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1、精品文档 精品文档 第十六章二次根式 【知识点 1】 二次根式的概念： 一般地， 我们把形如)0(0 aa的式子叫做二次根式。 二次根式的实质是一个非负数数a 的算数平方根。 【注 】二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取 值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。 例 1下列各式（ 22211 (1)(2)5(3)2(4)4(5)() (6) 1(7)21 53 xaaa 其中是二次根式的是_（填序号） 例 2使x 1 x-2 有意义的x 的取值范围是（） Ax0 Bx2 Cx2 Dx0 且 x2 来源 : 学*科* 网 Z*X*X*K 例 3 若 y=5x
2、+x5+2009，则 x+y= 练习 1 使代数式 4 3 x x 有意义的 x 的取值范围是 练习 2 若11xx 2 ()xy，则xy的值为 例 4 若 230ab ，则 2 ab= 。 例 5 在实数的范围内分解因式：X 4 - 4X2 + 4= _ 例 6 若 a、b 为正实数，下列等式中一定成立的是（） ： A、a 2 + b 2 = a 2+b2 ； B、（a 2+b2）2 =a2+b2； C、 （a +b ） 2= a2+b2； D 、（ab） 2 =a b； 【知识点 2】二次根式的性质： （1）二次根式的非负性，)0(0 aa的最小值是0；也就是说a（）是一个非负 数，即)0
3、(0 aa。 注：因为二次根式)0(0 aa表示 a 的算术平方根，这个性质在解答题目时应用较多， 如 若0ab，则 a=0,b=0 ；若0ab，则 a=0,b=0 ；若 2 0ab，则 a=0,b=0 。 （2） 2 ()aa（） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非 负数 。注：二次根式的性质公式 2 ()aa（ ）是逆用平方根的定义得出的结论。上 面的公式也可以反过来应用：若，则 2 ()aa，如： 2 2( 2) （3） 例 7 a 、b、c 为三角形的三条边，则 cabcba 2 )(_. 例 8把(2-x) 2 1 x 的根号外的（ 2-x ）适当变形后移入根号内
4、，得 例9若二次根式26x有意义，化简x-4-7-x = 。 例10 已知 x、y 是实数，且满足y=x6 +6x +1 试求 9x2y 的值 例 11若实数 a 满足a 2 +a=0, 则有 例 12 下列命题中，正确的是（） A若 ab，则a b B若a a ，则 a0 C若 |a|=(b ) 2，则 a=b D 若 a 2=b，则 a 是 b 的平方根 例 13 24n是整数，则正整数n的最小值是（） A、4； B、5； C、6； D、7 例 14实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么 2 aba的结果是什么？ 例 15 已知已知 1 7a a , 则 1 a a 练习 1.若yxxx3
5、663 3 ，则 10x2y 的平方根为 _ 练习 2若yxx233 22 试求 y x的值。 练习 3若 2 440xyyy，求xy的值 专题二二次根式的乘除 【知识点1】二次根式的乘法法则：)0, 0(baabba。将上面的公式逆向运 用可得：)0,0(babaab积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根 b0 a 精品文档 精品文档 的积。 例 1 化简（ 1） 2442 (00)a ba bab ， _ （ 2） 1 a a _ 例 2 下列各式中不成立的是（） 2 ( 4)()2xx 22 402464 1632 2 554 11 999 ( 62)(62)4 例 3 计算 53
6、345 5156 y xyx y x 例 4 若 b0，x0，化简：bx3 【知识点 2】二次根式的除法： （1）一般地，对于二次根式的除法规定 b a b a ).0,0(ba 【注】分母有理化二次根式的除法运算，通常是采用化去分母中的根号的方法来进行的。分 母有理化：（1）定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 （2）关键：把分子、分母都乘以一个适当的式子，化去分母中的根号。 例 52+3的有理化因式是_； x- y的有理化因式是 _ -1x-1x的有理化因式是_ 例 6若246的整数部分为a，小数部分为b。求 b a 2 的值 练习： 已知111的整数部分为a，小数部分为b，试求11
7、1ba的值 【知识点3】最简二次根式： （1）被开放数不含分母； （ 2）被开放数中不含开得尽方的因数或因式。 例 7 下列二次根式中，最简二次根式是（） (A)12（B）xy（C） 3 2 （D） 32 4a b 例 8 已知xy0，化简二次根式 2 y x x 的正确结果为 _ 例 9设 a=23，b=32， c=25，则 a、b、c 的大小关系是 专题三二次根式的加减 【 知识点 1】 同类二次根式： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同， 这样的二次根式叫做同类二次根式。. 例 1 在8、 1 75 3 a、 2 9 3 a、125、 3 2 3a a 、30.2、-2 1
8、 8 中，与3a是同类二 次根式的有 例 2 若最简根式 3 43 a b ab与根式 232 26abbb是同类二次根式，求a、b 的值 练习： 若最简二次根式 22 32 3 m与 2 12 410 n m是同类二次根式，求m 、n 的值 【知识点2】二次根式的加减：二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简的二次根式， 再将被开放数相同的根式进行合并。 例 3（1）27) 4 6 48( 3 4 （ 2） 21 3 904 540 +- 例 4已知 4x 2+y2-4x-6y+10=0 ，求（2 9 3 xx+y 2 3 x y ）- （x 21 x -5x y x ）的值 【知识点3】二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样： 先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。 例 5 计算（1） 22 11 aa aa （2） 2ababab abab 精品文档 精品文档 例 6 已知x 23 23 ，y 23 23 ，求 32234 23 2yxyxyx xyx 的值