2018年江苏高考数学试题及答案.pdf

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1、2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学 一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分请把答案填写在答题卡相应位置上 1已知集合8 ,2, 1 ,0A，8,6, 1 , 1B，那么BA 2若复数z满足izi21，其中 i 是虚数单位，则z的实部为 3 已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这 5 位裁判打出的分数的平均数为 4一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为 5函数1log2xxf的定义域为 6某兴趣小组有2 名男生和3 名女生，现从中任选2 名学生去参加活动，则恰好选中2 名女生的概率为 7已知函数 22 2sinxxy

2、的图象关于直线 3 x对称，则的值是 8在平面直角坐标系xOy中，若双曲线0,01 2 2 2 2 ba b y a x 的右焦点0, cF到一条渐近线的距离为 c 2 3 ，则其离心率的值是 9函数xf满足Rxxfxf4，且在区间2,2(上， 02, 2 1 20 , 2 cos xx x x xf ， 则15ff 的值为 10如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 11若函数Raaxxxf12 23 在,0内有且只有一个零点，则xf在1 , 1上的最大值与最小 值的和为 12在平面直角坐标系xOy中，A为直线xyl2:上在第一象限内的点，0, 5B，以AB为直径

3、的圆C与 直线l交于另一点D若0CDAB，则点A的横坐标为 13 在ABC中， 角CBA、所对的边分别为cba、，120ABC，ABC的平分线交AC于点D， 且 1BD ，则 ca4 的最小值为 14已知集合NnnxxA, 12|，NnxxB n, 2|将BA的所有元素从小到大依次排 列 构 成 一 个 数 列 n a， 记 n S为 数 列 n a的 前n项 和 ， 则 使 得 1 12 nn aS成 立 的n的 最 小 值 为 二、解答题：本大题共6小题，共计 90分请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤 15 （本小题满分14 分） 在平行六面体 1111

4、 ABCDAB C D 中， 1111 ,AAAB ABBC 求证： （ 1） 11 ABAB C平面； （2） 111 ABB AABC平面平面 16 （本小题满分14 分） 已知,为锐角， 4 tan 3 ， 5 cos() 5 （1）求cos2的值； （2）求 tan() 的值 17 （本小题满分14 分） 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧 MPN（P 为此圆弧的中点） 和线段 MN 构成已知圆 O 的半径为40 米，点 P 到 MN 的距离为50 米现 规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形ABCD ，大棚内的地块形状为 CDP，要求,A B 均在

5、线段MN上，,C D 均在圆弧上设OC 与 MN 所成的角为 （1）用分别表示矩形ABCD和CDP的面积，并确定sin的取值范围； （2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4:3求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 18 （本小题满分16 分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C 过点 1 ( 3,) 2 ，焦点 12 (3,0),( 3,0)FF，圆 O 的直径为 12 F F （1）求椭圆 C 及圆 O 的方程； （2）设直线l 与圆 O 相切于第一象限内的点P 若直线l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； 直

6、线 l 与椭圆 C 交于,A B 两点若OAB的面积为 2 6 7 ， 求直线 l 的方程 19 （本小题满分16 分） 记( ),( )fxg x 分别为函数( ),( )f xg x 的导函数若存在 0 xR ，满足 00 ()()f xg x且 00 ()()fxgx，则 称 0 x 为函数( )f x 与( )g x 的一个“ S点” （1）证明：函数( )f xx 与 2 ( )22g xxx不存在“ S点”； （2）若函数 2 ( )1f xax与( )lng xx 存在“ S点”，求实数a 的值； （3）已知函数 2 ( )f xx a ， e ( ) x b g x x 对任意

7、0a，判断是否存在0b，使函数( )f x 与( )g x 在 区间 (0,) 内存在“ S点”，并说明理由 20 （本小题满分16 分） 设 n a是首项为 1 a ，公差为d 的等差数列， n b是首项为 1 b ，公比为q 的等比数列 （1）设 11 0,1,2abq，若 1 | nn ab b 对 1,2,3,4n均成立，求d 的取值范围； （2）若 * 11 0,(1, 2 m abmqN，证明：存在dR，使得 1 | nn ab b 对 2,3,1nmL均成立， 并求d的取值范围（用 1, ,b m q 表示） 数学 ( 附加题 ) 21 【选做题】本题包括A、B、C、D 四小题，

8、请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答 若多做， 则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 41：几何证明选讲(本小题满分10 分) 如图，圆 O 的半径为2， AB 为圆 O 的直径， P 为 AB 延长线上一点， 过 P 作圆 O 的切线，切点为C若2 3PC，求BC 的长 B选修 42：矩阵与变换 (本小题满分10 分) 已知矩阵 23 12 A （1）求A的逆矩阵 1 A； （2）若点 P 在矩阵A对应的变换作用下得到点(3,1)P，求点 P 的坐标 C选修 44：坐标系与参数方程(本小题满分10 分) 在极坐标系中，直线l 的方程为 sin()2 6

9、 ，曲线 C 的方程为4cos，求直线l 被曲线 C 截得 的弦长 D选修 45：不等式选讲 (本小题满分10 分) 若 x，y，z 为实数，且x+2y+2z=6，求 222 xyz 的最小值 【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，共计20 分请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤学科#网 22（本小题满分10 分） 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点 P，Q 分别为 A1B1， BC 的中点 （1）求异面直线BP 与 AC1所成角的余弦值； （2）求直线CC1与平面 AQC1所成角的正弦值 23 (本小题满分10 分 )

10、设 * nN ，对 1，2， ，n 的一个排列 1 2n i iiL，如果当 s0） ， 则年总产值为4k 800（4sin cos +cos ）+3k 1600（cos sin cos ） =8000k（sin cos +cos ） ， 0， 2 ） 设 f（ ）= sin cos +cos ， 0， 2 ） ， 则 222 ( )cossinsin(2sinsin1)(2sin1)(sin1)f 令( )=0f，得 = 6 ， 当 （ 0， 6 ）时，( )0f，所以 f（ ）为增函数； 当 （ 6 ， 2 ）时，( )0，设 32 ( )3h xxxax a 因为(0)0(1)1320h

11、ahaa，且 h（x）的图象是不间断的， 所以存在 0x （ 0， 1） ，使得0()0h x，令 0 3 0 0 2 e (1) x x b x ，则 b0 函数 2e ( )( ) x b f xxag x x ， 则 2 e (1) ( )2( ) x bx fxxg x x ， 由 f（ x）与 g（x）且 f（x）与 g （x） ，得 2 2 e e (1) 2 x x b xa x bx x x ，即 0 0 3 2 0 0 3 0 2 0 2e e (1) 2e (1) 2 e (1) x x x x x xa xx xx x xx （ * ） 此时， 0 x 满足方程组（* ）

12、 ，即 0 x 是函数 f（x）与 g（ x）在区间（ 0， 1）内的一个“ S点” 因此，对任意a0，存在 b0，使函数f（x）与 g（x）在区间（ 0，+）内存在“ S点” 20本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及 综合运用数学知识探究与解决问题的能力满分16 分 解： （ 1）由条件知： 1 12(,) n nn and b 因为 1 | nn abb 对 n=1，2，3，4 均成立， 即 1 12|()1| n nd对 n=1，2，3，4 均成立， 即 11，1d3， 32d5，73d9，得 75 32 d 因此， d 的取值范围为

13、7 5 , 3 2 （2）由条件知： 1 11 (1) , n nn abnd bbq 若存在 d，使得 1 | nn abb （n=2，3， ，m+1）成立， 即 1 111 |1|2,3,(1() n bndb qb nmL， 即当2,3,1nmL时， d 满足 11 11 2 11 nn qq bdb nn 因为(1, 2 m q，则 1 12 nm qq， 从而 1 1 2 0 1 n q b n ， 1 1 0 1 n q b n ，对2,3,1nmL均成立 因此，取d=0 时， 1 | nn ab b 对 2,3,1nmL均成立 下面讨论数列 1 2 1 n q n 的最大值和数列

14、 1 1 n q n 的最小值（2,3,1nmL） 当2nm时， 111 2222 111 () ()() nnnnnnnn qqnqqnqn qqq nnn nn n ， 当 1 12 m q时，有2 nm qq，从而 1 () 20 nnn n qqq 因此，当21nm时，数列 1 2 1 n q n 单调递增， 故数列 1 2 1 n q n 的最大值为 2 m q m 设( )()21 x f xx ，当 x0 时，ln 21(0(n)l 2 2) x fxx， 所以( )f x 单调递减，从而( )f x f（0）=1 当2nm时， 1 1 111 211 1 () ()() n n

15、 n q q n n f qnnn n ， 因此，当21nm时，数列 1 1 n q n 单调递减， 故数列 1 1 n q n 的最小值为 m q m 因此， d 的取值范围为 11 (2) , mm b qbq mm 数学 ( 附加题 )参考答案 21 【选做题】 A选修 41：几何证明选讲 本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力满分10 分 证明： 连结 OC因为 PC 与圆 O 相切，所以OCPC 又因为 PC= 2 3 ，OC=2， 所以 OP= 22 PCOC=4 又因为 OB=2，从而 B 为 Rt OCP 斜边的中点，所以BC=2 B选修 42：矩阵与变换 本小题

16、主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力满分10 分 解： （1）因为 23 12 A， det( )221 310A，所以 A 可逆， 从而 1 A 23 12 （2）设 P(x，y)，则 233 121 x y ，所以 1 33 11 x y A， 因此，点P的坐标为 (3， 1) C选修 44：坐标系与参数方程 本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力满分10 分 解： 因为曲线 C 的极坐标方程为=4cos， 所以曲线C 的圆心为（ 2，0） ，直径为 4 的圆 因为直线l 的极坐标方程为 sin()2 6 ， 则直线 l 过 A（4，0） ，倾斜角为

17、 6 ， 所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点 设另一个交点为B，则 OAB= 6 连结 OB，因为 OA 为直径，从而OBA= 2 ， 所以 4cos2 3 6 AB 因此，直线l 被曲线 C 截得的弦长为2 3 D选修 45：不等式选讲 本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力满分10 分 证明： 由柯西不等式，得 2222222 ()(122 )(22 )xyzxyz 因为22 =6xyz，所以 222 4xyz， 当且仅当 122 xyz 时，不等式取等号，此时 244 333 xyz， 所以 222 xyz 的最小值为4 22 【必做题】 本小题主要考查空间向量、异

18、面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问 题的能力满分10 分学科 % 网 解： 如图，在正三棱柱ABC- A1B1C1中，设 AC，A1C1的中点分别为 O，O1，则 OBOC，OO1OC， OO1OB，以 1 ,OB OC OO uu u r uuu r uu uu r 为基底，建立空间直角坐标系O- xyz 因为 AB=AA1=2， 所以 111 0, 1,0 ,3,0,0 ,0,1,0 ,0, 1,()()()()(2 ,3,0,2 ,0,1,2)()ABCABC （1）因为 P 为 A1B1的中点，所以 31 (,2) 22 P， 从而 1 31 (,2)(0,2,2

19、22 ),BPAC uuu ruu uu r ， 故 1 1 1 |14|3 10 |cos,| 20| |522 BP AC BP AC BPAC u uu ruuu u r uuu r uu uu r uu u ruu uu r 因此，异面直线BP 与 AC1所成角的余弦值为 3 10 20 （2）因为 Q 为 BC 的中点，所以 3 1 (,0) 22 Q， 因此 3 3 (,0) 22 AQ uuu r ， 11 (0,2,2),(0,0,2)ACCC uuuu ru uu u r 设 n=（x，y，z）为平面AQC1的一个法向量， 则 1 0, 0, AQ AC uu u r uu

20、uu r n n 即 33 0, 22 220. xy yz 不妨取(3, 1,1)n， 设直线 CC1与平面 AQC1所成角为 ， 则 1 1 1 |25 sin|cos|, | |552 CC CC CC| uu uu r u uuu r uuu u r n n n ， 所以直线CC1与平面 AQC1所成角的正弦值为 5 5 23 【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力满分10 分 解： （1）记()abc 为排列 abc 的逆序数，对1，2，3 的所有排列，有 (123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3，

21、 所以 333(0)1(1)(2)2fff， 对 1，2，3，4 的排列，利用已有的1， 2，3 的排列，将数字4 添加进去， 4 在新排列中的位置只能是 最后三个位置 因此， 4333 (2)(2)(1)(0)5ffff （2）对一般的n（n4 ）的情形，逆序数为0 的排列只有一个：12 n，所以(0)1 n f 逆序数为1 的排列只能是将排列12n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(1)1 n fn 为计算 1(2)n f ，当 1，2，n 的排列及其逆序数确定后，将n+1 添加进原排列， n+1 在新排列中的位 置只能是最后三个位置 因此， 1(2) (2)(1)(0)(2) nnnnn fffff n 当 n5 时， 112544 (2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2) nnnnn ffffffff 2 4 2 (1)(2)4(2) 2 nn nnf， 因此， n5 时，(2) n f 2 2 2 nn