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1、绝密启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1 i 23i A 32i B 32i C32iD32i 2已知集合1,3,5,7A，2,3,4,5B，则 AB A 3B 5C 3,5D 1,2,3,4,5,7 3函数 2 ee xx fx x 的图像大致为 4已知向量a， b满足 |1a，1a b
2、，则(2)aab A4 B3 C2 D0 5从 2 名男同学和3 名女同学中任选2 人参加社区服务，则选中的2 人都是女同学的概率为 A 0.6B 0.5C 0.4D 0.3 6双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率为3 ，则其渐近线方程为 A2yxB3yxC 2 2 yxD 3 2 yx 7在ABC中， 5 cos 25 C ，1BC，5AC，则AB A 4 2 B30C29D 2 5 8为计算 11111 1 23499100 S，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入 开始 0,0NT SNT S输出 1i 100i 1 NN i 1 1 TT i 结束 是否 A
3、1iiB2ii C3iiD4ii 9在正方体 1111 ABCDABC D 中， E 为棱 1 CC 的中点，则异面直线AE 与 CD 所成角的正切值为 A 2 2 B 3 2 C 5 2 D 7 2 10若( )cossinf xxx 在 0,a 是减函数，则a的最大值是 A 4 B 2 C 3 4 D 11已知 1 F ， 2 F 是椭圆 C的两个焦点，P是C上的一点，若 12 PFPF ，且 21 60PF F，则C的离心率 为 A 3 1 2 B 23C 31 2 D31 12 已 知( )f x是 定 义 域 为(,) 的 奇 函 数 ， 满 足(1)(1)fxfx 若( 1 )2f
4、， 则 ( 1 )( 2 )(fff( 5 0 )f A50B0 C2 D50 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。 13曲线2lnyx在点 (1,0) 处的切线方程为_ 14若,x y满足约束条件 250, 230, 50, xy xy x 则 z xy 的最大值为 _ 15已知 51 tan() 45 ，则tan_ 16已知圆锥的顶点为S，母线 SA， SB互相垂直， SA与圆锥底面所成角为30 ，若SAB的面积为 8，则 该圆锥的体积为_ 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第22、23 为
5、选考题。考生根据要求作答。 （一）必考题：共60 分。 17 （12 分） 记 nS 为等差数列 na的前n项和，已知17a，315S （1）求 n a的通项公式； （2）求 nS ，并求nS 的最小值 18 （12 分） 下图是某地区2000 年至 2016 年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图 为了预测该地区2018 年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t 的两个线性回归模型 根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量t 的值依次为 1,2,17 ）建立模型：?30.413.5yt ；根据 2010 年 至 2016 年的数据（时间变量t 的值依次为 1, 2,7 ）
6、建立模型：?9917.5yt （1）分别利用这两个模型，求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由 19 （12 分） 如图，在三棱锥PABC 中，2 2ABBC，4PAPBPCAC， O 为 AC 的中点 （1）证明： PO平面 ABC ； （2）若点M在棱 BC 上，且2MCMB ，求点 C 到平面 POM 的距离 20 （12 分） 设抛物线 2 4Cyx：的焦点为F，过F且斜率为(0)k k的直线 l 与 C 交于A，B两点， |8AB （1）求 l 的方程； （2）求过点A，B且与 C 的准线相切的圆的方程 21 （12
7、分） 已知函数 32 1 1 3 f xxa xx （1）若3a，求( )f x 的单调区间； （2）证明：( )f x 只有一个零点 （二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22 选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy 中， 曲线 C 的参数方程为 2cos , 4sin x y （ 为参数）， 直线 l 的参数方程为 1cos , 2sin xt yt （ t 为参数） （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2) ，求 l 的斜率 23 选修 45：不
8、等式选讲（10 分） 设函数( )5|2|f xxax （1）当1a时，求不等式( )0f x 的解集； （2）若( )1f x ，求a的取值范围 绝密启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案 一、选择题 1D 2C 3B 4 B 5D 6A 7A 8B 9C 10C 11D 12 C 二、填空题 13 y=2x 2 149 15 3 2 168 三、解答题 17解： （1）设 an的公差为 d，由题意得3a1+3d= 15 由 a1= 7 得 d=2 所以 an 的通项公式为 an=2n 9 （2）由（ 1）得 Sn=n 2 8n=（n 4）2 16 所以当 n
9、=4 时， Sn取得最小值，最小值为 16 18解： （1）利用模型，该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 y $ = 30.4+13.519=226.1（亿元） 利用模型，该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 y $ =99+17.5 9=256.5（亿元） （2）利用模型得到的预测值更可靠 理由如下： （i）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线y= 30.4+13.5t 上下， 这说明利用2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋 势 2010 年相对 2009 年的环境基础设施
10、投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一 条直线的附近，这说明从2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010 年 至 2016 年的数据建立的线性模型y $ =99+17.5t 可以较好地描述2010 年以后的环境基础设施投资额的变 化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠 （ii）从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额220 亿元， 由模型得到的预测值226.1 亿 元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更可 靠 以上给出了2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分 19
11、解： （1）因为 AP=CP=AC=4，O 为 AC 的中点，所以OPAC，且 OP=2 3 连结 OB因为AB=BC= 2 2 AC ，所以 ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OB= 1 2 AC =2 由 222 OPOBPB 知，OPOB 由 OPOB，OPAC 知 PO平面 ABC （2）作 CHOM，垂足为H又由（ 1）可得 OPCH，所以 CH平面 POM 故 CH 的长为点C 到平面 POM 的距离 由题设可知OC= 1 2 AC=2，CM= 2 3 BC= 42 3 ， ACB=45 所以 OM= 2 5 3 ，CH= sinOC MCACB OM = 4 5 5 所以点 C
12、 到平面 POM 的距离为 4 5 5 20解： （1）由题意得F（1，0） ，l 的方程为y=k（ x 1） （k0） 设 A（x1，y1） ， B（x2，y2） 由 2 (1) 4 yk x yx 得 2222 (24)0k xkxk 2 16160k，故 2 12 2 24k xx k 所以 2 12 2 44 (1)(1) k ABAFBFxx k 由题设知 2 2 44 8 k k ，解得 k= 1（舍去），k=1 因此 l 的方程为y=x 1 （2）由（ 1）得 AB 的中点坐标为（3，2） ，所以 AB 的垂直平分线方程为 2(3)yx，即5yx 设所求圆的圆心坐标为（x0，y0
13、） ，则 00 2 2 00 0 5 (1) (1)16. 2 yx yx x ， 解得 0 0 3 2 x y ， 或 0 0 11 6. x y ， 因此所求圆的方程为 22 (3)(2)16xy或 22 (11)(6)144xy 21解： （1）当 a=3 时， f（x）= 32 1 333 3 xxx ，f （x） = 2 63xx 令 f （x）=0 解得 x= 32 3 或 x=32 3 当x（， 32 3 ）（ 32 3 ，+）时， f （x）0； 当 x（3 2 3，32 3）时， f （x）0 故 f（ x）在（ ， 32 3），（32 3，+）单调递增，在（32 3，32
14、3）单调递减 （2）由于 2 10xx，所以 ( )0f x等价于 3 2 30 1 x a xx 设( )g x = 3 2 3 1 x a xx ，则 g （x）= 22 22 (23) (1) xxx xx 0，仅当 x=0 时 g （x）=0，所以 g（x）在（ ， +）单调递增故g（x）至多有一个零点，从而 f（x）至多有一个零点 又 f（ 3a 1）= 22111 626()0 366 aaa ，f（ 3a+1）= 1 0 3 ，故 f（x）有一个零点 综上， f（x）只有一个零点 22解： （1）曲线C的直角坐标方程为 22 1 416 xy 当cos0时，l的直角坐标方程为ta
15、n2tanyx， 当cos0时，l的直角坐标方程为1x （2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t 的方程 22 (13cos)4(2cossin)80tt 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2) 在C内，所以有两个解，设为 1 t ，2 t ，则12 0tt 又由得 12 2 4(2cossin) 13cos tt，故2cossin0，于是直线l的斜率tan2k 23解： （1）当1a时， 24,1, ( )2, 12, 26,2. xx f xx xx 可得( )0f x的解集为 |23xx （2）( )1f x等价于 |2|4xax 而 |2 | |2|xaxa，且当2x时等号成立故( )1f x等价于 |2 |4a 由 |2 |4a可得6a或2a，所以 a的取值范围是 (, 62,)