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1、精品文档 精品文档 “等差数列的前n 项和”教案 教学 环节 活动 说明 创设情境：首先让学生欣赏一幅美丽的图片 泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游景 点， 传说中陵寝中有一个三角形的图案嵌有 大小相同的宝石， 共有 100 层，同时提出第 一个问题：你能计算出这个图案一共花了多 少颗宝石吗？也即计算1+2+3+100=？ 问题 2：何老师按揭买房 ,向银行贷款 25 万 元，采取等额本金的还款方式， 即每月还款 额比上月减少一定的数额。2007 年 1 月， 我第一次向银行还款2348 元，以后每月比 上月的还款额减少5 元，若以 2007 年 1 月 银行贷款利率为基准利率,那么到 2026
2、年 12 月最后一次还款为止，何老师连本带利 一共还款多少万元？ 现实模型： 图片欣赏 生活实例 模型 直观 用实际 生活引 入新 课。 首先认识一位伟大的数学家高斯， 然后提出问题： 高斯是如何快速计算1+2+3 +4+100？ 设等差数列 n a前 n 项和为 n S,则 问题 1 老师：利用高斯算法如何求等差数列的前n 项和公式？ 老师：但是否刚好配对成功呢？ （1） n 为偶数时： 学 生 ： 1+100=101， 2+99=101，50+51=101， 所以原式 =50（ 1+101） =5050 学生 ：将首末两项配对， 第 二项与倒数第二项配对， 以 此类推，每一对的和都相 等，
3、并且都等于。 学生 ：不一定，需要对 n 取 值的奇偶进行讨论。 当 n 为偶数时刚好配 对成功。 高斯求 和众所 周知， 学生能 快速解 答。 这里 用到了 等差数 列脚标 和性质 从 高 斯算法 出发， 对 n 进 新 课 引 入 探 索 公 式 教 师 活 动学 生 活 动 nnn aaaaS 121 n aa1 nnnn aaaaS 1 22 1 )( 2 1nn aa n S 精品文档 精品文档 （2） n 为奇数时： 老师： 那么该如何解决落单的 2 1n a呢？ 同过对 n 取值的讨论，得到了前n 项和求和公式： 但是对 n 讨论麻烦了，能否有更好的 方法求前n 项和公式呢？接下
4、来给出实际 问题： 伐木工人是如何快速计算堆放在木场 的木头根数呢？ 问题 2：如何用倒置的思想求等差数列前n 项和呢？ 方法一： 两式相加得： 方法二 同样利用倒序相加求和法， 教材做了如 下处理： 当 n 为奇数时，中间的 一项 2 1n a落单了。 （可能部分学生在此会遇 到困难，老师做适当的引 导。 ） 学生： 观察 2 1n a的脚标与 脚标的关系，即： 学生观察动画演示，不 难发现用倒置的思想来解 决此问题。 （由上一问题的解决， 学生 容 易 想 到 倒 序 相 加 求 和 法。 ） 学生： 利用倒序相加求和 法。 将 n S中的每一项用等 差数列的通项公式进行巧 妙的改写，在倒
5、序相加求和 时，每一组中的 d 都被正负 行讨论 寻找求 和公式 思路自 然，学 生容易 想到。 对 中 间项 2 1n a 的 解决办 法的过 程中， 进一步 让学生 体会研 究数列 就是对 脚标数 学的研 究。 倒序相 加求和 法是重 要的数 学思 想，为 以后数 列求和 的学习 做好了 铺垫。 在等差 数列前 n 项和 公式的 推导过 程中， 通过问 探 索 公 式 nnnnn aaaaaS 1 2 1 2 1 1 2 11 2 11 )( 2 1 nnn aaa n S 2 )( 2 1 2 1 2 1 1 nn n aa aa n )( 2 1n aa n )( 2 1nn aa n
6、 S naa1 22 12 1 2 1 2 1 n nn n aa aa a nnn aaaaS 121 121 aaaaS nnn )(2 1nn aanS )( 2 1nn aa n S )1(.)( 111 dnadaaSn )1(.)(dnadaaS nnnn 精品文档 精品文档 议 练 活 动 认 识 公 两式相加得： 引导学生带入等差数列的通项公式， 换 掉整理得到公式 2。 例 1：计算 （1）1+2+3+n （2）1+3+5+(2n-1) （3）2+4+6+2n （4）1-2+3-4+5-6+(2n-1)-2n 教师通过动画演示给 (1),(2)问一个直观 的解释。 变式练习：
7、 课前提出的房贷问题。 解: 由已知每月还款数成等差数列, 设为 n a： 问题 3：能否给求和公式一个几何解释呢？ 教师提示将求和公式与梯形建立联系。 1 a n a 抵消了。 学生类比方法一与方法 二的联系与区别。 学生自己阅读教材，体 会教材的解法是如何运用 求和公式。 观察多媒体课件演示。 学生： 要求总还款额实际就 是对一个等差数列求和。 学生：将求和公式与梯形面 积公式建立联系， 而梯形面 积公式的推导也正是利用 了倒置的思想。 学生：同样将公式 2 与梯 形面积公式建立联系。用 “割”的思想将梯形分做一 个平行四边形和一个三角 形，而梯形面积就是这两部 分面积之和。 题获得 知识
8、， 让学生 经历 “发现 问题 提出 问题 解决 问题” 的过程 通过对 实际问 题的解 决让学 生认识 到数学 来源于 生活， 同时又 服务于 生活 利用数 形结合 的思 想，使 学生对 两个公 式有直 观的认 )(2 1nn aanS )( 2 1 1nn aa n S：公式 n a d nn naSn 2 ) 1( 2 1 ：公式 240, 5,2348 1 nda )(420120 )5( 2 239240 2348240 2 )1( 1 元 d nn naSn 2 )( :1 1n n aan S公式 精品文档 精品文档 式 认 识 公 式 议 练 活 动 n a 1 a 1 a n
9、 剖析公式： 教师提示，从方程中量的关系入手。 例 2 等差数列 -10 ，-6，-2，2， 前多 少项的和为 54？ 解：设题中的等差数列是 n a，前 n 项和 为 n S： 则 1 a10，d6（ 10）4 令 n S54，由等差数列前n 项和公式， 学生讨论：公式中一共含有 五个量，根据三个公式之间 的联系，由方程的思想， 知 三可求二。 学生讨论分析题目所含的 已知量，选取了公式 2 进行 运算，利用了方程的思想。 需要注意的是学生可能会 把公差认为是 -4，以及解得 n 的值后未把 n=-3 舍去。 学 生 进 行 了 分 组 讨 论，然后每组派学生代表进 行分析。不少小组首先对已
10、 知条件作转化， 希望能通过 解方程求出首项和公差， 但 识，体 会数学 的图形 语言。 例 2 在 解决了 例 1 的 基础 上，由 浅入 深，深 化了对 公式的 理解， 体现了 方程的 思想。 紧扣 教材， 让学生 体会整 体应用 公式， 类比化 归的思 d nn naSn 2 )1( 2 1 ：公式 dnaan)1( 1 1 a dn)1( 1 () 1 2 n n n aa S公式 1 (1) 2 2 n n n Snad公式 dnaan)1( 1 通项公式： (1) 10454. 2 n n n 精品文档 精品文档 课 堂 总 结 得： 解得 1 n9， 2 n3（舍去） 因此, 等
11、差数列的前 9 项和是 54 例 3： 解： （1） 161125152 aaaaaa 18 152161 aaaa 144 2 )(16 161 16 aa S （2） 本小题主要考察了对公式一的整体应 用。 根据课堂剩余时间，本题作为机动练习， （2）小问留给学生课后完成。 1、 教师引导学生归纳总结本节课所学 习的主要内容 2、课后作业： 教材 118 页：1、2、3、5、6、7 课后思考： 等差数列的前n 项和的求和方法除 了倒序相加法还有没有其它方法呢? 3、对求和史的了解 我国数列求和的概念起源很早，在北 朝时，张丘建始创等差数列求和解法。他在 张丘建算经中给出等差数列求和问题：
12、例如：今有女子不善织布， 每天所织的布以 同数递减， 初日织五尺， 末一日织一尺， 共 织三十日，问共织几何？原书的解法是： “并初、末日织布数，半之再乘以织日数， 即得。” 发现条件不够， 不能解出这 些基本量，教师做适当的引 导。 本 环 节 由 学 生自 主 归 纳、总结本节课所学习的主 要内容，教师加以补充说 明 （1）回顾从特殊到一 般，一般到特殊的研究 方法. （2） 体会等差数列的基 本元表示方法， 倒序相加的 算法，及数形结合的数学思 想. （3） 掌握等差数列的两 个求和公式及简单应用。 了解我国古代研究等差 数列求和的情况。 想方 法，同 时，为 以后综 合问题 的解答 设
13、下伏 笔。 通过对 等差数 列求和 历史的 了解， 渗透数 学史和 数学文 化。 116 16151252 ,20)2( ,36:) 1( Sa Saaaa an 求已知： 求已知 中在等差数列 220 2 112 2 11)( 6 111 11 a aa S 精品文档 精品文档 二、教学反思 根据教学经历和学生的反馈信息，笔者对本课有如下五点反思： （1）根据实际教学情况，学生比较容易掌握本课知识。在教学过程中，我重点突出 了学生活动，设计了四个活动环节： (1) 公式的探究活动； (2) 公式的认识 (3) 公式的应用 (4) 学生课后的拓展学习。 （2）本课特别强调了几何直观，我不仅对求
14、和公式给出了几何解释，也对部分习题 给出了几何解释，体现了数形结合的思想方法。 （3）由于高斯求和法众所周知，于是我补充了我国古代研究数列求和的情况，但由 于时间关系不能展开讲解，所以如何在课后引导学生进行了解是一个值得研究的问题。 （4）本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，把现代信息技术作为学生学习数学 和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去。 （5）目标达成 本课注重在课堂教学活动中实现目标。 提出实际问题知识与技能目标 1 例题讲解知识与技能目标2 深化理解知识与技能目标3 活动参与过程与方法目标 感悟数学史情感与价值目标 应为培养出创新人才新型的高斯而努力。