排列组合基本知识.pdf

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1、精品文档 . 基本知识 排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关如231 与 213 是两个排列，2 31 的和 与 213 的和是一个组合 (一)两个基本原理是排列和组合的基础 (1)加法原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m1 种不同的方 法，在第二类办法中有m2 种不同的方法，在第n 类办法中有mn 种不同的方法，那 么完成这件事共有N m1 m2 m3 mn 种不同方法 (2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m1 种不同的方法， 做第二步有m2 种不同的方法，做第n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N m1 m2 m3mn种不同的方

2、法 这里要注意区分两个原理，要做一件事，完成它若是有n 类办法，是分类问题，第一 类中的方法都是独立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n 个步骤，步与步之间是连 续的， 只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法 原理 这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来 (二)排列和排列数 (1) 排列： 从 n 个不同元素中， 任取 m(m n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做 从 n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列 从排列的意义可知，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且 排列的顺序必须完全相同，这就告诉

3、了我们如何判断两个排列是否相同的方法 (2) 排列数公式： 从 n 个不同元素中取出m(m n) 个元素的所有排列,当 mn 时，为 全排列 Pnn=n(n1)(n 1) 3 2 1n！ 精品文档 . (三)组合和组合数 (1)组合：从 n 个不同元素中， 任取 m(m n) 个元素并成一组，叫做从n 个不同元素 中取出 m 个元素的一个组合 从组合的定义知，如果两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何，都是相 同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合 (2) 组合数：从n 个不同元素中取出m(m n) 个元素的所有组合的个 这里要注意排列和组合的区别和联系，从 n 个

4、不同元素中， 任取 m(m n) 个元素， “按 照一定的顺序排成一列”与“不管怎样的顺序并成一组”这是有本质区别的 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1) 从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力 (2) 限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词) 准确理解； (3) 计算手段简单， 与旧知识联系少， 但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4) 计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具 有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1) 加法原理和分类计数法 1加法原

5、理 2加法原理的集合形式 3分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不 相同 (即分类不重 )；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏 ) 精品文档 . (2)乘法原理和分步计数法 1乘法原理 2合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n 步才能完成此任务； 各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 例题分析 排列组合思维方法选讲 1首先明确任务的意义 例 1. 从 1、2、3、20 这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的 不同等差数列有_ 个。 分析：首先要把

6、复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。 设 a,b,c 成等差，2b=a+c, 可知 b 由 a,c 决定， 又 2b 是偶数，a,c 同奇或同偶，即：从1， 3，5，19 或 2，4，6， 8，20 这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为2=180 。 例 2. 某城市有4 条东西街道和6 条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能 向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M 到 N 有多少种不同的走法? 分析：对实际背景的分析可以逐层深入 （一）从 M 到 N 必须向上走三步，向右走五步，共走八步。 （二）每一步是向上还是向右，决定了不同的

7、走法。 精品文档 . （三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右。 从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数， 本题答案为： =56 。 2注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合 例 3在一块并排的10 垄田地中，选择二垄分别种植A， B 两种作物，每种种植一垄，为 有利于作物生长，要求A，B 两种作物的间隔不少于6 垄，不同的选法共有_ 种。 分析：条件中“要求A、 B 两种作物的间隔不少于6 垄”这个条件不容易用一个包含排列数， 组合数的式子表示，因而采取分类的方法。 第一类： A 在第一垄， B 有 3 种选择； 第二类：

8、 A 在第二垄， B 有 2 种选择； 第三类： A 在第三垄， B 有一种选择， 同理 A、B 位置互换，共 12 种。 例 4从 6 双不同颜色的手套中任取4 只，其中恰好有一双同色的取法有_ 。 (A)240 (B)180 (C)120 (D)60 分析：显然本题应分步解决。 （一）从 6 双中选出一双同色的手套，有种方法； （二）从剩下的十只手套中任选一只，有种方法。 （三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有种方法； （四）由于选取与顺序无关，因而（二）（三）中的选法重复一次，因而共240 种。 精品文档 . 例 5身高互不相同的6 个人排成2 横行 3 纵列，在第一行

9、的每一个人都比他同列的身后 的人个子矮，则所有不同的排法种数为_ 。 分析： 每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只 与人的选法有关系，共有三纵列，从而有=90 种。 例 6在 11 名工人中，有5 人只能当钳工，4 人只能当车工，另外2 人能当钳工也能当车 工。现从 11 人中选出4 人当钳工， 4 人当车工，问共有多少种不同的选法? 分析：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。 以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。 第一类：这两个人都去当钳工，有种； 第二类：这两人有一个去当钳工，有

10、种； 第三类：这两人都不去当钳工，有种。 因而共有 185 种。 例 7现有印着0，l，3，5，7，9 的六张卡片，如果允许9 可以作 6 用，那么从中任意抽 出三张可以组成多少个不同的三位数? 分析：有同学认为只要把0，l，3，5，7，9 的排法数乘以2 即为所求，但实际上抽出的三 个数中有 9 的话才可能用6 替换，因而必须分类。 抽出的三数含0，含 9，有种方法； 抽出的三数含0 不含 9，有种方法； 抽出的三数含9 不含 0，有种方法； 抽出的三数不含9 也不含 0，有种方法。 精品文档 . 又因为数字9 可以当 6 用，因此共有2 (+)+=144种方法。 例 8停车场划一排12 个

11、停车位置，今有8 辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的 停车方法是 _ 种。 分析：把空车位看成一个元素，和8 辆车共九个元素排列，因而共有种停车方法。 3特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑 例 9六人站成一排，求 (1)甲不在排头，乙不在排尾的排列数 (2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数 分析：（ 1）先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。 第一类：乙在排头，有种站法。 第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，有种站法， 共+ 种站法。 （2）第一类：甲在排尾，乙在排头，有种方法。 第二类：甲在排尾，乙不在排头，有种方法。 第三类：乙在排头，甲不在排头

12、，有种方法。 第四类：甲不在排尾，乙不在排头，有种方法。 共+2+=312种。 精品文档 . 例 10 对某件产品的6 件不同正品和4 件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。 若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能? 分析： 本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算 是特殊位置了，分步完成。 第一步：第五次测试的有种可能； 第二步：前四次有一件正品有中可能。 第三步：前四次有种可能。 共有种可能。 4捆绑与插空 例 11. 8 人排成一队 (1)甲乙必须相邻(2) 甲乙不相邻 (3)甲乙必须相邻且与丙不相邻(4) 甲乙必须

13、相邻，丙丁必须相邻 (5)甲乙不相邻，丙丁不相邻 分析：（ 1）有种方法。 （2）有种方法。 （3）有种方法。 （4）有种方法。 （5）本题不能用插空法，不能连续进行插空。 用间接解法：全排列-甲乙相邻 -丙丁相邻 + 甲乙相邻且丙丁相邻，共-+=23040种方法。 例 12. 某人射击8 枪，命中4 枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况? 精品文档 . 分析： 连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插空问题。另外没有 命中的之间没有区别，不必计数。即在四发空枪之间形成的5 个空中选出2 个的排列，即。 例 13. 马路上有编号为l，2， 3，10 十个路灯，为节约用电又看

14、清路面，可以把其 中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求 满足条件的关灯方法共有多少种? 分析：即关掉的灯不能相邻，也不能在两端。又因为灯与灯之间没有区别，因而问题为在7 盏亮着的灯形成的不包含两端的6 个空中选出3 个空放置熄灭的灯。 共=20 种方法。 5间接计数法. (1)排除法 例 14. 三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形? 分析：有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。 所求问题的方法数=任意三个点的组合数-共线三点的方法数， 共种。 例 15 正方体8 个顶点中取出4 个，可组成多少个四面体? 分析：所求问题的方法数=

15、 任意选四点的组合数- 共面四点的方法数， 共-12=70-12=58个。 精品文档 . 例 16. l ，2，3，9 中取出两个分别作为对数的底数和真数，可组成多少个不同数值的 对数 ? 分析：由于底数不能为1。 （1）当 1 选上时， 1 必为真数，有一种情况。 （2）当不选1 时，从 2-9 中任取两个分别作为底数，真数，共，其中log24=log39， log42=log93, log23=log49, log32=log94. 因而一共有53 个。 (3)补上一个阶段，转化为熟悉的问题 例 17. 六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一定相邻 )，共有多少种不同的方法? 如果要 求甲

16、乙丙按从左到右依次排列呢? 分析： （一）实际上，甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情况对称，具有相同的排法数。因 而有 =360种。 （二） 先考虑六人全排列；其次甲乙丙三人实际上只能按照一种顺序站位，因而前面的排法 数重复了种， 共=120种。 例 18 5 男 4 女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方法? 分析：首先不考虑男生的站位要求，共种；男生从左至右按从高到矮的顺序，只有一种站法， 因而上述站法重复了次。因而有=9 8 7 6=3024种。 若男生从右至左按从高到矮的顺序，只有一种站法，同理也有3024 种，综上，有6048 种。 精品文档 . 例 19. 三个

17、相同的红球和两个不同的白球排成一行，共有多少种不同的方法? 分析： 先认为三个红球互不相同，共种方法。而由于三个红球所占位置相同的情况下，共有 变化，因而共 =20 种。 6挡板的使用 例 20 10 个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法? 分析：把 10 个名额看成十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中，选出七个位置放置 档板，则每一种放置方式就相当于一种分配方式。因而共36 种。 7注意排列组合的区别与联系： 所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补充一个阶段(排序 )可转化 为排列问题。 例 21. 从 0，l， 2，9 中取出 2 个偶数数

18、字，3 个奇数数字，可组成多少个无重复数 字的五位数 ? 分析：先选后排。另外还要考虑特殊元素0 的选取。 （一）两个选出的偶数含0，则有种。 （二）两个选出的偶数字不含0，则有种。 例 22. 电梯有 7 位乘客， 在 10 层楼房的每一层停留，如果三位乘客从同一层出去，另外两 位在同一层出去，最后两人各从不同的楼层出去，有多少种不同的下楼方法? 分析：（一）先把7 位乘客分成3 人， 2 人，一人，一人四组，有种。 精品文档 . （二）选择10 层中的四层下楼有种。 共有种。 例 23. 用数字 0， 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的四位数， (1)可组成多少个不同的四位数? (2)

19、可组成多少个不同的四位偶数? (3)可组成多少个能被3 整除的四位数? (4)将(1)中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85 项是什么 ? 分析：（ 1）有个。 （2）分为两类： 0 在末位，则有种：0 不在末位，则有种。 共+ 种。 （3）先把四个相加能被3 整除的四个数从小到大列举出来，即先选 0，1，2，3 0，1，3，5 0，2，3，4 0，3，4，5 1，2，4，5 它们排列出来的数一定可以被3 整除，再排列，有：4 ()+=96种。 （4）首位为1 的有 =60 个。 前两位为 20 的有 =12个。 前两位为 21 的有 =12个。 因而第 85 项是前两位为23 的最小

20、数，即为2301 。 精品文档 . 8分组问题 例 24. 6 本不同的书 (1) 分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种不同的分法? (2) 分成三堆，每堆两本，有多少种不同的分法？ (3) 分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种不同的分法？ (4) 甲一本，乙两本，丙三本，有多少种不同的分法? (5) 分给甲乙丙三人，其中一人一本，一人两本，第三人三本，有多少种不同的分法? 分析：（ 1）有中。 (2）即在（ 1）的基础上除去顺序，有种。 （3）有种。由于这是不平均分组，因而不包含顺序。 （4）有种。同（ 3），原因是甲，乙，丙持有量确定。 （5）有种。 例 25. 6 人分乘两辆不

21、同的车，每车最多乘4 人，则不同的乘车方法为_ 。 分析：（一）考虑先把6 人分成 2 人和 4 人， 3 人和 3 人各两组。 第一类：平均分成3 人一组，有种方法。 第二类：分成2 人， 4 人各一组，有种方法。 （二）再考虑分别上两辆不同的车。 综合（一）（二），有种。 精品文档 . 例 26. 5 名学生分配到4 个不同的科技小组参加活动，每个科技小组至少有一名学生参加， 则分配方法共有_ 种 . 分析：（一）先把5 个学生分成二人，一人，一人，一人各一组。 其中涉及到平均分成四组，有= 种分组方法。 （二）再考虑分配到四个不同的科技小组，有种， 由（一）（二）可知，共=240 种。