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1、专题六二次函数与综合应用 年份题型考点题号分值难易度 2017 选择题、解答 题 二次函数的图 像、二次函数 的实际应用 15、26 21214 中等题、较难 题 2016解答题 二次函数的图 像和性质 26 12 较难题 2015解答题 二次函数表达 式的确定及性 质 25 11 较难题 命题规律 纵观河北中考，二次函数几乎都出现在压轴题位置上，且难度大，但第 (1) 、 (2) 小问还是比较容易得分的，而最后一问很难做对此专题就是针 对它设计的，在复习时要鼓励学生尽量做好第(1) 、(2) 小问甚至第 (3) 问预测2018年可能还出现在压轴题的位置上. 解题策略 此专题多以压轴题出现，特
2、别最后一问很难，但第(1)(2)两问 比较容易得分，学生应该尽力使这两问不丢 分 , 重难点突破 ) 二次函数的实际应用 【例 1】(2016 石家庄中考模拟) 天猫网某店铺销售新疆薄皮核桃，这种食品是健脑的佳品，它的成本价为20 元 /kg，经市场调查发现，该产品每天的销售利润w(元) 与销售价x( 元/kg) 有如下关系： wax 2bx1 600 ，当 销售价为22 元/kg时，每天的销售利润为72 元；当销售价为26 元/kg时，每天的销售利润为168 元 (1) 求该产品每天的销售利润w(元) 与销售价 x( 元 /kg) 的关系式； (2) 当销售价定为24 元/kg，该产品每天的
3、销售利润为多少元？ (3) 如果该店铺的负责人想要在销售价不超过32 元的情况下每天获得150 元的销 售利润，销售价应定为每千 克多少元？ (4) 如果物价部门规定这种产品的销售价不高于29 元/kg，此店铺每天获得的最大利润为多少元？ 【解析】 (1) 根据题意可求出y 与 x 的二次函数关系式；(2) 将 x24 代入 w 2x 2 120x1 600 中计算所 得利润； (3) 将 w150 代入 w 2x 2 120x1 600 150 中计算出定价； (4) 由二次函数表达式可知w 2x 2 120x1 600 2(x 30) 2200，所以当 x29 时利润最大 【答案】解：(1
4、) 依题意，把 (22 ，72) ，(26， 168) 代入 wax 2 bx160，得 72a22 2b22 1 600 ， 168a26 2b26 1 600. 解得 a 2， b120. 该产品每天的销售利润w(元) 与销售价x( 元 /kg) 的关系式为w 2x 2120x1 600 ； (2) 当 x 24 时，有 w224 212024 1 600 128.当销售价定为 24 元 /kg时，该产品每天的销售利 润为 128 元； (3) 当 w150 时，有w 2x 2120x1 600 150. 解得 x 125，x235. x32， x25. 定价为25 元 /kg； (4)w
5、 2x 2120x 1 600 2(x 30)2200. 又物价部门规定这种产品的销售价不高于 29 元 /kg，当 x29 时， w随 x 的增大而增大，当x29 元时，利润最大，为w 2(29 30) 2200198( 元) 【方法指导】 正确建立二次函数模型，利用配方法和二次函数的性质结合自变量的取值范围，求出最佳方案 1(2016 张家口一模 ) 某企业生产的一批产品上市后30 天内全部售完，调查发现，国内市场的日销售量y1(t) 与时间 t(t为整数，单位：天) 的关系 如图所示的抛物线的一部分，而国外市场的日销售量y2(t)与时间t(t为 整数，单位：天) 的关系如图所示. (1)
6、 求 y1与时间 t 的函数关系式及自变量t 的取值范围，并直接写出y2与 t 的函数关系式及自变量t 的取值 范围； (2) 设国内、国外市场的日销售总量为y t，直接写出y 与时间 t 的函数关系式，当销售第几天时，国内、外 市场的日销售总量最早达到75 t? (3) 判断上市第几天国内、国外市场的日销售总量y 最大，并求出此时的最大值 解： (1) 设 y1at 2 bt ，把点 (30 ，0) 和(20 ，40) 代入得， 900a30b 0， 400a20b 40. 解得 a 1 5， b6. y1 1 5t 26t(0 t 30， t 为整数 ) 设 y2kt b，当 0t20(
7、舍) 即销售第15 天时，国内、外市场的日销售总量最早达到75 t； (3) 当 0t 20 时， y 1 5t 2 8t 1 5(t 20) 280. 此时， y 随 t 的增大而增大 t为整数，当t 19 时， y 最大，为79.8 t当20t 3 0 时， y 1 5t 22t 120 1 5(t 5) 2 125.当 t 75 时， y 随 t 的增大而减小， 当 t 20 时， y 的最大，为80 t. 综上所述，上市后第20 天国内、国外市场日销售总量y 值最大，最大值为80 t. 【方法指导】 先根据题意列函数关系式，建立二次函数模型，再解决实际问题 二次函数图像综合问题 【例
8、2】(2016 河北中考 ) 如图，抛物线L：y 1 2(x t)(x t 4)( 常数 t 0)与 x 轴从左到右的交点为B， A，过线段OA的中点 M作 MP x轴，交双曲线y k x (k 0，x 0) 于点 P，且 OA MP 12. (1) 求 k 值； (2) 当 t 1 时，求 AB的长，并求直线MP与 L 对称轴之间的距离； (3) 把 L 在直线 MP左侧部分的图像(含与直线MP的交点 ) 记为 G，用 t 表示图像G最高点的坐标； (4) 设 L 与双曲线有个交点的横坐标为x0，且满足4x06，通过 L 位置随 t 变化的过程，直接写出t 的取值 范围 【解析】 (1) 设
9、点 P(x，y) ，只要求出xy 即可解决问题；(2) 先求出 A，B两点的坐标，再求出对称轴以及点M 坐标即可解决问题；(3) 根据对称轴的位置即可判断，当对称轴在直线MP左侧， L 的顶点就是最高点，当对称轴 在 MP右侧， L 与 MP的交点就是最高点；(4) 画出图形求出C，D两点的纵坐标，利用方程即可解决问题 【答案】解：(1) 设点 P(x，y) ，则 MP y ，OM x.OA2x. OA MP 12， M是 OA的中点， 2xy12，即 xy6； k xy6. (2) 当 t 1 时，令 y0，即 0 1 2(x 1)(x 3) ， 解得 x1 或 3. 点 B在点 A左边，
10、B(3，0) ，A(1， 0) AB 4， L 的对称轴是直线x 1， M的坐标为 ( 1 2 ，0) ， 1 2 ( 1) 3 2， MP与 L 对称轴之间的距离为 3 2； (3) A(t ， 0) ，B(t 4，0) ， L 的对称轴为直线xt2. 又M t 2，0 ， 当 t 2 t 2，即 t 4 时，顶点 (t 2，2) 就是 G的最高点； 当 t 4 时， L 与 MP的交点为最高点 联立 y 1 2（ xt ）（ xt 4）， xt 2， 解得 xt 2， y t 2 8 t. 即此时的最高点为 t 2， t 2 8 t ； (4)5 t 82或 7t 82. 2(2017 天
11、水中考 ) 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线yax 22ax3a(a0) 与 x 轴交于 A，B 两点 ( 点 A在点 B的左侧 ) ，经过点A的直线 l ：ykxb 与 y 轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且 CD 4AC. (1) 求 A， B两点的坐标及抛物线的对称轴； (2) 求直线 l 的函数表达式；( 其中 k，b 用含 a 的式子表示 ) (3) 点 E是直线 l 上方的抛物线上的动点，若ACE 的面积的最大值为 5 4，求 a 的值； (4) 设 P 是抛物线对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A，D，P，Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若 能，求出点
12、P的坐标；若不能，请说明理由 解： (1) 当 y0 时， ax 22ax3a0，解得： x 1 1， x2 3， A(1， 0) ，B(3，0) ，对称轴为直线x 13 2 1； (2) 直线 l ：y kxb 过 A(1，0) ， 0 kb，即 kb，直线l ：ykxk. CD 4AC ，点 A的横坐标为1， 点 D的横坐标为4，代入抛物线得y5a， 将 (4，5a) 代入 ykxk 得 ka， 直线 l 的函数表达式为yaxa； (3) 如图，过E作 EF y轴交直线l 于 F，设 E(x ，ax 22ax3a) ，则 F(x ，axa) ，EF ax22ax3a axa ax 23ax
13、4a， S ACESAFE S CEF 1 2(ax 23ax4a)(x 1) 1 2(ax 2 3ax 4a)x 1 2(ax 23ax4a) 1 2 a(x 3 2) 225 8 a， ACE的面积的最大值为 25 8 a. ACE的面积的最大值为 5 4， 25 8 a5 4，解得 a 2 5； (4) 以点 A，D，P，Q为顶点的四边形能成为矩形 由(2) 知， D(4，5a) 抛物线的对称轴为直线x1，设 P(1，m) 如图，连接AP.若 AD是矩形 ADPQ 的一条边，由中点公式可得 1 2(x AxP) 1 2(x DxQ)，解得xQ 4，将 x 4 代入 yax 22ax3a
14、得 y21a， Q(4，21a)，m 21a5a26a，则 P(1，26a) 四边形ADPQ 是矩形， ADP 90， AD 2PD2 AP2， 5 2(5a)2 32 (26a5a)2( 11)2(26a)2， 解得 a1 7 7 ( 不合题意，舍去) ，a2 7 7 . P(1， 267 7 ) ； 如图，若AD是矩形 APDQ 的对角线，由中点公式得 1 2(x AxD) 1 2(x QxP) ，解得： xQ2， 将 xQ2 代入 yax 22ax3a 得 y 3a， Q(2， 3a) ，m 5a( 3a) 8a，则P(1，8a) 四边形APDQ是矩形，APD 90， AP 2 PD 2 AD 2， ( 11)2(8a)2(1 4)2(8a 5a)2 5 2(5a)2，解得 a 1 1 2( 不合题意，舍去 ) ，a2 1 2. P(1， 4) 综上所述，以点A，D，P，Q 为顶 点的四边形能成为矩形，点P 的坐标为 1， 267 7 或(1 ， 4)