2019年吉林省长春市高考数学二模试卷(理科)含答案解析.pdf

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1、2019 年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题（本大题包括12 小题，每小题5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上） 1复数 z1 ，z 2在复平面内对应的点关于直线 y=x 对称，且z1=3+2i，则 z1?z2=（） A12+13i B13+12i C 13i D 13i 2设集合A= x| x 23x0 ，B=x| x| 2 ，则 A B= （ ） A x| 2x3B x| 2x0 Cx| 0x2D x| 2x3 3运行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（） ABCD 4若实数a，bR 且 ab，则下列不等式恒成

2、立的是（ ） Aa2 b 2 B C2a 2 b Dlg（ab） 0 5几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A B C D 6已知变量X 服从正态分布 N（2，4），下列概率与P（X 0）相等的是（） AP（X2）BP（X4） C P（0X4） D1 P（X4） 7已知 AB 为圆 O：（x1） 2 +y 2=1 的直径， 点 P为直线 xy+1=0 上任意一点， 则 的最小值为（） A1 BC2 D 8 已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn ， a 1 0 且 ， 当 Sn取最大值时， n 的值为（ ） A9 B10 C11 D12 9小明试图将一箱中的24 瓶啤酒全部取出，

3、每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤 酒，那么小明取出啤酒的方式共有种（） A18 B27 C37 D212 10函数 与的图象关于直线x=a 对称，则a 可能是 （） A B C D 11已知函数f（x）满足 f（ x）+f（2x）=2，当 x（ 0，1 时，f（x）=x 2，当 x（ 1， 0 时， ，若定义在（1，3）上的函数g（x）=f （x） t（x+1）有三 个不同的零点，则实数t 的取值范围是（） A BCD 12过双曲线x 2 =1 的右支上一点P，分别向圆 C1：（ x+4） 2 +y 2=4 和圆 C 2：（ x4） 2 +y 2=1 作切线，切点分别为 M， N，则

4、| PM| 2| PN|2 的最小值为（） A10 B13 C16 D19 二、填空题（本大题包括4 小题，每小题5 分，共 20 分，把正确答案填在答题卡中的横线 上） . 13已知实数x，y 满足，则 y2x 的最小值为 _ 14已知向量=（1，）， =（0，t2+1），则当时， | t | 的取 值范围是 _ 15 已知 a0，展开式的常数项为 15， 则 =_ 16已知数列 an中，对任意的 nN *若满足 a n +a n+1 +a n+2 +a n+3=s（s 为常数），则称该数列 为 4 阶等和数列，其中s 为 4 阶公和；若满足an?an+1?an+2=t（t 为常数），则称该

5、数列为3 阶等积数列，其中t 为 3 阶公积已知数列pn 为首项为1 的 4 阶等和数列，且满足 ； 数列 qn为公积为1 的 3 阶等积数列， 且 q1=q2=1， 设 Sn 为数列 pn?qn 的前 n 项和，则S2019=_ 三、解答题（本大题包括6 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17（ 12 分）（ 2019?长春二模）已知函数 （1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间； （2）已知 ABC 的三个内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，其中 a=7，若锐角A 满足 ，且，求 ABC 的面积 18（ 12 分）（ 2019?长春二模）近年来我国电子商

6、务行业迎来篷布发展的新机遇，2019 年双 11 期间，某购物平台的销售业绩高达918 亿人民币与此同时，相关管理部门推出了 针对电商的商品和服务的评价体系现从评价系统中选出200 次成功交易， 并对其评价进行 统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交 易为 80 次 （1）是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？ （2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5 次购物中，设对商品和服务全好评 的次数为随机变量 X： 求对商品和服务全好评的次数X 的分布列（概率用组合数算式表示）； 求 X 的数学期望和方差 P（

7、K 2 k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （，其中 n=a+b+c+d） 19（ 12 分）（ 2019?长春二模）在四棱锥PABCD 中，底面 ABCD 是菱形， PD平面 ABCD ，点 D1为棱 PD 的中点，过 D1作与平面ABCD 平行的平面与棱PA，PB，PC 相交 于 A1，B1， C1， BAD=60 （1）证明： B1为 PB 的中点； （2）若 AB=2，且二面角A1AB C 的大小为 60 ，AC 、BD 的交点为 O，连接 B1O求

8、 三棱锥 B1ABO 外接球的体积 20（ 12 分）（ 2019?长春二模）椭圆的左右焦点分别为F1，F2， 且离心率为，点 P 为椭圆上一动点，F1PF2内切圆面积的最大值为 （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线 l 与椭圆相交于A，B 两点，连结A1A， A1B 并延长交直线x=4 分别于 P，Q 两点，以 PQ 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出 定点坐标；若不是，请说明理由 21（ 12 分）（ 2019?长春二模）已知函数在点（ 1，f（1）处的切线与 直线 y=4x+1 平行 （1）求实数a 的值及 f（x）的极值； （2）若对任意x1，x2，有

9、，求实数k 的取值范 围 请考生在22、 23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修 4-1： 几何证明选讲 22（ 10 分）（ 2019?长春二模）如图，已知圆O 外有一点P，作圆 O 的切线 PM，M 为切 点，过 PM 的中点 N，作割线 NAB ，交圆于A、 B 两点，连接PA 并延长，交圆O 于点 C， 连续 PB 交圆 O 于点 D，若 MC=BC （1）求证： APM ABP； （2）求证：四边形PMCD 是平行四边形 选修 4-4：坐标系与参数方程 23（ 2019?长春二模）在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为 （t 是参数）， 以原点

10、O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 =8cos （ ） （1）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线； （2）若曲线C1与曲线 C2交于 A，B 两点，求 | AB | 的最大值和最小值 选修 4-5：不等式选讲 24（ 2019?长春二模）设函数f（x）=| x+2|+| xa| （a R） （1）若不等式f（ x）+a0 恒成立，求实数a的取值范围； （2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围 2019 年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题包括12 小题，每小题5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只

11、 有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上） 1复数 z1 ，z 2在复平面内对应的点关于直线 y=x 对称，且z1=3+2i，则 z1?z2=（） A12+13i B13+12i C 13i D 13i 【考点】 复数代数形式的混合运算 【分析】 求出复数的对称点的复数，利用复数的乘法运算法则求解即可 【解答】 解：复数z1在复平面内关于直线y=x 对称的点表示的复数z2=2+3i， 所以 z1?z2=（3+2i）（ 2+3i）=13i 故选： D 【点评】 本题考查复数的乘法运算，以及复平面上的点与复数的关系，属于基础题 2设集合A= x| x 23x0 ，B=x| x| 2 ，则

12、 A B= （ ） A x| 2x3B x| 2x0 Cx| 0x2D x| 2x3 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 A 与 B 中不等式的解集分别确定出A 与 B，找出两集合的交集即可 【解答】 解：由题意可知A= x| 0x3 ，B=x| 2x2 ， A B= x| 0x2 故选：C 【点评】 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 3运行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（） A B C D 【考点】 循环结构 【分析】 模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行后输出的是计算首项为，公比也 为的等比数列的前9 项和 【解答】 解：由算法流程图可知，输出结果是

13、首项为，公比也为的等比数列的前9 项和， 即为 故选： A 【点评】 本题考查了程序流程图中循环结构的认识与应用问题，是基础题目 4若实数a，bR 且 ab，则下列不等式恒成立的是（） Aa2b2BC2a2bDlg（ab） 0 【考点】 不等关系与不等式 【分析】 举特值可排除ABD ，对于 C 可由指数函数的单调性得到 【解答】 解：选项A，当 a=1 且 b=2 时，显然满足ab 但不满足a 2 b 2，故错误； 选项 B，当 a= 1 且 b=2 时，显然满足ab 但=，故错误； 选项 C，由指数函数的单调性可知当ab 时， 2 a 2 b，故正确； 选项 D，当 a= 1 且 b=2

14、时，显然满足ab 但 lg（ab）=lg1=0 ，故错误 故选： C 【点评】 本题考查不等式的运算性质，特值法是解决问题的关键，属基础题 5几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（） ABCD 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知： 该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，利用体积计算公式即可得 出 【解答】 解：由三视图可知：该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥， 所以其体积为 故选： C 【点评】 本题通过几何体的三视图来考查体积的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基 础题 6已知变量X 服从正态分布 N（2，4），下列概率与P（X 0）相等的是（） AP（X2）BP（X

15、4） C P（0X4） D1 P（X4） 【考点】 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】 由变量 X 服从正态分布N（2，4）可知， x=2 为其密度曲线的对称轴，即可求出答 案 【解答】 解：由变量X 服从正态分布N（2，4）可知， x=2 为其密度曲线的对称轴，因此P （X0）=P（ X 4） 故选 B 【点评】 本题考查正态分布的概念，属于基础题， 要求学生对正态分布的对称性有充分的认 识 7已知 AB 为圆 O：（x1） 2+y2=1 的直径， 点 P为直线 xy+1=0 上任意一点， 则 的最小值为（） A1 B C2 D 【考点】 平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系

16、 【分析】 运用向量加减运算和数量积的性质，可得 =（ +）?（+）=| 2 r2，即为 d2r2，运用点到直线的距离公式，可得d 的最小值，进而得到结论 【解答】 解：由=（+） ?（+） = 2+ ?（+）+?=| 2r2， 即为 d2r2，其中 d 为圆外点到圆心的距离， r 为半径， 因此当 d 取最小值时，的取值最小， 可知 d 的最小值为=， 故的最小值为21=1 故选： A 【点评】 本题考查直线与圆的位置关系以及向量的数量积的运算，注意运用向量的平方即为 模的平方，以及点到直线的距离公式，属于中档题 8 已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn， a1 0 且 ， 当 Sn取最

17、大值时， n 的值为（） A9 B10 C11 D12 【考点】 等差数列的性质 【分析】 由题意，不妨设a6=9t，a5=11t，则公差d=2t，其中 t0，因此 a10=t，a11=t， 即可得出 【解答】 解：由题意，不妨设a6=9t，a5=11t，则公差d=2t，其中 t 0， 因此 a10=t，a11= t，即当 n=10 时， Sn 取得最大值 故选： B 【点评】 本题考查了等差数列的性质、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 9小明试图将一箱中的24 瓶啤酒全部取出， 每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤 酒，那么小明取出啤酒的方式共有种（） A18 B27 C37

18、 D212 【考点】 排列、组合及简单计数问题 【分析】 由题可知，取出酒瓶的方式有3 类，根据分类计数原理可得 【解答】 解：由题可知，取出酒瓶的方式有3 类，第一类：取6 次，每次取出4 瓶，只有1 种方式； 第二类：取8 次，每次取出3 瓶，只有1 种方式； 第三类：取7 次， 3 次 4 瓶和 4 次 3 瓶，取法为，为 35 种； 共计 37 种取法 故选： C 【点评】 本题是一道排列组合问题，考查学生处理问题的方法，对学生的逻辑思维和抽象能 力提出很高要求，属于中档题 10函数与的图象关于直线x=a 对称，则a 可能是 （） ABCD 【考点】 余弦函数的对称性 【分析】 根据函

19、数关于 x=a的对称函数为 ，利 用诱导公式将其化为余弦表达式，根据它与一样，求得a 的值 【解答】 解：由题意，设两个函数关于x=a 对称，则函数关于 x=a 的对 称函数为， 利用诱导公式将其化为余弦表达式为 ， 令，则 故选： A 【点评】 本题主要考查三角函数图象，学生对三角函数图象的对称，诱导公式的运用是解决 本题的关键，属于基础题 11已知函数f（x）满足 f（ x）+f（2x）=2，当 x（ 0，1 时，f（x）=x 2，当 x（ 1， 0 时，若定义在（1，3）上的函数g（x）=f （x） t（x+1）有三 个不同的零点，则实数t 的取值范围是（） A BCD 【考点】 根的存

20、在性及根的个数判断 【分析】 由 g（x）=f（x） t（x+1）=0 得 f（ x）=t（x+1），分别求出函数f（x）的解析 式以及两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可 【解答】 解：由题可知函数在x（ 1，1 上的解析式为， 又由 f（x）+f（2x）=2 可知 f（x）的图象关于（1， 1）点对称， 可将函数f（x）在 x（ 1， 3）上的大致图象呈现如图： 根据 y=t（ x+1）的几何意义，x 轴位置和图中直线位置为y=t（x+1）表示直线的临界位置， 其中 x 1，2）时， f（x）=（ x2） 2+2，联立 ，并令 =0，可求得 因此直线的斜率t 的取值范围是 故选： D

21、【点评】 本题是最近热点的函数图象辨析问题，是一道较为复杂的难题作出函数的图象， 利用数形结合是解决本题的关键 12过双曲线x 2 =1 的右支上一点P，分别向圆 C1：（ x+4） 2 +y 2=4 和圆 C 2：（ x4） 2 +y 2=1 作切线，切点分别为 M， N，则 | PM| 2| PN|2 的最小值为（） A10 B13 C16 D19 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得两圆的圆心和半径，设双曲线x 2 =1 的左右焦点为F1（ 4，0），F2（ 4， 0），连接PF1， PF2，F1M，F2N，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离 之和取得最小值，计算即可

22、得到所求值 【解答】 解：圆 C1：（ x+4） 2 +y 2=4 的圆心为（ 4，0），半径为 r1=2； 圆 C2：（ x4） 2 +y 2=1 的圆心为（ 4，0），半径为 r2=1， 设双曲线x 2 =1 的左右焦点为F1（ 4，0）， F2（4，0）， 连接 PF1，PF2， F1M，F2 N，可得 | PM| 2| PN|2=（ | PF 1| 2r 1 2）（ | PF 2| 2r 2 2） =（| PF1| 2 4）（ | PF2|21） =| PF1| 2| PF 2| 23=（| PF 1| | PF2| ）（ | PF1|+| PF2| ） 3 =2a（| PF1|+|

23、PF2| 3=2（ | PF1|+| PF2| ） 32?2c3=2?83=13 当且仅当P为右顶点时，取得等号， 即最小值13 故选 B 【点评】 本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质， 以及运算能力，属于中档题 二、填空题（本大题包括4 小题，每小题5 分，共 20 分，把正确答案填在答题卡中的横线 上） . 13已知实数x，y 满足 ，则 y2x 的最小值为1 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出约束条件表示的可行域，利用目标函数的几何意义，求出最小值即可 【解答】 解：根据方程组获得可行域如下图，令z=y 2x，可化为y=2x+z， 因此，当直线过点

24、（1，3）时， z 取得最小值为1 故答案为： 1 【点评】 本题主要考查线性规划问题，是一道常规题 从二元一次方程组到可行域，再结合 目标函数的几何意义，全面地进行考查 14已知向量=（1，），=（0，t2+1），则当 时， | t| 的取 值范围是 1， 【考点】 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 【分析】 求出=（0，1），再根据向量差的几何意义，求出| t | 的解析式，从 而求出它的取值范围 【解答】 解：由题意，=（0， 1）， 根据向量的差的几何意义，| t| 表示向量t的终点到向量的终点的距离d， 所以 d= ； 所以，当t=时，该距离取得最小值为 1， 当 t=时，该距离取

25、得最大值为， 即| t | 的取值范围是1， 故答案为： 1， 【点评】 本题利用数形结合思想，考查了平面向量的几何意义，也考查了函数的最值问题以 及计算求解能力的应用问题，是基础题目 15已知 a0，展开式的常数项为 15，则 = 【考点】 二项式定理；微积分基本定理 【分析】 由条件利用二项式展开式的通项公式求得a 的值，再利用积分的运算性质、法则， 求得要求式子的值 【解答】 解：由的展开式的通项公式为Tr+1=?（ 1） r?a6r? ， 令=0，求得 r=2，故常数项为，可得 a=1， 因此原式为 =， 故答案为： 【点评】 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，积分

26、的运算，是一道 中档的常规问题 16已知数列 an中，对任意的 nN *若满足 a n+an+1+an+2+an+3=s（s 为常数），则称该数列 为 4 阶等和数列，其中s 为 4 阶公和；若满足an?an+1?an+2=t（t 为常数），则称该数列为 3 阶等积数列，其中t 为 3 阶公积已知数列 p n 为首项为 1 的 4 阶等和数列，且满足 ； 数列 qn为公积为1 的 3 阶等积数列， 且 q1=q2=1， 设 Sn 为数列 pn?qn 的前 n 项和，则S2019= 2520 【考点】 数列的求和 【分析】 通过定义可知数列数列 p n 、数列 qn均为周期数列，进而可知数列 p

27、 n ?q n 中每 12 项的和循环一次，进而计算可得结论 【解答】 解：由题意可知， p1=1，p2=2，p3=4，p4=8，p5=1，p6=2，p7=4，p8=8，p9=1，p10=2， p11=4，p12=8，p13=1， ， 又 pn是 4 阶等和数列，因此该数列将会照此规律循环下去， 同理， q1= 1，q2=1，q3=1，q4=1，q5= 1，q6=1，q7=1，q8=1，q9=1，q10=1， q11=1，q12=1，q13=1， ， 又 q n是 3 阶等积数列，因此该数列将会照此规律循环下去， 由此可知对于数列 p n?qn，每 12 项的和循环一次， 易求出 p1?q1

28、+p 2?q2+ +p12?q12=15， 因此 S2019中有 168 组循环结构， 故 S2019=15168=2520， 故答案为： 2520 【点评】 本题主要考查非常规数列求和问题，对学生的逻辑思维能力提出很高要求，属于一 道难题 三、解答题（本大题包括6 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17（ 12 分）（ 2019?长春二模）已知函数 （1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间； （2）已知 ABC 的三个内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，其中 a=7，若锐角A 满足 ，且，求 ABC 的面积 【考点】 余弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应

29、用 【分析】 （1）运用二倍角的正弦公式和余弦公式，以及两角和的正弦公式，由正弦函数的 周期公式及单调递减区间，解不等式可得； （2）由条件，可得角A，再运用正弦定理可得b+c=13，由余弦定理，可 得 bc=40，由三角形的面积公式计算即可得到所求 【解答】 解：（ 1） =， 因此 f（x）的最小正周期为 由，可得 k +xk +，kZ， 即 f（x）的单调递减区间为（kZ）； （2）由， 又 A 为锐角，则 由正弦定理可得， ， 则， 由余弦定理可知， 可求得 bc=40， 故 【点评】 本题主要考查三角函数的化简运算，以及三角函数的性质，并借助正弦和余弦定理 考查边角关系的运算，对考生

30、的化归与转化能力有较高要求 18（12分）（2019?长春二模）近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2019 年双 11 期间，某购物平台的销售业绩高达918 亿人民币与此同时，相关管理部门推出了 针对电商的商品和服务的评价体系现从评价系统中选出200 次成功交易， 并对其评价进行 统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交 易为 80 次 （1）是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？ （2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5 次购物中，设对商品和服务全好评 的次数为随机变量X： 求对商品和服务全好

31、评的次数X 的分布列（概率用组合数算式表示）； 求 X 的数学期望和方差 P（K 2 k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （，其中 n=a+b+c+d） 【考点】 独立性检验的应用 【分析】 （1）由题意列出2 2列联表，计算观测值K 2，对照数表即可得出正确的结论； （2）根据题意，得出商品和服务都好评的概率，求出X 的可能取值，计算对应的概率值， 写出期望与方差 【解答】 解：（ 1）由题意可得关于商品和服务评价的22 列联表为： 对服务好评对服务不满意

32、合计 对商品好评80 40 120 对商品不满意70 10 80 合计150 50 200 计算观测值， 对照数表知，在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（6 分） （2）每次购物时， 对商品和服务都好评的概率为，且 X 的取值可以是0，1，2，3，4，5； 其中； ； ； ； ； ； 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 P 由于 XB（5，）， 则； （ 12 分） 【点评】 本题主要考查了统计与概率的相关知识，包括独立性检验、离散型随机变量的分布 列以及数学期望和方差的求法问题，也考查了对数据处理能力的应用问题 19（ 12 分）（ 2019?长

33、春二模）在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是菱形， PD平面 ABCD ，点 D1为棱 PD 的中点，过 D1作与平面ABCD 平行的平面与棱PA，PB，PC 相交 于 A1，B1， C1， BAD=60 （1）证明： B1为 PB 的中点； （2）若 AB=2，且二面角A1AB C 的大小为 60 ，AC 、BD 的交点为 O，连接 B1O求 三棱锥 B1ABO 外接球的体积 【考点】 与二面角有关的立体几何综合题；用空间向量求平面间的夹角 【分析】 （1）根据面面平行的性质结合中位线的性质即可证明：B1为 PB 的中点； （2）建立坐标系，求出平面的法向量，结合三棱锥的外接球的性质进行

34、求解即可 【解答】 解：（ 1）连结 B1D1. ， 即 B1D1为 PBD 的中位线，即B1为 PB 中点（ 4 分） （2）以 O 为原点， OA 方向为 x 轴，OB 方向为 y 轴，OB1方向为 z轴，建立空间直角坐标 系 Oxyz， 则，B（0，1，0）， B1（0，0，t）， 从而， 则，又 ，则 由题可知， OAOB， OAOB1， OBOB1， 即三棱锥B1 ABO 外接球为以OA 、OB、OB1为长、宽、高的长方体外接球， 则该长方体的体对角线长为，即外接球半径为 则三棱锥B1 ABO 外接球的体积为（ 12 分） 【点评】 本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到面面的

35、平行关系、二面角的求法 及空间向量在立体几何中的应用本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要 求 20（ 12 分）（ 2019?长春二模）椭圆的左右焦点分别为 F1 ，F 2， 且离心率为，点 P 为椭圆上一动点，F1PF2内切圆面积的最大值为 （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线 l 与椭圆相交于A，B 两点，连结A1A， A1B 并延长交直线x=4 分别于 P，Q 两点，以 PQ 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出 定点坐标；若不是，请说明理由 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】 （1）设 c=t，则 a=2t，推导出点P 为短轴端点，

36、从而得到t=1，由此能 求出椭圆的方程 （2）设直线AB 的方程为x=ty +1，联立，得（ 3t 2+4）y2+6ty9=0，由此利用 韦达定理、向量知识、直线方程、圆的性质、椭圆性质，结合已知条件能推导出以PQ 为直 径的圆恒过定点（1，0）和（ 7，0） 【解答】 （本小题满分12 分） 解：（ 1）椭圆的离心率为，不妨设c=t，a=2t，即，其中 t 0， 又 F1PF2内切圆面积取最大值时，半径取最大值为， ，为定值， 也取得最大值，即点P 为短轴端点， ，解得 t=1， 椭圆的方程为（ 4 分） （2）设直线AB 的方程为x=ty +1，A（x1，y1）， B（x2， y2）， 联

37、立，得（ 3t2+4）y2+6ty9=0， 则， 直线 AA1的方程为 ， 直线 BA1的方程为 ， 则， 假设 PQ 为直径的圆是否恒过定点M（m，n）， 则， ， 即， 即， ，即 6nt9+n2+（4m） 2=0， 若 PQ 为直径的圆是否恒过定点M（ m， n），即不论t 为何值时，恒成立， n=0，m=1 或 m=7 以 PQ 为直径的圆恒过定点（1，0）和（ 7， 0）（ 12 分） 【点评】 本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆方程的求法，直 线与圆锥曲线的相关知识，以及恒过定点问题本小题对考生的化归与转化思想、运算求解 能力都有很高要求 21（ 12 分）

38、（ 2019?长春二模）已知函数在点（ 1，f（1）处的切线与 直线 y=4x+1 平行 （1）求实数a 的值及 f（x）的极值； （2）若对任意x1，x2，有，求实数k 的取值范 围 【考点】 利用导数研究函数的极值 【分析】 （1）求导，由f（1）=4，即可求得a 的值，令f（x） =0，求得可能的极值点， 由 f（x） 0 及 f（x） 0，分别求得单调递增和单调递减区间，根据极小值的定义，即可 求得在 x=1 时取极小值，即可求得极小值； （2）由题意可知将不等式转化成，得，构造辅助函数， ，求得 g（x）的解析式，求导，根据函数的单调性求得g（x）的最小值， 即可求得k 的取值范围

39、【解答】 解（ 1）由题意得，（ x 0）， 点（ 1，f（1）处的切线与直线y=4x+1 平行 又 f（1）=4，即=4，解得 a=1 令， 解得： x=e， 当 f（ x） 0，解得： xe， 函数 f（x）在（ e，+）上单调递增， 当 f（ x） 0，解得： 0xe， 函数 f（x）在（ 0，e）上单调递减， f（x）在 x=e 时取极小值，极小值为（ 6分） （2）由，可得， 令，则 g（x）=x+xlnx ，其中， x e2，+）g（x）=2+lnx， 又 x e2，+），则 g（x）=2+lnx4， 即， 实数 k 的取值范围是（，4 （ 12 分） 【点评】 本题主要考查函数与

40、导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调 性、极值，导数的几何意义，考查逻辑推理与运算求解能力，属于中档题 请考生在22、 23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修 4-1： 几何证明选讲 22（ 10 分）（ 2019?长春二模）如图，已知圆O 外有一点P，作圆 O 的切线 PM，M 为切 点，过 PM 的中点 N，作割线 NAB ，交圆于A、 B 两点，连接PA 并延长，交圆O 于点 C， 连续 PB 交圆 O 于点 D，若 MC=BC （1）求证： APM ABP； （2）求证：四边形PMCD 是平行四边形 【考点】 与圆有关的比例线段；相似三

41、角形的判定 【分析】 （I）由切割线定理，及N 是 PM 的中点，可得PN2=NA ?NB，进而 =，结合 PNA= BNP， 可得 PNA BNP， 则 APN= PBN， 即 APM= PBA； 再由 MC=BC ， 可得 MAC= BAC ，再由等角的补角相等可得MAP= PAB，进而得到 APM ABP （II）由 ACD= PBN，可得 PCD=CPM，即 PMCD；由 APM ABP，PM 是圆 O 的切线，可证得MCP=DPC，即 MCPD；再由平行四边形的判定定理得到四边形 PMCD 是平行四边形 【解答】 证明：（）PM 是圆 O 的切线， NAB 是圆 O 的割线， N 是

42、 PM 的中点， MN 2=PN2=NA ?NB ， =， 又 PNA= BNP， PNA BNP， APN= PBN，即 APM= PBA， MC=BC ， MAC= BAC ， MAP= PAB， APM ABP （ 5 分） （） ACD= PBN， ACD= PBN= APN ，即 PCD= CPM， PMCD APM ABP ， PMA= BPA PM 是圆 O 的切线， PMA= MCP， PMA= BPA= MCP，即 MCP=DPC， MCPD， 四边形PMCD 是平行四边形 （10 分） 【点评】 本题考查的知识点是切割线定理，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，平行四 边形

43、的判定，熟练掌握平面几何的基本定理是解答本题的关键 选修 4-4：坐标系与参数方程 23（ 2019?长春二模）在直角坐标系xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （t 是参数）， 以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 =8cos （ ） （1）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线； （2）若曲线C1与曲线 C2交于 A，B 两点，求 | AB | 的最大值和最小值 【考点】 简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程 【分析】 （1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，即可得出结论； （2）联立曲线C1与曲线 C2的方程， 利用参数的几何意义，即可求

44、 | AB| 的最大值和最小值 【解答】 解： （ 1）对于曲线C2有，即， 因此曲线C2的直角坐标方程为，其表示一个圆（5 分） （2）联立曲线C1与曲线 C2的方程可得：， t1+t2=2 sin ， t1t2=13 ， 因此 sin =0，| AB| 的最小值为，sin =1，最大值为8（ 10 分） 【点评】 本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直 角坐标方程的互化、利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距离等内容本 小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求 选修 4-5：不等式选讲 24（ 2019?长春二模）设函数f

45、（x）=| x+2|+| xa| （a R） （1）若不等式f（ x）+a0 恒成立，求实数a的取值范围； （2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围 【考点】 绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法 【分析】 （1）分类讨论，利用不等式f（x）+a0 恒成立，即f（x）的最小值 | a2| a 求实数 a的取值范围； （2）根据函数f（ x）图象的性质可知，当时，恒成立，从而求实数a 的取值范围 【解答】 解：（ 1）当 a0 时， f（x）+a0 恒成立， 当 a0 时，要保证f（x） a恒成立，即f（x）的最小值 | a2| a，解得 a 1， 0a 1 综上所述， a 1（ 5 分） （2）根据函数f（ x）图象的性质可知，当时，恒成立，即a=4， 所以 a 的取值范围是（，4 时恒成立（ 10 分） 【点评】 本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式证明等内 容本小题重点考查考生的化归与转化思想