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1、椭圆 一、椭圆的定义、基本性质 ( 一) 椭圆的定义及椭圆的标准方程： 椭圆定义： 平面内一个动点 P 到两个定点 1 F、 2 F的距离之和等于 常数 , 即_ 这个动点 P 的轨迹叫椭圆 . 这两个定点叫椭圆的 焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意： 若)( 2121 FFPFPF，则动点 P 的轨迹为线段 21F F； 若)( 2121 FFPFPF，则动点 P 的轨迹无图形 ( 二) 椭圆的简单几何性： 标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。 标准方程 1 2 2 2 2 b y a x )0(ba1 2 2 2 2 b x a y )0(ba 图形 性质 焦
2、点 焦距 范围 ax，bybx，ay 对称性 关于x轴、 y 轴和原点对称 顶点 轴长 离心率 （离心率越大，椭圆越 _） 【说明】： 1. 方程中的两个参数 a 与 b，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点 F1，F2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a，b，c 都大于零，其中a最大且 a 2 =b 2 +c 2 . 2. 方程 22 AxByC 表示椭圆的充要条件是： ABC 0，且 A，B，C同号，AB。 AB时，焦点在 y 轴上， AB时，焦点在 x 轴上。 练习 题型一 椭圆的定义 1、已知椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为， 则到另一焦点 距离为 _
3、2、已知、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于、 两点， 若，则_ 3、在平面直角坐标中，椭圆的中心为原点，焦点，在 轴上，离心率 为，过的直线 交 C于，两点，且的周长为，那么的方程为 （ ） A. B. C. D. 题型二 椭圆的方程 1、已知，则椭圆的标准方程是（） A. B. C.或 D. 2、如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（） A. B. C. D. 3、已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，若其离心率为，焦距为 ，则该椭圆 的方程是 _ 4、已知两点，动点满足. 求动点 的轨迹方程 5、求与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆方程 6、求离心率为，且过点的椭圆标准方程 题型三
4、 椭圆的性质 1、已知椭圆方程为，则该椭圆的长轴长为 _. 2、椭圆的一个焦点是，那么 等于（ ） A. B. C. D. 3、已知椭圆的焦距为 ，则的值等于（） A. B.或 C.或 D. 5、椭圆的两个焦点为、，过作垂直于轴的直线与椭圆相交， 一个交点为，则到的距离为 ( ) A. B. C. D. 6、设、是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且 ，则的面积为（） A.B.C.D. 7、若椭圆的焦点分别为，弦过点，则的周长为 （） A.B.C.D. 题型三 椭圆的离心率 1、椭圆的焦距为，离心率为，则方程为 ( ) A. B. C.或 D. 2、若椭圆的离心率为，则等于（） A.B.C. 或D
5、. 3、方程的离心率为（） A.B.C.D. 4、已知椭圆的短轴长为，焦点到长轴的一个端点的距离等于，则椭圆的 离心率等于 _ 5. 已知椭圆)0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的左焦点为 F ，右顶点为 A，点 B在椭圆上， 且xBF轴， 直线 AB 交 y 轴于点 P 若PBAP2，则椭圆的离心率是 （） A 2 3 B 2 2 C 3 1 D 2 1 6 在ABC中， BC 的斜率为 4 3 ， 0 90A若以BA,为焦点的椭圆经过点 C ，则 椭圆的离心率为 7. 直线022:yxl过椭圆的左焦点 1 F和上顶点 B ，该椭圆的离心率为 ( ) A. 1 5 B. 2 5
6、C. 5 5 D. 2 5 5 二、直线与椭圆的位置关系 ： 设直线 l 的方程为： Ax+By+C=0 ，椭圆1 2 2 2 2 b y a x （ab0），联立组成方程 组，消去 y( 或 x) 利用判别式的符号来确定： （1）相交：0直线与椭圆相交；（ 2）相切：0直线与椭圆相切； （3）相离：0直线与椭圆相离； 练习： 1、直线和椭圆有公共点，则的取值范围是（） A.或 B. C.或D. 2、直线与椭圆有且只有一个公共点， 则的值是（ ） A. B. C. D. 3、直线与椭圆的位置关系是 ( ) A.相交 B.相离 C.相切 D.无法判断 4、已知椭圆与直线相交于两点，过中点 与坐标
7、原点的直线的斜率为，则( ) A. B. C. D. 5、椭圆的焦点在轴上，焦距为 ，直线与椭圆交于、 两 点，是左焦点，且，则椭圆的标准方程是 _ 6、已知椭圆，过椭圆上一点作倾斜角互补的两条直 线、，分别交椭圆于、两点. 则直线的斜率为 _ 7、过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、 两点，是 右焦点，求的面积 8 已知椭圆的左焦点及点，原点到直线 的距离为. (1) 求椭圆的离心率；(2) 若点关于直线 的对称点在圆上，求椭圆的方程及点的坐标 三、弦长公式： 若直线 AB:ykxb与椭圆标准方程 :1 2 2 2 2 b y a x )0(ba相交于两点 11 (,)A x y、 22
8、 (,)B xy， 把 AB所在直线方程 y=kx+b，代入椭圆方程1 2 2 2 2 b y a x 整理得： Ax 2+Bx+C=0 。 弦长公式： 21 2 21 2 21 2 4)(11xxxxkxxkAB a k 2 1（含 x 的方程） 练习 1、椭圆，与直线相交于、 两点，是的中点若 ，的斜率为 (为原点 ) ，试确定椭圆的方程 2、设是过椭圆的一个焦点的弦，若线段的长为，则 直线的斜率可以为 ( ) A.B.C.D. 四、圆锥曲线的中点弦问题：中点弦问题常用 “韦达定理”或“点差法”求解。 22 22 22 22 12 12 22 1122 22 12 0 00 12 0 11
9、 22 12121212 22 2 12 2 12 1 1 0 ,1(0) 2 2 1 2 AB xy ab xy ab yy xx xy AxyBxyab ab xx x ABxyAB yy y xxxxyyyy ab xxb ayy 设是椭圆上不重合的两点， 则， 两式相减得 所以 ， 直线的斜率k， M，是线段的中点坐标， AB1 式可以解决与椭圆弦的斜率及中点有关的问题， 此法称为点差法( 设而不求) 练习 1、直线交椭圆于两点，过原点与线段中点 直线的斜率为，则_ 2、已知椭圆，过点的直线与椭圆交于、两点，若 点恰为线段的中点，则直线的方程为 _ 3、已知一直线与椭圆相交于两点，弦的中点坐标为 ，求直线的方程