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1、1 如图，在边长为6 的正方形ABCD 的两侧作正方形BEFG 和正方形DMNK ，恰好使得N、A、F 三点在一直线上，连接 MF 交线段 AD 于点 P， 连接 NP， 设正方形 BEFG 的边长为 x， 正方形 DMNK 的边长为 y （1）求 y 关于 x 的函数关系式及自变量x 的取值范围； （2）当 NPF 的面积为32 时，求 x 的值； （3）以 P 为圆心， AP 为半径的圆能否与以G 为圆心， GF 为半径的圆相切？如果能，请求出x 的 值，如果不能，请说明理由 解析 ：（ 1）正方形BEFG 、正方形DMNK 、正方形ABCD EF90 O ，AEMC，MCNK AENK，
2、 KNAEAF KNA EAF， NK EA KA EF ，即 y x6 y6 x yx 6（0x 6） （2）由（ 1）知 NKAE， AN AF 正方形DMNK ， APNM， FP PM AF AN 1 FPPM， SMNP SNPF 32 S 正方形DMNK 2SMNP 64 y8， x 2 （3）连接 PG，延长 FG 交 AD 于点 H，则 GHAD 易知： AP y 2 ，AHx，PH y 2 x，HG6；PG APGF y 2 x 当两圆外切时 在 RtGHP中，PH 2HG2 PG 2，即 ( y 2 x) 2 6 2( y 2 x) 2 解得： x 33 3（舍去）或x 3
3、3 3 当两圆内切时 在 RtGHP 中， PH 2HG2PG2，即 ( y 2 x) 2 6 2( y 2 x ) 2 方程无解 所以，当x333 时，两圆相切 N K G C E D F A B P M 2 已知： 正方形 ABCD 的边长为1， 射线 AE 与射线 BC 交于点 E， 射线 AF 与射线 CD 交于点 F， EAF 45 ，连接 EF （1）如图 1，当点 E 在线段 BC 上时，试猜想线段EF、BE、DF 有怎样的数量关系？并证明你的猜 想； （2）设 BEx，DF y，当点 E 在线段 BC 上运动时（不包括点B、C），求 y 关于 x 的函数解析式， 并指出 x 的
4、取值范围； （3）当点 E 在射线 BC 上运动时（不含端点B），点 F 在射线 CD 上运动试判断以E 为圆心，以 BE 为半径的 E 和以 F 为圆心，以FD 为半径的 F 之间的位置关系； （4）如图 2，当点 E 在 BC 的延长线上时， 设 AE 与 CD 交于点 G问：EGF 与 EFA 能否相似？ 若能相似，求出BE 的长，若不可能相似，请说明理由 解析： （1）猜想： EFBEDF 证明：将 ADF 绕点 A 顺时针旋转90 ，得 ABF，易知点F、B、E 在同一直线上（如.图 1） AFAF F AE132 390 45 45 EAF 又 AEAE， AF E AFE EFF
5、 EBEBFBEDF （2）在 RtEFC 中， EC 2FC2EF2 EC1x，FC1y，EFx y ( 1x) 2( 1y) 2( xy) 2 A B D C E F 图 1 A B D C E F G 图 2 A B D C E F 图 1 F 1 2 y 1x 1x （0x 1） （3）当点E 在点 B、C 之间时，由（1）知 EFBEDF ，故此时 E 与 F 外切； 当点 E 在点 C 时， DF 0， F 不存在 . 当点 E 在 BC 延长线上时，将ADF 绕点 A 顺时针旋转90 ，得 ABF（如图 2） 则 AFAF， 12，BF DF， F AF90 F AEEAF45
6、又 AEAE， AF E AFE EFEF BEBF BEDF 此时 E 与 F 内切 综上所述，当点E 在线段 BC 上时， E 与 F 外切；当点E 在 BC 延长线上时，E 与 F 内切 （4） EGF 与 EFA 能够相似，只要当EFGEAF45即可 此时 CECF 设 BEx，DF y，由（ 3）知 EFxy 在 RtCFE 中， CE 2CF2EF2 ( x1) 2( 1y) 2( xy) 2 y x1 x1 （x 1） 由 CECF ，得 x11y，即 x11 x1 x1 化简得 x 22x10，解得 x 112（舍去）， x2 12 EGF 与 EFA 能够相似，此时BE 的长
7、为 1 2 3 已知：如图，在直角梯形ABCD 中， ADBC， B90 ，AD2， BC6，AB3E 为 BC 边 上一点，以BE 为边作正方形BEFG，使正方形BEFG 和梯形 ABCD 在 BC 的同侧 （1）当正方形的顶点F 恰好落在对角线AC 上时，求BE 的长； （2）将（ 1）问中的正方形BEFG 沿 BC 向右平移，记平移中的正方形BEFG 为正方形BEFG，当 点 E 与点 C 重合时停止平移 设平移的距离为t， 正方形 B EFG 的边 EF 与 AC 交于点 M，连接 BD， B M，DM是否存在这样的t，使 BDM 是直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明
8、理由； （3）在（ 2）问的平移过程中，设正方形BEFG 与 ADC 重叠部分的面积为S，请直接写出S与 t A B D C E F G 图 2 F 1 2 之间的函数关系式以及自变量t 的取值范围 解析： （1）如图，设正方形BEFG 的边长为x 则 BEFG BG x AB3， BC6， AGABBG3x GFBE， AGF ABC AG AB GF BC ，即 3x 3 x 6 解得 x2，即 BE2 （2）存在满足条件的t，理由如下： 如图，过D 作 DH BC 于点 H 则 BHAD2，DH AB3 由题意得： BB HEt，HB | t2| ，EC4t 在 RtBME中，B M 2
9、 B E 2 ME 2 2 2( 2 1 2 t ) 2 1 4 t 2 2t8 EFAB， MEC ABC ME AB EC BC ，即 ME 3 4t 6 ， ME2 1 2 t 在 RtDHB 中， BD2DH 2BH232( t2) 2t24t13 过 M 作 MNDH 于点 N 则 MN HEt， NHME2 1 2 t DNDH NH3( 2 1 2 t ) 1 2 t1 在 RtDMN 中， DM 2 DN2MN2 5 4 t 2t 1 （）若 DB M 90 ，则 DM 2 BM2BD2 即 5 4 t 2t1( 1 4 t 22t8 ) ( t 24t13 )，解得 t 20
10、 7 （）若 BMD 90 ，则 BD2 BM 2DM2 B A C D B A C D 备用图 B A C D 图 E F G B A C D 图 E F G H B M N 即 t 24t13( 1 4 t 22t8 ) ( 5 4 t 2t1 ) ，解得 t 1 317，t2 317 0t 4， t 3 17 （）若 BDM 90 ，则 BM 2BD2DM2 即 1 4 t 22t8( t24t13 ) ( 5 4 t 2t1 )，此方程无解 综上所述，当t 20 7 或3 17时， BDM 是直角三角形 （3）当 0t 4 3 时， S 1 4 t 2 当 4 3 t2时，S 1 8
11、t 2 t 2 3 当 2t 10 3 时， S 3 8 t 22t 5 3 当 10 3 t 4 时， S 1 2 t 5 2 提示： 当点 F 落在 CD 上时，如图 FE2，EC4t，DH 3，HC 4 由 FEC DHC ，得 FE EC DH HC 即 2 4 t 3 4 ， t 4 3 当点 G 落在 AC 上时，点G 也在 DH 上（即 DH 与 AC 的交点） t2 当点 G 落在 CD 上时，如图 GB2，BC 6t 由 GB C DHC ，得 G B B C DH HC 即 2 6 t 3 4 ， t 10 3 当点 E 与点 C 重合时， t4 当 0 t 4 3 时，如
12、图 MFt， FN 1 2 t SSFMN 1 2 t 1 2 t 1 4 t 2 当 4 3 t 2 时，如图 B A C D 图 E F G B M N B A C D 图 E F G B M N P Q B A C D 图 E F G BH B A C D 图 E F G BH PFt 4 3 ，FQ 3 4 PF 3 4 t1 SFPQ 1 2( t 4 3 )( 3 4 t1) 3 8 t 2t 2 3 SSFMNSFPQ 1 4 t 2( 3 8 t 2 t 2 3 ) 1 8 t 2t 2 3 当 2 t 10 3 时，如图 B M 1 2 BC 1 2 ( 6t ) 3 1 2
13、 t GM2( 3 1 2 t ) 1 2 t1 S 梯形GMNF 1 2( 1 2 t1 1 2 t ) 2t1 SS梯形GMNFSFPQ( t1) ( 3 8 t 2t 2 3 ) 3 8 t 22t 5 3 当 10 3 t 4 时，如图 PB 3 4 BC 3 4( 6t ) 9 2 3 4 t GP2( 9 2 3 4 t ) 3 4 t 5 2 S 梯形GPQF 1 2( 3 4 t 5 2 3 4 t1 ) 2 3 2 t 7 2 SS梯形 GMNF S 梯形GPQF( t1 ) ( 3 2 t 7 2 ) 1 2 t 5 2 B A C D 图 E F G B P Q M N B A C 图 B Q M