2019年广东省深圳市高考数学一模试卷(文科)含答案解析.pdf

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1、2017 年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1若集合 A= 2，4，6，8 ，B= x| x29x+180，则 AB=（） A2，4 B 4，6C 6，8 D 2，8 2若复数（aR）为纯虚数，其中 i 为虚数单位，则 a=（） A3 B2 C2 D3 3袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”现 从中随机选取三个球， 则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（） ABCD 4设 a=0.2 3，b=log 0.30.2，c=log

2、30.2，则 a，b，c 大小关系正确的是（） Aabc Bbac Cbca Dcba 5ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cosC=，a=1，c=2， 则ABC 的面积为（） ABCD 6 若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的， 则该双曲线的离心率为 （） A B C2 D 7将函数 y=sin（6x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3 倍，再向右平 移个单位，得到的函数的一个对称中心（） ABC（）D（） 8函数 f（x）=?cosx的图象大致是（） A B C D 9祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了 体积计算的原理： “ 幂势

3、既同，则积不容异 ” 意思是，如果两个等高的几何体在 同高处截得的截面面积恒等， 那么这两个几何体的体积相等此即祖暅原理 利 用这个原理求球的体积时， 需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视 图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0h2）的平面截该 几何体，则截面面积为（） A4 Bh 2 C （2h） 2 D （4h） 2 10执行如图所示的程序框图，若输入p=2017，则输出 i 的值为（） A335 B336 C337 D338 11已知棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1，球 O 与该正方体的各个面相切， 则平面 ACB1截此球所得的截面的面积为（） A

4、BCD 12 若f（x）=sin3x+acos 2x 在 （0，） 上存在最小值，则实数a的取值范围是（） A（0，）B（0， C，+） D（0，+） 二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，满分 20分，将答案填在答题纸上 13已知向量=（1，2）， =（x，3），若 ，则|+ | = 14已知 是锐角，且 cos（ + ）= ，则 cos（ ）= 15直线 axy+3=0 与圆（ x2） 2+（ya）2=4 相交于 M，N 两点，若 | MN| 2 ，则实数 a的取值范围是 16若实数 x，y 满足不等式组，目标函数 z=kxy 的最大值为 12， 最小值为 0，则实数 k= 三、解

5、答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（12 分）设 Sn为数列 an 的前 n 项和，且 Sn=2ann+1（nN *），b n=an+1 （1）求数列 bn 的通项公式； （2）求数列 nbn 的前 n 项和 Tn 18（12 分）如图，四边形 ABCD 为菱形，四边形 ACEF 为平行四边形，设 BD 与 AC 相交于点 G，AB=BD=2 ，AE=，EAD=EAB （1）证明：平面 ACEF平面 ABCD ； （2）若 EAG=60 ，求三棱锥 FBDE 的体积 19（12 分）某市为了鼓励市民节约用电，实行“ 阶梯式 ” 电价，将该市每户居 民的月用电量划分为三档， 月

6、用电量不超过 200度的部分按0.5元/度收费，超过 200 度但不超过 400度的部分按 0.8 元/度收费，超过 400 度的部分按 1.0 元/度收 费 （1）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：度）的函数解 析式； （2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1 月份 100 户居民每户 的用电量， 统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这 100 户居民中， 今 年 1 月份用电费用不超过260 元的点 80%，求 a，b 的值； （3）在满足（2）的条件下，若以这 100 户居民用电量的频率代替该月全市居民 用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中

7、点值代替，记 Y 为该居民 用户 1 月份的用电费用，求Y 的分布列和数学期望 20（12 分）已成椭圆 C： +=1（ab0）的离心率为其右顶点与 上顶点的距离为，过点 P（0，2）的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 M 是 AB 中点，且 Q 点的坐标为（，0），当 QMAB 时，求直线 l 的方程 21（12 分）已知函数f（x）=（ax+1）lnxax+3，aR，g（x）是 f（x）的 导函数， e为自然对数的底数 （1）讨论 g（x）的单调性； （2）当 ae时，证明： g（e a）0； （3）当 ae时，判断函数 f（x）零点的个数，

8、并说明理由 选修 4-4：坐标系与参数方程 22（10 分）在直角坐标系中xOy 中，曲线 E 的参数方程为（为 参数），以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）写出曲线 E 的普通方程和极坐标方程； （2） 若直线 l 与曲线 E 相交于点 A、 B 两点，且 OAOB， 求证： + 为定值，并求出这个定值 选修 4-5：不等式选讲 23已知 f（x）=| x+a| ，g（x）=| x+3| x （1）当 a=1，解不等式 f（x）g（x）； （2）对任意 x 1，1 ，f（x）g（x）恒成立，求 a的取值范围 2017 年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科） 参考答案

9、与试题解析 一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1若集合 A= 2，4，6，8 ，B= x| x 29x+180，则 AB=（ ） A2，4 B 4，6C 6，8 D 2，8 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 B 中不等式的解集确定出B，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解： A= 2，4，6，8 ，B= x| x29x+180=x| （x3）（x6） 0 =x| 3x6 ， AB= 4，6， 故选： B 【点评】 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2若复数（aR）为纯虚数，其

10、中i 为虚数单位，则 a=（） A3 B2 C2 D3 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 由复数代数形式的乘除运算化简复数，又根据复数（aR） 为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案 【解答】 解：=， 复数（aR）为纯虚数， ， 解得： a=2 故选： B 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念， 是基础 题 3袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”现 从中随机选取三个球， 则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（） ABCD 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 现从中随机选取三个球，基本事件总数n=4，所

11、选的三个球上的数 字能构成等差数列包含的基本事件的个数，由此能求出所选的三个球上的数字能 构成等差数列的概率 【解答】解：袋中装有大小相同的四个球， 四个球上分别标有数字 “2”，“3”，“4”， “6”， 现从中随机选取三个球， 基本事件总数 n= =4， 所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件有： （2，3，4），（ 2，4，6），共有 2 个， 所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是p= 故选： C 【点评】本题考查概率的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等可 能事件概率计算公式的合理运用 4设 a=0.2 3，b=log 0.30.2，c=log30.2，则 a

12、，b，c 大小关系正确的是（） Aabc Bbac Cbca Dcba 【考点】 对数值大小的比较 【分析】 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出 【解答】 解：a=0.2 3=0.008，b=log 0.30.2log0.30.3=1，c=log30.21， bac， 故选： B 【点评】 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 5ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cosC=，a=1，c=2， 则ABC 的面积为（） A B C D 【考点】 正弦定理 【分析】 由题意 cosC= ，a=1，c=2，余弦定理求解 b，正弦定理

13、在求解sinB， 那么 ABC 的面积即可 【解答】 解：由题意 cosC=，a=1，c=2， 那么： sinC=， cosC= =，解得 b=2 由，可得 sinB=， 那么 ABC 的面积= 故选 A 【点评】 本题主要考查了余弦定理，正弦定理的运用，属于基础题 6 若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的， 则该双曲线的离心率为 （） A B C2 D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 利用双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的，列出关系式求解离心 率即可 【解答】 解：设双曲线方程：，可得渐近线方程为： bxay=0，焦点 坐标（c，0）， 双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的， 可得：，

14、整理得： 5b2=4c2，即 c2=5a 2，解得 e= 故选： D 【点评】 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力 7将函数 y=sin（6x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3 倍，再向右平 移个单位，得到的函数的一个对称中心（） A B C（） D（） 【考点】 函数 y=Asin（x + ）的图象变换；正弦函数的对称性 【分析】先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的解析式，再根据三角函数 的性质进行验证：若f（a）=0，则（ a，0）为一个对称中心，确定选项 【解答】 解：函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3 倍得到 图象的解析式为 再向右平移个单位得到图象的解析式为=s

15、in2x 当 x=时，y=sin=0 ，所以是函数 y=sin2x 的一个对称中心 故选 A 【点评】本题考查了三角函数图象变换规律，三角函数图象、性质是三角函数 中的重点知识，在试题中出现的频率相当高 8函数 f（x）=?cosx的图象大致是（） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 先判断函数的奇偶性，再判断函数值，问题得以解决 【解答】 解：f（x）=?cos （x）=?cosx= f（x）， f（x）为奇函数， 函数 f（x）的图象关于原点对称， 当 x（0，）时， cosx0，0， f（x）0 在（0，）上恒成立， 故选： C 【点评】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函

16、数的奇偶性和函数值，属于 基础题 9祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了 体积计算的原理： “ 幂势既同，则积不容异 ” 意思是，如果两个等高的几何体在 同高处截得的截面面积恒等， 那么这两个几何体的体积相等此即祖暅原理 利 用这个原理求球的体积时， 需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视 图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0h2）的平面截该 几何体，则截面面积为（） A4 Bh 2 C （2h） 2 D （4h） 2 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由题意，首先得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，得到截面为圆环， 明确其半径求面积

17、 【解答】解：由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，底面半径为 2 高为 2， 设截面的圆环，小圆半径为r，则为 frac h 2 =frac r 2 $，得到 r=h，所以截 面圆的面积为 h 2； 故选 B 【点评】本题考查了几何体得到三视图以及截面面积的求法；关键是明确几何体 形状，然后得到截面的性质以及相关的数据求面积 10执行如图所示的程序框图，若输入p=2017，则输出 i 的值为（） A335 B336 C337 D338 【考点】 程序框图 【分析】 根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出输出i 的值 【解答】 解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是统计1 到 2017

18、 这些数中 能同时被 2 和 3 整除的数的个数 i， 由于： 2017=3366+1， 故程序框图输出的i 的值为 337 故选： C 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时模拟程序框图的运行过程，正 确得出程序框图的功能是解题的关键，属于基础题 11已知棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1，球O与该正方体的各个面相切， 则平面 ACB1截此球所得的截面的面积为（） A B C D 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 求出平面 ACB1截此球所得的截面的圆的半径，即可求出平面ACB1截 此球所得的截面的面积 【解答】 解：由题意，球心与B 的距离为=，B 到平面 ACB1的距离

19、为=，球的半径为1，球心到平面ACB1的距离为=， 平面 ACB1截此球所得的截面的圆的半径为 =， 平面 ACB1截此球所得的截面的面积为=， 故选 D 【点评】 本题考查平面 ACB1截此球所得的截面的面积，考查学生的计算能力， 属于中档题 12 若 f （x） =sin3x+acos 2x 在 （0， ） 上存在最小值，则实数 a 的取值范围是（ ） A（0，）B（0， C，+） D（0，+） 【考点】 三角函数的最值 【分析】 设 t=sinx，由 x（0， ）和正弦函数的性质求出t 的范围，将 t 代入 f （x）后求出函数的导数，求出临界点，根据条件判断出函数的单调性，由导数 与函

20、数单调性的关系列出不等式，求出实数a的取值范围 【解答】 解：设 t=sinx，由 x（0， ）得 t（0，1 ， f（x）=sin3x+acos 2x=sin3x+a（1sin2x）， f（x）变为： y=t 3at2+a， 则 y=3t 22at=t（3t2a）， 由 y=0 得，t=0 或 t=， f（x）=sin3x+acos 2x 在（0， ）上存在最小值， 函数 y=t3at2+a 在（0，1 上递减或先减后增， 即0，得 a0， 实数 a的取值范围是（ 0，+）， 故选： D 【点评】本题考查正弦函数的性质，导数与函数单调性的关系，以及构造法、换 元法的应用，考查化简、变形能力

21、二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，满分 20分，将答案填在答题纸上 13已知向量=（1，2）， =（x，3），若 ，则|+ | =5 【考点】 平面向量的坐标运算 【分析】 ，可得=0，解得 x再利用向量模的计算公式即可得出 【解答】 解： ，=x+6=0，解得 x=6 =（5，5） |+ | =5 故答案为： 5 【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量模的计算公式， 考查了推理 能力与计算能力，属于基础题 14已知 是锐角，且 cos（ + ）= ，则 cos（ ）= 【考点】 两角和与差的余弦函数 【分析】 由已知利用诱导公式可求sin（ ）= ，结合角的范围，利用同角

22、 三角函数基本关系式计算可解 【解答】 解： cos（ +）=sin（ +） =sin（ ）= ， 是锐角， （，）， cos （ ）= 故答案为： 【点评】本题主要考查了诱导公式， 同角三角函数基本关系式在三角函数化简求 值中的应用，考查了转化思想，属于基础题 15直线 axy+3=0 与圆（ x2） 2+（ya）2=4 相交于 M，N 两点，若 | MN| 2 ，则实数 a的取值范围是a 【考点】 直线与圆相交的性质 【分析】 由圆的方程找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆 心到直线的距离 d，利用 | MN| 2，建立不等式，即可得到a 的范围 【解答】 解：由圆的方程得

23、：圆心（2，a），半径 r=2， 圆心到直线 axy+3=0 的距离 d=，| MN | 2， ， 解得： a， 故答案为： a 【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到 直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键 16若实数 x，y 满足不等式组，目标函数 z=kxy 的最大值为 12， 最小值为 0，则实数 k=3 【考点】 简单线性规划 【分析】先画出可行域，得到角点坐标利用 k与0的大小，分类讨论，结合目 标函数的最值求解即可 【解答】解：实数 x，y 满足不等式组的可行域如图：得：A（1，3）， B（1，2），C（4，0） 当

24、k=0 时，目标函数 z=kxy 的最大值为 12，最小值为 0，不满足题意 当 k0 时，目标函数z=kxy 的最大值为 12，最小值为 0，当直线 z=kxy 过 C（4，0）时， Z 取得最大值 12 当直线 z=kxy 过 A（3，1）时， Z 取得最小值 0 可得k=3，满足题意 当 k0 时，目标函数z=kxy 的最大值为 12，最小值为 0，当直线 z=kxy 过 C（4，0）时， Z 取得最大值 12可得 k=3， 当直线 z=kxy 过，B（1，2）时， Z 取得最小值 0可得 k=2， 无解 综上 k=3 故答案为： 3 【点评】 本题主要考查简单线性规划以及分类讨论思想解

25、决本题计算量较大 属 于中档题 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（12 分）（ 2017? 深圳一模）设 Sn为数列 an 的前 n 项和，且 Sn=2ann+1 （nN * ），bn=an+1 （1）求数列 bn 的通项公式； （2）求数列 nbn 的前 n 项和 Tn 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】（1）求出数列的首项， 利用通项与和的关系， 推出数列 bn的等比数列， 求解通项公式 （2）利用错位相减法求解数列的和即可 【解答】 解：（ 1）当 n=1 时，a1=S1=2a11+1，易得 a1=0，b1=1； 当 n2 时，an=SnSn1=2ann

26、+1 2an1n+1+1 ， 整理得 an=2an1+1， b n=an+1=2（an1+1）=2bn1， 数列 bn 构成以首项为 b1=1，公比为 2 等比数列， 数列 bn 的通项公式 bn=2n 1，nN? ； （2）由（ 1）知 bn=2 n1，则 nb n=n?2 n1， 则 Tn=120+221+322+n?2 n1， 2Tn=12+222+323+n2n， 由得： Tn=2 0 +2 1 +2 2 +2 3+2n1n?2n= =2 n1n?2n， Tn=（n1）2 n+1 【点评】 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力 18（12 分）（2017? 深圳一模）

27、如图，四边形ABCD 为菱形，四边形 ACEF 为 平行四边形，设 BD 与 AC 相交于点 G，AB=BD=2 ，AE=，EAD=EAB （1）证明：平面 ACEF平面 ABCD ； （2）若 EAG=60 ，求三棱锥 FBDE 的体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定 【分析】（1）连接 EG，说明 BDAC，证明 BDED，推出 BD平面 ACFE， 然后证明平面 ACEF平面 ABCD ； （2）说明点 F 到平面 BDE 的距离为点 C 到平面 BDE 的距离的两倍，利用VF BDE=2VCBDE，转化求解三棱锥FBDE 的体积即可 【解答】 解：（ 1）证明：

28、 连接 EG， 四边形 ABCD 为菱形， AD=AB ，BDAC，DG=GB， 在EAD 和EAB 中， AD=AB ，AE=AE，EAD=EAB， EADEAB， ED=EB， BDED， ACEG=G， BD平面 ACFE， BD? 平面 ABCD， 平面 ACEF平面 ABCD ； （2）EFGC，EF=2GC，点 F 到平面 BDE 的距离为点 C 到平面 BDE 的距 离的两倍， 所以 VFBDE=2VCBDE， 作 EHAC，平面 ACEF平面 ABCD ，EH平面 ABCD ， VCBDE=VEBCD= =， 三棱锥 FBDE 的体积为 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理

29、以及性质定理的应用，几何体的体 积的求法，考查空间想象能力以及计算能力 19（12 分）（ 2017? 深圳一模）某市为了鼓励市民节约用电，实行“ 阶梯式 ” 电 价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200 度的部分按 0.5 元/度收费，超过 200 度但不超过 400 度的部分按 0.8 元/度收费，超过 400 度 的部分按 1.0 元/度收费 （1）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：度）的函数解 析式； （2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1 月份 100 户居民每户 的用电量， 统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这 100

30、户居民中， 今 年 1 月份用电费用不超过260 元的点 80%，求 a，b 的值； （3）在满足（2）的条件下，若以这 100 户居民用电量的频率代替该月全市居民 用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y 为该居民 用户 1 月份的用电费用，求Y 的分布列和数学期望 【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图； 离散型随机变量及其 分布列 【分析】 （1）利用分段函数的性质即可得出 （2）利用（ 1），结合频率分布直方图的性质即可得出 （3）由题意可知 X 可取 50，150，250，350，450，550结合频率分布直方图 的性质即可得出 【解答】 解：（ 1）

31、当 0x200 时，y=0.5x； 当 200x400 时，y=0.5200+0.8（x200）=0.8x60， 当 x400 时，y=0.5200+0.8200+1.0（x400）=x140， 所以 y 与 x 之间的函数解析式为： y= （2）由（ 1）可知：当 y=260时，x=400，则 P（x400）=0.80， 结合频率分布直方图可知：0.1+2100b+0.3=0.8，100a+0.05=0.2， a=0.0015，b=0.0020 （3）由题意可知 X 可取 50，150，250，350，450，550 当 x=50 时，y=0.550=25，P（y=25）=0.1， 当 x=

32、150 时，y=0.5150=75，P（y=75）=0.2， 当 x=250 时，y=0.5200+0.850=140，P（y=140）=0.3， 当 x=350 时，y=0.5200+0.8150=220，P（y=220）=0.2， 当 x=450 时，y=0.5200+0.8200+1.050=310，P（y=310）=0.15， 当 x=550 时，y=0.52000.8200+1.0150=410，P（y=410）=0.05 故 Y 的概率分布列为： Y2575140220310410 P0.10.20.30.20.150.05 所以随机变量 Y 的数学期望 EY=250.1+750.

33、2+1400.3+2200.2+3100.15+4100.05=170.5 【点评】本题考查了分段函数的性质、频率分布直方图的性质、 随机变量的分布 列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 20（12 分）（ 2017? 深圳一模）已成椭圆C： +=1（ab0）的离心率 为其右顶点与上顶点的距离为，过点 P（0，2）的直线 l 与椭圆 C 相交 于 A、B 两点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 M 是 AB 中点，且 Q 点的坐标为（，0），当 QMAB 时，求直线 l 的方程 【考点】 直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程 【分析】 （1）椭圆的离心率为其右顶点与上顶点的

34、距离为，列出方程 组，求出 a=，b= ，由此能求出椭圆C 的方程 （2）若直线 l 的斜率不存在，直线方程为x=0；若直线 l 的斜率存在，设其方程 为 y=kx+2，与椭圆方程联立，得（2+3k 2 ）x 2+12kx+6=0，由此利用根 的判别式、韦达定理、直线垂直，结合已知条件能求出直线l 的方程 【解答】 解：（ 1）椭圆 C： +=1（ab0）的离心率为 其右顶点与上顶点的距离为， 由题意知：，解得 a=，b=， 椭圆 C 的方程为： （2）若直线 l 的斜率不存在， 此时 M 为原点，满足 QMAB，方程为 x=0； 若直线 l 的斜率存在，设其方程为y=kx+2，A（x1 ，y

35、 1），B（x2 ，y 2）， 将直线方程与椭圆方程联立，得（ 2+3k2）x2+12kx+6=0， =72k2480， 设 M（x0，y0），则， 由 QMAB，知，化简得 3k 2+5k+2=0， 解得 k=1 或 k=，将结果代入 =72k2480 验证，舍掉 k=， 此时，直线 l 的方程为 x+y2=0， 综上所述，直线 l 的方程为 x=0 或 x+y2=0 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要 认真审题，注意根的判别式、韦达定理、直线垂直、椭圆等知识点的合理运用 21（12 分）（2017? 深圳一模）已知函数f（x）=（ax+1）lnxax+3

36、，aR，g （x）是 f（x）的导函数， e为自然对数的底数 （1）讨论 g（x）的单调性； （2）当ae时，证明：g（e a） 0； （3）当 ae时，判断函数 f（x）零点的个数，并说明理由 【考点】 利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断 【分析】（1）求导，由导数与函数单调性的关系，即可求得g（x）的单调区间； （2）由 g（e a）=a2+ea，构造函数 h（x）=x2+ex，求导，当 xe 时，h （x） 0，函数单调递增，即可求得h（x）=x2+exe 2+ee 0， （3）由（ 1）可知，函数最小值为g（）=0，故 g（x）恰有两个零点 x1，x2， 则可判断 x1

37、，x2是函数的极大值和极小值，由函数零点的存在定理，求得函数f （x）只有一个零点 【解答】 解：（ 1）对函数 f（x），求导得 g（x）=f（x）=alnx+ ， g（x）=， 当 a0 时，g （x）0，故 g（x）在（ 0，+）上为减函数； 当 a0 时， （x）0，可得 x，故 g（x）的减区间为（ 0，），增区间 为（，+）； （2）证明： g（e a）=a2 +e a ，设 h（x）=x2 +e x，则 h （x）=ex2x， 易知当 xe时，h （x）0，函数 h（x）单调递增， h（x）=x 2+exe2+ee 0， g（e a）0； （3）由（ 1）可知，当 ae时， g（

38、x）是先减再增的函数， 其最小值为 g（）=aln+a=a（ln+1）0， 而此时 g（）=1+，g（e a）0，且 ea ，故 g（x）恰有两个零 点 x1，x2， 当 x（0，x1）时， f （x）=g（x）0； 当 x（x1，x2）时， f （x）=g（x）0； 当 x（x2，+）时， f （x）=g（x）0， f（x）在 x1，x2两点分别取到极大值和极小值，且x1（0，）， 由 g（x1）=alnx1+ =0，知 a=， f（x1）=（ax1+1）lnx1ax1+3=lnx1+ +2， lnx10，lnx1+ 2，但当 lnx1+=2 时，lnx1= ，则 a=e，不合 题意， 所以

39、 f（x1）0，故函数 f（x）的图象与 x 轴不可能有两个交点 函数 f（x）只有一个零点 【点评】本题考查导数的综合应用， 考查导数与函数的单调性及及的关系，考查 函数零点的判断，考查计算能力，属于中档题 选修 4-4：坐标系与参数方程 22（10 分）（2017? 深圳一模）在直角坐标系中xOy 中，曲线 E 的参数方程为 （为参数），以原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系 （1）写出曲线 E 的普通方程和极坐标方程； （2） 若直线 l 与曲线 E 相交于点 A、 B 两点，且 OAOB， 求证： + 为定值，并求出这个定值 【考点】 简单曲线的极坐标方程；参数方程化成

40、普通方程 【分析】 （1）曲线 E 的参数方程消去参数，能求出曲线E 的普通方程，进而能 求出曲线 E 的极坐标方程 （2）不妨设设点 A，B 的极坐标分别为 A（1， ），B（），从而 得到，由此能证明（定值） 【解答】 解：（ 1）曲线 E 的参数方程为（为参数）， 消去参数得曲线E 的普通方程为， 曲线 E 的极坐标方程为， 所求的极坐标方程为3 2cos2 +42sin2=12 （2）证明：不妨设设点 A，B 的极坐标分别为A（1， ），B（）， 则， 即， =，即（定值） 【点评】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化，考查代数式和为定 值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注

41、意普通方程、极坐标方程的互化公 式的合理运用 选修 4-5：不等式选讲 23（2017? 深圳一模）已知 f（x）=| x+a| ，g（x）=| x+3| x （1）当 a=1，解不等式 f（x）g（x）； （2）对任意 x 1，1 ，f（x）g（x）恒成立，求 a的取值范围 【考点】 绝对值不等式的解法；函数恒成立问题 【分析】 （1）把 a=1代入 f（x）后化简 f（x）g（x），对 x 分类讨论，分别 去掉绝对值求出 x 的范围，最后再求并集可得答案； （2）由条件求出 g（x），由绝对值不等式的解法化简| x+a| 3，求出 a 的表达 式，由 x 的范围和恒成立求出a的取值范围 【

42、解答】 解：（ 1）当 a=1，f（x）=| x+1| ， 由f（x）g（x）可得 |x+1| |x+3| x，即|x+3| |x+1| x0， 当 x3 时，原不等式等价于 x20，即 x2，x3， 当3x1 时，原不等式等价于x+40，即 x4， 3x1， 当 x1 时，原不等式等价于 x+20，即 x2， 1x2， 综上所述，不等式的解集为（，2）； （2）当 x 1，1 时，g（x）=| x+3| x=3， 对任意 x 1，1 ，f（x）g（x）恒成立， 对任意 x 1，1 ，| x+a| 3 恒成立， 3x+a3，即 3xa3x，当 x 1，1 时恒成立， a的取值范围 2a2 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，恒成立问题转化为求最值问题，以及分 类讨论思想，考查化简、变形能力