2018年河南省郑州市高二(上)期末数学试卷(含答案解析).pdf

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1、2018-2019 学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个 选项中，有且只有一项符合题目要求. 1 （5 分）不等式1 的解集为（） A （， 1） B （0，1） C （1，+）D （0，+） 2 （5 分）ab 的一个充分不必要条件是（） Aa=1，b=0 BCa 2b2 Da 3b3 3 （5 分）在 ABC中，若 a=1，b=2，cosA=，则 sinB=（） ABC D 4 （5 分）等比数列 an中，a2+a4=20，a3+a5=40，则 a6=（） A16 B32 C 64 D128 5

2、（5 分）两座灯塔 A 和 B与海洋观测站 C的距离分别是 akm 和 2akm，灯塔 A 在观测站 C的北偏东 20 ，灯塔 B 在观测站 C的南偏东 40 ，则灯塔 A 与灯塔 B 之间的距离为（） Aakm B2akm Cakm Dakm 6 （5 分）在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E ，F满足=3，=3， 则 BE与 DF所成角的正弦值为（） ABC D 7 （5 分）等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a1009=1，则 S2018（） A1008 B1009 C2018 D2018 8 （5 分）过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A，B 两点，若 O

3、为坐标原 点，则?=（） A1 B2 C 3 D4 9 （5 分）设椭圆 C：=1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是 C 上的点 PF2F1F2，PF1F2=30 ，则 C的离心率为（） ABC D 10 （5 分）在 ABC中，若 BC=2 ，A=120 ，则?的最大值为（） AB C D 11 （5 分）正实数 ab 满足+=1，则（ a+2） （b+4）的最小值为（） A16 B24 C 32 D40 12 （5 分）圆 O 的半径为定长， A 是平面上一定点， P 是圆上任意一点，线段 AP的垂直平分线 l 和直线 OP相交于点 Q，当点 P在圆上运动时， 点 Q 的轨迹为

4、（） A一个点B椭圆 C双曲线D以上选项都有可能 二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13 （5 分）命题 “ ? x ， ，tanxm ” 的否定为 14 （5 分）若 x，y 满足，则 z=x+2y 的取值范围为 15 （5 分）已知 F为双曲线 C ：=1 的左焦点， A（1，4） ，P是 C右支上 一点，当 APF周长最小时，点F到直线 AP的距离为 16（5 分） 若数列 an满足 an+1+ （1） n?a n=2n1， 则 an 的前 40 项和为 三、解答题：本大题共6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验 算过程 . 17 （10

5、分）设 f（x）=（m+1）x 2mx+m1 （1）当 m=1 时，求不等式 f（x）0 的解集； （2）若不等式 f（x）+10 的解集为，求 m 的值 18 （12 分）在ABC中，a， b， c 的对角分别为 A， B， C的对边，a2c 2=b2 ， a=6，ABC的面积为 24 （1）求角 A 的正弦值； （2）求边 b，c 19 （12 分）Sn为数列 an的前 n 项和，已知 an0，an2+an=2Sn （1）求数列 an 的通项公式； （2）若 bn=，求数列 bn 的前 n 项和 Tn 20 （12 分）已知命题 p：函数 f（x）=lg（x 22x+a）的定义域为 R，命

6、题 q：对 于 x 1，3 ，不等式 ax 2ax6+a0 恒成立，若 pq 为真命题， pq 为假 命题，求实数 a 的取值范围 21 （12 分）如图，四棱柱ABCD A1B1C1D1中，A1D平面 ABCD ，底面为边长 为 1 的正方形，侧棱 AA1=2 （1）求直线 DC与平面 ADB1所成角的大小； （2）在棱上 AA1是否存在一点 P，使得二面角 AB1C 1P 的大小为 30 ，若存 在，确定 P的位置，若不存在，说明理由 22（12分） 在圆 x2+y2=3上任取一动点 P， 过P作 x轴的垂线 PD ， D为垂足，= 动点 M 的轨迹为曲线 C （1）求 C的方程及其离心率

7、； （2）若直线 l 交曲线 C交于 A，B 两点，且坐标原点到直线l 的距离为，求 AOB面积的最大值 2018-2019 学年河南省郑州市高二 （上） 期末数学试卷（理 科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个 选项中，有且只有一项符合题目要求. 1 （5 分）不等式1 的解集为（） A （， 1） B （0，1） C （1，+）D （0，+） 【解答】 解：不等式可化为 x（x1）0， 0x1， 不等式1 的解集为（ 0，1） ， 故选 B 2 （5 分）ab 的一个充分不必要条件是（） Aa=1，b=0 BCa2b2D

8、a3b3 【解答】 解：A当 a=1，b=0 时，满足 ab，反之不成立，则a=1，b=0 是 a b 的一个充分不必要条件 B当 a0，b0 时，满足，但 ab 不成立，即充分性不成立， C当 a=2，b=1 时，满足 a 2b2，但 ab 不成立，即充分性不成立， D由 a3b3得 ab，即 a3b3是 ab 成立的充要条件， 故选： A 3 （5 分）在 ABC中，若 a=1，b=2，cosA=，则 sinB=（） ABC D 【解答】 解： 0A ，且 cosA=， sinA= ， 由正弦定理得， 则 sinB=， 故选 D 4 （5 分）等比数列 an中，a2+a4=20，a3+a5

9、=40，则 a6=（） A16 B32 C 64 D128 【解答】 解：等比数列 an 中，a2+a4=20，a3+a5=40， ，解得 a=2，q=2， a6=225=64 故选： C 5 （5 分）两座灯塔 A 和 B与海洋观测站 C的距离分别是 akm 和 2akm，灯塔 A 在观测站 C的北偏东 20 ，灯塔 B 在观测站 C的南偏东 40 ，则灯塔 A 与灯塔 B 之间的距离为（） Aakm B2akm Cakm Dakm 【解答】 解：根据题意， ABC中， ACB=180 20 40 =120 ， AC=akm ，BC=2akm ， 由余弦定理，得cos120 =， 解之得 A

10、B=akm， 即灯塔 A 与灯塔 B 的距离为akm， 故选： D 6 （5 分）在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E ，F满足=3，=3， 则 BE与 DF所成角的正弦值为（） ABC D 【解答】 解：如图，以 D 为原点， DA 为 x 轴，DC为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空 间直角坐标系， 设正方体 ABCD A1B1C1D1中棱长为 4， 点 E，F满足=3，=3， B（4，4，0） ，E（4，3，4） ，D（0，0，0） ，F（0，1，4） ， =（0，1，4） ，=（0，1，4） ， 设异面直线 BE与 DF所成角为 ， 则 cos= sin =， BE与 DF所

11、成角的正弦值为 故选： A 7 （5 分）等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a1009=1，则 S2018（） A1008 B1009 C2018 D2018 【解答】 解：等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，a1009=1， S2018=（a1+a2018）=2018a1009=2018 故选： D 8 （5 分）过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A，B 两点，若 O 为坐标原 点，则?=（） A1 B2 C 3 D4 【解答】 解：由题意知，抛物线y2=4x的焦点坐标为（ 1，0） ，直线 AB的方程 为 y=k（x1） ， 由，得 k2x2（2k2+4）x+k2=0

12、，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， x1+x2=，x1+x2=1，y1?y2=k（x11）?k（x21）=k 2 x 1?x2（x1+x2）+1 则?=x1?x2+y1?y2=x1?x2+k（x11）?k（x21）=3 故选： C 9 （5 分）设椭圆 C：=1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是 C 上的点 PF2F1F2，PF1F2=30 ，则 C的离心率为（） ABC D 【解答】 解：| PF2| =x，PF2F1F2，PF1F2=30 ， | PF 1| =2x，| F1F2| = x， 又| PF1|+| PF2| =2a，| F1F2| =2c 2a=3x，2

13、c=x， C的离心率为： e= 故选 D 10 （5 分）在 ABC中，若 BC=2 ，A=120 ，则?的最大值为（） AB C D 【解答】 解：，? 4=AC 2+AB22AC?ABcosA ? 4=AC 2+AB2+AC?AB 2A?CAB +AC?AB=3AC?AB ? AC?AB ?=AC?ABcos1 20 ，则?的最大值为， 故选： A 11 （5 分）正实数 ab 满足+=1，则（ a+2） （b+4）的最小值为（） A16 B24 C 32 D40 【解答】 解：正实数 a，b 满足+=1， 12，解得 ab8，当且仅当 b=2a=4时取等号 b+2a=ab （a+2） （

14、b+4）=ab+2（b+2a）+8=3ab+832 故选： C 12 （5 分）圆 O 的半径为定长， A 是平面上一定点， P 是圆上任意一点，线段 AP的垂直平分线 l 和直线 OP相交于点 Q，当点 P在圆上运动时， 点 Q 的轨迹为 （） A一个点B椭圆 C双曲线D以上选项都有可能 【解答】 解： A为O外一定点， P为O上一动点 线段 AP的垂直平分线交直线OP于点 Q， 则 QA=QP ，则 QAQO=QP QO=OP=R ， 即动点 Q 到两定点 O、A 的距离差为定值， 根据双曲线的定义，可知点Q 的轨迹是：以 O，A 为焦点， OP为实轴长的双曲 线 故选： C 二、填空题：

15、本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13 （5 分）命题 “ ? x ， ，tanxm ” 的否定为? x ， ， tanxm 【解答】解： 命题“ ? x ， ， tanxm ”的否定为命题 “ ? x ， ， tanxm ” ， 故答案为： ? x ， ，tanxm 14 （5 分）若 x，y 满足，则 z=x+2y 的取值范围为 0， 【解答】 解：x，y 满足，不是的可行域如图： z=x+2y 化为： y=+，当 y=+经过可行域的 O 时 目标函数取得最小值，经过A 时，目标函数取得最大值， 由，可得 A（，） ， 则 z=x+2y 的最小值为： 0；最大值为：= 则

16、z=x+2y 的取值范围为： 0， 故答案为： 0， 15 （5 分）已知 F为双曲线 C ：=1 的左焦点， A（1，4） ，P是 C右支上 一点，当 APF周长最小时，点F到直线 AP的距离为 【解答】 解：设双曲线的右焦点为F （4，0） ，由题意， A，P，F 共线时， APF 周长最小，直线 AP的方程为 y=（x4） ，即 4x+3y16=0， 点 F到直线 AP的距离为=， 故答案为： 16（5 分） 若数列 an满足 an+1+ （1） n?a n=2n1， 则 an 的前 40 项和为820 【解答】 解：由于数列 an 满足 an+1+（1）n an=2n1， 故有 a2a

17、1=1，a3+a2=3，a4a3=5， a5+a4=7，a6a5=9，a7+a6=11，a50a49=97 从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2， a16+a14=56， 从第一项开始，依次取2 个相邻奇数项的和都等于2， 从第二项开始，依次取2 个相邻偶数项的和构成以8 为首项，以 16 为公差的等 差数列 an 的前 40 项和为 102+（108+16）=820， 故答案为： 820 三、解答题：本大题共6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验 算过程 . 17 （10 分）设

18、 f（x）=（m+1）x 2mx+m1 （1）当 m=1 时，求不等式 f（x）0 的解集； （2）若不等式 f（x）+10 的解集为，求 m 的值 【解答】 （本题 12 分） 解： （1）当 m=1 时， 不等式 f（x）0 为：2x2x0? x（2x1）0? x，x0； 因此所求解集为； （6 分） （2）不等式 f（x）+10 即（m+1）x2mx+m0 不等式 f（x）+10 的解集为， 所以是方程（ m+1）x2mx+m=0 的两根 因此? （12 分） 18 （12 分）在ABC中，a， b， c 的对角分别为 A， B， C的对边，a2c 2=b2 ， a=6，ABC的面积为

19、24 （1）求角 A 的正弦值； （2）求边 b，c 【解答】解： （1） 由在 ABC中，a2c 2=b2 ，整理得 cosA=， 则 sinA=； （2）S= bcsinA=24，sinA= ， bc=80， 将 a=6，bc=80代入得： b2+c2=164， 与 bc=80联立，解得： b=10，c=8或 b=8，c=10 19 （12 分）Sn为数列 an的前 n 项和，已知 an0，an2+an=2Sn （1）求数列 an 的通项公式； （2）若 bn=，求数列 bn 的前 n 项和 Tn 【解答】 解： （1）由题得 an 2+a n=2Sn，an+1 2+a n+1=2Sn+1

20、，两式子相减得： 结合 an0 得 an+1an=1 （4 分） 令 n=1得 a12+a1=2S1，即 a1=1， 所以 an是首项为 1，公差为 1 的等差数列，即an=n （6 分） （2）因为 bn=（n2） 所以 Tn=+ Tn=+ + （8 分） 得Tn=1+ += ， 所以数列 bn 的前 n 项和 Tn=3 （12 分） 20 （12 分）已知命题 p：函数 f（x）=lg（x22x+a）的定义域为 R，命题 q：对 于 x 1，3 ，不等式 ax 2ax6+a0 恒成立，若 pq 为真命题， pq 为假 命题，求实数 a 的取值范围 【解答】 解：当 P真时， f（x）=lg

21、（x22x+a）的定义域为 R， 有=44a0， 解得 a1 （2 分） 当 q 真时，即使 g（x）=ax 2ax6+a 在 x 1，3 上恒成立， 则有 a在 x 1，3 上恒成立， 而当 x 1，3 时，=， 故 a （5 分） 又因为 pq 为真命题， pq 为假命题，所以 p，q 一真一假， （6 分） 当 p 真 q 假时， a1 （8 分） 当 p 假 q 真时， a （10 分） 所以实数 a 的取值范围是（，）（ 1，+） （12 分） 21 （12 分）如图，四棱柱ABCD A1B1C1D1中，A1D平面 ABCD ，底面为边长 为 1 的正方形，侧棱 AA1=2 （1）求

22、直线 DC与平面 ADB1所成角的大小； （2）在棱上 AA1是否存在一点 P，使得二面角 AB1C 1P 的大小为 30 ，若存 在，确定 P的位置，若不存在，说明理由 【解答】 解： （1）四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，A1D平面 ABCD ，底面为边长 为 1 的正方形，侧棱 AA1=2， 以点 D 为坐标原点 O， DA， DC ， DA1分别为 x， y， z 轴， 建立空间直角坐标系， （2 分） D（0，0，0） ，A（1，0，0） ，B1（0，1，） ，C（0，1，0） ， ，=（0，1，） ，=（0，1，0） ， 设平面 ADB1的法向量为， 则，取 z=1，得=（0

23、，1） ， （4 分） 设直线 DC与平面所 ADB1成角为 ， 则 sin = | cos| =， 0， ，=， 直线 DC与平面 ADB1所成角的大小为 （6 分） （2）假设存在点 P（a，b，c） ，使得二面角 AB1C1P 的大小为 30 ， 设=，由 A1（0，0，） ，得（ a1，b，c）= （a，b，） ， ，解得， B1（0，1，） ，C1（1，1，） ，=（1，0，0） ，=（，1， ） ， 设平面的法向量为=（x，y，z） ， 则，取 z=1，得 =（0，1） ， （9 分） 由（1）知，平面 AB1C1D 的法向量为=（0，1） ， 二面角 AB1C1P的大小为 30

24、， cos30= 由 0，解得 =2 ， 所以棱 AA1上存在一点 P，使得二面角 AB1C1P的大小为 30 ，且 AP=2PA 1 22（12分） 在圆 x2+y2=3上任取一动点 P， 过P作 x轴的垂线 PD ， D为垂足，= 动点 M 的轨迹为曲线 C （1）求 C的方程及其离心率； （2）若直线 l 交曲线 C交于 A，B 两点，且坐标原点到直线l 的距离为，求 AOB面积的最大值 【解答】 解： （）设 M（x，y） ，P（x0，y0） ，由=得 x0=x，y0=y （2 分） 因为 x02+y02=3，所以 x2+3y2=3，即=1， 其离心率 e= （4 分） （）当 AB与 x 轴垂直时， | AB| = （5 分） 当 AB与 x 轴不垂直时， 设直线 AB的方程为 y=kx+m，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由已知，得 （6 分） 把 y=kx+m 代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m23=0， x1+x2=，x1x2=（7 分） k0，| AB| 2=（1+k2） （x 2x1） 2=3+ 4， 当且仅当 9k2=，即 k=时等号成立，此时 | AB| =2 （10 分） 当 k=0时，| AB| = （11分） 综上所述： | AB|max=2， 此时 AOB面积取最大值=（12 分）