2019年四川省宜宾市高考数学一诊试卷(文科)含答案解析.pdf

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2、3cos（2x+）的图象，只需将y=3cos2x 的图象（） A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度 C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度 4下列关于不等式的结论中正确的是（） A若 ab，则 ac 2bc2 B若 ab，则 a2 b 2 C若 ab0，则 a 2ab b2 D若 ab0，则 5执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（） A 10 B 3 C4 D5 6双曲线 =1 的右焦点到它的渐进线的距离为（） A12 B4 C2D2 7下列说法错误的是（） A“ ac2bc2” 是“ ab” 的充分不必要条件 B若 pq 是假命题，则pq 是假命题第 2 页（共 19 页） C

3、命题 “ 存在 x0R，2 0” 的否定是 “ 对任意的 xR，2x0” D命题 “ 对任意的xR” ，2 x x 2” 是真命题 8 （中数量积）已知向量，， x， y 满足 | =| =1，?=0，且，则等于（） ABC2 D 5 9如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，若 M 是线段 A1C1 上的动点，则下列结论不正确的是（） A三棱锥MABD 的主视图面积不变 B三棱锥MABD 的侧视图面积不变 C异面直线CM，BD 所成的角恒为 D异面直线CM，AB 所成的角可为 10设函数，它们的图象在x 轴上的公共点处有公切线，则当x 1 时， f（x）与 g（x）的大小关

4、系是（） Af（x） g（x）Bf（x） g（x） Cf（x）=g（x）Df（x）与 g（x）的大小不确定二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分. 11复数的虚部是 _ 12已知函数f（x）=，则 f（f（））的值是 _ 13已知过定点（1，0）的直线与抛物线x 2=y 相交于不同的 A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则（ x11）（x21）=_ 14如图所示，在海岛A 上有一座海拔千米的山峰上，山顶上设有一座观察站 P，一艘轮船沿一固定方向匀速航行，上午 10： 00 时，测得此船在岛北偏东20 且俯角为30 的 B 处，到 10： 10 时，又测得该

5、船在岛北偏西40 且俯角为60 的 C 处，则该船的航行速度为_ 千米 /时第 3 页（共 19 页） 15已知函数f（x）=（aR）若 f（x）有两个零点，则实数a 的取值范围是a e1；若 f（x）有三个零点，则实数a 的取值范围是 0a；若 y=f （x）的图象与y=kxa 的图象有四个交点，则实数 k 的取值范围是k0；若 y=f （x）的图象与y=kxa 的图象有三个交点，则 k=e 其中正确结论的序号是_ 三、解答题：本大题共6 小题，共75 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤 . 16已知向量=（sinA，cosA）， =（， 1），? =，且

6、 A 为锐角（1）求角 A 的大小；（2）求函数f（x）=cos2x+8sinAsinx （x R）的值域 17某高校在2019 年的自主招生考试成绩中随机抽取100 名学生的笔试成绩，按成绩分组：第 1 组 75， 80），第 2 组 80，85），第 3 组 85，90），第 4 组 90，95），第 5 组 95， 100 得到的频率分布直方图如图所示（）分别求第3，4，5 组的频率；（）若该校决定在笔试成绩高的第3， 4， 5 组中用分层抽样抽取6 名学生进入第二轮面试，求第 3， 4，5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（）在（）的前提下，学校决定在这6

7、名学生中随机抽取2 名学生接受甲考官的面试，求第 4 组至少有一名学生被甲考官面试的概率 18如图 1，在矩形ABCD 中， AB=，BC=4，E 是边 AD 上一点，且 AE=3 ，把 ABE 沿 BE 翻折，使得点 A 到 A，满足平面ABE 与平面 BCDE 垂直（如图 2），连结 A C，AD （1）求四棱锥A BCDE 的体积；第 4 页（共 19 页）（2）在棱 AC 是否存在点R，使得 DR平面 ABE？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由 19已知各项均为正数的数列 a n的前 n 项和 Sn满足 8Sn=a +4a n+3（ N *）（1）求数列 an 的

8、通项公式；（2）设 bn= ，是否存在一个最小的常数M，使得 b1 +b 2+ +bnm 对于任意的 n N * 均成立，若存在，求出常数m；若不存在，请说明理由 20已知圆x 2+y2=4 上任意一点 P 在 x 轴上的射影为H，点 F 满足条件+=2，O 为坐标原点（1）求点 F 的轨迹 C 的方程；（2）若直线l：y=kx +m 与曲线 C 交于不同两点A，B，点 N 时线段 AB 中点，设射线ON 交曲线 C 于点 Q，且=，求 m 和 k 满足的关系式 21已知函数f（x）=xlnx +ax（aR）（1）若 a=3，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若对任意的x（ 1，

10、合 B= x| 2x 5 ， A B= x| 2x 1 或 4x5 故选： B 2若数据 x1 ，x 2 ，x 3，，xn的平均数为 =5，方差 2=2，则数据 3x 1+1，3x2+1，3x3+1，， 3xn+1 的平均数和方差分别为（） A5，2 B16，2 C16，18 D 16，9 【考点】极差、方差与标准差【分析】由平均数和方差的性质得数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，，3xn+1 的平均数为，方差为 32? 2 【解答】解： x1， x2， x3，，xn的平均数为 5， =5， +1=35+1=16， x 1 ， x 2 ，x 3，，xn的方差为 2， 3

11、x1+1，3x2+1，3x3+1，，3xn+1 的方差是322=18 故选： C 3要得到y=3cos（2x+ ）的图象，只需将y=3cos2x 的图象（） A向左平移个单位长度 B向右平移个单位长度 C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度【考点】函数 y=Asin （ x+ ）的图象变换【分析】由条件利用函数y=Asin （ x+ ）的图象变换规律，得出结论【解答】解：将 y=3cos2x 的图象向左平移个单位长度，可得y=3cos2（x+）=3cos （2x+）的图象，第 6 页（共 19 页）故选： C 4下列关于不等式的结论中正确的是（） A若 ab，则 ac 2b

12、c2 B若 ab，则 a 2 b 2 C若 ab0，则 a2ab b2D若 ab0，则【考点】不等式的基本性质【分析】对于 A，B，C 举反例即可判断，对于D，根据不等式的性质可判断【解答】解：对于 A，当 c=0 时，不成立，对于 B，当 a=2，b=3 时，则不成立，对于 C，当 a= 3，b= 1时，则不成立，对于 D，根据不等式的性质，ab0，=0，即可得到，则成立，故选： D 5执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（） A 10 B 3 C4 D5 【考点】程序框图【分析】首先分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是

13、利用循环计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行，运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果【解答】解：按照程序框图依次执行为k=1，S=1； S=211=1，k=2； S=212=0，k=3； S=203=3，k=4； S=2（ 3） 4=10，k=45，退出循环，输出S= 10 故选 A 第 7 页（共 19 页） 6双曲线 =1 的右焦点到它的渐进线的距离为（） A12 B4 C2D2 【考点】双曲线的简单性质【分析】求得双曲线的a，b，c，可得右焦点和渐近线方程，运用点到直线的距离公式，计算即可得到所求值【解答】解：双曲线=1 的 a=2，b=2，c=4，即有右焦

14、点为（4，0），渐近线方程为y=x，可得右焦点到它的渐近线的距离为d=2 故选： C 7下列说法错误的是（） A“ ac2bc2” 是“ ab” 的充分不必要条件 B若 pq 是假命题，则pq 是假命题 C命题 “ 存在 x0R，2 0” 的否定是 “ 对任意的 xR，2x0” D命题 “ 对任意的xR” ，2 x x 2” 是真命题【考点】命题的真假判断与应用【分析】 A根据不等式的基本性质，“ ab” 不一定 “ ac2bc2” 结论，因为必须有c20 这一条件；反过来若“ ac 2bc2” ，说明 c20 一定成立，一定可以得出 “ ab” ，即可得出答案； B利用复合命题的

15、真假关系进行判断； C根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论 Dx=2，4 时，命题不正确【解答】解：当 c=0 时， a b?ac2bc2；当 ac 2bc2 时，说明c0，由 c20，得 ac2bc2 ? ab，故 “ ac2bc2” 是“ ab” 成立的充分不必要条件，正确第 8 页（共 19 页）若命题 pq 是假命题，则p，q 都是假命题，所以命题pq 是假命题，正确；命题是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题得到命题的否定是：对任意的xR，2x 0， x=2，4 时，命题不正确故选： D 8（中数量积）已知向量，， x， y 满足 | =| =1，?=0，且

16、，则等于（） ABC2 D 5 【考点】平面向量的综合题【分析】求向量的模，先求它们的平方，这里求平方，利用向量的完全平方公式即可【解答】解：由所给的方程组解得，， = 故选 B 9如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，若 M 是线段 A1C1 上的动点，则下列结论不正确的是（） A三棱锥MABD 的主视图面积不变 B三棱锥MABD 的侧视图面积不变 C异面直线CM，BD 所成的角恒为 D异面直线CM，AB 所成的角可为【考点】棱柱的结构特征【分析】判断主视图和侧视图的底与高是否发生变化来判断A，B，建立空间坐标系求出数量积来判断C 和 D 【解答】解：对于

17、 A，三棱锥 M ABD 的主视图为三角形，底边为AB 的长，高为正方体的高，故棱锥的主视图面积不变，故A 正确；对于 B，侧视图为三角形的底边为AD 的长，高为正方体的高，故棱锥侧视图的面积不变，故 B 正确；对于 C，连结 AC ，BD ，A1C，则 BD AC ， AC A1C1， BDA1C1，第 9 页（共 19 页）又 BDCC1，于是 BD 平面 A1C1C， CM ? 平面 A 1C1C， BD CM，故 C 正确；对于 D，分别以 AB，AD ，AA 1为坐标轴，以 A 为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为 1， M（a，a，1），B（1，0，0），A

18、（0，0，0），C（1，1，0） =（a1，a1，1），=（1，0，0）， cos = ，异面直线CM ，AB 所成的角不可能是故 D 错误故选： D 10设函数，它们的图象在x 轴上的公共点处有公切线，则当x 1 时， f（x）与 g（x）的大小关系是（） Af（x） g（x）Bf（x） g（x） Cf（x）=g（x）Df（x）与 g（x）的大小不确定【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；对数函数的图象与性质【分析】 f（x）与 x 轴的交点（ 1，0）在 g（x）上，所以a+b=0，在此点有公切线，即此点导数相等，可求出a 与 b 的值，令 h（x）=f（x） g（x

19、），然后利用导数研究该函数在（1， +）上的单调性，从而得到正确选项【解答】解： f（x）与 x 轴的交点（1，0）在 g（x）上，所以 a+b=0，在此点有公切线，即此点导数相等， f（x）=， g（ x）=a，以上两式在x=1 时相等，即1=ab，又因为 a+b=0，所以 a=，b= ，即 g（x）= ，f（x）=lnx ，定义域 x| x0，令 h（x）=f （x） g（x） =lnx +，对 x 求导，得 h（x）= = = x1 h （x） 0 第 10 页（共 19 页） h（x）在（ 1，+）单调递减，即h（x） 0 f（x） g（x）故选 B 二、填空

20、题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分. 11复数的虚部是【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，bR）的形式，即可【解答】解：复数=，它的虚部为：，故答案为： 12已知函数f（x）=，则 f（f（））的值是【考点】函数的值【分析】根据对数的运算法则可求出f（4）的值，从而可将f（f（ 4））从内向外去除括号，求出所求【解答】解：由题意可得：函数f（x）=， f（）=log2 = 2 f（f（））=f （ 2）=3 2+1= 故答案为： 13已知过定点（1，0）的直线与抛物

21、线 x 2=y 相交于不同的 A（x1 ，y 1），B（x2 ，y 2）两点，则（ x11）（x21）=1 【考点】抛物线的简单性质【分析】设过定点（1，0）的直线的方程为y=k（x1），代入抛物线x 2=y 可得 x2 kx+k=0，故有 x1 +x 2=k，x1?x2=k，由此求得（ x11）（x21）的值【解答】解：设过定点（1， 0）的直线的方程为y=k （x1），代入抛物线x 2=y 可得 x2 kx+k=0， x1+x2=k，x1?x2=k，（ x11）（x21）=x1 ?x 2（ x1 +x 2）+1=1 故答案为： 1 第 11 页（共 19

22、页） 14如图所示，在海岛A 上有一座海拔千米的山峰上，山顶上设有一座观察站P，一艘轮船沿一固定方向匀速航行，上午 10： 00 时，测得此船在岛北偏东20 且俯角为30 的 B 处，到 10：10 时，又测得该船在岛北偏西40 且俯角为60 的 C 处，则该船的航行速度为千米/时【考点】解三角形的实际应用【分析】在 Rt PAB、RtPAC 中确定 AB 、AC 的长，进而求得，CAB=20 +40 =60 ，利用余弦定理求得BC，用里程除以时间即为船的速度【解答】解：在 RtPAB 中， APB=30 ，PA=， AB=1 在 RtPAC 中， APC=60 ， AC=

23、3 在 ACB 中， CAB=20 +40 =60 ， BC= 则船的航行速度 = 故答案为： 15已知函数f（x）=（aR）若 f（x）有两个零点，则实数a 的取值范围是a e1；若 f（x）有三个零点，则实数a 的取值范围是 0a；若 y=f （x）的图象与y=kxa 的图象有四个交点，则实数k 的取值范围是k0；若 y=f （x）的图象与y=kxa 的图象有三个交点，则 k=e 其中正确结论的序号是【考点】分段函数的应用【分析】作出 y=| ex+1| （x0）和 y=lnx +a（x 0）的函数图象，根据函数图象判断零点个数与a的关系；求出y=kx 与 y=| ex+

24、1| （x 0）的左段图象相切时的斜率，结合图象判断交点个数与k 的关系【解答】解：当x0 时， f（x）=lnx +a的值域为R，故 f（x）在（ 0，+）上恒有一个零点，第 12 页（共 19 页）当 x0 时，令 f（ x）=0 得| ex+1| =a，作出 y=| ex+1 | （x0）和 y=lnx +a（x0）的函数图象如图所示，由图象可知：若f（x）有两个零点，则ae或 a=0，故错误；若 f（x）有三个零点，则0e，故正确；令 f（x）=kx a 得， | ex+1| =kx（x0）或 kx=lnx +2a（x0）设 y=mx 与 y= ex+1（ x

25、0）相切，切点为（ x0 ，y 0），则，解得 m= x 0=2， y0= 此时，直线与f（x）有三个交点，故错误；当k0 时，由图象可知f（x）与 y=kx a 有四个交点，故正确故答案为：三、解答题：本大题共6 小题，共75 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤 . 16已知向量=（sinA，cosA）， =（， 1），? =，且 A 为锐角（1）求角 A 的大小；（2）求函数f（x）=cos2x+8sinAsinx （x R）的值域【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象【分析】（1）根据?=列出方程解出A；（

26、2）使用二倍角公式化简f（x）=2（ sinx 1）2+3，根据二次函数的性质得出f（x）的最值第 13 页（共 19 页）【解答】解：（）=sinA+cosA=2sin （A+ ）= ，， A 为锐角，（）由（）知， f（x）=cos2x+4sinx=12sin2x+4sinx=2（sinx1）2+3， xR， sinx 1，1 ，当 sinx=1 时， f（x）有最大值3；当 sinx=1 时， f（x）有最小值 5，函数 f（ x）的值域是 5，3 17某高校在2019 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩，按成绩分组：第 1 组 75， 80）

27、，第 2 组 80，85），第 3 组 85，90），第 4 组 90，95），第 5 组 95， 100 得到的频率分布直方图如图所示（）分别求第3，4，5 组的频率；（）若该校决定在笔试成绩高的第3， 4， 5 组中用分层抽样抽取6 名学生进入第二轮面试，求第 3， 4，5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（）在（）的前提下，学校决定在这6 名学生中随机抽取2 名学生接受甲考官的面试，求第 4 组至少有一名学生被甲考官面试的概率【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式【分析】（I）根据频率分步直方图的性质，根据所给的频率分步直方图中小矩形的长和宽，

28、求出矩形的面积，即这组数据的频率（II ）由上一问求得频率，可知3，4， 5 组各自所占的比例样，根据分层抽样的定义进行求解；（）由题意知变量的可能取值是0，1，2，该变量符合超几何分布，根据超几何分布的概率公式写出变量的概率，写出这组数据的分布列从而求出P（ 1）的概率；【解答】解：（）根据所给的频率分步直方图中小正方形的长和宽，得到第三组的频率为0.065=0.3；第四组的频率为0.045=0.2；第五组的频率为0.025=0.1 （）由题意知本题是一个等可能事件的概率，由（）可知第三，四，五组的频率分别为：0.3，0.2，0.1 第 14 页（共 19 页）则分

29、层抽样第3，抽取的人数为：6=3 第 4 组抽取的人数为：6=2 5 组每组抽取的人数为：6=1；（）学校决定在这6 名学生中随机抽取2 名学生接受甲考官的面试，由题意知变量的可能取值是0，1，2 该变量符合超几何分布， P（ =i）=（i=0，1，2）分布列是 P（ 1） =+= ； 18如图 1，在矩形ABCD 中， AB=，BC=4，E 是边 AD 上一点，且AE=3 ，把 ABE 沿 BE 翻折，使得点 A 到 A，满足平面ABE 与平面 BCDE 垂直（如图 2），连结 A C，A D （1）求四棱锥A BCDE 的体积；（2）在棱 AC 是否存在点R，使得 DR平面

30、ABE？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质【分析】（I）过 A作 AFBE，利用等积法求出A F，则 A F 为棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算；（II ）延长 BE，CD 交于点 P，过 D 作 A P的平行线交AC 于 R，则 DR平面 A BE利用平行线等分线段成比例定理得出的值【解答】解：（）过 A 作 A FBE 于 F 平面 A BE平面 BCDE ，平面 ABE 平面 BCDE=BE ，A F? 平面 ABE A F平面 BCDE BAE=90 ，， BE= =2， A F= 第 15 页（共 19

31、页）四棱锥 A BCDE 的体积（）延长过BE，CD 交于 P，连结 AP，过 D 作 DR A P 交 AC 于 R， DR?平面 ABE，AP? 平面 ABE， DR平面 A BE，，，在棱 A C 存在点 R，使得 DR平面 ABE，这时 19已知各项均为正数的数列 a n的前 n 项和 Sn满足 8Sn=a +4a n+3（ N *）（1）求数列 an 的通项公式；（2）设 bn= ，是否存在一个最小的常数M，使得 b1+b2+ +bnm 对于任意的 n N * 均成立，若存在，求出常数m；若不存在，请说明理由【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（I）利用递推关

32、系与等差数列的通项公式即可得出；（II ）利用等差数列的前n 项和公式、 “ 裂项求和 ” 即可得出【解答】解：（）， 8Sn1= +4an1+3，（n2），， a n 0， an a n1=4（n2），数列 an 是以 4 为公差的等差数列又，，而 a13，第 16 页（共 19 页） a 1=1 an=4n3（nN *）（）由（）知，，，，存在，使 b1+b2+ +bnm 对于任意的正整数n 均成立 20已知圆x 2 +y 2=4 上任意一点 P 在 x 轴上的射影为H，点 F 满足条件+ =2，O 为坐标原点（1）求点 F 的轨迹 C 的方程；（2

33、）若直线l：y=kx +m 与曲线 C 交于不同两点A，B，点 N 时线段 AB 中点，设射线ON 交曲线 C 于点 Q，且=，求 m 和 k 满足的关系式【考点】直线与圆的位置关系【分析】（）利用代入法求椭圆方程；（）设 A（x1，y1），B（x2，y2），由直线代入椭圆方程，消去 y，得（1+4k2）x 2+8kmx+4m2 4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能证明结论【解答】解：（）设点F（x，y），点 P（ x， y），因为点P在 x 轴上的射影为H，所以 H （x，0）又因为，所以点F 是线段 PH 的中点，即有因为点 P是

34、圆 x2+y2=4 上任意一点，所以（ x）2+（y）2=4，所以所以点 F 的轨迹 C 的方程为（）设 A（x1，y1），B（x2，y2），联立解方程组：，第 17 页（共 19 页），即，又点 N 是线段 AB 中点，由中点坐标公式，得，又，得，将代入椭圆方程，得，化简得2m2=16k 4+8k2+18k2m2 21已知函数f（x）=xlnx +ax（aR）（1）若 a=3，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若对任意的x（ 1，+），f（ x）（ k+a1）xk 恒成立，求正整数k 的值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分

35、析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）法一：分离参数，问题转化为对任意 x（ 1，+）恒成立，根据函数的单调性求出k 的范围即可；法二：令 g（x）=f （x）（k+a1）xk=xlnx （ k1）x+k（x1），通过讨论k 的范围，结合函数的单调性求出k 的范围即可【解答】解：（1）当 a=3 时， f（x） =xlnx 3x（x0），有 f（x）=lnx +1 3=lnx2，令 f（ x） 0，即 lnx20， x e2 函数 f（ x）的单调增区间 e 2，+）（2）解法一：若对任意x（ 1，+），f（x）（ k+a1）

36、 xk 恒成立，即 k（x1） xlnx +x 恒成立， x（ 1，+）， x10 则问题转化为对任意 x（ 1，+）恒成立，设函数，则，再设 m（x） =xlnx 2，则第 18 页（共 19 页） x（ 1，+）， m（x） 0，则 m（x）=xlnx2 在 x（ 1，+）上为增函数， m（3）=1 ln30，m（4）=2ln4 0， ? x0（ 3， 4），使 m（x0） =x 0lnx02=0 当 x（ 1，x0）时， m（x） 0， h（x） 0；当 x（ x0，+）时， m（x） 0，h（ x） 0 在 x（ 1，x0）上递减，在x（ x0，+）上递增 h（x）的最

37、小值为 m（x0） =x0lnx02=0， ln（ x0）+1=x01，代入函数得 h（x0） =x0， x0（ 3， 4），且 kh（x），对任意x（ 1，+）恒成立， kh（x）min=x0， k 3， k 的值为 1，2， 3 解法二：（按同比例给分）令 g（x）=f （x）（k+a1）xk =xlnx （ k1）x+k（ x1）， g（x）=lnx +1（ k1）=lnx +2k 当 2k0 时，即 k2 时， g（ x） 0，g（x）在（ 1，2）上单调递增， g（x） g（1） =10 恒成立，而kN * k=1 或 k=2 当 2k0 时，即 k2 时， g（ x）=0? x=ek2， g（x）在（ 1，ek2）上单调递减，在（ek2，+）上单调递增，恒成立， kek 2，而 k N*， k=3 综上可得， k=1 或 k=2 或 k=3 时成立第 19 页（共 19 页） 2019 年 9 月 7 日

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