2018-2019学年宁波市海曙区九年级上期末数学试卷(含答案解析).pdf

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1、2018-2019 学年浙江省宁波市海曙区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题4 分，共 48 分） 1（ 4 分）相似三角形的面积之比为2：1，则它们的相似比为（） A4：1B3：1C2：1D：1 2（ 4 分）下列事件中，属于必然事件的是（） A在标准大气压下，气温2C 时，冰融化为水 B任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上的一面的点数为1 C在只装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球 D在一张纸上随意画两个直角三角形，这两个直角三角形相似 3（ 4 分）如图所示，ABC 中， BAC30，将 ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 50， 对应得到 ABC，则 BAC 的度数为（）

2、 A30B50C20D40 4（ 4 分）已知一条圆弧的度数为60，半径为 6cm，则此圆弧长为（） A cmB2 cmC4 cmD6 cm 5（4 分）如图，在84 的正方形网格中，若 ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则 tanACB 的值为（） A B C D 6（4 分）如图，点P 为直径 BA 延长线上一点， PC 切O 于 C，若的度数等于 120， 则 ACP 的度数为（） A40B35C30D45 7（ 4 分）把抛物线y（ x+1） 2+3 的图象先向右平移 3 个单位，再向下平移2 个单位， 所得的图象解析式是（） Ay（ x2） 2+1 By（ x+2） 2+1 Cy

3、（ x+4） 2+1 Dy（ x+4） 2+5 8（ 4 分）如图，四边形ABCD 内接于 O， DAB140，连接 OC，点 P 是半径OC 上一点，则BPD 不可能为（） A40B60C80D90 9（ 4 分）如图，把矩形ABCD 折叠，点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF，则 sinEAD 等于（） ABCD 10（ 4 分）如图，四边形ABCD 内接于直径为1 厘米的 O，若 BAD 90， BC a 厘 米， CDb 厘米，则下列结论正确的有（） sinBACa， cosBACb， tanBAC A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 11（ 4 分）如图， O 与 的两

4、边相切，若 60，则图中阴影部分的面积S 关于 O 的半径 r 的函数图象大致是（） AB C D 12（ 4 分）定义符号mina，b的含义：当a b 时， mina，bb；当 ab 时， mina， b a，如 min1， 4 4，min 6， 2 6，则 min x2+2， 2x的最大值为 （） A2 2 B +1C1D2+2 二、填空题（每小题4 分，共 24 分） 13（ 4 分）箱子里有7 个白球、 3 个红球，它们仅颜色不同，从中随机摸出一球是白球的 概率是 14 （4 分）若线段 c 是线段 a、b 的比例中项， 且 a4 厘米，b25 厘米，则 c厘 米 15（ 4 分）已知

5、 ABC 中， CRt， AC3，BC4，以点 C 为圆心， r 为半径画圆， 使得点 A 在C 内，点 B 在C 外，则半径r 的取值范围是 16（ 4 分）一直角三角形的两条直角边长分别为6 和 8，则它的内切圆半径为 17（ 4 分）如图， A 的圆心 A 在 O 上， O 的弦 PQ 与A 相切于点B，若 O 的直径 AC10，AB2，则 AP?AQ 的值为 18（4 分）如图， 矩形 ABCD 中，AB4，AD 6，E 为射线 BC 上一动点 （不与 C 重合） ， CDE 的外接圆交AE 于 P，若 CP CD，则 AP 的值为 三、解答题（第19 题 6 分，第 20、21 题每

6、题 8 分，第 22、23、24 题每题 10 分，第 25 题 12 分第 26 题 14 分，共 78 分） 19（ 6 分）（ 1）tan60 cos45； （2）若，求的值 20（ 8 分）如图电路图上有四个开关A、B、C、D 和一个小灯泡，闭合开关 D 或同时 闭合开关A，B，C 都可使小灯泡发光 （1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于； （2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率 21 （8 分）如图， 为一圆洞门 工匠在建造过程中需要一根横梁AB 和两根对称的立柱CE、 DF 来支撑，点A、B、C、D 在O 上，CEAB 于 E，DF A

7、B 于 F，且 AB2，EF ，120 （1）求出圆洞门O 的半径； （2）求立柱CE 的长度 22（ 10 分）如图，一艘潜水器在海面DF 下 600 米 A 点处测得俯角为 30正前方的海底 C 点处有黑匣子（即EAC30），继续在同一深度直线航行 1400 米到 B 点处测得正 前方 C 点处的俯角为45（即 EBC45）求海底 C 点处距离海面DF 的深度（结 果保留根号） 23（ 10 分）如图， ABC 内接于 O，AC 是O 直径， D 是的中点，过点D 作 CB 的 垂线，分别交CB、 CA 延长线于点F、E （1）判断直线 EF与O的位置关系，并说明理由； （2）若 sinE

8、，求 AB：EF 的值 24（ 10 分）我们定义：三边之比为1：的三角形叫神奇三角形 （1）如图一，ABC 是正方形网格中的格点三角形，假设每个小正方形的边长为1，请证 明 ABC 是神奇三角形，并直接写出ABC 的度数； （2）请你在下列25 的正方形网格中（图二）分别画出一个与（1）中 ABC 不全等的大 小各不同的格点神奇三角形 25（ 12 分）有一家网红私人定制蛋糕店，她家的蛋糕经常供不应求，但每日最多只能做 40 只蛋糕，且每日做好的蛋糕全部订售一空已知做x 只蛋糕的成本为 R 元，售价为每 只 P 元，且 R、P 与 x 的关系式为R500+30x，P1702x，设她家每日获得

9、的利润为 y 元 （1）销售 x只蛋糕的总售价为元（用含 x 的代数式表示），并求y 与 x 的函数关系 式； （2）当每日做多少只蛋糕时，每日获得的利润为1500 元？ （3）当每日做多少只蛋糕时，每日所获得的利润最大？最大日利润是多少元？ 26（ 14 分）如图，抛物线y（ x+1）（x3）与 x 轴分别交于点 A、B（点 A 在 B 的右 侧），与y 轴交于点C，P 是 ABC 的外接圆 （1）直接写出点A、B、C 的坐标及抛物线的对称轴； （2）求 P 的半径； （3）点 D 在抛物线的对称轴上，且BDC 90，求点D 纵坐标的取值范围； （4）E 是线段 CO 上的一个动点，将线段A

10、E 绕点 A 逆时针旋转45得线段AF，求线段 OF 的最小值 2018-2019 学年浙江省宁波市海曙区九年级（上）期末数 学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题4 分，共 48 分） 1（ 4 分）相似三角形的面积之比为2：1，则它们的相似比为（） A4：1B3：1C2：1D：1 【分析】 根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答 【解答】 解：若两个相似三角形的面积比为2：1，则它们的相似比为：1 故选： D 【点评】 此题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面 积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比 都等于相

11、似比 2（ 4 分）下列事件中，属于必然事件的是（） A在标准大气压下，气温2C时，冰融化为水 B任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上的一面的点数为1 C在只装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球 D在一张纸上随意画两个直角三角形，这两个直角三角形相似 【分析】 直接利用必然事件以及随机事件的定义分别分析得出答案 【解答】 解： A、在标准大气压下，气温2C 时，冰融化为水，是必然事件，故此选项正 确； B、任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上的一面的点数为1，是随机事件，故 此选项错误； C、在只装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球，是随机事件，故此选项错误； D、在一张纸上随意画

12、两个直角三角形，这两个直角三角形相似，是随机事件，故此选项错 误； 故选： A 【点评】 此题主要考查了随机事件，正确把握相关定义是解题关键 3（ 4 分）如图所示，ABC 中， BAC30，将 ABC 绕点 A 顺时针方向旋转50， 对应得到 ABC，则 BAC 的度数为（） A30 B50 C20 D40 【分析】 根据旋转的性质可得BAB CAC 50，即可求BAC 的度数 【解答】 解：旋转 BAB50，且 BAC30 BAC20 故选： C 【点评】 本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键 4（ 4 分）已知一条圆弧的度数为60，半径为6cm，则此圆弧长为（）

13、A cmB2 cmC4 cmD6 cm 【分析】 根据弧长公式 l 进行解答 【解答】 解：此圆弧长为lcm， 故选： B 【点评】 本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键 5（4 分）如图，在84 的正方形网格中，若ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则 tanACB 的值为（） ABCD 【分析】 结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解 【解答】 解：由图形知：tanACB， 故选： B 【点评】 本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义 6（4 分）如图，点P 为直径 BA 延长线上一点，PC 切O 于 C，若的度数等于120， 则 ACP 的度

14、数为（） A40 B35 C30 D45 【分析】 连接 OC，由的度数等于120知 AOC 60，根据OC OA 可得 AOC 是 等边三角形，从而知ACO60，再根据PC 切O 于 C 知 PCO90，据此可得 答案 【解答】 解：如图，连接OC， 的度数等于120， BOC120， AOC60， OAOC， AOC 是等边三角形， ACO60， PC 切O 于 C， PCO90， ACP30， 故选：C 【点评】 本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切 点的半径，也考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质 7（ 4 分）把抛物线y（ x+1） 2+3 的

15、图象先向右平移 3 个单位，再向下平移2 个单位， 所得的图象解析式是（） Ay（ x2） 2+1 By（ x+2） 2+1 Cy（ x+4） 2+1 Dy（ x+4） 2+5 【分析】 直接利用二次函数的平移规律进而得出答案 【解答】 解：把抛物线y（ x+1） 2+3 的图象先向右平移 3 个单位，得到：y（ x2） 2+3 再向下平移2 个单位， 所得的图象解析式是：y（ x2） 2+1 故选： A 【点评】 此题主要考查了二次函数的几何变换，正确掌握平移规律是解题关键 8（ 4 分）如图，四边形ABCD 内接于 O， DAB140，连接 OC，点 P 是半径OC 上一点，则BPD 不可

16、能为（） A40B60C80D90 【分析】 连接 OD、 OB， 根据圆内接四边形的性质求出DCB，根据圆周角定理求出BOD， 求出 BPD 的范围，即可解答 【解答】 解：连接 OD、 OB， 四边形 ABCD 内接于 O， DCB180 DAB 40， 由圆周角定理得，BOD2DCB80， 40 BPD80， BPD 不可能为90， 故选： D 【点评】 本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理， 掌握圆内接四边形的对角互补是 解题的关键 9（ 4 分）如图，把矩形ABCD 折叠，点 B 恰好落在CD 边的中点 E 处，折痕为AF，则 sinEAD 等于（） A B C D 【分析】

17、根据折叠的性质得到AEAB， EAF FAB，在 RtADE 中， AE2DE，根据 含 30的直角三角形三边的关系得到DAE30，进而解答即可 【解答】 解：纸片ABCD 为矩形， ABCD， 矩形纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在 CD 边的中点E 处，折痕为AF， AEAB， EAF FAB， 而 E 为 DC 的中点， AE2DE， 在 RtADE 中， AE2DE， EAD30， sinEAD， 故选： B 【点评】 本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等 10（ 4 分）如图，四边形ABCD 内接于直径为 1 厘米的 O，若 BAD 90， BC a

18、 厘 米， CDb 厘米，则下列结论正确的有（） sinBACa， cosBACb， tanBAC A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【分析】 根据题意和图形可以得到BDC 的三角函数值，然后根据圆周角相等，即可得到 BAC 的三角函数值，即可解答本题 【解答】 解：连接 BD， BAD90， BD 是 O 的直径， BCD90， BDC BAC， BCa 厘米， CDb 厘米， O 的直径为1 厘米， sinBDCa，cosBDCb，tanBDC ， sinBACa，故 正确， cosBACb，故 正确， tanBAC，故 错误， 故选： C 【点评】 本题考查圆周角定理、解直角三角形

19、，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合 的思想解答 11（ 4 分）如图， O 与 的两边相切，若 60，则图中阴影部分的面积S 关于 O 的半径 r 的函数图象大致是（） A B C D 【分析】 过 O 点作两切线的垂线，垂足分别为A、B，连接 OP，如图，利用切线的性质得 OAOBr，根据切线长定理得到APO BPO30，则 AP OA r，再利 用四边形内角和计算出AOB120，接着利用扇形面积公式得到S（ ）r2 （r 0），然后根据解析式对各选项进行判断 【解答】 解：过 O 点作两切线的垂线，垂足分别为A、B，连接 OP，如图， 则 OAOBr， APO BPO30， APOA

20、 r， OAP OBP 90， AOB180 180 60 120， SS 四边形AOBPS扇形AOB 2r?r （ ）r 2（r0）， 故选： C 【点评】 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了二次函数的图 象 12（ 4 分）定义符号mina，b的含义：当 a b 时， mina，bb；当 ab 时， mina， b a，如 min1， 4 4，min 6， 2 6，则 min x2+2， 2x的最大值为 （） A2 2 B +1C1D2+2 【分析】 根据题意和题目中的新定义，利用分类讨论的方法，可以求得min x2+2， 2x 的最大值，本题得以解决 【解答】 解

21、：当 x2+2 2x 时， 解得， 1x1+， 当 1 x1+时， min x2+2， 2x 2x，此时，当x1 时， 2x 取得 最大值 2+2； 当 x2 +2 2x 时， 解得， x1或 x1+， 当 x 1或 x1+时，minx2+2，2x x2+2，此时，当 x1 时，x2+2 取得最大值2+2； 由上可得， minx2+2， 2x的最大值为 22， 故选： A 【点评】 本题考查二次函数的性质、新定义、实数大小比较，解答本题的关键是明确题意， 利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答 二、填空题（每小题4 分，共 24 分） 13（ 4 分）箱子里有7 个白球、 3 个红球，它们仅颜

22、色不同，从中随机摸出一球是白球的 概率是 【分析】 用白球的个数除以球的总个数即可 【解答】 解：箱子里有7 个白球、 3个红球， 从中随机摸出一球是白球的概率是 故答案为 【点评】 此题考查了概率公式的应用用到的知识点为： 概率所求情况数与总情况数之比 14（4 分）若线段c 是线段 a、b 的比例中项，且a4 厘米， b25 厘米，则 c10厘 米 【分析】 根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负 【解答】 解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段 的乘积 所以 c2425，解得 c 10（线段是正数，负值舍去）， c10cm， 故答案

23、为： 10 【点评】 本题考查比例线段、比例中项等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考 常考题型 15（ 4 分）已知 ABC 中， CRt， AC3，BC4，以点 C 为圆心， r 为半径画圆， 使得点 A 在C 内，点 B 在C 外，则半径r 的取值范围是3r4 【分析】 根据勾股定理得到AC5，点 A 在C 外，点 B 在C 内，则 r 的取值 范围是 3r4 【解答】 解： ABC 中， C90， AC3，BC4， AC5， r 的取值范围是3r4 故答案为： 3r4 【点评】 本题考查了对点与圆的位置关系的判断设点到圆心的距离为d，则当 dR 时， 点在圆上；当dR 时，点在

24、圆外；当dR 时，点在圆内判断这三点与圆的位置关系 是解决本题的关键 16（ 4 分）一直角三角形的两条直角边长分别为6 和 8，则它的内切圆半径为2 【分析】 如图，作辅助线，首先证明四边形ODCF 为正方形；求出AB 的长度；证明AF AE，BDBE 问题即可解决 【解答】 解：如图， O 内切于直角ABC 中，切点分别为D、 E、F； 其中 AC8，BC6；连接 OD、OF； 则 OD BC，OFAC；ODOF； C90， 四边形 ODCF 为正方形， CDCFR（R 为O 的半径）； 由勾股定理得： AB2AC 2+BC236+64100， AB10；由切线的性质定理的： AFAE，B

25、DBE； CD+CFAC+BCAB 6+8104， R2， 它的内切圆半径为 2 【点评】 该题主要考查了三角形的内切圆的性质、勾股定理等几何知识点的应用问题；解题 的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、解答 17（ 4 分）如图， A 的圆心 A 在 O 上， O 的弦 PQ 与A 相切于点B，若 O 的直径 AC10，AB2，则 AP?AQ 的值为20 【分析】 连接QC，根据圆周角定理、切线的性质定理得到ABP AQC，证明 ABP AQC，根据相似三角形的性质定理计算即可 【解答】 解：连接 QC， PQ 与 A 相切于点 B， ABP90， AC 为O 的直径， AQC90， ABP

26、 AQC，又 APB ACQ， ABP AQC， ， AP?AQAB?AC20， 故答案为： 20 【点评】 本题考查的是圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似 三角形的判定定理和性质定理是解题的关键 18（4 分）如图， 矩形 ABCD 中，AB4，AD 6，E 为射线 BC 上一动点 （不与 C 重合） ， CDE 的外接圆交AE 于 P，若 CP CD，则 AP 的值为 【分析】 连接 PD，如图，利用圆周角定理证明EPD90， CDP CED，再证明 AEB CED，则可判断ABE DCE，所以 BE CEBC3，再利用勾股定理计 算出 AE，然后证明RtADPR

27、t EAB，从而利用相似比可计算出AP 的长 【解答】 解：连接 PD，如图， ECD90， DE 为直径 EPD90， CPCD， CDP CED ， AEB CDP， AEB CED， ABCD， B ECD， ABE DCE， BECEBC3， 在 RtABE 中， AE5， ADBC， BEA DAE， RtADPRtEAB， ，即， AP 故答案为 【点评】 本题考查了三角形外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线 的交点，叫做三角形的外心也考查了矩形的性质、圆周角定理和相似三角形的判定与 性质 三、解答题（第19 题 6 分，第 20、21 题每题 8 分，第 22

28、、23、24 题每题 10 分，第 25 题 12 分第 26 题 14 分，共 78 分） 19（ 6 分）（ 1）tan60 cos45； （2）若，求的值 【分析】 （1）将三角函数值代入计算可得； （2）由知 y3x，代入计算可得 【解答】 解：（ 1）原式3 12； （2）， y3x， 则原式 【点评】 本题主要考查比例的性质，解题的关键是掌握实数的运算与比例的基本性质 20（ 8 分）如图电路图上有四个开关A、B、C、D 和一个小灯泡，闭合开关D 或同时 闭合开关A，B，C 都可使小灯泡发光 （1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于； （2）任意闭合其中两个开关，请用画树

29、状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率 【分析】 （1）根据概率公式直接填即可； （2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求 出该事件的概率 【解答】 解：（ 1）有 4 个开关，只有D 开关一个闭合小灯发亮， 所以任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率是； （2）画树状图如右图： 结果任意闭合其中两个开关的情况共有12 种， 其中能使小灯泡发光的情况有6种， 小灯泡发光的概率是 【点评】 本题是跨学科综合题，综合物理学中电学知识，结合电路图， 正确判断出灯泡发光 的条件，主要考查概率的求法用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 21 （8 分）如图

30、， 为一圆洞门 工匠在建造过程中需要一根横梁AB 和两根对称的立柱CE、 DF 来支撑，点A、B、C、D 在O 上，CEAB 于 E，DF AB 于 F，且 AB2，EF ，120 （1）求出圆洞门O的半径； （2）求立柱CE 的长度 【分析】 （1）作 OHAB 于 H，连接OB、OA在 RtBOH 中，解直角三角形即可解决 问题； （2）作 OM EC 于 M，连接 OC在 RtOMC 中，解直角三角形即可； 【解答】 解：（ 1）作 OHAB 于 H，连接 OB、 OA 的度数为 120， AOBO， BOH120 60， AHBH， 在 RtBOH 中， sinBOH， OB2，即圆洞

31、门 O 的半径为2； （2）作 OM EC 于 M，连接 OC RtBOH 中， OH1， EH，易证四边形OMEH 是矩形， OMEH，MEOH1， 在RtOMC中，CM， CEME+CM1+， 立柱 CE 的长度为 【点评】 本题考查垂径定理的应用、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学 会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型 22（ 10 分）如图，一艘潜水器在海面DF 下 600 米 A 点处测得俯角为30正前方的海底 C 点处有黑匣子（即EAC30），继续在同一深度直线航行1400 米到 B 点处测得正 前方 C 点处的俯角为45（即 EBC45）求海底

32、 C 点处距离海面DF 的深度（结 果保留根号） 【分析】 作 CMDF 于 M，交 AB 于 N 点，如图，设CNx，在 RtBCE 中利用正切定义 得到 BNCNx，在 RtACN 中，利用 A 的正切得到tan30，解得 x700+700，然后计算CN+MN 即可 【解答】 解：作 CMDF 于 M，交 AB 于 N 点，如图， 则 MN 600，AB1400， NAC30， NBC45， 设 CNx， 在 RtBCE 中， tanNBCtan45， BNCNx， 在 RtACN 中， tanNAC， tan30，解得 x700+700， CMCN+MN700+700+600 700+1

33、300 答：海底 C 点处距离海面DF 的深度为（ 700+1300）m 【点评】 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关 系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高 或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把 实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决 23（ 10 分）如图， ABC 内接于 O，AC 是O 直径， D 是的中点，过点D 作 CB 的 垂线，分别交CB、 CA 延长线于点F、E （1）判断直线EF 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若 sinE，求 AB：EF 的值

34、【分析】 （1）先判断出 CBA 为直角，再判断出F 为直角，进而得出AB 与 EF 平行，再 由 D 为的中点，利用垂径定理的逆定理得到OD 垂直于 AB，即可得出结论； （2）根据角 E 的正弦值，设出ODOCOBOA5x，则得出 CA10x，CE 13x，进而 得出 CE18x，最后判断出ABC ECF 即可得出结论 【解答】 解：（ 1）直线 EF 与圆 O 相切，理由为： 连接 OD，如图所示： AC 为圆 O 的直径， CBA90， 又 F 90， CBA F90， ABEF， AMO EDO， 又 D 为的中点， ， ODAB， AMO90， EDO90， EF 过半径 OD 的

35、外端， 则 EF 为圆 O 的切线， （2）在 RtODE 中， sinE， 设 OD OCOA5x， CA10x，OE 13x， CE18x， EFAB， ABC ECF， 【点评】 此题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与 性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握性质与定理是解本题的关键 24（ 10 分）我们定义：三边之比为 1： ：的三角形叫神奇三角形 （1）如图一，ABC 是正方形网格中的格点三角形，假设每个小正方形的边长为1，请证 明 ABC 是神奇三角形，并直接写出ABC 的度数； （2）请你在下列25 的正方形网格中（图二）分别画出一个与（1）中 AB

36、C 不全等的大 小各不同的格点神奇三角形 【分析】 （1）利用勾股定理分别计算出BC、AB、AC 的长度， 计算出三边的比例可得答案； （2）根据相似三角形作图可得 【解答】 解：（ 1）由勾股定理得BC、AB2、AC， BC：AB：AC：2：1：， ABC 是神奇三角形，ABC135； （2）如图所示： 【点评】 本题主要考查作图应用与设计作图，解题的关键是掌握勾股定理与相似三角形的 定义 25（ 12 分）有一家网红私人定制蛋糕店，她家的蛋糕经常供不应求，但每日最多只能做 40 只蛋糕，且每日做好的蛋糕全部订售一空已知做x 只蛋糕的成本为R 元，售价为每 只 P 元，且 R、P 与 x 的

37、关系式为R500+30x，P1702x，设她家每日获得的利润为 y 元 （1）销售 x只蛋糕的总售价为（ 2x2+170x） 元（用含 x 的代数式表示），并求y 与 x 的函数关系式； （2）当每日做多少只蛋糕时，每日获得的利润为1500 元？ （3）当每日做多少只蛋糕时，每日所获得的利润最大？最大日利润是多少元？ 【分析】 （1）利用总售价销售单价销售数量可得，再根据每日利润总售价做 x 只 蛋糕的成本可得y 关于 x 的解析式； （2）求出 y1500时x的值即可得； （3）将所得函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解可得 【解答】 解：（ 1）销售 x 只蛋糕的总售价为（17

38、0 2x）x 2x2+170x（元）， 根据题意，得：y（ 2x2+170x）（ 500+30x） 2x2+140x500， 故答案为：（2x2+170x）； （2）当 y1500 时，得： 2x2+140x5001500， 解得： x120、x250， x40， x20， 即当每日做20 只蛋糕时，每日获得的利润为1500 元； （3）y 2x2+140x 500 2（x35） 2+1950， a 20， 当 x 35 时， y 取得最大值，最大值为1950， 答：当每日做35 只蛋糕时，每日所获得的利润最大，最大日利润是1950 元 【点评】 本题考查了二次函数的应用，掌握销售问题的数量关

39、系销售收入售价数量的运 用，二次函数的解析式的性质的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键 26（ 14 分）如图，抛物线y（ x+1）（x3）与 x 轴分别交于点A、B（点 A 在 B 的右 侧），与y 轴交于点C，P 是 ABC 的外接圆 （1）直接写出点A、B、C 的坐标及抛物线的对称轴； （2）求 P 的半径； （3）点 D 在抛物线的对称轴上，且BDC 90，求点D 纵坐标的取值范围； （4）E 是线段 CO 上的一个动点，将线段AE 绕点 A 逆时针旋转45得线段AF，求线段 OF 的最小值 【分析】 （1）分别代入 y0、x0求出与之对应的x、y的值，进而可得出点A、B、C的 坐

40、标，再由二次函数的对称性可找出抛物线的对称轴； （2）连接 CP、BP，在 Rt BOC 中利用勾股定理可求出BC 的长，由等腰直角三角形的性 质及圆周角定理可得出BPC90，再利用等腰直角三角形的性质可求出BP 的值， 此 题得解； （3）设点 D 的坐标为（ 1，y），当 BDC90时，利用勾股定理可求出y 值，进而可得 出：当 1y2 时， BDC 90； （4）将 ACO 绕点 A 逆时针方向旋转45，点 C 落在点 C处，点O 落在点 O处，根 据旋转的性质可找出点C的坐标及 ACO 45，进而可找出线段CO所在直 线的解析式，由点 E在CO上可得出点F在CO上，过点O作OFCO于点

41、F， 则 OCF 为等腰直角三角形，此时线段OF 取最小值，利用等腰直角三角形的性质即 可求出此时OF 的长，此题得解 【解答】 解：（ 1）当 y0 时，（ x+1）（ x3） 0， 解得： x1 1，x23， 点 B 的坐标为（ 1，0），点 A 的坐标为（ 3，0）； 当 x0 时， y（ 0+1）（ 03） 3， 点 C 的坐标为（ 0，3）； 抛物线与x 轴交于点（1，0）、（ 3，0）， 抛物线的对称轴为直线x1 （2）连接 CP、BP，如图 1 所示 在 RtBOC 中， BC AOC90， OAOC3， OAC OCA45， BPC2 OAC90， CPBPBC， P 的半径为

42、 （3）设点 D 的坐标为（ 1，y），当 BDC 90时， BD 2+CD2BC2， （ 11） 2+（0 y）2+ （01）2+（3 y）210， 整理，得： y23y+2 0， 解得： y11， y2 2， 当 1 y2 时， BDC90 （4）将 ACO 绕点 A 逆时针方向旋转45，点 C 落在点 C处，点O 落在点 O处，如 图 2 所示 AC3， ACO45， 点 C的坐标为（ 33， 0）， ACO 45， 线段 CO所在直线的解析式为y x+33 点 E 在线段 CO 上， 点 F 在线段 C O上 过点 O 作 OFCO于点 F，则 OCF 为等腰直角三角形，此时线段OF 取最小值 OCF 为等腰直角三角形， OFOC （3 3） 3 【点评】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、圆周角定理、勾股定 理、旋转以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征 求出点 A、B、C 的坐标；（ 2）利用圆周角定理找出BPC 90；（ 3）利用极限值法 求出点 D 纵坐标；（ 4）利用点到直线之间垂直线段最短确定点F 的位置