线 五回顾

23、总结 1曲线的切线及切线的斜率； 2导数的几何意义 六教后反思： 1.2.1几个常用函数的导数 教学目标： 1使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数yc、yx、 2 yx、 1 y x 的导 数公式； 2掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数 教学重点：四种常见函数yc、yx、 2 yx、 1 y x 的导数公式及应用 教学难点：四种常见函数yc、yx、 2 yx、 1 y x 的导数公式 教学过程： 一创设情景 我们知道， 导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻 的瞬时速度那么，对于函数( )yf x，如何求它的导数呢？ 由导数定义本身，给出了求导数

24、的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导 数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难， 为了能够较快地求出某些函数的导数， 这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数 二新课讲授 1函数( )yf xc的导数 根据导数定义，因为 ()( ) 0 yf xxf xcc xxx 所以 00 limlim 00 xx y y x 函数导数 yc 0y 0y表示函数yc图像（图 3.2-1 ）上每一点处的切线的斜率都为0若yc表示路程关于 时间的函数，则0y可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态 2函数( )yf xx的导数 因为

25、()( ) 1 yf xxf xxxx xxx 所以 00 limlim11 xx y y x 函数导数 yx 1y 1y表示函数yx图像（图 3.2-2 ）上每一点处的切线的斜率都为1若yx表示路程关于 时间的函数，则1y可以解释为某物体做瞬时速度为1 的匀速运动 3函数 2 ( )yf xx的导数 因为 22 ()( )()yf xxf xxxx xxx 222 2() 2 xx xxx xx x 所以 00 limlim(2)2 xx y yxxx x 函数导数 2 yx2yx 2yx表示函数 2 yx图像（图 3.2-3 ）上点( , )x y处的切线的斜率都为2x，说明随着x的变 化

26、，切线的斜率也在变化另一方面， 从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明： 当0x 时，随着x的增加，函数 2 yx减少得越来越慢；当0x时，随着x的增加，函数 2 yx增加 得越来越快若 2 yx表示路程关于时间的函数，则2yx可以解释为某物体做变速运动，它 在时刻x的瞬时速度为2x 4函数 1 ( )yf x x 的导数 因为 11 ()( )yf xxf x xxx xxx 2 ()1 () xxx x xxxxxx 所以 22 00 11 limlim() xx y y xxxxx 函数导数 1 y x 2 1 y x 5函数( )yf xx的导数 因为 ()( )yf xxfxxx

27、x xxx ()() () xxxxxx xxxx () () xxx xxxx 所以 00 11 limlim 2 xx y y x xxxx 函数导数 yx 1 2 y x （2）推广：若 * ( )() n yf xxnQ，则 1 ( ) n fxnx 三课堂练习 1课本 P13探究 1 2课本 P13探究 2 四回顾总结 函数导数 yc 0y yx 1y 2 yx 2yx 1 y x 2 1 y x yx 1 2 y x * ( )() n yf xxnQ 1n ynx 五教后反思： 1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 教学目标： 1熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2掌

28、握导数的四则运算法则； 3能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数 教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程： 一创设情景 五种常见函数yc、yx、 2 yx、 1 y x 、yx的导数公式及应用 二新课讲授 （一）基本初等函数的导数公式表 函数导数 yc 0y yx 1y 2 yx 2yx 1 y x 2 1 y x yx 1 2 y x * ( )() n yf xxnQ 1n ynx （二）导数的运算法则 导数运算法则 1 ( )( )( )( )f xg xfxg x 2 (

29、 )( )( ) ( )( )( )f xg xfx g xf x g x 3 2 ( )( ) ( )( )( ) ( ( )0) ( ) ( ) f xfx g xfx g x g x g x g x （2）推论： ( )( )cf xcfx （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 三典例分析 例 1假设某国家在20 年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p（单位：元）与时间t（单 位：年）有如下函数关系 0 ( )(15%) t p tp， 其中 0 p为0t时的物价 假定某种商品的 0 1p， 那么在第10 个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01 ）？ 解：根据

30、基本初等函数导数公式表，有 ( ) 1.05 ln1.05 t p t 函数导数 yc 0y * ( )() n yf xxnQ 1n ynx sinyx cosyx cosyx sinyx ( ) x yf xa ln(0) x yaa a ( ) x yfxe x ye ( )log a fxx 1 ( )log( )(01) ln a f xxfxaa xa 且 ( )lnf xx 1 ( )fx x 所以 10 (10)1.05ln1.050.08p（元 / 年） 因此，在第10 个年头，这种商品的价格约为0.08 元/ 年的速度上涨 例 2 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，

31、求下列函数的导数 （ 1） 3 23yxx （ 2） 11 11 y xx ； （ 3）sinlnyxxx； （ 4） 4 x x y； （ 5） 1 ln 1 ln x y x （ 6） 2 (251) x yxxe； （ 7） sincos cossin xxx y xxx 解： （1） 332 (23)()(2 )(3)32yxxxxx， 2 32yx。 （ 2） 11 ()() 11 y xx 22 (1)(1) (1)(1) xx xx 22 11 22 (1)(1) xx xx 22 111 2(1)(1)xxx 22 2 1(1)(1) (1)2 xx xx 2 (1) (1)

32、xx xx 2 (1) (1) xx y xx （ 3） (sinln)(ln) sinyxxxxxx (ln)sin(ln) (sin)xxxxxx 1 (1 ln) sin(ln ) cosxxxxxx x sinlnsinlncosxxxxxx sinlnsinlncosyxxxxxx （ 4） 22 4(4 )1 44 ln 41ln 4 () 4(4 )(4 )4 xxxx xxxx xxxxx y， 1ln 4 4 x x y。 （ 5） 22 1 1ln212 ()( 1)2()2 1ln1ln1ln(1ln)(1ln) x x y xxxxxx 2 2 (1ln) y xx （

33、 6） 22 (251)(251) () xx yxxexxe 22 (45)(251)(24) xxx xexxexxe， 2 (24) x yxxe。 （ 7） sincos () cossin xxx y xxx 2 (sincos )(cossin)(sincos ) (cossin) (cossin ) xxxxxxxxxxxx xxx 2 (coscossin) (cossin )(sincos ) ( sinsins ) (cossin ) xxxxxxxxxxxxxco x xxx 2 sin(cossin )(sincos )s (cossin ) xxxxxxxxxco x

34、 xxx 2 2 (cossin ) x xxx 。 2 2 (cossin) x y xxx 【点评】 求导数是在定义域内实行的 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心 例 3 日常生活中的饮水通常是经过净化的随着水纯净度的提高， 所需净化费用不断增加已 知将 1 吨水净化到纯净度为 %x 时所需费用（单位：元）为 5284 ( )(80100) 100 c xx x 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90%（2）98% 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数 2 52845284(100)5284(100) ( )() 100(100) xx c x xx

35、2 0(100)5284( 1) (100) x x 2 5284 (100)x （ 1）因为 2 5284 (90)52.84 (10090) c，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率 是 52.84 元/ 吨 （ 2）因为 2 5284 (98)1321 (10090) c ，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率 是 1321 元/ 吨 函数( )f x在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢由上述计算可知， (98)25 (90)cc它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90% 左右时净化费用的瞬时变化率的25 倍这说明，水的纯净度越高，需要的净化费

36、用就越多，而 且净化费用增加的速度也越快 四课堂练习 1课本 P92练习 2已知曲线C：y3 x 4 2 x 3 9 x 24，求曲线 C上横坐标为1 的点的切线方程； （y 12 x8） 五回顾总结 （1）基本初等函数的导数公式表 （2）导数的运算法则 六教后反思： 1.2.3复合函数的求导法则 教学目标理解并掌握复合函数的求导法则 教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数 乘以中间变量对自变量的导数之积 教学难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确 一创设情景 （一）基本初等函数的导数公式表 （二）导数的运算法则 导数运算法则 函数

37、导数 yc 0y * ( )() n yf xxnQ 1n ynx sinyx cosyx cosyx sinyx ( ) x yfxa ln(0) x yaa a ( ) x yfxe x ye ( )log a f xx 1 ( )log( )(01) ln a f xxfxaa xa 且 ( )lnf xx 1 ( )fx x 1 ( )( )( )( )f xg xfxg x 2 ( )( )( ) ( )( )( )f xg xfx g xf x g x 3 2 ( )( ) ( )( )( ) ( ( )0) ( ) ( ) f xfx g xfx g x g x g x g x

38、（2）推论： ( )( )cf xcfx （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 二新课讲授 复合函数的概念一般地，对于两个函数( )yf u和( )ug x，如果通过变量u，y可 以 表 示 成x的 函 数 ， 那 么 称 这 个 函 数 为 函 数( )yf u和( )ug x的 复 合 函 数 ， 记 作 ( )yfg x。 复合函数的导数复合函数 ( )yfg x 的导数和函数( )yf u和( )ug x的导数间的 关系为 xux yyu，即y对x的导数等于y对u的导数与 u对x的导数的乘积 若( )yfg x，则( )( )( )yfg xfg xg x 三典例分析 例 1

39、（课本例4）求下列函数的导数： （ 1） 2 (23)yx； （2） 0.051x ye； （ 3）sin()yx（其中 , 均为常数） 解： （1）函数 2 (23)yx可以看作函数 2 yu和23ux的复合函数。根据复合函数求 导法则有 xux yyu= 2 () (23)4812uxux。 （ 2）函数 0.051x ye可以看作函数 u ye和0.051ux的复合函数。根据复合函数求 导法则有 xux yyu= 0.051 () ( 0.051)0.0050.005 uux exee。 （ 3）函数sin()yx可以看作函数sinyu和u x 的复合函数。根据复合函 数求导法则有 xu

40、x yyu= (sin) ()ss()uxco ucox。 例 2 求 2 sin(tan)yx的导数 解： 2222 sin(tan)cos(tan) sec () 2yxxxx 222 2 cos(tan) sec ()xxx 222 2 cos(tan) sec ()yxxx 【点评】 求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数， 由外层向内层逐层求 导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果 例 3 求 2 2 xa y xax 的导数 解： 2 2 2 22 12() 22 2 xa xaxxa xax y xax 222 22 22 2

41、(2) 22 aaxax xax xax xax ， 22 22 2 (2) axax y xax 【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数求导数后要予以化简整理 例 4 求ysin 4x cos 4x 的导数 【解法一】ysin 4x cos 4x(sin2x cos 2 x) 22sin2cos2x1 2 1 sin 22 x 1 4 1 （1cos 4 x） 4 3 4 1 cos 4 xy sin 4 x 【解法二】y (sin 4 x) (cos 4 x) 4 sin 3 x(sin x) 4 cos 3x (cos x) 4 sin 3 x cos x4 cos 3 x ( sin

42、 x) 4 sin x cos x (sin 2 xcos 2 x) 2 sin 2 x cos 2 x sin 4 x 【点评】 解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确解法二是利用复合函数求导数， 应注意不漏步 例 5 曲线yx（x1） （ 2x）有两条平行于直线yx的切线， 求此二切线之间的距离 【解】yx 3 x 2 2 xy 3 x 22 x2 令y 1 即 3 x 22 x10，解得x 3 1 或x1 于是切点为P（1，2） ，Q（ 3 1 ， 27 14 ） ， 过点P的切线方程为，y2x1 即xy1 0 显然两切线间的距离等于点Q到此切线的距离，故所求距离为 2 |1

43、 27 14 3 1 | 2 27 16 四课堂练习 1求下列函数的导数 (1) y =sinx 3+sin3 3x； （2） 12 2sin x x y;(3)2(log 2 x a 2. 求)132ln( 2 xx的导数 五回顾总结 六教后反思： 1.3.1函数的单调性与导数（2 课时） 教学目标： 1了解可导函数的单调性与其导数的关系； 2能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次； 教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程： 一创设情景 函

44、数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时， 了解函数的赠与减、增减的快与慢 以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的 变化规律有一个基本的了解下面， 我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中 的作用 二新课讲授 1 问题： 图 3.3-1 （1） ，它表示跳水运动中高度 h 随时间t变化的函数 2 ( )4.96.510h ttt的图 像，图3.3-1 （2）表示高台跳水运动员的速度v随 时间t变化的函数 ( )( )9.86.5v th tt的图像 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段 时间的运动状态有什么区别？ 通过

45、观察图像，我们可以发现： （1）运动员从起点到最高点，离水面的高度 h随时间t的增加而增加，即( )h t是增函数相应地， ( )( )0v th t （2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即( )h t是减函 数相应地， ( )( )0v th t 2函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系 如图 3.3-3 ，导数 0 ()fx表示函数( )f x在点 00 (,)xy处的切线的斜率 在 0 xx处， 0 ()0fx，切线是 “左下右上” 式的， 这时， 函数( )f x在 0 x附近单调递增； 在 1 xx处， 0 ()0

46、fx，切线是“左上右下”式的，这时，函数( )f x在 1 x附近单调递减 结论：函数的单调性与导数的关系 在某个区间( , )a b内，如果 ( )0fx，那么函数( )yf x在这个区间内单调递增；如果 ( )0fx，那么函数( )yf x在这个区间内单调递减 说明：（1）特别的，如果 ( )0fx，那么函数( )yfx在这个区间内是常函数 3求解函数( )yf x单调区间的步骤： （1）确定函数( )yf x的定义域； （2）求导数 ( ) yfx； （3）解不等式 ( )0fx，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式 ( )0fx，解集在定义域内的部分为减区间 三典例分析 例

47、1 已知导函数 ( )fx的下列信息 ： 当14x时， ( )0fx； 当4x，或1x时， ( )0fx； 当 4x ，或 1x 时， ( )0fx 试画出函数( )yf x图像的大致形状 解： 当14x时， ( )0fx，可知( )yf x在此区间内单调递增； 当4x，或1x时， ( )0fx；可知( )yf x在此区间内单调递减； 当 4x ，或 1x 时， ( )0fx，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点” 综上，函数( )yf x图像的大致形状如图3.3-4 所示 例 2 判断下列函数的单调性，并求出单调区间 （ 1） 3 ( )3f xxx；（2） 2 ( )23fxxx （ 3）

48、( )sin(0,)f xxx x；（ 4） 32 ( )23241f xxxx 解： （1）因为 3 ( )3f xxx，所以， 22 ( )333(1)0fxxx 因此， 3 ( )3fxxx在R上单调递增，如图3.3-5 （1）所示 （ 2）因为 2 ( )23f xxx，所以， ( )2221fxxx 当 ( )0fx，即1x时，函数 2 ( )23f xxx单调递增； 当 ( )0fx，即1x时，函数 2 ( )23f xxx单调递减； 函数 2 ( )23f xxx的图像如图3.3-5 （2）所示 （ 3）因为( )sin(0,)f xxx x，所以， ( )cos10fxx 因此，函数( )sinf xxx在(0,)单调递减，如图3.3-5 （3）所示