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1、- 1 - 第八章分式小结 一、本章知识结构精要 约分 分式的性质 通分 分乘除法 式分式的运算 加减法 解法 分式方程 应用 二、本章知识精讲 1. 分式的概念：形如 B A （A、 B 是整式，且B 中含有字母， B0 ）的式子叫做.其中， A 叫分 式的分子， B叫分式的分母. 2、分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 用式子表示为：。 3、约分和通分 分式的约分：把一个分式的叫约分. 分式的通分：把几个异分母的分式分式叫通分. 4、分式运算 分式乘法法则： bd ac d c b a ；（ b a ） n=。 除法法则： bc ad c
2、d b a d c b a 。 分式的加减法则： b ca b c b a ， bd bcad d c b a 。 5、 解分式方程的基本思想是把它化为方程。在分式方程的求解的过程当中有可能产生， 所以解分式方程必须。 例 1在分式 2 2 2 xx axx 中，a为常数，当x为何值时， 该分式有意义？当x为何值时， 该分式的值为零？ 解析由x 2 +x2=0，得 (x1)(x +2)=0 ，x =1 或x = 2 当x1 且x 2 时，该分式有意义 由x 2 +ax =0 ，得x(x+a)=0，即x =0 或x=a 当a1 且a 2 时，则x =0 或x=a时，该分式的值为零 当a =2 或
3、a = 1 时，则x=0 时，该分式的值为零 点评在解题中用了两个字“或”与“且”，它们所表达的含义完全不同，请认真体会 - 2 - 例 2已知 2 22 211 1 1 xxx yx xxx 。试求当x2009，y2010 时的值。 分析对原分式进行化简后代入x,y 的值计算。 解 22 2 211 1 11 xxxx y xxx 2 1(1)1 1 (1)(1)1 xx x xxxx 2 111 1 (1)(1)(1) xx xxx xx 11 1 xx 1. 所以，不论x 为何值， y 的值都是1。 点评这是一道“无关型”型试题，不论x 为何值， y 的值不变，那么可此分式化简后与x 的
4、值无关。 这时应从分式的化简入手，不可一开始就代入数值。 例 3（2009 年连云港中考题）若关于x 的方程 3 2 x x = 3x m 2 无解，则m 的值是 解析原方程可化为： 当原分式方程无解时，则增根，故代入一次方程有 所以，当时，原分式方程无解。 点评解分式方程最基本的数学思想是化分式方程为整式方程，最常用的方法是去分母法这样未知 数的取值范围就有可能扩大，所以解出来的未知数的值就必须检验，防止出现增根现象 例 4如图，小明家到王老师家的路程为3km ，王老师家到学校的路程为0.5km，为了使他能按时到校，王 老师每天骑自行车接小明上学. 已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3 倍
5、，每天比平时步行上班多用了 20min，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？ 解析设王老师的步行速度为xkm/h，则骑自行车的速度为3xkm/h； 王老师现在骑车所用的时间原来步行所用时间20min； 根据题意，得 60 205.0 3 5.033 xx ； 解这个方程：去分母，得3+3+0.5 1.5 x，即 x5； 经检验 x5 是原方程的解，所以3x15； 答：王老师的步行速度及骑自行车的速度分别为5km/h 和 15km/h. 点评列分式方程解简单的实际应用题的步骤简单地可分为：审、设、找、列、解、检、答七个步骤. 其中关键是“列”，难点是“找”. 三、掌握基本解题方法 1、分
6、式基本性质的应用 - 3 - 例 5计算： 2 2 a a 2 2 a a . 错解 2 2 a a 2 2 a a 2 2 4 a a 2 2 4 a a 2 4 4a . 剖析分式的加减运算的关键是通分，而通分的依据是分式的基本性质，本题中的错解在于违背了分 式的基本性质，只把分式的分母乘以一个整式，而分子乘.这样所得的分式就与原分式不等值了，所以通分 时要注意对分式基本性质的理解和应用. 正解 2 2 a a 2 2 a a 2 2 2 4 a a 2 2 2 4 a a 2 4 4 a a . 2、乘除运算转化为乘法运算 例 6化简 xxyx yxyx 1 2 2 22 . 分析本题是
7、一道分式的除法运算试题，根据运算法则，将除法运算转化为乘法运算注意将其结果 约分 解 xxyx yxyx 1 2 2 22 =yxx yxx yx )( )( 2 。 点评分式的乘法，就是用分式的分子乘以分子，分母乘以分母，然后约分分式的除法运算，将除 式的分子、分母颠倒位置，转化为乘法运算 3、逐步通分法在加减中的应用 例 7计算 2 1 1 1 1 1 1 xxx 。 分析此题若采用将各项一起通分后相加的方法，计算量很大注意到前后分母之间存 在着平方差关系，可逐步通分达到目的 解原式 = 22 1 2 1 2 xx = 4 1 4 x 点评若一次通分，计算量太大，利用分母间的递进关系，逐步
8、通分，避免了复杂的计算依次通分 构成平方差公式，采用逐步通分，则可使问题简单化。 四、掌握类比和转化数学思想方法 分式是分数的拓展, 学习分式要遵循从特殊到一般的认知规律. 无论是从它们的概念形式. 基本性质以及四则运算,都具 有相同的属性 . 所以在概念的引入, 性质 , 法则的得出 ,都采用了类比手段. 我们可以通过对分数知识的回忆, 能比较自然地过渡 到对分式的相应知识的研究. 从中探究出它们相似的结论和差异性的一面. 这对我们透彻理解和掌握很有帮助.如异分母分式 的加减要转化成同分母分式的加减, 分式方程的求解要转化成整式方程来求解. 这种把新问题转化为已经解决了的已知问题求 解的方法
9、 , 不断地有意识地渗透. 因为转化思想是数学中一个重要思想方法, 它在今后进一步学习数学将起到重要作用, 也是 提高数学能力的重要渠道, 务必引起我们的高度重视. 例 8 已知 a+x 2 =2009,b+x 2=2010,c+x2 =2011, 且 abc=1，求代数式的值。 - 4 - 分析将所求分式通分后再配方，使所求代数式含有，将问题转化到求 的值上来，再把已知的三个等式作差，易得出的值。 解消去已知条件中的，得 = 8 1 242 )2() 1() 1( 3 2 411 2 )()()( 222 222 abc accbba 点评利用转化思想把所求的代数式的值分解成与已知条件相关联
10、的代数式，这个代数式是探究的难 点，希望同学们能好好掌握。 五、中考命题链接 纵观近几年的全国各省、市的中考试题中，分式部分常见题型主要有三大类： 1有关分式的概念与性质，如分式有意义或分式的值为零的条件，常以填空题、选择题形式出现 2分式的运算及化简求值，如括号内是加减，括号外是乘除的分式混合运算，以计算题居多，值得指 出的是，分式的中考题难度不大，但涉及所学习的基础知识较多，解题方法灵活多变，容易产生符号和运 算方面的错误因此，本章考点题目“易做又易错”，既是“送分题”，又是“丢分题” 3. 分式方程的应用是历年中考的热点之一，命题常以生活中的热点问题为背景，通过分式方程的应用， 考查分析
11、问题和解决问题的能力。 1、考查分式的意义 例 1（ 2009 年清远、漳州）当x时，分式 1 2x 无意义 解析当分式的分母x-2=0 时，分式无意义，即x=2。 点评根据分式的定义，分母中字母所取的值应使分式有意义。 2、考查分式的基本性质 例 2（ 2009 湖北省荆门市）计算 2 2 ()ab a b 的结果是 （） AaBbC1D b - 5 - 解析 2 22 22 ab a b b a ba b ，故选 B 点评本题考查积的乘方运算与分式的性质的化简。 3、考查分式的计算（化简） 例 3（ 2009 年甘肃白银）计算： abab baa （） A ab b B ab b C ab
12、 a D ab a 解析 abab baa ba a abb a 22 b ba ba a ab baba)( 。 点评本题是括号内是加减，括号外是乘除的分式混合运算，解答时，应对括号内的分式进行通分， 讲除法转化为乘法，分解因式后，化简。 例 4（ 2009 年桂林市、百色市）先化简，再求值： 2211 () 22 xy xy xxyx ， 其中23xy， 解析原式 111 ()() 22 xy xy xy xxyxyx 11 22 xy xx （) ()xy yx。 把23xy，代入上式，得原式32 。 点评本题实质上是考查分式的计算，有括号，先算括号里面的，再做除法，根据化简的最后结果，
13、 再代入计算。 4、考查分式方程的解法 例 5（ 2009 漳州） 分式方程 21 1xx 的解是（） A1B1C 1 3 D 1 3 解析去分母得2x=x+x, 移项合并得x=1。 经检验 x=1 是方程的解。 点评解分式方程的基本思想是去分母，化分式方程为整式方程。这里的最简公分母是(x+1)x 。还需 注意在解方程的过程中不要漏乘，最后要检验。 - 6 - 5、考查分式方程的应用 例 5（2009 年莆田）面对全球金融危机的挑战，我国政府毅然启动内需，改善民生国务院决定从2009 年 2 月 1 日起，“家电下乡”在全国范围内实施，农民购买人选产品，政府按原价购买总额的 13% 给予补贴
14、 返还某村委会组织部分农民到商场购买人选的同一型号的冰箱、电视机两种家电，已知购买冰箱的数量 是电视机的2 倍，且按原价购买冰箱总额为40000 元、电视机总额为15000 元根据“家电下乡”优惠政 策，每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多65 元，求冰箱、电视机各购买多少台？ （1）设购买电视机x台，依题意填充下列表格： 项目 家电种类 购买数量 （台） 原价购买总 额（元） 政府补贴返 还比例 补贴返还总 金额（元） 每台补贴返 还金额（元） 冰箱40 000 13% 电视机x 15 000 13% （2）列出方程（组）并解答 解析： （1） 2x 40 000 13% 40 00013% 或 5200 4000013% 2x 或 5200 2x 或 2600 x x 15 000 13% 15 000 13% 或 1950 1500013% x 或 1950 x （2）解 :依题意得 4000013% 2x - 1500013% 65 x 解得10x 经检验10x是原分式方程的解 220x 答:冰箱、电视机分别购买20 台、 10 台