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1、. ;. 应用导数的概念及几何意义解题仍将是高考出题的基本出发点; 利用导数研究函数的单调 性、极值、最值、图象仍将是高考的主题; 利用导数解决生活中的优化问题将仍旧是高考的 热点 ; 将导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识结合在一起的综合应用，仍将是高考 压轴题 . 一含参数函数求单调性（求可导函数单调区间的一般步骤和方 法:(1)确定函数定义域;(2) 求导数 ;(3) 令导数大于0, 解得增区间 , 令导数小于0, 解得减区 间. ） 例 1（2012 西 2）已知函数 2 2 21 ( ) 1 axa f x x ，其中 aR （）当1a时，求曲线( )yf x在原点处的切线方程；
2、 （）求)(xf的单调区 间 （）解：当1a 时， 2 2 ( ) 1 x f x x ， 22 (1)(1) ( )2 (1) xx fx x 2 分 由 (0)2f ，得曲线 ( )yf x 在原点处的切线方程是 20xy 3 分 （）解： 2 ()(1) ( )2 1 xa ax fx x 4 分 当 0a 时， 2 2 ( ) 1 x fx x 所以( )f x 在(0, ) 单调递增，在 (,0) 单调递减 5分 当 0a ， 2 1 ()() ( )2 1 xa x a fxa x 当0a时，令( )0fx，得 1 xa ， 2 1 x a ， ( )f x 与 ( )fx 的情况
3、如下： 故)(xf的单调减区间是(,)a， 1 (,) a ；单调增区间是 1 (,)a a 7 分 当0a时，( )f x与( )fx的情况如下： x 1(,)x 1 x 12 (,)xx 2 x 2 (,)x ( )fx 00 ( )f x 1 ()f x 2 ()f x x 2 (,)x 2 x 21 (,)xx 1 x 1 (,)x ( )fx 00 ( )f x 2 ()f x 1 ()f x . ;. 所以( )f x的单调增区间是 1 (,) a ；单调减区间是 1 (,)a a ，( ,)a 9分 （）解：由（）得，0a时不合题意 10 分 当0a时 ， 由 （ ） 得 ，)(
4、xf在 1 (0,) a 单 调 递 增 ， 在 1 (,) a 单 调 递 减 ， 所 以 )(xf 在 (0,) 上 存 在 最 大 值 2 1 ()0fa a 设 0 x 为 )(xf 的零点，易知 2 0 1 2 a x a ，且 0 1 x a 从而 0 xx 时， ( )0f x ； 0 xx 时， ( )0f x 若)(xf在0, )上存在最小值，必有(0)0f ，解得 11a 所以 0a 时，若 )(xf 在0, ) 上存在最大值和最小值， a 的取值范围是 (0,1 12 分 当 0a 时 ， 由 （ ） 得 ， )(xf 在 (0,)a 单 调 递减 ， 在( ,)a 单调
5、 递 增， 所 以 )(xf 在(0, ) 上存 在 最 小 值 ()1fa 若)(xf在0,)上存在最大值，必有(0)0f，解得1a，或1a 所以0a时，若)(xf在0,)上存在最大值和最小值，a的取值范围是(, 1 综上， a 的取值范围是 (, 1(0,1U 14 分 例 2 设函数 f(x)=ax(a+1)ln( x+1)，其中 a-1，求 f(x)的单调区间 . 【解析】 由已知得函数 ( )f x 的定义域为 ( 1,)，且 1 ( )(1), 1 ax fxa x （1）当 10a 时， ( )0,fx 函数 ( )f x 在 ( 1,) 上单调递减， （2）当 0a 时，由 (
6、 )0,fx 解得 1 .x a ( )fx 、 ( )f x 随x的变化情况如下表 x 1 ( 1,) a 1 a 1 (,) a ( ) fx 0 + ( )f x 极小值 Z 从上表可知当 1 ( 1, )x a 时， ( )0,fx 函数 ( )f x 在 1 ( 1,) a 上单调递减 . 当 1 (,)x a 时， ( )0,fx 函数 ( )f x 在 1 (,) a 上单调递增 . 综上所述：当 10a 时，函数 ( )f x 在 ( 1,)上单调递减 .当 0a 时，函数 ( )f x 在 1 ( 1, ) a 上单调递减，函数 ( )f x 在 1 (,) a 上单调递 增
7、. . ;. 已知函数 3 22 ( )1, a f xx x 其中0a. （I）若曲线( )yf x 在 (1,(1)f处的切线与直线1y平行，求a的值； （II ）求函数( )f x 在区间1,2上的最小值 . 解： 333 22 22() ( )2 axa fxx xx ， 0x . .2 分 （I）由题意可得 3 (1)2(1)0fa ，解得 1a ， 3 分 此时(1)4f，在点(1, (1)f处的切线为4y，与直线1y平行 故所求a值为 1. 4分 （II）由( )0fx可得xa， 0a ， 5 分 当 01a 时， ( )0fx 在(1,2上恒成立，所以 ( )yf x 在1,2
8、上递增，.6 分 所以( )f x在1,2上的最小值为 3 (1)22fa . 7分 当1 2a 时， x (1, )a a( ,2)a ( )fx 0 ( )f x 极小 由上表可得( )yfx在1,2上的最小值为 2 ( )31f aa . 11分 当 2a 时， ( )0fx 在1,2)上恒成立， 所以 ( )yf x 在1,2上递减 . 12分 所以( )f x在1,2上的最小值为 3 (2)5fa . .13 分 综上讨论， 可知： 当0 1a 时， ( )yfx 在1,2上的最小值为 3 (1)22fa ；当1 2a 时， ( )yf x 在1,2上 的最小值为 2 ( )31f
9、aa ；当 2a 时， ( )yf x 在1,2上的最小值为 3 (2)5fa . 练习 1 已知函数 2 11 ( )ln(0) 22 f xaxxaa且R. (2012海淀一模） （）求( )f x的单调区间； （） 是否存在实数a，使得对任意的1,x，都有( )0f x？若存在，求a的 10 分 . ;. 取值范围；若不存在，请说明理由. 2（2012 顺义 2 文） （.本小题共14 分） 已知函数 2 ( )(1)2ln,f xaxx( )2g xax,其中1a （）求曲线( )yf x在(1, (1)f处的切线方程 ; （）设函数( )( )( )h xf xg x，求( )h x
10、的单调区间 . 3（2012 朝 1）18. （本题满分14 分） 已知函数 2 ( )1e x f xax,aR. （）若函数( )f x在 1x 时取得极值，求a的值； （）当0a时，求函数( )f x的单调区间 . 二参数范围 有单调性时分离常数法 例（东 2）已知函数 2 1 ( )2e 2 x f xxxa. （）若1a，求( )f x在1x处的切线方程； （）若)(xf在R上是增函数，求实数a的取值范围 . 解： 1)由1a， 21 ( )2e 2 x f xxx ， 3 (1)e 2 f ， 1 分 所以( )2e x fxx . 3 分 又 (1)1ef ， 所以所求切线方程为
11、 3 (e)(1 e)(1) 2 yx 即2(1 e)210xy . 5 分 （）由已知 2 1 ( )2e 2 x f xxxa ，得 ( )2e x fxxa . 因为函数 )(xf 在R上是增函数， 所以( )0fx恒成立，即不等式 2e0 x xa 恒成立 . 9 分 整理得 2 e x x a . 令 2 ( ), e x x g x 3 ( ). e x x gx 11 分 . ;. ,( ),( )x gx g x 的变化情况如下表： 由 此 得 3 (3)eaga=，即 的 取 值 范 围是 3 ,e .13 分 练习 1（ 2012 怀柔 2）设aR，函数 23 3)(xax
12、xf （）若2x是函数)(xfy的极值点，求实数a的值； （）若函数( )( ) x g xe f x在2,0上是单调减函数，求实数a的取值范围 解： （） 2 ( )363 (2)fxaxxx ax 因为 2x 是函数 ( )yf x 的极值点，所以 (2)0f ，即6(2 2)0a ， 所以 1a 经检验，当 1a 时， 2x 是函数 ( )yf x 的极值点 即 1a -6分 （）由题设， 322 ( )(336 ) x g xe axxaxx ，又 0 x e ， 所以， (0,2x ， 322 3360axxaxx ， 这等价于，不等式 2 322 3636 33 xxx a xxx
13、x 对 (0, 2x 恒成立 令 2 36 ( ) 3 x h x xx （ (0,2x ） ， 则 22 2222 3(46)3(2)2 ( )0 (3 )(3 ) xxx h x xxxx ， -10分 所以 ( )h x 在区间 0,2（ 上是减函数， 所以 ( )h x 的最小值为 6 (2) 5 h -12分 所以 6 5 a 即实数 a的取值范围为 6 (, 5 -13分 2（2012 石景山 1）已知函数 2 ( )2 lnfxxax （）若函数( )f x的图象在(2,(2)f处的切线斜率为1，求实数a的值； （）求函数( )f x的单调区间； （）若函数 2 ( )( )g
14、xf x x 在1,2上是减函数，求实数a的取值范围 分类讨论求参数 例 2（2012 昌平 1）已知函数 .ax x xxf 1 ln)(（a为实数） （I）当0a时，求)(xf的最小值； x(,3)3(3 ,) ( )gx 0 + ( )g x 极小值 . ;. （II ）若)(xf在),2上是单调函数，求a的取值范围 解： ( ) 由题意可知： 0x 1 分 当 0a 时 2 1 )( x x xf .2 分 当 10x 时， 0)(xf 当 1x 时， 0)(xf 4 分 故1) 1()( min fxf . .5 分 () 由 2 2 2 111 )( x xax a xx xf 由
15、题意可知 0a 时， 2 1 )( x x xf ,在 ),2 时， 0)(xf 符合要求 .7 分 当 0a 时，令1)( 2 xaxxg 故此时 )(xf 在 ),2 上只能是单调递减 0)2(f 即 0 4 124a 解得 4 1 a .9 分 当 0a 时，)(xf在), 2上只能是单调递增0)2(f即 , 0 4 124a 得 4 1 a 故 0a .11 分 综上 ),0 4 1 ,(a .13 分 根据性质求范围） （零点 例（ 2012 昌平 2）已知函数 2 ( )4ln6f xxaxxb（a，b为常数）， 且 2x 为( )f x的一个极值点 () 求a的值； () 求函数
16、( )f x的单调区间； () 若函数( )yf x有 3 个不同的零点，求实数b的取值范围 解：( ) 函数 f (x)的定义域为（0， +）1 分 f ( x) =62 4 ax x 2 分 06422a)(f ，则 a = 1 4分 ()由() 知bxxxxf6ln4)( 2 . ;. f (x) = x xx x xx x x ) 1)(2(2462 62 4 2 6 分 由 f ( x) 0 可得 x 2 或 x 0，函数 y=f(x)在区间 (a，a 2-3)上存在极值，求 a 的取值范围； （）若a2，求证：函数y=f(x)在(0，2)上恰有一个零点 （单调性） 已知函数13 3
17、 1 ( 223 xmmxxxf）(0)m. （）若 1m ，求曲线)(xfy在点)2(, 2(f处的切线方程； （）若函数)(xf在区间(21,1)mm上单调递增，求实数m的取值范围 . ;. 解：（）当 1m 时， 13 3 1 ( 23 xxxxf） ， 3 5 164 3 8 2( ）f . 32( 2 xxxf） ， 53442( ）f 3分 所以所求切线方程为 )2(5 3 5 xy 即 025315yx 5 分 （） 22 32( mmxxxf） . 令 0( ）xf ，得 mxmx或3 . 7分 由于 0m ，)(xf，)(xf的变化情况如下表： x )3,(m m3 ),3(
18、mm m ),(m )( xf + 0 0 + )(xf 单调增极大值单调减极小值单调增 所以函数)(xf的单调递增区间是(, 3)m和(,)m. 9 分 要使 )(xf 在区间(2 1,1)mm 上单调递增， 应有 1m m3 或 12m m， 解得m 4 1 或m1 11 分 又 0m 且 121mm ， 12分 所以 12m 即实数m的取值范围 21mm 13 分 三基本性质 （2012 朝 2）设函数 2 2 ( )ln(0) a f xaxa x . （）已知曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切线l的斜率为23a，求实数a的值； （）讨论函数( )f x的单调性； （）在（）
19、的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x，都有( )3f xx 单调区间 （2012 门头沟 2）已知函数1)( 23 bxaxxxf在1x处有极值1 （I）求实数ba，的值； . ;. （II ）求函数 xaxxgln)( 的单调区间 （2012 东 1）已知1x是函数( )(2)e x f xax的一个极值点 （）求实数a的值； （）当 1 x， 2 0,2x时，证明： 12 ()()ef xf x 实用 (2012 西城一模）如图，抛物线 2 9yx与x轴交于两点,A B，点,C D在抛物线上（点 C在第一象限），CDAB记|2CDx，梯形ABCD面积为S （）求面积 S以x为自变量的函
20、数式； （）若 | | CD k AB ，其中k为常数，且01k，求S的最大值 （）解：依题意， 点C的横坐标为 x ， 点C的纵坐标为 2 9 C yx 1 分 点 B 的横坐标 Bx 满足方程 2 90 B x ，解得 3Bx ，舍去 3 B x 2 分 所以 2211 (|)(223)(9)(3)(9) 22 C SCDAByxxxx 4 分 由点C在第一象限，得 03x 所以 S 关于x的函数式为 2 (3)(9)Sxx ，0 3x 5 分 （）解：由 03, , 3 x x k 及0 1k ，得 03xk 6 分 记 2 ( )(3)(9), 03fxxxxk ， 则 2 ( )3693(1)(3)fxxxxx 8 分 令 ( )0fx ，得 1x 9 分 若1 3k，即 1 1 3 k 时， ( )fx 与( )f x的变化情况如下： x (0,1) 1 (1,3 )k ( )fx0 . ;. ( )f x 极大值 所以，当 1x 时， ( )f x 取得最大值，且最大值为 (1)32f 11 分 若1 3k，即 1 0 3 k 时， ( )0fx 恒成立， 所以， ( )f x 的最大值为 2 (3 )27(1)(1)fkkk 13 分 综上， 1 1 3 k 时，S的最大值为 32； 1 0 3 k 时，S的最大值为 2 27(1)(1)kk